Ein immer wiederkehrendes Konzept in der Mathematik ist die Zurückführung auf Bekanntes, beziehungsweise auf besonders

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Ein immer wiederkehrendes Konzept in der Mathematik ist die Zurückführung auf Bekanntes, beziehungsweise auf besonders"

Transkript

1 Vorlesung 14 Differentialrecnung Ein immer wiedererendes Konzept in der Matemati ist die Zurücfürung auf Beanntes, bezieungsweise auf besonders einface Fälle. Besonders einfac sind lineare Funtionen in der Analysis. In der Differentialrecung füren wir Linearisierungen durc, das eißt nictlineare Funtionen werden durc lineare Funtionen approximiert Geradengleicung Gegeben seien zwei Punte A(x a y a ) und B(x b y b ). Diese legen eine Gerade g = g AB eindeutig fest. y b y a y=y b -y a g 0 c x a x=x -x a x b Abbildung 14.1: Geradensteigung und Differenzenquotient Die allgemeine Geradengleicung lautet: g: y = mx+c Dabei bezeicnet m = Δy Δx die Steigung und c den y Acsenabscnitt. Die Steigung (siee Abbildung 14.1) m = Δy Δx = y b y a x b x a = y a y b x a x b wird auc Differenzenquotient genannt. Dabei stet Δ für Differenz. Fassen 81

2 wir f(x) als eine Funtion der Zeit x auf, so ist Δy Δx = f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 die mittlere Änderungsrate ( Durcscnittsgescwindigeit ) der zeitabängigen Funtionswerte zwiscen zwei Zeitpunten x 1 und x 2 (siee Abbildung 14.2). f f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2 Abbildung 14.2: Mittlere Änderungsrate der Funtion f Was passiert nun, für Δx 0? Anders formuliert, wie ist die Änderungsrate wenn x 2 mit x 1 zusammenfällt? Wir sprecen in diesem Fall von der momentanen Änderungsrate ( Momentangescwindigeit ) im Punt x 1, wenn f(x 2 ) f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 1 ) f(x 1 +) f(x 1 ) lim = lim = lim Δx 0 Δx x 2 x 1 x 2 x 1 0 existiert. Die momentane Änderungsrate im Punt A(a f(a)) entsprict genau der Tangentensteigung der Tangente am Punt A. f(a+) f B m f(a) A t a a+ Abbildung 14.3: Die mittlere Änderungsrate m der Funtion f wird zur Tangente t für 0 Für 0 wandert der Punt B(a+ f(a+)) auf den Punt A(a f(a)) zu (vgl. Abbildung 14.3). 82

3 14.2 Differenzierbareit Definition Eine Funtion f: D R eißt differenzierbar in a D, falls f(a+) f(a) lim 0 existiert. Dieser Grenzwert wird Differentialquotient genannt. Wir setzen dann f (a) := lim 0 f(a+) f(a) und nennen f (a) die erste Ableitung von f im Punt a. Wir sagen f ist differenzierbar, wenn sie für jeden Punt des Definitionsbereices differenzierbar ist. Die Funtion f : x f (x) eißt Ableitungsfuntion bzw. erste Ableitung von f. Beispiele f: D R,f(x) = x. Die Funtion f(x) = x ist differenzierbar und es gilt f (x) = 1. Beweis. Sei x D. Es gilt f(x+) f(x) (x+) x Daraus folgt nun = f(x+) f(x) = (x+) x f(x+) f(x) lim = lim 1 = 1 = f (x). 0 0 = = 1 g: D R,g(x) = x 2. Die Funtion g ist differenzierbar und es gilt g (x) = 2x. Beweis. Sei x D. Es gilt Damit folgt: g(x+) g(x) (x+) x = (x+)2 x 2 = x2 +2x+ 2 x 2 = 2x+2 = 2x+. g(x+) g(x) lim = lim(2x+) = 2x = g (x). 0 0 f: R R,f(x) = x n,n N. Die Funtion f ist differenzierbar mit f (x) = nx n 1. 83

4 Beweis. Es gilt f(x+) f(x) = (x+)n x n. Nac dem Binomiscen Lersatz (vgl. Vorlesung 13) gilt: (x+) n = x n =0 ( ) n = x n 0 + x n = x n +nx n 1 + =2 =2 x n x n Daer aben wir (x+) n x n = xn +nx n 1 + n n ) =2( x n x n = nx n 1 + x n 1 =2 nx n 1 (für 0). Also gilt f (x) = nx n 1. Bemerung. Für x > 0 und a R gilt für f(x) = x a, dass f (x) = ax a 1. Einen Beweis seen Sie in der A1-Vorlesung. Im obigen Beispiel ist a N. Satz Die Funtion f: D R ist genau dann in a D differenzierbar, wenn gilt f(a+) f(a) lim = lim 0, >0 a+ a 0, <0 f(a+) f(a). a+ a Beispiel. Die Betragsfuntion f(x) = x ist differenzierbar für alle x R {0} und nict differenzierbar an der Stelle x = 0. Es gilt: { x für x < 0 f(x) = x = x für x 0. Für x = 0 ist lar, dass f differenzierbar ist. Wir aben f(0+) f(0) lim = lim 0, > , >0 = 1 lim 0, <0 Also folgt die Beauptung, da f(0+) f(0) 0+ 0 = lim 0, <0 f(0+) f(0) lim = lim 0, > , <0 = 1 f(0+) f(0)

5 14.3 Ableitungsregeln Satz Es seien f,g: D R in x D differenzierbar und λ R. Dann sind f +g,f g,λf und im Falle g(x) = 0 auc f g differenzierbar und es gilt: (f +g) (x) = f (x)+g (x) (fg) (x) = f (x)g(x)+f(x)g (x) (λf) (x) = λf (x) ( ) f (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g g 2 (x) Darüberinaus gilt: (f(g(x)) = f (g(x)) g (x) (Summenregel) (Produtregel) (Quotientenregel). (Kettenregel) wobei f: D R,g: E R mit g(e) D. Beweis. (Summenregel) Nac Definition des Differentialquotienten gilt (f +g) (f +g)(x+) (f +g)(x) (x) = lim 0 GWS (f)(x+) (f)(x) (g)(x+) (g)(x) = lim + lim 0 0 = f (x)+g (x) GWS bezeicnet an dieser Stelle die Grenzwertsätze (Satz ). Die restlicen Ableitungsregeln önnen als Übung bewiesen werden (siee z.b. Übungsaufgabe 67, Blatt 14). Beispiele. (i) f(x) = x 3 2x 2 +2x+1, dann ist die Ableitung f (x) = 3x 2 4x+2 (ii) f(x) = x, g(x) = x (x) = f(g(x)) = x 2 +1 = (x 2 +1) 1 2. Nac der Kettenregel ergibt sic für die Ableitung von : (x) = f (g(x)) g (x) = 1 2 (x2 +1) 1 2 2x. Definiere nun (x) = g(f(x)) = ( x) 2 +1 = x+1. Daraus folgt sofort (x) = 1. Zur Übung wenden wir die Kettenregel an und eralten natürlic das gleice Resultat wir aben (x) = g (f(x)) f (x) = 2 x 1 2 x 1 2 = 1. Definition Sei f: (a,b) R eine Funtion. Wir sagen, f at in x (a,b) ein loales Maximum (Minimum), wenn es eine Umgebung U ε (x) gibt, mit f(x) f(ξ) für alle ξ U ε (x) (f(x) f(ξ) für alle ξ U ε (x)). Falls das Gleiceitszeicen nur für x = ξ gilt, so nennen wir x ein isoliertes Maximum (Minimum). Der Oberbegriff für Maximum und Minimum ist Extremum. Anstelle vom loalen Extremum sprecen wir auc vom relativen Extremum. 85

6 Ein notwendiges Kriterium für ein Extremum liefert der folgende Satz: Satz Die Funtion f: (a,b) R besitze im Punt x (a,b) ein loales Extremum und sei in x differenzierbar. Dann gilt: f (x) = 0. Beweis. Siee Übungsaufgabe 68, Blatt 14. Folgerung. Falls f (a) = 0 so ann a ein Extremum sein. 86

Definition: Differenzierbare Funktionen

Definition: Differenzierbare Funktionen Definition: Differenzierbare Funktionen 1/12 Definition. Sei f :]a, b[ R eine Funktion. Sie heißt an der Stelle ξ ]a, b[ differenzierbar, wenn der Grenzwert existiert. f(ξ + h) f(ξ) lim h 0 h = lim x ξ

Mehr

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg Zwischenwertsatz Gegeben: f : [a, b] R stetig Dann gilt: f(a) < f(b) y [f(a), f(b)] x [a, b] mit f(x) = y 9.1. Grundbegriffe

Mehr

ε δ Definition der Stetigkeit.

ε δ Definition der Stetigkeit. ε δ Definition der Stetigkeit. Beweis a) b): Annahme: ε > 0 : δ > 0 : x δ D : x δ x 0 < δ f (x δ f (x 0 ) ε Die Wahl δ = 1 n (n N) generiert eine Folge (x n) n N, x n D mit x n x 0 < 1 n f (x n ) f (x

Mehr

13. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau

13. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas 3. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS 00/ 07.0.-.0. Aufgabe G Stetigkeit) a) Gegeben

Mehr

Biostatistik, Winter 2011/12

Biostatistik, Winter 2011/12 Biostatistik, Winter 2011/12 Summen, Exponentialfunktion, Ableitung Prof. Dr. Achim Klenke http://www.aklenke.de 2. Vorlesung: 04.11.2011 1/46 Inhalt 1 Summen und Produkte Summenzeichen Produktzeichen

Mehr

Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit

Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 76 / 226 Definition 6. (Zahlenfolgen) Eine Zahlenfolge (oder kurz: Folge) ist eine Funktion f : 0!. Statt f(n) schreiben wir x n

Mehr

1. Aufgabe [2 Punkte] Seien X, Y zwei nicht-leere Mengen und A(x, y) eine Aussageform. Betrachten Sie die folgenden Aussagen:

1. Aufgabe [2 Punkte] Seien X, Y zwei nicht-leere Mengen und A(x, y) eine Aussageform. Betrachten Sie die folgenden Aussagen: Klausur zur Analysis I svorschläge Universität Regensburg, Wintersemester 013/14 Prof. Dr. Bernd Ammann / Dr. Mihaela Pilca 0.0.014, Bearbeitungszeit: 3 Stunden 1. Aufgabe [ Punte] Seien X, Y zwei nicht-leere

Mehr

Differenzierbare Funktionen

Differenzierbare Funktionen Kapitel 5 Differenzierbare Funktionen In diesem Kapitel widmen wir uns dem Begriff der Differenzierbarkeit und entwickeln die Eigenscaften differenzierbarer Funktionen. Darüberinaus wollen wir auc unsere

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2013/14 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen

Mehr

Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg Aufgabe 98 12.12.2012 Untersuchen Sie die Funktion f W R! R mit f.x/

Mehr

Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung II (Unterrichtsfach) -Bearbeitungsvorschlag-

Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung II (Unterrichtsfach) -Bearbeitungsvorschlag- MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN D. Rost, M. Gebert SS 015 Blatt 9 19.6.015 Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrecnung II (Unterrictsfac) -Bearbeitungsvorsclag- 1. Sei n N 0.

Mehr

18 Höhere Ableitungen und Taylorformel

18 Höhere Ableitungen und Taylorformel 8 HÖHERE ABLEITUNGEN UND TAYLORFORMEL 98 8 Höhere Ableitungen und Taylorformel Definition. Sei f : D R eine Funktion, a D. Falls f in einer Umgebung von a (geschnitten mit D) differenzierbar und f in a

Mehr

5 DIFFERENZIALRECHNUNG EINFÜHRUNG

5 DIFFERENZIALRECHNUNG EINFÜHRUNG M /, Kap V Einführung in die Differenzialrechnung S 5 DIFFERENZIALRECHNUNG EINFÜHRUNG Zielvorgabe für die Kapitel 5 bis 55: Wir wollen folgende Begriffe definieren und deren Bedeutung verstehen: Differenzenquotient,

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als

Mehr

7.2. Ableitungen und lineare Approximation

7.2. Ableitungen und lineare Approximation 7.. Ableitungen und lineare Approximation Eindimensionale Ableitungen und Differentialquotienten einer Funktion bekommt man bekanntlic als Limes von Differenzenquotienten f ( a) = f ( a + ) f( a ) = x

Mehr

Kapitel 16 : Differentialrechnung

Kapitel 16 : Differentialrechnung Kapitel 16 : Differentialrechnung 16.1 Die Ableitung einer Funktion 16.2 Ableitungsregeln 16.3 Mittelwertsätze und Extrema 16.4 Approximation durch Taylor-Polynome 16.5 Zur iterativen Lösung von Gleichungen

Mehr

IV. Stetige Funktionen. Grenzwerte von Funktionen

IV. Stetige Funktionen. Grenzwerte von Funktionen IV. Stetige Funktionen. Grenzwerte von Funktionen Definition. Seien X und Y metrische Räume und E X sowie f : X Y eine Abbildung und p ein Häufungspunkt von E. Wir schreiben lim f(x) = q, x p falls es

Mehr

Mathematik 1 für Studierende der Biologie Teil II: Limes & Konvergenz

Mathematik 1 für Studierende der Biologie Teil II: Limes & Konvergenz Matematik 1 für Studierende der Biologie Teil II: Limes & Konvergenz Cristian Leibold 7. Oktober 2014 Folgen Allgemeines zu Folgen Monotonie und Bescränkteit Grenzwerte und Konvergenz Summen und Reien

Mehr

Elemente der Analysis II

Elemente der Analysis II Elemente der Analysis II Kapitel 5: Differentialrechnung im R n Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 17. Juni 2009 1 / 31 5.1 Erinnerung Kapitel

Mehr

27 Taylor-Formel und Taylor-Entwicklungen

27 Taylor-Formel und Taylor-Entwicklungen 136 IV. Unendliche Reihen und Taylor-Formel 27 Taylor-Formel und Taylor-Entwicklungen Lernziele: Konzepte: klein o - und groß O -Bedingungen Resultate: Taylor-Formel Kompetenzen: Bestimmung von Taylor-Reihen

Mehr

Differenzialrechnung

Differenzialrechnung Mathe Differenzialrechnung Differenzialrechnung 1. Grenzwerte von Funktionen Idee: Gegeben eine Funktion: Gesucht: y = f(x) lim f(x) = g s = Wert gegen den die Funktion streben soll (meist 0 oder ) g =

Mehr

Herleitungen von elementaren Ableitungsregeln

Herleitungen von elementaren Ableitungsregeln Herleitungen von elementaren Ableitungsregeln by Nictnäerdefiniert 5..003-6..003 Index. Differenzenquotient. Faktorregel 3. Konstantenregel 4. Summenregel 5. Produktregel 6. Quotientenregel 7. Potenzregel

Mehr

Übungsaufgaben zu Analysis 2 Lösungen von Blatt V vom 07.05.15. f(x, y) = 2(x + y) + xy + 3x 2, g(x, y) = xy + e xy.

Übungsaufgaben zu Analysis 2 Lösungen von Blatt V vom 07.05.15. f(x, y) = 2(x + y) + xy + 3x 2, g(x, y) = xy + e xy. Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Matematik Sommersemester 015 Universität Bielefeld Übungsaufgaben zu Analysis Lösungen von Blatt V vom 07.05.15 Aufgabe V.1 + Punkte) Gegeben seien die Funktionen

Mehr

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: M. Boßle, B. Krinn Ü. Okur, M. Wie Blatt 7 Gruppenübung zur Vorlesung Höere Matematik 2 Sommersemester 202 Dr. M. Künzer Prof. Dr. M. Stroppel Lösungsinweise zu en Hausaufgaben: Aufgabe H 58. Differenzierbarkeit

Mehr

Potenzreihen. Potenzreihen sind Funktionenreihen mit einer besonderen Gestalt.

Potenzreihen. Potenzreihen sind Funktionenreihen mit einer besonderen Gestalt. Potenzreihen Potenzreihen sind Funtionenreihen mit einer besonderen Gestalt. Definition. Ist (a ) eine Folge reeller (bzw. omplexer) Zahlen und x 0 R (bzw. z 0 C), dann heißt die Reihe a (x x 0 ) (bzw.

Mehr

Thema aus dem Bereich Analysis Differentialrechnung I. Inhaltsverzeichnis

Thema aus dem Bereich Analysis Differentialrechnung I. Inhaltsverzeichnis Thema aus dem Bereich Analysis - 3.9 Differentialrechnung I Inhaltsverzeichnis 1 Differentialrechnung I 5.06.009 Theorie+Übungen 1 Stetigkeit Wir werden unsere Untersuchungen in der Differential- und Integralrechnung

Mehr

Differenzenquotient. f(x) Differenzialrechnung. Gegeben sei eine Funktion f(x). 197 Wegener Math/5_Differenzial Mittwoch 04.04.

Differenzenquotient. f(x) Differenzialrechnung. Gegeben sei eine Funktion f(x). 197 Wegener Math/5_Differenzial Mittwoch 04.04. Gegeben sei eine Funktion f(). Differenzialrechnung Differenzenquotient f() 197 Wegener Math/5_Differenzial Mittwoch 04.04.2007 18:38:45 1 Differenzenquotient Gesucht ist die Tangente an der Stelle, wobei

Mehr

Taylorentwicklung von Funktionen einer Veränderlichen

Taylorentwicklung von Funktionen einer Veränderlichen Taylorentwicklung von Funktionen einer Veränderlichen 17. Januar 2013 KAPITEL 1. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 1 Kapitel 1 Mathematische Grundlagen 1.1 Stetigkeit, Differenzierbarkeit und C n -Funktionen Der

Mehr

Musterlösung zu Übungsblatt 1

Musterlösung zu Übungsblatt 1 Prof. R. Pandaripande J. Scmitt, C. Scießl Funktionenteorie 23. September 16 HS 2016 Musterlösung zu Übungsblatt 1 Aufgabe 1. Sei F ein Körper, der R als einen Unterkörper entält. Das eisst R ist eine

Mehr

Rückblick auf die letzte Vorlesung. Bemerkung

Rückblick auf die letzte Vorlesung. Bemerkung Bemerkung 1) Die Bedingung grad f (x 0 ) = 0 T definiert gewöhnlich ein nichtlineares Gleichungssystem zur Berechnung von x = x 0, wobei n Gleichungen für n Unbekannte gegeben sind. 2) Die Punkte x 0 D

Mehr

2. Teilklausur. Analysis 1

2. Teilklausur. Analysis 1 Universität Konstanz FB Mathematik & Statistik Prof. Dr. M. Junk Dipl.-Phys. Martin Rheinländer 2. Teilklausur Analysis 4. Februar 2006 4. Iteration Name: Vorname: Matr. Nr.: Hauptfach: Nebenfach: Übungsgruppen-Nr.:

Mehr

Stetigkeit von Funktionen

Stetigkeit von Funktionen Stetigkeit von Funktionen Definition. Es sei D ein Intervall oder D = R, x D, und f : D R eine Funktion. Wir sagen f ist stetig wenn für alle Folgen (x n ) n in D mit Grenzwert x auch die Folge der Funktionswerte

Mehr

Analysis I - Stetige Funktionen

Analysis I - Stetige Funktionen Kompaktheit und January 13, 2009 Kompaktheit und Funktionengrenzwert Definition Seien X, d X ) und Y, d Y ) metrische Räume. Desweiteren seien E eine Teilmenge von X, f : E Y eine Funktion und p ein Häufungspunkt

Mehr

Linearisierung einer Funktion Tangente, Normale

Linearisierung einer Funktion Tangente, Normale Linearisierung einer Funktion Tangente, Normale 1 E Linearisierung einer Funktion Abb. 1 1: Die Gerade T ist die Tangente der Funktion y = f (x) im Punkt P Eine im Punkt x = a differenzierbare Funktion

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010

Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Lektion 12 1. Dezember 2009 Kapitel 3. Differenzialrechnung einer Variablen (Fortsetzung) Satz 19. Es seien M und N zwei nichtleere Teilmengen von R,

Mehr

Höhere Mathematik für Physiker II

Höhere Mathematik für Physiker II Universität Heidelberg Sommersemester 2013 Wiederholungsblatt Übungen zur Vorlesung Höhere Mathematik für Physiker II Prof Dr Anna Marciniak-Czochra Dipl Math Alexandra Köthe Fragen Machen Sie sich bei

Mehr

Folgerungen aus dem Auflösungsatz

Folgerungen aus dem Auflösungsatz Folgerungen aus dem Auflösungsatz Wir haben in der Vorlesung den Satz über implizite Funktionen (Auflösungssatz) kennen gelernt. In unserer Formulierung lauten die Resultate: Seien x 0 R m, y 0 R n und

Mehr

40 Lokale Extrema und Taylor-Formel

40 Lokale Extrema und Taylor-Formel 198 VI. Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen 40 Lokale Extrema und Taylor-Formel Lernziele: Resultate: Satz von Taylor und Kriterien für lokale Extrema Methoden aus der linearen Algebra Kompetenzen:

Mehr

Mathematik II für Inf und WInf

Mathematik II für Inf und WInf Gruppenübung Mathematik II für Inf und WInf 8. Übung Lösungsvorschlag G 28 (Partiell aber nicht total differenzierbar) Gegeben sei die Funktion f : R 2 R mit f(x, ) := x. Zeige: f ist stetig und partiell

Mehr

Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit

Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit Häufig tauchen in der Mathematik Ausdrücke der Form lim f(x) auf. x x0 Derartigen Ausdrücken wollen wir jetzt eine präzise Bedeutung zuweisen. Definition. b = lim f(x) wenn

Mehr

Funktionen mehrerer Variabler

Funktionen mehrerer Variabler Funktionen mehrerer Variabler Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Übersicht Funktionsbegriff 1 Funktionsbegriff Beispiele Darstellung Schnitte 2 Partielle Ableitungen

Mehr

Vorlesung: Analysis II für Ingenieure. Wintersemester 07/08. Michael Karow. Themen: Niveaumengen und Gradient

Vorlesung: Analysis II für Ingenieure. Wintersemester 07/08. Michael Karow. Themen: Niveaumengen und Gradient Vorlesung: Analysis II für Ingenieure Wintersemester 07/08 Michael Karow Themen: Niveaumengen und Gradient Wir betrachten differenzierbare reellwertige Funktionen f : R n G R, G offen Zur Vereinfachung

Mehr

11 Untermannigfaltigkeiten des R n und lokale Extrema mit Nebenbedingungen

11 Untermannigfaltigkeiten des R n und lokale Extrema mit Nebenbedingungen 11 Untermannigfaltigkeiten des R n und lokale Extrema mit Nebenbedingungen Ziel: Wir wollen lokale Extrema von Funktionen f : M R untersuchen, wobei M R n eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des

Mehr

Mitschrift Mathematik, Vorlesung bei Dan Fulea, 2. Semester

Mitschrift Mathematik, Vorlesung bei Dan Fulea, 2. Semester Mitschrift Mathematik, Vorlesung bei Dan Fulea, 2. Semester Christian Nawroth, Erstellt mit L A TEX 23. Mai 2002 Inhaltsverzeichnis 1 Vollständige Induktion 2 1.1 Das Prinzip der Vollstandigen Induktion................

Mehr

Linear. Halbkreis. Parabel

Linear. Halbkreis. Parabel Vom Parabolspiegel zur Ableitungsfunktion Im Folgenden get es darum erauszufinden, was ein Parabolspiegel ist und wie er funktioniert. Das fürt uns auf wictige Fragen eines Teilgebietes der Matematik,

Mehr

Prof. Dr. Rolf Linn

Prof. Dr. Rolf Linn Prof. Dr. Rolf Linn 6.4.5 Übungsaufgaben zu Mathematik Analysis. Einführung. Gegeben seien die Punkte P=(;) und Q=(5;5). a) Berechnen Sie den Anstieg m der Verbindungsgeraden von P und Q. b) Berechnen

Mehr

Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Stetigkeit und Differenzierbarkeit Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C Mathematik Wintersemester 2009/2010 Didaktik der Analysis Herr Passon Stetigkeit und Differenzierbarkeit Andrea Paffrath 540836 9. Semester andreapaffrath@web.de

Mehr

Mathematische Grundlagen für das Physik-Praktikum:

Mathematische Grundlagen für das Physik-Praktikum: Mathematische Grundlagen für das Physik-Praktikum: Grundwissen: Bruchrechnung Potenzen Logarithmen Funktionen und ihre Darstellungen: Lineare Funktionen Proportionen Exponentialfunktion Potenzfunktionen

Mehr

Analysis I. 4. Beispielklausur mit Lösungen

Analysis I. 4. Beispielklausur mit Lösungen Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I 4. Beispielklausur mit en Aufgabe 1. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. (1) Eine bijektive Abbildung f: M N. () Ein

Mehr

2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit

2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 2.1) Sei D R. a) x 0 R heißt Häufungspunkt von D, wenn eine Folge x n ) n N existiert mit x n D,x n x 0 und lim n x n = x 0. D sei die Menge der Häufungspunkte von D. b) x 0 D heißt innerer Punkt von D,

Mehr

f(x) f(x 0 ) lokales Maximum x U : gilt, so heißt x 0 isoliertes lokales Minimum lokales Minimum Ferner nennen wir x 0 Extremum.

f(x) f(x 0 ) lokales Maximum x U : gilt, so heißt x 0 isoliertes lokales Minimum lokales Minimum Ferner nennen wir x 0 Extremum. Fabian Kohler Karolina Stoiber Ferienkurs Analsis für Phsiker SS 4 A Extrema In diesem Abschnitt sollen Extremwerte von Funktionen f : D R n R diskutiert werden. Auch hier gibt es viele Ähnlichkeiten mit

Mehr

Formelsammlung zum Starterstudium Mathematik

Formelsammlung zum Starterstudium Mathematik Formelsammlung zum Starterstudium Mathematik Universität des Saarlandes ¼ Version.3 Inhaltsverzeichnis. Potenzgesetze. Vollständige Induktion 3. Betragsgleichungen, Betragsungleichungen 4 4. Folgen und

Mehr

Einstieg in die Differenzialrechnung

Einstieg in die Differenzialrechnung Lern-Online.net Matematikportal Dierenzialrecnung (Einstieg) Einstieg in die Dierenzialrecnung Einstiegsbeispiel: Der ideale Kasten Augabenstellung: Ein DIN-A4-Blatt soll zu einem (deckellosen) Kasten

Mehr

Tangentensteigung. Gegeben ist die Funktion f(x) = x 2.

Tangentensteigung. Gegeben ist die Funktion f(x) = x 2. Tangentensteigung Gegeben ist die Funktion () =. Um die Steigung der Tangente im Punkt P( ) zu bestimmen, ermitteln wir zunäcst die Steigung der Sekante durc P( ) und Q( ). Q soll so beweglic sein, dass

Mehr

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 3. Übungsblatt

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 3. Übungsblatt KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Cristop Scmoeger Heiko Hoffmann SS 24 Höere Matematik II für die Facrictung Informatik Lösungsvorscläge zum 3. Übungsblatt Aufgabe 9 a) Bestimmen

Mehr

Schriftliche Abiturprüfung Leistungskursfach Mathematik. - Ersttermin -

Schriftliche Abiturprüfung Leistungskursfach Mathematik. - Ersttermin - Säcsisces Staatsministerium für Kultus Sculjar 200/02 Geltungsbereic: - Allgemein bildendes Gymnasium - Abendgymnasium und Kolleg - Sculfremde Prüfungsteilnemer Scriftlice Abiturprüfung Leistungsursfac

Mehr

1 Grundlagen 8 Funktionen 8 Differenzenquotient und Änderungsrate 9 Ableitung 11

1 Grundlagen 8 Funktionen 8 Differenzenquotient und Änderungsrate 9 Ableitung 11 Inhalt A Differenzialrechnung 8 Grundlagen 8 Funktionen 8 Differenzenquotient und Änderungsrate 9 Ableitung 2 Ableitungsregeln 2 Potenzregel 2 Konstantenregel 3 Summenregel 4 Produktregel 4 Quotientenregel

Mehr

f f(a+h) f(a) (a) := lim

f f(a+h) f(a) (a) := lim Kapitel 6 Differentialrechnung 6.1 Differenzierbarkeit Definition (differenzierbare Funktion, Ableitung). Sei(W, ) ein normierter Raum überk,seid ReinenichtleereMengeundx 0 D eininnererpunktdiesermenge.eine

Mehr

Differenzieren kurz und bündig

Differenzieren kurz und bündig mate online Skripten ttp://www.mate-online.at/skripten/ Differenzieren kurz und bündig Franz Embacer Fakultät für Matematik der Universität Wien E-mail: franz.embacer@univie.ac.at WWW: ttp://omepage.univie.ac.at/franz.embacer/

Mehr

Q11-Mathematik-Wissen kompakt (mit CAS-Befehlen)

Q11-Mathematik-Wissen kompakt (mit CAS-Befehlen) Q11-Mathematik-Wissen kompakt Jahrgang 2014/16 S. 1 Q11-Mathematik-Wissen kompakt (mit CAS-Befehlen) Gebrochen rationale Funktionen Funktionen der Form f(x) = p(x), p(x) und q(x) ganzrationale Funktionen

Mehr

Thema14 Der Satz über inverse Funktionen und der Satz über implizite Funktionen

Thema14 Der Satz über inverse Funktionen und der Satz über implizite Funktionen Thema14 Der Satz über inverse Funktionen und der Satz über implizite Funktionen In diesem Kapitel betrachten wir die Invertierbarkeit von glatten Abbildungen bzw. die Auflösbarkeit von impliziten Gleichungen.

Mehr

Lehrplanthemen Mathematik Einführungsphase (Klassenstufe 10)

Lehrplanthemen Mathematik Einführungsphase (Klassenstufe 10) Lehrplanthemen Mathematik Einführungsphase (Klassenstufe 0) I. Bereich: Differentialrechnung. Mittlere Änderungsrate Differenzenquotient einer Funktion, Sekantensteigung Um die Steilheit eines Funktionsgraphen

Mehr

Differenzialrechnung. Zusammenfassung. 1 Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten

Differenzialrechnung. Zusammenfassung. 1 Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten Differenzialrechnung Zusammenfassung 1 Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten 2.1 Funktionen Funktion: jeder reellen Zahl x aus einer Definitionsmenge D wird eine ganz bestimmte Größe,

Mehr

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 0 Dr DK Huynh Blatt 8 Aufgabe 6 Bestimmen Sie (a) (x + x 7x+)dx (c) (f) x n exp(x)dx (n N fest) sin (x)dx (g) (b) (d) ln(x)dx

Mehr

Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max. Hoffmann

Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max. Hoffmann Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max Hoffmann 1 Ganzrationale Funktionen Im Folgenden wollen wir uns mit ganzrationale Funktionen und der Untersuchung solcher beschäftigen. Dabei werden

Mehr

Partielle Ableitungen & Tangentialebenen. Folie 1

Partielle Ableitungen & Tangentialebenen. Folie 1 Partielle Ableitungen & Tangentialebenen Folie 1 Bei Funktionen mit einer Variable, gibt die Ableitung f () die Steigung an. Bei mehreren Variablen, z(,), gibt es keine eindeutige Steigung. Die Steigung

Mehr

Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)

Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) 1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 5: Konvergenz Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 15. Dezember 2011) Folgen Eine Folge x 0, x 1,

Mehr

Damit läßt sich die Aufgabe durch einfaches Rechnen zeigen: k=1

Damit läßt sich die Aufgabe durch einfaches Rechnen zeigen: k=1 Aufgabe (4 Punte) Sei A eine n m-matrix Die Matrix A T ist die m n-matrix, die durch Vertauschen der Zeilen und Spalten aus A hervorgeht (dh: aus Zeilen werden Spalten, und umgeehrt) Die Matrix A T heißt

Mehr

3. Differentialrechnung

3. Differentialrechnung 3. Differentialrechnung 3.1. Differentialquotient, Ableitung und Differential Bildachse y Funktion y = f(x ) y(x 0 + Δx) y(x ) 0 Sekante: Δy/ Δx := [y(x + Δx) - y(x )]/ Δx 0 0 α Tangente in x 0 Winkel

Mehr

Abb lokales Maximum und Minimum

Abb lokales Maximum und Minimum .13 Lokale Extrema, Monotonie und Konvexität Wir kommen nun zu den ersten Anwendungen der Dierentialrechnung. Zwischen den Eigenschaten einer Funktion, dem Verlau des zugehörigen Graphen und den Ableitungen

Mehr

f(x, y) = 0 Anschaulich bedeutet das, dass der im Rechteck I J = {(x, y) x I, y J}

f(x, y) = 0 Anschaulich bedeutet das, dass der im Rechteck I J = {(x, y) x I, y J} 9 Der Satz über implizite Funktionen 41 9 Der Satz über implizite Funktionen Wir haben bisher Funktionen g( von einer reellen Variablen immer durch Formelausdrücke g( dargestellt Der Zusammenhang zwischen

Mehr

Lösungen zu Aufgabenblatt 7P

Lösungen zu Aufgabenblatt 7P Analysis Prof. Dr. Peter Becker Fachbereich Informatik Sommersemester 205 9. Mai 205 Lösungen zu Aufgabenblatt 7P Aufgabe (Stetigkeit) (a) Für welche a, b R sind die folgenden Funktionen stetig in x 0

Mehr

Taylor-Entwicklung der Exponentialfunktion.

Taylor-Entwicklung der Exponentialfunktion. Taylor-Entwicklung der Exponentialfunktion. Betrachte die Exponentialfunktion f(x) = exp(x). Zunächst gilt: f (x) = d dx exp(x) = exp(x). Mit dem Satz von Taylor gilt um den Entwicklungspunkt x 0 = 0 die

Mehr

Höhere Mathematik 1 Übung 9

Höhere Mathematik 1 Übung 9 Aufgaben, die in der Präsenzübung nicht besprochen wurden, können in der darauf folgenden übung beim jeweiligen übungsleiter bzw. bei der jeweiligen übungsleiterin abgegeben werden. Diese Abgabe ist freiwillig

Mehr

6. Die Exponentialfunktionen (und Logarithmen).

6. Die Exponentialfunktionen (und Logarithmen). 6- Funktionen 6 Die Eponentialfunktionen (und Logaritmen) Eine ganz wictige Klasse von Funktionen f : R R bilden die Eponentialfunktionen f() = c ep( ) = c e, ier sind, c feste reelle Zalen (um Trivialfälle

Mehr

Klausuren zur Vorlesung ANALYSIS I

Klausuren zur Vorlesung ANALYSIS I Fachbereich Mathemati und Informati der Philipps-Universität Marburg Klausuren zur Vorlesung ANALYSIS I Prof. Dr. C. Portenier unter Mitarbeit von A. Alldridge und R. Jäger Marburg, Wintersemester 00/0

Mehr

Mathematik für Anwender I. Beispielklausur I mit Lösungen

Mathematik für Anwender I. Beispielklausur I mit Lösungen Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Mathematik für Anwender I Beispielklausur I mit en Dauer: Zwei volle Stunden + 10 Minuten Orientierung, in denen noch nicht geschrieben werden darf.

Mehr

Approximation durch Taylorpolynome

Approximation durch Taylorpolynome TU Berlin Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften Sekretariat MA 4-1 Straße des 17. Juni 10623 Berlin Hochschultag Approximation durch Taylorpolynome Im Rahmen der Schülerinnen- und Schüler-Uni

Mehr

Kapitel III. Stetige Funktionen. 14 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen. 15 Hauptsätze über stetige Funktionen

Kapitel III. Stetige Funktionen. 14 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen. 15 Hauptsätze über stetige Funktionen Kapitel III Stetige Funktionen 14 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen 15 Hauptsätze über stetige Funktionen 16 Konvergenz von Funktionen 17 Logarithmus und allgemeine Potenz C 1 14 Stetigkeit

Mehr

4.1 Grundlegende Konstruktionen Stetigkeit von Funktionen Eigenschaften stetiger Funktionen... 92

4.1 Grundlegende Konstruktionen Stetigkeit von Funktionen Eigenschaften stetiger Funktionen... 92 Kapitel 4 Funktionen und Stetigkeit In diesem Kapitel beginnen wir Funktionen f : Ê Ê systematisch zu untersuchen. Dazu bauen wir auf den Begriff des metrischen Raumes auf und erhalten offene und abgeschlossene

Mehr

(Unvollständige) Zusammenfassung Analysis Grundkurs

(Unvollständige) Zusammenfassung Analysis Grundkurs (Unvollständige) Zusammenfassung Analysis Grundkurs. Ableitungs und Integrationsregeln (Folgende 0 Funktionen sind alles Funktionen aus dem Zentralabitur Grundkurs.) a) f(t) = 0,0t e 0,t b) f(t) = t 3

Mehr

Numerische Simulation von Differential-Gleichungen der Himmelsmechanik

Numerische Simulation von Differential-Gleichungen der Himmelsmechanik Numerisce Simulation von Differential-Gleicungen der Himmelsmecanik Teilnemer: Max Dubiel (Andreas-Oberscule) Frank Essenberger (Herder-Oberscule) Constantin Krüger (Andreas-Oberscule) Gabriel Preuß (Heinric-Hertz-Oberscule)

Mehr

Analysis I, WS 14/15 Verzeichnis der wichtigsten Definitionen und Sätze

Analysis I, WS 14/15 Verzeichnis der wichtigsten Definitionen und Sätze Analysis I, WS 14/15 Verzeichnis der wichtigsten Definitionen und Sätze Prof. Dr. Lorenz Schwachhöfer Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Grundlagen 2 2 Folgen und Reihen 7 3 Stetigkeit 15 4 Differenzierbarkeit

Mehr

Musterlösung zu den Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II. x 2

Musterlösung zu den Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II. x 2 Musterlösung zu den Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II Wiederholungsblatt: Analysis Sommersemester 2011 W. Werner, F. Springer erstellt von: Max Brinkmann Aufgabe 1: Untersuchen Sie, ob die

Mehr

2. Stetigkeit und Differenzierbarkeit

2. Stetigkeit und Differenzierbarkeit 2. Stetigkeit Differenzierbarkeit 9 2. Stetigkeit Differenzierbarkeit Wir wollen uns nun komplexen Funktionen zuwenden dabei zunächst die ersten in der Analysis betrachteten Eigenschaften untersuchen,

Mehr

Analysis II (FS 2015): Vektorfelder und Flüsse

Analysis II (FS 2015): Vektorfelder und Flüsse Analysis II (FS 215): Vektorfelder und Flüsse Dietmar A. Salamon ETH-Zürich 7. April 215 1 Der Fluss eines Vektorfeldes Sei U R n eine offene Menge und sei f : U R n eine lokal Lipschitz-stetige Abbildung.

Mehr

Mathematik - Oberstufe

Mathematik - Oberstufe www.mate-aufgaben.com Matematik - Oberstufe Aufgaben und Musterlösungen zu Ableitungen, Tangenten, Normalen Zielgruppe: Oberstufe Gymnasium Scwerpunkt: Differenzenquotient, Differenzialquotient, Ableitung,

Mehr

Zusammenfassung Mathematik 2012 Claudia Fabricius

Zusammenfassung Mathematik 2012 Claudia Fabricius Zusammenfassung Mathematik Claudia Fabricius Funktion: Eine Funktion f ordnet jedem Element x einer Definitionsmenge D genau ein Element y eines Wertebereiches W zu. Polynom: f(x = a n x n + a n- x n-

Mehr

Differenzierbare Funktionen

Differenzierbare Funktionen 47 Kapitel 6 Differenzierbare Funktionen 1 Topologische Strukturen Inhalt: Umgebungen, innere Punkte, offene Mengen, abgeschlossene Mengen, Häufungspunkte, offener Kern und abgeschlossene Hülle, Rand einer

Mehr

Da der Nenner immer positiv ist, folgt. g (x) > 0 2x(2 x) > 0 0 < x < 2 g (x) < 0 2x(2 x) < 0 x < 0 oder x > 2

Da der Nenner immer positiv ist, folgt. g (x) > 0 2x(2 x) > 0 0 < x < 2 g (x) < 0 2x(2 x) < 0 x < 0 oder x > 2 Da der Nenner immer positiv ist, folgt g (x) > 0 x( x) > 0 0 < x < g (x) < 0 x( x) < 0 x < 0 oder x > Also ist g auf (0,) streng monoton wachsend sowie auf (,0) und auf (, ) strengmonotonfallend.außerdemistg

Mehr

Die komplexen Zahlen und Skalarprodukte Kurze Wiederholung des Körpers der komplexen Zahlen C.

Die komplexen Zahlen und Skalarprodukte Kurze Wiederholung des Körpers der komplexen Zahlen C. Die omplexen Zahlen und Salarprodute Kurze Wiederholung des Körpers der omplexen Zahlen C. Erinnerung an die Definition von exp, sin, cos als Potenzreihen C C Herleitung der Euler Formel Definition eines

Mehr

Extrema von Funktionen mit zwei Variablen

Extrema von Funktionen mit zwei Variablen Extrema von Funktionen mit zwei Variablen Es gilt der Satz: Ist an einer Stelle x,y ) f x x,y ) = und f y x,y ) = und besteht außerdem die Ungleichung f xx x,y )f yy x,y ) f xy x,y ) >, so liegt an dieser

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathemati PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathemati für Informatier II (Sommersemester 00) Lösungen zu Aufgabenblatt

Mehr

Übungen zur Analysis II Blatt 27 - Lösungen

Übungen zur Analysis II Blatt 27 - Lösungen Prof. Dr. Torsten Wedhorn SoSe 22 Daniel Wortmann Übungen zur Analysis II Blatt 27 - Lösungen Aufgabe 5: 6+6+6* Punkte Bestimme alle lokalen Extrema der folgenden Funktionen: a b c* f : R 3 R g : R 2 R

Mehr

Manfred Burghardt. Allgemeine Hochschulreife und Fachhochschulreife in den Bereichen Erziehung, Gesundheit und Soziales

Manfred Burghardt. Allgemeine Hochschulreife und Fachhochschulreife in den Bereichen Erziehung, Gesundheit und Soziales Manfred Burgardt Allgemeine Hocsculreife und Facocsculreife in den Bereicen Erzieung, Gesundeit und Soziales Version /4 Inaltsverzeicnis I Inaltsverzeicnis Inaltsverzeicnis... I Die Ableitungsfunktion

Mehr

STETIGKEITS- UND KONVERGENZMODI FÜR FUNKTIONEN UND FUNKTIONENFOLGEN

STETIGKEITS- UND KONVERGENZMODI FÜR FUNKTIONEN UND FUNKTIONENFOLGEN STETIGKEITS- UN KONVERGENZMOI FÜR FUNKTIONEN UN FUNKTIONENFOLGEN. Vorbemerungen Im folgenden seien stets: (M, d), (K, ρ) metrische Räume, (V, V ) ein Banach-Raum (nicht notwendigerweise endlichdimensional!),

Mehr

4.7 Der Taylorsche Satz

4.7 Der Taylorsche Satz 288 4 Differenziation 4.7 Der Taylorsche Satz Die Differenzierbarkeit, also die Existenz der ersten Ableitung einer Funktion, erlaubt bekanntlich, diese Funktion lokal durch eine affine Funktion näherungsweise

Mehr

Wurzelfunktionen Aufgaben

Wurzelfunktionen Aufgaben Wurzelfunktionen Aufgaben. Für jedes k (k > 0) ist die Funktion f k (x) = 8 (x k ) kx, 0 x gegeben. a) Untersuchen Sie die Funktion f k auf Nullstellen und Extrema. Ermitteln Sie lim f k(x) sowie für 0

Mehr

11. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau

11. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS 200/ 2.0.-28.0. Aufgabe G (Grenzwertberechnung)

Mehr

a) Prüfen Sie, ob die Graphen der Funktionen f und g orthogonal sind: f(x) = 1,5x 1; g(x) =

a) Prüfen Sie, ob die Graphen der Funktionen f und g orthogonal sind: f(x) = 1,5x 1; g(x) = 50 Kapitel 2: Rationale Funktionen und ihre Anwendungen 2.2.5 Orthogonale Geraden Geraden, die senkrecht aufeinander stehen, werden als zueinander orthogonale Geraden bezeichnet. Der Graph von g entsteht

Mehr