Ist die Funktion f auf dem Intervall a; b definiert, dann nennt man. f(b) f(a) b a

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1 . Einführung in die Differentialrechnung ==================================================================. Differenzenquotient und mittlere Änderungsrate Ist die Funktion f auf dem Intervall a; b definiert, dann nennt man f(b) f(a) b a Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate von f im Intervall a; b. Der Wert m = durch f(b) f(a) b a des Differenzenquotienten ist gleich der Steigung der Sekante die Punkte P a f(a) und Q b f(b). Die mittlere Änderungsraten der Funktion f : in den Intervallen I = ;, und I = ;, I = ;,0 sind m =, und = m =,, =, m =,0,0 =,0

2 . Differentialquotient und lokale Änderungrate Gehören die Intervall 0 ; bzw. ; 0 zur Definitionsmenge D einer Funktion f : f() und eistiert eistiert der Grenzwert f() f( 0 ), o 0 dann nennt man diesen Grenzwert Differentialquotient bzw. lokale Änderungsrate oder Ableitung f '( 0 ) von f an der an der Stelle 0. Der Wert der Ableitung einer Funktion f an der Stelle an den Graphen von f im Punkt P 0 0 f( 0 ). Bestimmung der lokalen Änderungsrate der Funktion 0 ist gleich der Steigung der Tangente f() = im Punkt 0 = Mittlere Änderungsrate im Intervall oder Differenzenquotient im Intervall I = ; : f() f( 0 ) 0 = f() f() = Lokale Änderungsrate: f() f( 0 ) 0 0 f() f() ( + ) ( ) =

3 . Differenzierbarkeit Eine Funktion muss an einer Stelle nicht differenzierbar sein. 0 f : =,, < Differenzenquotient für > : f() f() = 0 = +0 f() f() = +0 Differenzenzenquotient für < : f() f() = 0 = 0 f() f() ( ) = +0 Die h-methode Rechtseitige Ableitung: Linksseitige Ableitung: f() f( 0 ) f() f( 0 ) f( 0 + h) f( 0 ) h f( 0 h) f( 0 ) h f : und 0 = f( 0 + h) f( 0 ) h (+h) h (+h) h h h (+h) h =

4 h ( + h) = f( 0 h) f( 0 ) h ( h) h ( h) h +h h ( +h) h = + h ( h) = Tangente und Normale Ist die Funktion f an der Stelle 0 differenzierbar mit der Ableitung der f '( 0 ), dann lautet die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P 0 f( 0 ) = f '( 0 ) ( 0 ) + f( 0 ) Für den Winkel α, den die Tangente mit der positiven -Achse bildet, gilt tanα = f '( 0 ) Ist f '( 0 ) 0, dann heißt die Gerade durch P 0 f( 0 ), die auf der Tangente durch P senkrecht steht, die Normale zum Graphen von f in P. Für ihre Gleichung gilt = f '( 0 ) ( 0 ) + f( 0 ) Aufgabe in der Handreichung Geben Sie eine Funktion an, die an der Stelle = definiert, aber nicht differenzierbar ist. Lösung f : ist an der Stelle = nicht differenzierbar.

5 Aufgabe in der Handreichung Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f :, D f = R + 0,, sowie mehrere Geraden, die durch den Ursprung des Koordinatensstems und einen weiteren Punkt f() des Graphen von f verlaufen. Machen Sie anhand Ihrer Zeichnung plausibel, dass sich die Steigung dieser Geraden darstellen lässt als f() f(0) 0 Untersuchen Sie das Verhalten dieses Quotienten für Deuten Sie diesen Grenzwert geometrisch Lösung Steigungsdreieck: m = f() f(0) 0 = = 0+0 = Der Graph von f besitzt im Punkt O 0 0 sein vertikale Halbtangente

6 . Ableitungsfunktion Ableitung der Funktion f : f() = an der Stelle 0 Differenzenquotient: f() f( 0 ) = 0 = Differentialquotient: f '( 0 ) = Ergebnis: o +0 f() f( 0 ) ( + 0 ) = 0 0 o +0 Die Funktion f : f() = ist an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar und es gilt f '() =. Man nennt die Funktion f ' : f '() = die Ableitungsfunktion von f : f() = Die Funktion f ' : f '(), die jeder Stelle, an der eine Funktion differenzierbar ist, die Ableitung an dieser Stelle zuordnet, heißt Ableitungsfunktion vom f.

7 Aufgabe aus der Handreichung Die Abbildung zeigt den Graphen mit D f = R. G f einer Funktion f Zeichnen Sie die Graphen von f und der Ableitungsfunktion f ' in ein Koordinatensstem. Lösung Aufgabe in der Handreichung Gegeben sind die Graphen dreier Funktionen f, g und h sowie sechs weitere Graphen, darunter die Graphen der Ableitungsfunktionen dieser drei Funktionen. Ordnen Sie die Funktionen ihren Ableitungsfunktionen zu und begründen Sie Ihre Entscheidungen A B C

8 P Q R S T U Lösung A B C R Q S Als Begründung kann man die Monotonie und die Lage der Etrema anführen..5 Stammfunktionen ================================================================== Eine Funktion differenzierbare Funktion F heißt Stammfunktion einer Funktion f, wenn F'() = f() ist. Bemerkung: Ist F : F() eine Stammfunktion der Funktion f, dann ist auch F c : F() + c mit einer beliebigen Zahl c R eine Stammfunktion von f.

9 .6 Die Ableitung der Potenzfunktionen mit ganzen Eponenten Es ist ( n + 0 n n ) ( o ) = n 0 n Für die Funktion f : n gilt dann f() f( 0 ) 0 0 und n n ( n + 0 n n ) = n n n n n n n n n 0 n 0 n n 0 n = n = n n n 0 = n o n Für die Funktion f mit f () = k und k Z gilt f '() = k k. f() = f '() =

10 .7 Summenregel und Faktorregel ================================================================== Sind g : = g() und h : = h() zwei differenzierbare Funktionen, dann ist auch die Summe dieser beiden Funktionen f = g + h : = f() = g() + h() differenzierbar, und es gilt a) Für f : f() = + sin gilt f '() = g'() + h'() f '() = + cos Ist g eine differenzierbare Funktion und f = c g : c g() differenzierbar und es gilt Beispiele: a) Für f : cos gilt c R, dann ist auch die Funktion f '() = c g'() f '() = ( sin) = sin b) Für f : gilt f '() = = 9 Folgerung : Jede ganzrationale Funktion f ist differenzierbar. Es gilt deg(f) = n deg(f ') = n für n a) f() = + f '() =

11 .8 Produktregel und Quotientenregel Sind u : u() und v : v() zwei Funktionen mit gemeinsamer Definitionsmenge D, dann heißt die Funktion f : f() = u() v() das Produkt der Funktionen u und v. Die Funktion f : sin ist Produkt der Funktionen u : u() = und v : v() = Ist die Funktion f das Produkt zweier differenzierbarer Funktionen u und v, dann ist auch f differenzierbar, und für die Ableitungsfunktion f ' gilt f '() = u'() v() + u() v'() f() = sin f '() = sin + cos Sind u : u() und v : v() zwei Funktionen mit gemeinsamer Definitionsmenge D, dann heißt die Funktion f : f() = u() v() der Quotient der Funktionen u und v. Die Funktion f : + ist Quotient der Funktionen u : u() = und v : v() = +

12 Ist die Funktion f der Quotient zweier differenzierbarer Funktionen u und v, dann ist auch f differenzierbar, und für die Ableitungsfunktion f ' gilt f '() = u'() v() u() v'() [v()] ( + ) f() = f '() = + ( + ) = ( + )