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1 matpys-online DIFFERENTIALRECHNUNG BEI GANZRATIONALEN FUNKTIONEN 5 Grap von f Grap von f ' Grap von f ''

2 matpys-online bei ganzrationalen Funktionen Inaltsverzeicnis Kapitel Inalt Seite Der Ableitungsbegriff. Einfürung. Der Differenzenquotient. Der Differentialquotient. Berecnung von Steigungen Ableitungsregeln 6. Potenzregel 6. Faktorregel 7. Summenregel 7 Tangente und Normale an Grapen von Funktionen 8. Funktionale Bescreibung 8. Typisce Tangentenprobleme 8 Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen. Einfürung. Monotonie. Krümmung. Lokale (relative) Extrema und Extrempunkte 6.5 Flacstelle und Flacpunkt, Wendestelle und Wendepunkt 6.6 Zusammenfassung.7 Anwendungen in der Pysik 5 Numerisces Bestimmen der Nullstellen von Funktionen 5 Grapiken erstellt mit Matcad 5 Februar

3 Einfürung in die Der Ableitungsbegriff. Einfürung Die ermöglict es, auf der Grundlage des Grenzwertbegriffs Eigenscaften von Funktionen zu untersucen. Bekannt ist der Funktionswert einer Funktion an einer bestimmten Stelle x. Interessant ist nun die Änderung des Funktionswerts, wenn sic das Argument um x ändert. Beispiel: t-y-diagramm Der bei einer Bewegung eines Körpers zurückgelegte 9 Weg lässt sic durc folgende 8 Funktion bescreiben: 7 m m m y(t),5 t, t 8, t m s s s 6 Bemerkungen zur Eineit: 5 m Ruck (engl. jerk): j ; s m Bescleunigung: a s m Gescwindigkeit: v s Fragestellungen: Welce Wegstrecke y wird in einem bestimmten Zeitintervall t zurückgelegt? Zeit t in s Wie groß sind die Durcscnittsgescwindigkeit und die Momentangescwindigkeit? Weg y in m. Der Differenzenquotient Gegeben sei die Funktion f mit f(x),5x x 8x und x IR Grap von f mit Sekante Steigung der Sekante: x x y y y m x x x 6 5 y Weiter gilt: y f(x ) ; y f(x ) ; f(x ) f(x ) Einsetzen: m x x y Mit gilt: x x f(x ) f(x ) f(x ) f(x ) m x x

4 Definition : Differenzenquotient an der Stelle x. y f(x ) f(x ) f(x ) f(x ) x x x Bezeicnung: Mittlere Änderungsrate im Intervall x ; x Definition : Differenzenquotient an beliebiger Stelle x. y f(x) f(x ) f(x ) f(x) x x x. Der Differentialquotient Grap von f, Sekanten, Tangente x Der Punkt P der Sekante ist fest. Der Punkt Q der Sekante wandert auf dem Grapen von f zum Punkt P. Das bedeutet: Die Intervallsekante get in die Tangente über und die Steigung der Sekante get in die Steigung der Tangente über Grap von f Sekante Sekante Sekante Tangente Punkt P Punkt Q Für beliebig kleine -Werte, also, entsprict die mittlere Änderungsrate im Intervall x ; x der lokalen Änderungsrate an der Stelle x. Allerdings ist dann die erkömmlice Berecnung des Differenzenquotienten nict mer möglic. Mitilfe einer Grenzwertrecnung get der Differenzenquotient in den Differentialquotient über.

5 Definition : Differentialquotient an der Stelle x. y f(x) f(x ) f(x ) f(x ) lim lim lim f '(x ) x x xx x x (vgl. Merkilfe Seite ) Bezeicnung: f '(x ) eißt. Ableitung der Funktion f an der Stelle x. Definition : Differentialquotient an beliebiger Stelle x. y f(x) f(x) lim lim f '(x) x x Bezeicnung: f'(x)eißt. Ableitung der Funktion f an beliebiger Stelle x. Symbole: Für die Ableitung gibt es versciedene Screibweisen, die nac iren Erfindern benannt sind. Leibnitz: df(x) d f(x) dx dx Caucy: f'(x) Newton: f(t) d f(t) dt Quelle: Historisce Portraits, ttp://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/istory/biogindex.tml Bezeicnung: d dx und d dt werden auc Operatoren genannt Definition : Eine Funktion f mit x IDf eißt differenzierbar an der Stelle x, wenn der Differenzenquotient für x x bzw. für einen Grenzwert at. d Für den Differentialquotient an der Stelle x gilt: f '(x ) f(x ) dx Ist die Funktion f auf ganz ID f differenzierbar, so erält man eine neue Funktion, die Ableitungsfunktion f':x f'(x) xid. f

6 . Berecnung von Steigungen Aufgabe Gegeben sind die Funktion f i mit f(x) x, f(x) x und f(x),5x, wobei x IR. a) Bestimmen Sie den Differenzen- und den Differentialquotienten für die Funktionen f i. Geben Sie jeweils die Ableitungsfunktion an. b) Bestimmen Sie die Tangentensteigungen an den Stellen x ; x,5; x,5. c) Zeicnen Sie das Steigungsdreieck für die Tangente im Punkt P(x / f i(x )). Parabel mit Tangenten 5 Grap von f Steigungsdreieck Tangente Tangente Tangente Berürpunkte Parabel mit Tangenten 5 Grap von f Steigungsdreieck Tangente Tangente Tangente Berürpunkte Differenzenquotient: y f(x ) f(x) (x) x x x x x x (x ) Differentialquotient: y f(x ) f(x) lim lim lim x x x x. Ableitung: f'(x) x Tangentensteigungen: f'() f'(,5),5 f '(,5) (,5) Differenzenquotient: f(x) f(x) x x y (x ) (x ) x x x (x ) Differentialquotient: y f(x) f(x) lim lim lim x x x x. Ableitung: f '(x) x Tangentensteigungen: f '() f '(,5),5 f '(,5) (,5)

7 Parabel mit Tangenten 5 Grap von f Steigungsdreieck Tangente Tangente Tangente Berürpunkte Differenzenquotient: y f(x ) f(x),5(x),5x x,5,5,5 ( x ) Differentialquotient: x x x (x ) y f(x ) f(x) lim lim lim,5 x x x,5 x x. Ableitung: f '(x) x Tangentensteigungen: f '() f '(,5),5 f '(,5),5 Aufgabe Berecnen Sie von folgenden Funktionen f i die erste Ableitung mitilfe des Differenzen- bzw. Differentialquotienten: a) f(x) x b) f(x) 5 x Lösung zu Teilaufgabe a) y f(x) f(x) (x) x x x x x x x x y lim lim x x x x x Lösung zu Teilaufgabe b) x (x) y f(x) f(x) x x (x ) x (x ) x 5 5 x (x) x x x lim y lim x x x x x 5

8 Ableitungsregeln (Merkilfe Seite ). Potenzregel n Gegeben ist die Funktion f mit f(x) x. Gesuct ist die Ableitungsfunktion f'(x). Lösung: n n y f(x ) f(x) (x ) x lim lim lim x x n n n n x x x... x x n n lim n n n n n n n n n n n n lim n n n n x x... x. n n n n n lim x x... x x n x n n n n n n n n Allgemeine Regel: n n f(x) x f '(x) n x Beispiele f(x) x f '(x) x f 5(x) x f 5'(x) x Erweiterung der Regel auf negative oder auc gebrocene Exponenten. Beispiele f 7(x) x f 7'(x) x x x f 8(x) x f 8'(x) x x x f(x) 9 x x f 9'(x) x x x f (x) x x f '(x) x x x 6

9 . Faktorregel Gegeben ist die Funktion f mit f(x) a u(x). Gesuct ist die Ableitungsfunktion f '(x). y f(x ) f(x) au(x ) au(x) u(x ) u(x) lim lim lim a lim a u'(x) x x Allgemeine Regel: f(x) au(x) f'(x) a u'(x) Beispiel n Gegeben ist die Funktion f mit f(x) ax d, wobei x IR, a, dir, n IN. Gesuct ist die Ableitungsfunktion f '(x) mit Begründung. Lösung: f'(x) an x n Begründung: () Die multiplikative Konstante a bleibt eralten. () Der Exponent n ersceint in der Ableitungsfunktion als Faktor vor dem Potenzterm, der Exponent vermindert sic um eins. () Die additive Konstante d fällt weg.. Summenregel Gegeben ist die Funktion f mit f(x) u(x) v(x). Gesuct ist die Ableitungsfunktion f '(x). x u(x ) v(x ) u(x) v(x) y f(x) f(x) lim lim lim x u(x ) u(x) v(x ) v(x) lim lim u'(x) v '(x) Allgemeine Regel: f(x) u(x) v(x) f '(x) u'(x) v'(x) Ebenso: f(x) u(x) v(x) f '(x) u'(x) v '(x) Beispiel Gegeben ist die ganzrationale Funktion n-ten Grades f mit f(x) a x a x... a x a x a x a n n n n, wobei n xir, nin, a. Nac den Grenzwertregeln für Summen und Differenzen folgt für die Ableitungsfunktion: f(x) na x (n ) a x... a x a x a n n n n 7

10 Tangente und Normale an Grapen von Funktionen. Funktionale Bescreibung Mitilfe der Ableitungsfunktion f '(x) kann in jedem beliebigen Kurvenpunkt P(x /f(x )) die Steigung der zugeörigen Tangente berecnet werden. Es gilt also für die Tangentensteigung m in einem Punkt P(x /f(x )) des Grapen von f: m f'(x ) Gleicung der Tangente in einem Punkt P(x /f(x )) des Grapen von f: () Berecnen der y Koord. von P: y f(x ) () Bilden der Ableitung von f(x): d f'(x) f(x) dx () Ermitteln der Tangentensteigung m: m f'(x ) y m x x y () Einsetzen dieser Werte in die Punkt-Steigungsform: Gleicung der Tangente: t(x) f '(x ) x x f(x ) (vgl. Merkilfe Seite 5) n(x) x x f(x ) f'(x ) Gleicung der Normalen:. Typisce Tangentenprobleme Aufgabe Gegeben: Funktion f mit dem Funktionsterm f(x) x 5x 8x. Gesuct: Kurvenpunkte P(x /f(x )) mit einer orizontalen (waagrecten) Tangente. Lösung: f'(x) x x 8 f'(x) x x8 ( ) ( 8) x/ 6 x,7; x ; f,5 H,7/,5 7 f 8,6 T /,6 5 8

11 Aufgabe Gegeben: Funktion f mit dem Funktionsterm f(x) x 5x 8x. Gesuct: Gleicung der Tangente t im Kurvenpunkt P(/?). Lösung: Funktionswert: yp f() f'(x) x x 8 Ableitung: Steigung der Tangente: m f'() Tangente in Punkt-Steigungsform: t(x) f '() (x ) f() t(x) (x ) t(x) x Aufgabe Gegeben: Funktion f mit dem Funktionsterm f(x) x x. Gesuct: Gleicung der Tangente t parallel zur Geraden g(x) x. Lösung: Wäle Punkt P G : P(u/v) f Funktionswert: Ableitung: f'(x) x Steigung der Tangente: Steigung der Geraden: Bedingung: mt mg v f(u) u u mt f'(u) u mg u u Tangente: t(x) (x ) t(x) x 5 t(x) m g (x u) f(u) 9

12 Aufgabe Gegeben: Funktion f mit dem Funktionsterm f(x) x x. Gesuct: Gleicung der Tangente t durc den Punkt Q mit Q G. f Lösung: Wäle Punkt P G : P(u/v) f Funktionswert: Ableitung: f '(x) x Steigung der Tangente: Tangente: v f(u) u u t(x) m t (x u) f(u) t(x) (u ) (x u) u u t(x) (u ) x u mt f'(u) u Bedingung: Q G t t( ) (u ) u u u u ; u Tangente : t(x) x Tangente : t(x) x 6

13 Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen. Einfürung Aufgabe Gegeben ist der Funktionsterm f(x) x 5x 8x mit x IR und die Grapen der Funktion f sowie der Ableitungsfunktionen f und f. a) Bestimmen Sie die Nullstellen von f. b) Bestimmen Sie die erste Ableitung und deren Nullstellen. Betracten Sie das Vorzeicen von f '(x) und die Extremstellen (Stellen extremaler Funktionswerte) von G f. Was kann man daraus für den Grapen von f und die Art der Extrempunkte scließen? c) Bestimmen Sie die zweite Ableitungsfunktion f ''(x). Betracten Sie das Vorzeicen von f''(x) und die Extremstellen von G f. Geben Sie jeweils für den Hocpunkt und den Tiefpunkt von G f das Vorzeicen von f ''(x) an. Grap von f 6 8 Grap von f ' 6 8 Teilaufgabe a) f() x x 5x 8x :(x) x x (x x ) x 8x x x ( x x) (x) (x6) x x ; x 6; ( x) Teilaufgabe b) f'(x) x x 8 x x8 ( 8) x/ 6 6 x ; x ; Grap von f '' 6 8 Teilaufgabe c) f''(x) 6x Flacstelle: 5 f ''(x) 6 x xf,7

14 Zu Teilaufgabe b) x und x sind die Stellen mit orizontalen Tangenten. Damit können die Koordinaten der Extrempunkte H und T des Grapen von f bestimmt werden. An den Nullstellen von f'(x) ändert sic das Monotonieveralten von G f. Wecselt f '(x) das Vorzeicen von f,5 H,7/,5 7 positiv nac negativ, ergibt sic ein Hocpunkt: negativ nac positiv, ergibt sic ein Tiefpunkt: f,6 T/,6 8 5

15 . Monotonie Definition der Monotonie Eine Funktion f sei definiert auf einem Intervall I a;b mit x,x I. Es gelte: x x. Gilt für die Funktionswerte fx fx, so eißt f im Intervall a;b streng monoton zunemend, der Grap der Funktion f streng monoton steigend (kurz: sms). Gilt für die Funktionswerte fx fx, so eißt f im Intervall a;b streng monoton abnemend, der Grap der Funktion streng monoton fallend (kurz: smf). "Bergauf" x x fx fx "Bergab" x x fx fx Monotonie-Kriterium Ist f '(x), so ist der Grap der Funktion f streng monoton steigend Ist f'(x), so ist der Grap der Funktion f streng monoton fallend Maximale Monotonieintervalle Gilt f'(x ) für einzelne Stellen x, so ist der Grap der Funktion im Sinne der Definition dennoc streng monoton steigend bzw. streng monoton fallend.

16 Beispiele Gegeben sind Grapen der Funktionen f i (x) und f i (x). Geben Sie jeweils die Nullstelle der. Ableitung an und die maximalen Monotonieintervalle. Beispiel Beispiel Grap von f Grap von f ' Nullstelle von f : x einfac G f ist streng monoton fallend in ; u. G f ist streng monoton steigend in ;. Grap von f Grap von f ' Nullstelle von f : x einfac G f ist streng monoton steigend in ; u. G f ist streng monoton fallend in ;. Beispiel Beispiel 5 Grap von f Grap von f ' Nullstelle von f : x zweifac G f ist streng monoton steigend in IR. Grap von f Grap von f ' NS von f : x einfac, x zweifac, G f ist streng monoton fallend in ; u. G f ist streng monoton steigend in ;.

17 . Krümmung Definition der Krümmung Der Grap einer Funktion f eißt in einem Intervall I a;b linksgekrümmt (kurz: lk), wenn die Steigung der Tangente streng monoton zunimmt. I a;b rectsgekrümmt (kurz: rk), Der Grap einer Funktion f eißt in einem Intervall wenn die Steigung der Tangente im Intervall I streng monoton abnimmt. Bemerkung: Die Krümmung wird auc als die Steigung der Steigung bezeicnet. Linkskurve Rectskurve Kriterium der Krümmung Der Grap der Funktion f eißt linksgekrümmt, wenn für alle x a, b Der Grap der Funktion f eißt rectsgekrümmt, wenn für alle x a, b Der Grap der Funktion f besitzt eine Flacstelle x, wenn f ''(x ). gilt: f ''(x ). gilt: f''(x ). Maximale Krümmungsintervalle Gilt f ''(x ) für einzelne Stellen x, so ist der Grap der Funktion im Sinne der Definition dennoc linksgekrümmt bzw. rectsgekrümmt. 5

18 Beispiele Gegeben sind Grapen der Funktionen f i (x) und f i (x). Geben Sie jeweils Lage und Art der Nullstellen der. Ableitung an und die maximalen Krümmungsintervalle. Beispiel Grap von f Grap von f '' Nullstellen von f : x einfac; x einfac; G f ist linksgekrümmt in ; G f ist linksgekrümmt in ;., G f ist rectsgekrümmt in ; und Beispiel Grap von f Grap von f '' Nullstellen von f : x einfac; x zweifac; G f ist rectsgekrümmt in ; und G f ist linksgekrümmt in ;. 6

19 . Lokale (relative) Extrema und Extrempunkte Definition Besitzt die Ableitungsfunktion f (x) eine Nullstelle mit Vorzeicenwecsel, so ändert sic das Monotonieveralten: Wecselt der Grap von f an der Stelle x sein Monotonieveralten von streng monoton steigend nac streng monoton fallend, so eißt y = f(x ) lokales Maximum und der Punkt (x / f(x )) lokaler Hocpunkt. Wecselt der Grap von f an der Stelle x sein Monotonieveralten von streng monoton fallend nac streng monoton steigend, so eißt y = f(x ) lokales Minimum und (x / f(x )) lokaler Tiefpunkt. Bestimmung lokaler Extrema und Extrempunkte. Scritt: Notwendige Bedingung f'(x). D..: Aufsucen der Stellen mit orizontaler Tangente. Scritt: Hinreicende Bedingung: Die. Ableitung at eine Nullstelle mit Vorzeicenwecsel Nacweis der Art des relativen Extremums über das Monotoniekriterium oder über das Krümmungsveralten.. Scritt: Für den Extrempunkt Berecnung der y-koordinate..5 Flacpunkt und Wendepunkt Definition Flacpunkt und Wendepunkt Der Grap der Funktion f ist besitzt an der Stelle x eine Flacstelle, wenn f (x ) = gilt. Der zugeörige Kurvenpunkt (x / f(x )) eißt Flacpunkt. Ein Flacpunkt eißt Wendepunkt, wenn sic dort das Krümmungsveralten ändert. Ein Wendepunkt mit orizontaler Tangente eißt Terrassenpunkt. Nacweis für den Wendepunkt. Scritt: Notwendige Bedingung f ''(x). Scritt: Hinreicende Bedingung Die. Ableitung at eine Nullstelle mit Vorzeicenwecsel, das eißt, dass sic das Krümmungsveralten ändert.. Scritt: Berecnung der y-koordinate Nacweis für den Terrassenpunkt f'(x ) f''(x ) und x ist Nullstelle der. Ableitung mit Vorzeicenwecsel 7

20 Aufgabe Gegeben ist der Funktionsterm f(x) x x 9x 6 mit x IR 6 sowie die Grapen der Funktion f und der Ableitungsfunktionen f und f. a) Bestimmen Sie das Monotonieveralten und Lage und Art der Extremstellen. b) Bestimmen Sie das Krümmungsveralten und Lage und Art der Flacstellen. c) Bestimmen Sie die Art und die Koordinaten der markierten Punkte von G f. Grap von f ' 5 Grap von f '' 5 Teilaufgabe a) f'(x) x 6x9 x x 6 f'(x) x x (x) (x) x ; x ; G f ist streng monoton steigend in ;, G f ist streng monoton fallend in ;, G f ist streng monoton steigend in ;. rel. Hocpunkt an der Stelle x. rel. Tiefpunkt an der Stelle x. Teilaufgabe b) f''(x) x f ''(x) x x ; G f ist rectsgekrümmt in ;, G f ist linksgekrümmt in ;. Wendepunkt an der Stelle x. Grap von f 5 Teilaufgabe c) Hocpunkt: f( ),8; H( /,8) 6 7 Tiefpunkt: f(),5; T( /,5) 5 Wendepunkt: f(),8; W(/,8) 6 8

21 Aufgabe Gegeben ist der Funktionsterm f(x) x x 55x 75x mit x IR 8 sowie die Grapen der Funktion f und der Ableitungsfunktionen f und f. a) Bestimmen Sie Lage und Art der Nullstellen. b) Bestimmen Sie die maximalen Monotonie- und Krümmungsintervalle. c) Bestimmen Sie Lage und Art aller markierten Punkte. Runden Sie, falls nötig, jeweils auf zwei Nackommastellen. Grap von f ' 5 6 Grap von f '' 5 6 Nullstellen: f(x) Ausklammern und Polynomdivision liefert: x einfac, x einfac; x 5 zweifac;. Ableitung: f '(x) x 9 x x 75 8 Hor. Tangenten: f '(x) Raten: xe 5; also Polynomdivision: f'(x) x5 x 9x x 9 x 5 xe ; xe,75 G f ist streng monoton steigend in ;, G f ist streng monoton fallend in ;,75, G f ist streng monoton steigend in,75;5 und G f ist streng monoton fallend in 5;, rel. Hocpunkt: f() ; H (/ ) rel. Tiefpunkt: f(,75),55; T(,75 /,55) rel. Hocpunkt: f(5) ; H (5/) Grap von f Ableitung: f ''(x) x 78 x 8 Nullstellen von f (x): x 78 x xw,7; xw,; G f ist rectsgekrümmt in ;,7, G f ist linksgekrümmt in,7;, und G f ist rectsgekrümmt in, ;. Wendepunkt: f(,7),7; W(,7/,7) Wendepunkt: f(,),6; W(,/,6) 9

22 Aufgabe Gegeben ist der Funktionsterm f(x) x 5 5 x x 5 x mit x IR sowie die Grapen der Funktionen f und f. a) Bestimmen Sie das Krümmungsveralten und Lage und Art der markierten Punkte. b) Bestimmen Sie jeweils eine Gleicung der Tangente in den markierten Punkten von G f. c) Bescreiben Sie jeweils die geometrisce Besondereit der Tangente. Grap von f '' 8 6. Ableitung: f '(x) x x 6 x x. Ableitung: f''(x) x x 6x Grap von f Grap von f mit Tangenten Flacstellen: f ''(x) x x 6 x 5 f ''( ) Raten: x 5 Polynomdivision liefert: f''(x) xx 7x 6 5 Weitere Flacstellen: x 7x6 x ; x 6,5; x/ zweifac; x 6,5 einfac; G f ist rectsgekrümmt in ; 6,5 und G f ist linksgekrümmt in 6,5;. Wendepunkt: f( 6,5) 6,; W( 6,5 / 6,) Flacpunkt: f( ),98; F( /.98) Tangenten: t W (x) f '( 6,5) (x 6,5) f( 6,5) t W (x),x 6,7 Tangente durcsetzt den Grapen von f. t F(x) f'( ) (x) f( ) t(x) F,6x, Tangente berürt den Grapen von f.

23 .5 Zusammenfassung der Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen Umfassende Untersucung von Funktionen und iren Grapen auf bestimmte Eigenscaften. Veralten für x Symmetrieeigenscaften des Grapen Nullstellen Monotoniebereice Relative Extrempunkte Krümmungsveralten Flacpunkte oder Wendepunkte Zeicnen des Grapen mit Wertetabelle Beispiel für Mate-Freaks Gegeben ist eine Funktion f mit dem Funktionsterm f(x) x 5 x 8 x 5 x 5 x, x IR Bestimmen Sie die Monotonieeigenscaften, Art und Lage (nur x-werte) der relativen Extrempunkte, das Krümmungsveralten, Wendepunkte und den Terrassenpunkt. Hinweis: Nullstellen durc Intervallalbierung näerungsweise bestimmen. Der Grap G f at an der Stelle x einen Terrassenpunkt. Überlegen Sie sic, was dies für die erste bzw. zweite Ableitungsfunktion bedeutet.

24 .6 Anwendungen in der Pysik Definitionen zur Kinematik Gegeben ist der zeitlice Ablauf des Weges eines Massenpunktes in x-rictung in funktionaler Darstellung: x(t) d dt d d a(t) v(t) v(t) x(t) x(t) dt dt d j(t) a(t) a(t) dt Momentane Gescwindigkeit des Massenpunktes: v(t) x(t) x(t) Momentane Bescleunigung eines Massenpunktes: Momentane Änderungsrate der Bescleunigung, der Ruck: Beispiel : Geradlinige Bewegung mit konstanter Bescleunigung Ortskoordinate zum Zeitpunkt t: x(t) x v t ao t Momentante Gescwindigkeit: v(t) x(t) v a t Momentante Bescleunigung: a(t) v(t) a Beispiel : Geradlinige Bewegung mit nict konstanter Bescleunigung (vgl..) m m m Ortskoordinate zum Zeitpunkt t: y(t),5 t, t 8, t m s s s m m m Momentangescwindigkeit: v(t) y(t),5 t 6, t 8, s s s Momentante Bescleunigung: m m a(t) v(t), t 6, s s m Ruck: j(t) a(t), s

25 Aufgabe Gegeben sind die Bewegungsgleicungen x(t) und y(t) für den Massenscwerpunkt eines Körpers, der in der Höe H mit der Anfangsgescwindigkeit v in orizontaler Rictung unter Vernaclässigung des Luftwiderstandes weggeworfen wird: () x(t) v t () y(t) H g t. a) Bestimmen Sie die Bankurve y(x) mit allgemeinen Größen. b) Bestimmen Sie die Auftreffstelle und den Auftreffwinkel mit allgemeinen Größen mitilfe der. c) Erstellen Sie eine Zeicnung der Bankurve mit Tangente an der Auftreffstelle für m m H m ; v ; g 9,8 ; s s Aufgabe Gegeben sind die Bewegungsgleicungen x(t) und y(t) für den Massenscwerpunkt eines Körpers, der im Koordinatenursprung mit der Anfangsgescwindigkeit v unter dem Abwurfwinkel α unter Vernaclässigung des Luftwiderstandes weggeworfen wird: () x(t) cos(α) v t () y(t) sin(α) v t g t. a) Bestimmen Sie die Bankurve y(x) mit allgemeinen Größen. b) Bestimmen Sie die öcsten Punkt der Bankurve mitilfe der. c) Erstellen Sie eine Zeicnung der Bankurve mit Tangente an der Abwurfstelle für m m α 6; v ; g 9,8 ; s s

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