Á 5. Differenzierbarkeit

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1 Á. Differenzierbarkeit Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 4 Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 4

2 . Differenzierbarkeit Zur Berecnung der Steigung der Tangente an den Grapen der Sinusfunktion im Punkte (,) wurde im vorigen Abscnitt der Grenzwert des Differenzenquotienten untersuct. sin+ sin+ c Als naeliegende Verallgemeinerung dient die Definition.: DIFFERENZENQUOTIENT, DIFFERENTIALQUOTIENT, DIFFERENZIERBAR, ABLEITUNG Es seien I : #a, b', f : I und x, x ± I. Der Quotient f +x f +x cc x x eißt DIFFERENZENQUOTIENT von f bzgl. x und x. f eißt an der Stelle x DIFFERENZIERBAR, wenn f +x f +x lim ccc cccc x x x x existiert, also der Grenzwert des Differenzenquotient existiert. Folgende Screibweise ist gebräuclic: f +x : f +x f +x lim cc x x x x. Die reelle Zal f +x eißt der DIFFERENTIALQUOTIENT von f an der Stelle x bzw. die ABLEITUNG von f an der Stelle x. df +x Andere gebräuclice Screibweisen für f +x sind df bzw. ccc dx dx +x. Diese Screibweisen geen auf Gottfried Wilelm Leibniz (.. 67 ) zurück. Beacten Sie: Das Symbol f +x definiert KEINE Funktion! Es bezeicnet eine reelle Zal! Der Differentialquotient eißt zwar...quotient, er ist aber "eigentlic" kein Quotient, sondern der Grenzwert eines Quotienten! Mit : x x erält der Differenzenquotient die äufig gebraucte Gestalt f +x f +x c c. Die Ableitung läßt sic interpretieren als lokale Änderungsrate von f bei x oder als Steigung der Tangente an den Grapen von f in +x, f +x. Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 4

3 . Differenzierbarkeit 3 f +x f +x a x b a x b Definition.: ABLEITUNGSFUNKTION Es seien I : #a, b' und f : I. Es sei f für alle x ± I differenzierbar. Es sei M : I definiert durc M+x : f +x f +x lim c cccc. Dann eißt M die ABLEITUNGSFUNKTION von f. Statt von der Ableitungsfunktion einer Funktion wird ser äufig nur kurz von der Ableitung einer Funktion gesprocen. Aus istoriscen Gründen wird f statt M gescrieben. Diese Screibweise wurde 797 von Josep Louis Lagrange (736 83) eingfürt Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 4

4 . Differenzierbarkeit Zur Erstellung der Grapiken wurde das Programm DerivativeBuilder aus dem Buc Animating Calculus von Packel, Wagon variiert. Einige elementare Beispiele.: Es seien I : #a, b', x ± I, c, O± und f +x : c, f +x : Oºx, f 3 +x : x. Dann gilt: f ' +x : f ' +x : f 3 ' +x : f +x lim f +x ccc x x x x, f +x lim f +x ccc x x x x O, f +x lim 3 f 3 +x ccc x x x x º x. Die Beweise folgen durc Berecnung der Differenzenquotienten: f +x f +x c x ccc xccc c c c x x, f +x f +x c x c x c OºxOºx c x x O, f +x 3 f 3 +x x c x c x x cc x x x x. Etwas leger lassen sic die eben bewiesenen Beispiele so umscreiben: Die Ableitung einer konstanten Funktion ist Null, die Ableitung von x ist Eins, die Ableitung von x ist x. Das Standardbeispiel. einer an einer Stelle stetigen, aber dort nict differenzierbaren Funktion ist die Betragsfunktion bei Null: Es seien I : #, ' und f +x : «x «für x ± I. f ist bei Null nict differenzierbar, denn f +x f + cccc x «x «c x sign+x, falls x!, falls x. Gemäß Beispiel 4.3 at dieser Differenzenquotient keinen Grenzwert bei.... Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 4

5 . Differenzierbarkeit Einige weitere Beispiele für die Grapen von Funktionen, die an einer Stelle nict differenzierbar sind: Sie erinnern sic vielleict an die "Punkt-Rictungsformel" für eine Gerade in der Form y y m º +x x. Mit y f +x und m f ' +x wird daraus die Tangentengleicung y+x f +x +x x º f ' +x. Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 4

6 . Differenzierbarkeit 6 f +x a x b In der Näe von x "approximiert" die Tangente den Grapen der Funktion. Man sprict von "lokaler" Approximation. Genauer darüber Auskunft gibt Satz.: Es seien I : #a, b' und f : I und x ± I. f ist genau dann bei x differenzierbar, wenn es eine auf I definierte, in x stetige Funktion D gibt, die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt: (*) f +x f +x +x x º D+x für alle x ± I, (**) D+x f ' +x. Beweis: Teil I: Es sei f differenzierbar in x. Für x ± I setze D+x : f f +x +x c x ccc xccc, falls x œ x. f ' +x, falls x x Damit ist auf I die Funktion D woldefiniert. Es sei nun x œ x. Dann gilt f +x +x x º D+x f +x f +x f +x +x x º c x ccc xccc f +x. Da f bei x differenzierbar ist, gilt f +x f +x D+x f ' +x lim ccc x x x x lim D+x. x x Also ist D bei x stetig und erfüllt (*) und (**). Teil II: Es gelten (*) und (**). Für x œ x folgt aus (*) D+x f +x f +x c x ccc xccc. Da D bei x stetig ist, folgt D+x lim x x D+x f +x f +x lim ccc x x x x. Also existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten, d.. f ist bei x differenzierbar. Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 4

7 . Differenzierbarkeit 7 Als Beispiel.3 zu Satz. werden für f +x : x 3, x ± und x Es sei jeweils x œ x. cccc,, 3 cccc die Funktionen D berecnet: Mit x 3 3 x ccc cccc x x x x x x x x folgt für x cccc D cccc +x x cccc x cccc 4, x D +x x x, x 3 cccc D cccc 3 x cccc 3 +x x cccc ??? Satz.: Es seien I : #a, b' und f : I und x ± I und f bei x differenzierbar. Dann ist f bei x stetig. Beweis: Nac Satz. gibt es auf I eine in x stetige Funktion D mit f +x f +x +x x º D+x. Da die Funktion x : I mit x +x : x x stetig ist in x, folgt mit Satz 4.9 auc die Stetigkeit von f in x. Satz.3: Summenregel, Produktregel, Quotientenregel Es seien I : #a, b' und f, g : I und x ± I und f bzw. g bei x differenzierbar. Es sei O±. (i) Die Funktion Oº f ist in x differenzierbar und es gilt +Oº f +x Oºf +x. Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 4

8 . Differenzierbarkeit 8 (ii) Die Funktion f + g ist in x differenzierbar und es gilt + f g +x f +x g +x. (iii) Die Funktion f º g ist in x differenzierbar und es gilt + f º g +x f +x º g+x g +x º f +x. (iv) Wenn g+x œ ist, dann ist die Funktion f cccc g in x differenzierbar und es gilt - f g +x f,x ºg+x g,x º f +x c cccc +g+x. Beweis: Nac Satz. gibt es auf I in x stetige Funktionen D f und D g mit (*) f +x f +x +x x º D f +x und D f +x f ' +x, (**) g+x g+x +x x º D g +x und D g +x g ' +x. Beweis zu (i): Es sei +x : OºD O +x für x ± I. Dann ist nac Satz 4.9 auc in x stetig. Weiterin gilt +Oº f +x = Oº f +x Oºf +x Oº +x x º D f +x = Oº f +x +Oº f +x +x x ºOºD f +x = +Oº f +x +x x º+x. Da +x : OºD O +x Oºf ' +x, gilt mit Satz. +Oº f ' +x Oºf ' +x x x x x Die linke Grafik beziet sic auf (i), die recte auf (ii). Der Beweis zu (ii), also der Summenregel, ist eine Übungsaufgabe. Beweis zu (iii), also der Produktregel: Mit (*) und (**) folgt mit f +x f +x +x x º D f +x, D f +x f ' +x, und g+x g+x +x x º D g +x, D g +x g ' +x, Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 4

9 . Differenzierbarkeit 9 nun + f º g +x f +x º g+x + f +x +x x º D f +x º + g+x +x x º D g +x f +x º g+x +x x º + f +x º D g +x g+x º D f +x +x x º D f +x º D g +x. Für x ± I werde jetzt D f ºg definiert durc D f ºg +x : f +x º D g +x g+x º D f +x +x x º D f +x º D g +x. Dann ist D f ºg nac merfacer Anwendung von Satz 4.9 stetig in x und mit Satz. folgt D f ºg +x : f +x º D g +x D f +x º g+x f +x º g ' +x f ' +x º g+x f ' +x º g+x f +x º g ' +x. Der Beweis für (iv), also der Quotientenregel, wird in zwei Teilen gefürt.. Teil: Es sei f +x : für x ± I. Nac Voraussetzung ist g bei x stetig und g+x œ. Daer gibt es nac Satz 4.6 ein Intervall I I mit x ± I und g+x œ für alle x ± I. Es sei nun x ± I. Dann gilt mit g+x g+x +x x º D g +x ccc ccc c g+x g+x g+x g+x ccc cccc g+x º g+x g+x + g+x +xx ºD g +x c cccc g+x º g+x D g +x +x x c. g+x º g+x Also ist cc g+x D g +x ccc cc +x x g+x c g+x º g+x. Nun ist die Funktion : I mit +x : D g +x c g+x º g+x in x stetig, da auc D g und g in x stetig sind und g+x œ auf I. Damit gilt unter den Voraussetzungen von (iv) g, cccc g +x U +x ccc ccc cccc g+x.. Teil: Nun wird der letzte Beweisteil mit der Produktregel kombiniert, denn screiben. Nac der Produktregel folgt also, f º, cccc g +x f +x c g+x, cccc g +x º f +x f ' +x ºg+x g' +x º f +x c c +g+x. f g läßt sic ja als Produkt f º cccc g Satz.4: Kettenregel Es seien I : #a, b', I : #c, d ', g : I, f : I, so dass für alle x ± I g+x ± I. Weiterin seien g in x und f in t : g+x differenzierbar. Dann ist auc f Íg in x differenzierbar und es gilt Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 4

10 . Differenzierbarkeit + f Íg' +x f ' +g+x º g ' +x. Beweis: Nac Voraussetzung und Satz. gibt es Funktionen D g auf I bzw. D f auf I, die in x bzw. in t : g+x stetig sind und mit denen gilt (*) g+x g+x +x x º D g +x für x ± I und D g +x g ' +x, f +t f +t +t t º D f +t für t ± I und D f +t f ' +t. Es sei gemäß Satz 4. I 3 : g+i. Nac Voraussetzung ist I 3 I und t ± I 3. Dann gilt erst rect für t ± I 3 (**) f +t f +t +t t º D f +t. Nun werden die Ausdrücke in (*) und (**) miteinander verknüpft und g+x : t gesetzt: + f Íg +x f +g+x f +t f +t +t t º D f +t f +t +g+x t º D f +g+x f +g+x +g+x g+x º D f +g+x f +g+x +x x º D g +x º D f +g+x + f Íg +x +x x º D g +x º +D f Íg +x. Nac Satz 4.9 sind Produkte, Summen und Verkettungen stetiger Funktionen wieder stetig. Damit ist D g º +D f Íg stetig in x. Nac Satz. folgt nun scließlic die Beauptung mit + f Íg' +x D g +x º +D f Íg +x g' +x º f ' +g+x. Damit sind jetzt alle rationalen Funktionen differenzierbar. Warum reict folgende Umformung nict für den Beweis der Kettenregel: f +g+x f +g+x f +g+x f +g+x ccc x x c ccc g+x g+x º g+x g+x c x x c in Leibniz'scer Screibweise: d f Íg ccc d x d f Íg cccc d g º d g c c d x. Beispiele.4: Matematica kennt die Differentiationsregeln, auc von speziellen Funktionen. D ist der Matematica Ausdruck für die Differentation: Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 4

11 . Differenzierbarkeit d D$ xn c x,x( + n xn x c xn ccc + x d n D$Å x Q,x( Q + n x n c x x n + x d n Å D#x Q,x' Q x n nx n nx n + x Apart#d ' + x c c + x xn + n nx d 3 FullSimplify#d ' + n + x x n ccc + x d d 3 + n x n c x Simplify# d d 3 ' + n + x xn + x ccc x n + x Später kommt als Beispiel die folgende Kombination von Funktionstermen vor. Die Ableitung selbst auszurecnen bereitet dann scon einige Müe, nict jedoc mit Matematica: g#x_' : f#x_' : D#f#x', x' x ccc x ; cccc Cos# x' g$cos$ 4 cccc x(( Sin$x Sin$ 4 cccc x((.8 Exp#+7.8 x ' Æ +7.8x 4 4x 4x ccc Cos# c ' Cos# c +7.8 x ' Cos# x' Cos#x Sin# c 4x '' c c c, Cos# c 4x 4 Cos# c 4x '3 Cos# x' Sin# c 4x 4x ' Sin#x Sin# c '' c c, Cos# c 4x ' 4 Cos# c 4x 4x 4x ' Cos# x' Sin# c ' Sin#x Sin# c '' c c cc Cos# c 4x D# Sin#x', x' Cos#x' ' Cos# 4x ' Sin# x' Sin#x Sin# 4x '' c c c c ' Cos# c 4x ' Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 4

12 . Differenzierbarkeit D# Cos#t', t' Sin#t' Die Differentiationsregeln für sin und cos sollen jetzt bewiesen werden: Satz.: Es seien I : #a, b' und x ± I. Dann gilt: sin' +x cos+x und cos' +x sin+x. Insbesondere sind die Funktionen sin und cos stetig und differenzierbar auf ganz. sin' cos cos' sin Einige Bilder aus einer Animation zur Ableitung von sin : Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 4

13 . Differenzierbarkeit 3 Beweis: Es seien x ± I und ±, œ so, dass x ± I. Zu untersucen ist der Differenzenquotient sin+x sin+x c ccc. Mit einem früer bewiesenen Additionsteorem folgt (*) sin+x sin+x sin+x º cos+ cos+x º sin+ sin+x sin+x º +cos+ cos+x º sin+. Es bleiben also die Differenzenquotienten cos+ und sin+ ccc ccc und deren Grenzwerte zu untersucen. Nac Satz 4. gilt sin+ (**) lim c. Beim Beweis des Satzes 4. wurde die Ungleicung cos+ für œ bewiesen. Daraus folgt Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 4

14 . Differenzierbarkeit 4 cos+ und cos+, d. cos+ cos+ bzw. ««, woraus cos+ lim folgt. Nun werden die einzelnen Ergebnisse unter Beactung der Zeile (*) und früerer Grenzwertsätze zusammengefügt. cos+x sin+x º cos+x º cos+ sin+ sin+x º lim cos+x º lim c lim sin+x º c cos+ ccc lim cos+x º c sin+ sin+x º +cos+ cos+x º sin+ lim c sin+x º cos+ cos+x º sin+ sin+x lim c c c cc sin+x sin+x lim c ccc cccc sin' +x. Der Beweis für cos' +x sin+x verläuft analog, da cos+x cos+x ccc cos+x º cos+ sin+x º sin+ cos+x c c Damit ist der Beweis für Satz. fertig. cos+x º +cos+ sin+x º sin+ c ccc cos+ sin+ cos+x cc sin+x c. Als direkte Konsequenz folgt die Stetigkeit der Funktionen sin und cos : Nac Satz. sind bei x differenzierbare Funktionen dort stetig. Also sind sin und cos stetig auf I für jedes Intervall I, also für alle reelle Zalen. Korrolar.: Falls cos+x œ, also für x +n cccc S mit n ± À, gilt tan' cccc +x cos.,x Falls sin+x œ, also für x n ºS mit n ± À, gilt cot' +x ccc ccc sin. -x Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 4

15 . Differenzierbarkeit Der Beweis erfordert die Wal geeigneter Intervalle I und benutzt die Quotientenregel, da tan und sin +x cos +x für alle x. sin c cos, cot cos c sin cot'+x tan'+x Es sei daran erinnert, dass für x > und m, n ± die Zal y die ist, für die y n x m gilt. Für x! und D± sei f D +x : x D. Die näcsten beiden Grafiken zeigen Funktionsgrapen von f D für einige D. 3 x x x 3??? r 3 x 7 r 3 x 7 x r x r x 7 x 3??? r 7 x Satz.7: Für x! und D± sei f D +x : x D. Dann gilt f D +x : Dºx D und f ist stetig. Beweis: Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 4

16 . Differenzierbarkeit 6. Fall: Für D ist die Beauptung trivialerweise rictig.. Fall: Es sei D!. Es seien x, x! und m, n ± mit D Differenzenquotienten x m??? m n? n ccc x x. c m n. Zu untersucen ist der Grenzwert des cccc Nun sei u : x cccc n n und v : x gesetzt, also u n x und v n x. Also gilt mit lim indirekt zu beweisen ist). Damit folgt (*) x m??? m n? n x x m c u cc m n v n u c u v + u º um m v u m3 v u v m v m c c c + u n u n v u n3 v u v n v n x x u n v n auc lim x x u v (was leict und also lim x x x m? m n? n x x lim c c c c c lim x x + u m u m v u m3 v u v m v m +u n u n v u n3 v u v n v n x x mº v c m m n ºv n n m vmn n -x mn cccc n m n x m n Dºx D. Damit folgt die Beauptung für D±. 3. Fall: Es sei D, also D ±. Mit E : D gilt f D +x : x D cc x - und die Beauptung folgt in diesem Falle durc Anwendung der Quotientenregel auf Fall. Zusammenfassung einiger Ergebnisse über Differentiation und Stetigkeit der "elementaren" Funktionen Mit Satz.3 (iii), also der Produktregel, folgt induktiv: Die Funktionen f n mit f n +x : x n wobei n ± und x ±, sind differenzierbar auf und daer dort auc stetig. Es gilt f n +x : n º x n. n Mit Satz.3 (i) und (ii), folgt dann auc, dass Polynomfunktionen, also Funktionen p, der Gestalt p+x : 6 aq º x Q, Q wobei n ± und x ±, überall differenzierbar sind. Es gilt p +x : 6 n Q Qºa Q º x Q. m Mit Satz.3 (iv), also der Quotientenregel, folgt weiter mit q+x : 6 bq º x Q für m ± und x ±, dass auc Q p rationale Funktionen q bei x mit q+x œ differenzierbar sind. Scließlic folgt mit der Kettenregel (Satz.4), dass "zusammengesetzte", "verkettete" Funktionen f (auf einem Intervall), etwa der Gestalt f +x : sin n + p+ q+cos+x, differenzierbar sind. Satz.8: Satz von Rolle (Micel Rolle, 6 79) (69) Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 4

17 . Differenzierbarkeit 7 Es seien I : #a, b' und f : I. f sei auf ganz I stetig und differenzierbar für alle x ± ' a, b #'. Es sei f +a f +b, dann gibt es ein c ± ' a, b #'mit f +c. f +a f +b a c b Beweis: Da f auf I stetig, besitzt nac Satz 4. f auf I ein Maximum und ein Minimum, d.. es gibt u, o ± #a, b' mit f +u f +x f +o für alle x ± I.. Fall: f +u f +o f +a ; dann ist f konstant und f ' +x für alle x ± I..Fall: Nun sei angenommen, dass f +a f +b f +o, f also ein "ectes" Maximum besitze. Da a œ o und b œ o, gilt o ± ' a, b #'. Sein nun c : o. Für >, so dass noc c ± I, folgt (*) f +c f +c c und für < mit c ± I folgt f +c f +c (**) ccc Nun existiert nac Voraussetzung f +c : lim c f +c f +c ccc. Nac (*) folgt f ' +c und nac (**) f ' +c, also gilt f ' +c. Der weitere Beweis verläuft analog für den dritten Fall f +u f +a f +b. Satz.9: Mittelwertsatz Es seien I : #a, b' und f : I. f sei auf ganz I stetig und differenzierbar für alle x ± ' a, b #'. Dann gibt es ein c ± ' a, b #' mit f +b f +a f ' +c : cccc bzw. f +b f +a f ' +c º +b a. b a Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 4

18 . Differenzierbarkeit 8 f +b f +a a c b Der Beweis folgt einfac mit dem Satz von Rolle durc gescickte Definition einer Hilfsfunktion. f +b f +a Für x ± I sei g+x : f +x +x a cccc b a. Dann ist g auf I stetig und auf ' a, b #'differenzierbar. Weiterin gilt g+a f +a, g+b f +b f +a f +b +b a cccc b a f +a g+a. Damit erfüllt die Funktion g auf I die Voraussetzungen des Satzes von Rolle: Also gibt es ein c ± ' a, b #'mit g +c. Nun ist g +x : f f +b f +a +x cccc, b a woraus die Beauptung des Satzes folgt. Die Ableitung einer konstanten Funktion ist Null. Es gilt auc eine Umkerung: Satz.: Es seien I : #a, b' und f : I. f sei auf ganz I stetig, weiterin differenzierbar für alle x ± ' a, b #'und für diese x gelte f ' +x. Dann gibt es ein c ±, so dass f +x c auf I. Beweis: Es seien x fest und x beliebig aus ' a, b #'. Nac dem Mittelwertsatz (Satz.9) gilt dann für ein c ± ' a, b #' f +x f +x f ' +c º +x x. Also gilt f +x f +x für alle x ± ' a, b #'. Da f stetig auf I, folgt auc f +a : lim f +x lim f +x x a x a analog f +b f +x. Nun wird c : f +x gesetzt. f +x und Korrolar.: Es seien I : #a, b' und f, g : I. f, g seien auf ganz I stetig und differenzierbar für alle x ± ' a, b #'und dort gelte f ' +x g ' +x. Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 4

19 . Differenzierbarkeit 9 Dann gibt es ein c ±, so dass f +x g+x c auf I. Beweis: Wende den Satz. auf f g an. In Analogie der Monotonie von Folgen gibt es die Definition.3: MONOTONIE von Funktionen. Es seien I : #a, b' und f : I. f eißt STRENG MONOTON WACHSEND, wenn für alle x, y ± I mit x < y auc f +x f +y gilt. Entsprecend eißt f STRENG MONOTON FALLEND, wenn für alle x, y ± I mit x < y nun f +x! f +y gilt. f eißt MONOTON WACHSEND (bzw. FALLEND), wenn für alle x, y ± I mit x y auc f +x f +y (bzw. f +x f +y ) gilt. Satz.: Es seien I : #a, b' und f : I. f sei auf ganz I stetig und differenzierbar für alle x ± ' a, b #'. Gilt für alle t ± ' a, b #' f ' +t!, so ist f streng monoton wacsend auf I, f ' +t, so ist f streng monoton fallend auf I, f ' +t, so ist f monoton wacsend auf I, f ' +t, so ist f monoton fallend auf I. Beweis im Falle des streng monotonen Wacsens. Die anderen Fälle beweisen sic analog. Es seien x, y ± I mit x < y. Es sei I : #x, y'. Dann ist f auf I stetig und in ' x, y #'differenzierbar. Nac dem Mittelwertsatz gibt es ein c ± ' x, y # ' a, b #' mit f +c : f +y f +x ccc! y x, d.. f +x f +y. Satz.3: Approximierende Polynomfunktionen für sin und cos. Es sei x. Dann gelten die folgenden Ungleicungen: sin(x) x, Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 4

20 . Differenzierbarkeit x c cos+x, x x3 cc 3 x c x x3 cc 3 sin+x x, cos+x x c c x4, 4 x3 sin+x x cc 3 cc x. Mit den Bezieungen sin+x sin+x und cos+x cos+x lassen sic diese Ungleicungen entsprecend auc für negative x formulieren. Beweis: Für x sei f +x : x sin+x. Dann gilt f ' +x cos+x, da «cos+x «. Mit f + folgt nac Satz. monotones Wacsen von f, d.. x sin+x. Daraus folgt die erste der obigen Ungleicungen. Es sei nun f +x : c x cos+x. Dann ist f + und f ' +x x sin+x f +x. Also ist auc f monoton wacsend, also c x cos+x. Damit folgt die zweite obige Ungleicung. Nun wird f 3 +x : x c x3 3 gesetzt. Wieder ist f sin+x 3 und f + 3 ' : c x +x cos+x folgt analog die vierte obige Ungleicung. f +x. Damit Mit f 4 +x : x c c x4 cos+x get das Verfaren weiter. 4 Der Beweis läßt sic auf negative x übertragen Die folgende Grafik zeigt Teile des Grapen der Cosinus-Funktion und approximierender Polynomfunktionen: 3 4 Es ist beweisbar, dass für alle x ± ˆ sin+x 6 Q Q + x c Q ccc + Q ˆ und cos+x 6 Q Q x + c + Q. Definition.4: ZWEITE ABLEITUNG, n-te ABLEITUNG Es seien I : #a, b' und f : I und differenzierbar auf I. Wie üblic sei die (erste) Ableitung von f auf I mit f bezeicnet. Die Funktion f sei wiederum auf I differenzierbar. Dann eißt die Ableitung von f die ZWEITE Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 4

21 . Differenzierbarkeit ABLEITUNG von f : f : + f. +n Entsprecend werden für n ± n-te ABLEITUNGEN von f definiert und mit f bezeicnet. Ableitung von f auf I existiert, sagt man auc : f ist auf I n-mal differenzierbar Wenn die n-te Beispiele.: Es sei für k ± und x ± f k +x : x k. Dann gilt f k +x : k º x k, f k +x : +k º k º x k Weiterin gilt auf : sin cos, sin sin, cos sin, cos cos, und damit +4 sin sin, cos+4 cos. Definition.: RELATIVES MAXIMUM, RELATIVES MINIMUM Es seien I : #a, b' und f : I. x ± ' a, b #'eißt RELATIVES MAXIMUM von f, falls es eine Umgebung J von x (also ein Intervall J : #c, d ' mit x ± J I ) gibt, so dass f +x f +x für alle x ± J. Analog eißt x ± ' a, b #'ein RELATIVES MINIMUM von f, wenn f +x f +x für alle x aus einer Umgebung von x gilt. Falls f auf I differenzierbar ist, dann ist es auc auf jedem Teilintervall J von I differenzierbar. Entsprecend dem Beweis zum Satz von Rolle folgt, falls x relatives Maximum (bzw. Minimum) von f ist, dass f ' +x gilt. Beispiel.6: Hier ein Grap einer Funktion, die merere relative Minima und Maxima at: Die Umkerung der letzten Aussage kann falsc sein, wie etwa gezeigt wird durc das folgende Beispiel.7: Es sei f +x : x 3 für x ± #, '. Es ist f +x 3 x und damit f +. Aber Null ist weder relatives Minimum oder Maximum, denn für x > ist auc x 3! und für x < ist auc x 3. Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 4

22 . Differenzierbarkeit Mit der ersten Ableitung einer Funktion allein können also relative Minima und Maxima noc nict bestimmt werden. Satz.4: Es seien I : #a, b' und f : I. Es sei f zweimal differenzierbar auf I. Es sei x ± ' a, b #'und es gelte f +x und f +x. Dann ist x ein relatives Maximum von f. Es sei x ± ' a, b #'und es gelte f +x und f +x!. Dann ist x ein relatives Minimum von f. Beweis: Es seien f +x und f +x. Da f +x lim,x f U +x U f c ccc,x U f lim cccc, f,x gibt es eine Umgebung J von x, in der U cccc. Es sei nun > und +x ± J. Dann ist f +x. Ist dagegen < und +x ± J, so folgt f +x!. Nac Satz. fällt damit f rects von x und steigt links von x. Damit liegt bei x ein relatives Maximum von f. Der Beweis für die zweite Beauptung des Satzes.4 folgt analog. Wenn f +x und f +x zutreffen, dann können wieder Scwierigkeiten auftreten, wie die näcsten Beispiele zeigen. Beispiel.8: Es sei f +x : x 4 für x ± #, '. Dann gilt f ' + f '' + f ''' +. f at bei Null ein Minimum und f at bei Null ein Maximum. Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 4

23 . Differenzierbarkeit 3 Beispiel.9: Es sei M+x : x 4 sin, x, x œ, x. Hier gilt (Übungsaufgabe) M' + M'' +. Bei Null liegt aber weder ein lokales Minimum noc ein lokales Maximum von M, denn der Grap von M scneidet die x Acse in jeder Umgebung von Null beliebig oft. a Diese Grafik siet ganz armlos aus. Doc sie läßt das Wesentlice nict erkennen! Der Darstellungsbereic muss verkleinert werden: a.. So wurden erste Oszillationen sictbar. Die näcsten Bilder versucen noc kleinere Bereice zu zeigen. Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 4

24 . Differenzierbarkeit a a.. Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 4