Mathematik für Physiker und Ingenieure 1

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1 Klaus Weltner Mathematik für Physiker und Ingenieure 1 Basiswissen für das Grundstudium - lnit n1ehr als 1400 Aufgaben und Lösungen anline unter Mitwirkung von Hartmut Wiesner, PauI-Bemd Heinrich, Peter Engelhard und Helmut Schmidt 17. überarbeitete Auflage ~ Springer Spektrum

2 5 Inhalt sverzeichnis 1 Vektorrechnung Skalare und Vektoren Addition von Vektoren Summe zweier Vektoren: Geometrische Addition Subtraktion von Vektoren Der Gegenvektor Differenz zweier Vektoren: Geometrische Subtraktion Das rechtwinklige Koordinatensystem Komponente und Projektion eines Vektors Komponentendarstellung im Koordinatensystem Ortsvektoren Einheitsvektoren Komponentendarstellung eines Vektors Summe zweier Vektoren in Komponentenschreibweise Differenz von Vektoren in Komponentenschreibweise Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Betrag eines Vektors Übungsaufgaben Skalarprodukt, Vektorprodukt Skalarprodukt Sonderfälle Kommutativ- und Distributivgesetz Kosinussatz Skalares Produkt in Komponentendarstellung Vektorprodukt Drehmoment 42 Die mit einem Stern (.) gekennzeichneten Abschnitte werden beim ersten Durchgang anband der Leitprogramme übersprungen.

3 6 Inhaltsverzeichnis Das Drehmoment als Vektor Definition des Vektorprodukts Sonderfälle Vertauschung der Reihenfolge Allgemeine Fassung des Hebelgesetzes 2.5 Vektorprodukt in Komponentendarstellung 2.6 Übungsaufgaben Einfache Funktionen, Trigonometrische Funktionen Der mathematische Funktionsbegriff Der Funktionsbegriff Graphische Darstellung von Funktionen Ermittlung des Graphen aus der Gleichung für die Gerade Bestimmung der Gleichung einer Geraden aus ihrem Graphen Graphische Darstellung von Funktionen Veränderung von Funktionsgleichungen und ihrer Graphen Winkelfunktionen, Trigonometrische Funktionen Einheitskreis Sinusfunktion Kosinusfunktion Zusammenhang zwischen Kosinus- und Sinusfunktion Tangens, Kotangens Additionstheoreme, Superposition von Trigonometrischen Funktionen Übungsaufgaben Potenzen, Logarithmus, Umkehrfunktionen Potenzen, Exponentialfunktion Potenzen Rechenregeln für Potenzen Exponentialfunktion Logarithmus, Logarithmusfunktion Logarithmus Rechenregeln für Logarithmen 89

4 4.2.3 Logarithmusfunktion Hyperbolische Funktionen* Umkehrfunktionen, inverse Funktionen Umkehrfunktion oder inverse Funktion Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen: Arcusfunktionen* Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen: Areafunktionen* Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion: Mittelbare Funktion, Funktion einer Funktion Übungsaufgaben Differentialrechnung Folge und Grenzwert Die Zahlenfolge Grenzwert einer Zahlenfolge Grenzwert einer Funktion Stetigkeit Reihe und Grenzwert Reihe Geometrische Reihe Die Ableitung einer Funktion Die Steigung einer Geraden Die Steigung einer beliebigen Kurve Der Differentialquotient Physikalische Anwendung: Die Geschwindigkeit Das Differential Praktische Berechnung des Differentialquotienten Differentiationsregeln Ableitung einfacher Funktionen Ableitung komplizierter Funktionen Höhere Ableitungen Maxima und Minima

5 8 Inhaltsverzeichnis 5.8 Differentiationsregeln, Ableitung einfacher Funktionen 5.9 Tangentenvektor und Normalenvektor Übungsaufgaben Integralrechnung Die Stammfunktion Flächenproblem und bestimmtes Integral Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Bestimmtes Integral Beispiele für das bestimmte Integral Zur Technik des Integrierens Verifizierungsprinzip Stammintegrale Konstanter Faktor und Summe Integration durch Substitution Partielle Integration Rechenregeln für bestimmte Integrale Substitution bei bestimmten Integralen Mittelwertsatz der Integralrechnung Uneigentliche Integrale Arbeit im Gravitationsfeld Übungsaufgaben Taylorreihe und Potenzreihen Vorbemerkung Entwicklung einer Funktion in eine Taylorreihe Gültigkeitsbereich der Taylorentwicklung (Konvergenzbereich) Das Näherungspolynom Abschätzung des Fehlers Allgemeine Taylorreihenentwicklung Nutzen der Taylorreihenentwicklung Polynome als Näherungsfunktionen Tabelle gebräuchlicher Näherungspolynome Integration über Potenzreihenentwicklung Übungsaufgaben

6 8 Komplexe Zahlen Definition und Eigenschaften der komplexen Zahlen Die imaginäre Zahl Komplexe Zahlen Anwendungsgebiete Rechenregeln für komplexe Zahlen Komplexe Zahlen in der Gauß'schen Zahlenebene Die Gauß'sche Zahlenebene Komplexe Zahlen in der Schreibweise mit Winkelfunktionen Die Exponentialform einer komplexen Zahl Eulersche Formel Umkehrformeln zur Eulerschen Formel Komplexe Zahlen als Exponenten Multiplikation und Division komplexer Zahlen Potenzieren und Wurzelziehen komplexer Zahlen Periodizität von r e,a Übungsaufgaben Differentialgleichungen Begriff der Differentialgleichung, Einteilung der Differentialgleichungen Begriff der Differentialgleichung, Separation der Variablen Einteilung der Differentialgleichungen Die allgemeine Lösung der linearen Differentialgleichung 1. und 2. Ordnung Lösung homogener linearer Differentialgleichungen, der Exponentialansatz Allgemeine Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Variation der Konstanten Variation der Konstanten für den Fall einer Doppelwurzel Bestimmung einer speziellen Lösung der inhomogenen Differentialgleichung Randwertprobleme Randwertprobleme bei Differentialgleichungen 1. Ordnung 221 9

7 10 Inhaltsverzeichnis Randwertprobleme bei Differentialgleichungen 2. Ordnung Anwendungen Der radioaktive Zerfall Der harmonische ungedämpfte Oszillator Übungsaufgaben '" Wahrscheinlichkeitsrechnung Einleitung Wahrscheinlichkeitsbegriff Ereignis, Ergebnis, Zufallsexperiment Die "klassische" Definition der Wahrscheinlichkeit Die "statistische" Definition der Wahrscheinlichkeit Allgemeine Eigenschaften der Wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeit für Verbundereignisse Abzählmethoden Permutationen Kombinationen Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeitsverteilungen Diskrete und kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen Mittelwert Binomialverteilung und Normalverteilung Eigenschaften der Normalverteilung Herleitung der Binomialverteilung Anhang A Übungsaufgaben Fehlerrechnung Aufgabe der Fehlerrechnung Mittelwert und Varianz Mittelwert.. 271

8 Varianz Mittelwert und Varianz in Stichprobe und Grundgesamtheit Fehler des Mittelwerts Mittelwert und Varianz bei kontinuierlichen Verteilungen Normalverteilung Verteilung von Zufallsfehlern Vertrauensintervall oder Konfidenzintervall Gewogenes Mittel Fehlerfortpftanzungsgesetz Regressionsgerade, Korrelation Regressionsgerade, Ausgleichskurve Korrelation und Korrelationskoeffizient Übungsaufgaben 288 Anhang 292 Grundbegriffe der Mengenlehre 292 Funktionsbegriff Quadratische Gleichungen 295 Der Computer als Hilfsmittel bei mathematischen Aufgaben. 296 Literatur 298 Sachwortverzeichnis 299

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