6 Numerische Integration (Quadratur)

Transkript

1 6 Numerisce Integrtion (Qudrtur) In diesem Kpitel get es um die pproximtive Berecnung des Wertes eines bestimmten Integrls Anwendungen sind zb die Berecnung von Oberfläcen, Volumin, Wrsceinlickeiten, ber etw uc die Metode der finiten Elemente zur numeriscen Lösung von prtiellen Differentilgleicungen Gegeben seien die Funktion f(x) und ds Intervll [,b] Gesuct ist ds Integrl b f(x) dx (61) y f(x) I b x 61 Die Trpezmetode Idee: Approximtion des Integrlwertes I durc den Trpezwert Stelle der Funktion f ds Interpoltionspolynom vom Grd 1: Ĩ, d integriere n := b, Ĩ = T := (f() + f(b)) y y = f(x) f() Ĩ f(b) b x 61

2 61 Die Trpezmetode Verfeinerung: := b n ; x j := + j, f j = f(x j ), j = 0,1,,n n : Anzl Teilintervlle, : Scrittlänge y y = f(x) f 0 f 1 f f n f n x 0 = x 1 x x n x n = b x Trpeznäerung: T := [f 0 + f 1 ] + [f 1 + f ] + + [f n + f n ] [ 1 Ĩ = T() = f 0 + f f n + 1 ] f n Es gilt: Flls f (x) M für x [,b], dnn ist I T() M 8 (b ) Dies ist lso ein Verfren der Ordnung Prktisce Durcfürung mit fortgesetzter Scrittlbierung: 0 := b, 1 := 0, := 1, Berecne sukzessive T 0 := T( 0 ), T 1 := T( 1 ), 6

3 61 Die Trpezmetode Effiziente Berecnung von T 0,T 1,T,, d one die Funktion f n einer Stelle mermls uszuwerten: s 0 = 1 f() + 1 f(b) T 0 = 0 s 0 s 1 = s 0 + f( + 1 ) T 1 = 1 s 1 s = s 1 + f( + ) + f( + ) T = s s = s + f( + ) + f( + ) + f( + 5 ) + f( + 7 ) T = s Algoritmus: (Trpezmetode), b, 0 := b s 0 = 1 (f() + f(b)), t 0 = s 0 0, N 0 = 1; TOL Für n = 0,1,, n+1 = n, N n s n+1 = s n + f( + (j 1) n+1 ), j=1 T n+1 = n+1 s n+1, N n+1 = N n Abbruckriterium: T n+1 T n T n+1 TOL + TOL Beispiel: 0 xe x (x + 1) dx = e = T 0 = 09785, T 1 = 05084, T = T = 05876, T 4 = 05907, T 5 = T 6 = 05914, T 7 = 05919, Die Konvergenz ist liner und dmit im Allgemeinen rect lngsm 6

4 6 Die Simpson sce Formel 6 Die Simpson sce Formel y B C A y = f(x) f f c f b c = +b b x Grundidee: Lege durc A, B, C eine Prbel und integriere diese (Interpoltionspolynom vom Grd ) Sei P (x) ds Interpoltionspolynom, dnn gilt: P () = f, P (b) = f b, P (c) = f c Mit der Substitution x = + (t + 1), dx = dt; := b erlten wir, S := b P (x) dx = P ( + (t + 1)) dt }{{} =:Q (t) Wir mcen den folgenden Anstz für Q (t): Q (t) = αt + βt + γ Wir wissen, dss folgendes gilt: Q () = α β + γ P () = f, Q (0) = γ, Q (1) = P (c) = f c α + β + γ P (b) = f b 64

5 6 Die Simpson sce Formel Drus scliessen wir, dss α β + γ = f γ = f c α + β + γ = f b gelten muss Drus folgt bzw α = (f b f c + f )/ β = (f b f )/ γ = f c Q (t) = α = α t t dt + β 1 + βt 1 + γt 1 t t dt + γ 1 dt = α + γ Dmit erlten wir für den sogennnten Simpsonwert S: S = (α + 6γ) = (f b f c + f + 6f c ) Verfeinerung: = (f + 4f c + f b ) := b n, x j := + j, j = 0,1,,n, f j := f(x j ) Simpson-Näerung: S() := [f 0 + 4f 1 + f ] + [f + 4f + f 4 ] + + [f n + 4f n + f n ] Ĩ = S() = [f 0 + 4f 1 + f + 4f + f f n + 4f n + f n ] Es gilt: Flls: f (4) (x) M für x [,b], dnn ist I S() M 180 (b )4 Dies ist lso ein Verfren der Ordnung 4 Prktisce Durcfürung mit fortgesetzter Scrittlbierung: 0 := b, 1 := 0, := 1, Berecne sukzessive S 1 = S( 1 ), S = S( ), 65

6 6 Ds Romberg-Verfren Algoritmus: (Simpson-Metode), b, 0 = b ; TOL Berecne die Trpeznäerungen mit der Trpez-Metode und bilde T 0 = T( 0 ), T 1 = T( 1 ), T = T( ), S 1 = 4T 1 T 0 Abbruckriterium:, S = 4T T 1 S n+1 S n S n+1 TOL + TOL, S = 4T T, Begründung für S j+1 = (4T j T j )/: T 1 = T( ) = [ 1 f 0 + f f ] 1 T = T( ) = [ 1 f 0 + f 01 + f 1 + f f ] 4 S = S( ) = [f 0 + 4f 01 + f 1 + 4f 1 + f ] Beispiel: 0 xe x dx = (x + 1) S 1 = , S = 05899, S = 05910, S 4 = , 6 Ds Romberg-Verfren Für die Trpeznäerungen T() gilt folgende symptotisce Entwicklung: T() = I + c 1 + c 4 + c 6 + (6) 66

7 6 Ds Romberg-Verfren Bemerkungen: Asymptotisce Entwicklung eisst: Zu jedem j N existiert eine Konstnte K j > 0, so dss gilt: T() [I + c c j j ] K j j für > 0 genügend klein f(x) ist ier ls beliebig oft differenzierbr vorusgesetzt Idee: Benutze die Existenz einer symptotiscen Entwicklung der Form (6) für die T() zur Elimintion der unbeknnten Felerterme und so zur Konstruktion von Verfren öerer Ordnung (entsprict der sukzessiven Eröung des Grdes des Interpoltionspolynoms): Drus folgt T() = I + c 1 + c T( ) = I c c T( ) T() = I + ( 4) c 4 + 4T ( ) T() = I 1 4 c 4 + O( 6 ) Wir definieren S ( ) 4T ( := ) T() = T ( ) 4 T() 1 4 S ( ) ist lso ein Verfren der Ordnung 4 und stellt gerde die Simpson-Metode dr Auf die gleice Weise lässt sic uc der 4 -Term eliminieren us S ( ) und S ( 4), usw: S( ) = I 1 4 c S( 4 ) = I c S( 4 ) S( ) = 15 I + O(6 ) Allgemein lässt sic dieses Vorgeen in Form des Rombergscems relisieren Sei 0 := b, 1 := 0, := 1,, und bezeicne T j := T( j ) die Trpeznäerung zur Scrittlänge j Wir bilden ds Scem (zeilenweiser Aufbu): 67

8 6 Ds Romberg-Verfren Feler: O( ) O( 4 ) O( 6 ) 4 R 0,0 R 1,0 R,0 R 1,1 R,1 R, nc den Regeln: R j,0 := T j, j = 0, 1, R j,k := R j,k 4 k R j,k 1 4 k, k = 1,,,j j = 1,, Es gilt: Flls in (6) lle c k 0 sind, dnn konvergiert jede Splte des Rombergscems gegen I, und zwr scneller ls die vorergeende Zudem konvergiert (unter einer zusätzlicen ntürlicen Vorussetzung über die K j ) jede Digonle scneller ls jede Splte Bemerkungen: Mn wird lso für eine vorgegebene Tolernz T OL ds Scem bbrecen, flls gilt, dss R j,j R j,j R j,j TOL + TOL, und R j,j ls Approximtion für I nemen Flls f(x) nict beliebig oft differenzierbr ist, drf mn ds Scem nict beliebig weit fortsetzen In diesem Fll würde ds Scem nict konvergieren Auc der in jeder Splte des Scems sukzessiv öere Grd des Interpoltionspolynoms (bei gleicbständigen Stützstellen) verbietet ein zu grosses Scem In der Prxis muss mn der uc eine obere Scrnke für die Anzl Elimintionsscritte vorgeben Ds Rombergverfren ist einfc durczufüren, benötigt ber ziemlic viele Funktionsuswertungen 68

9 64 Guss sce Qudrturformeln Beispiel: 09 0 xe x (x + 1) dx = e = T( j ), j = 0, 1, S( j ), j = 1,, Bemerkung: Mit fünf Funktionsuswertungen (Trpezwerten) mit mximl drei rictigen Ziffern erält mn durc die (billige) Romberg-Elimintion eine Approximtion mit ct rictigen Ziffern 64 Guss sce Qudrturformeln Eine llgemeine Formel zur Approximtion des Integrlwertes I (61) (Qudrturformel) ist von der Form: Q n = n w j f j (n-punkt-qudrturformel), j=1 wobei die folgenden Bezeicnungen verwendet werden: Einteilung von [,b]: = x 1 < x < < x n = b Funktionswerte: f 1 = f(x 1 ),, f n = f(x n ) Gewicte: w 1,, w n Bei den biser betrcteten Qudrturformeln sind wir von vorgegeben x j usgegngen und ben die zugeörigen w j bestimmt, so dss Q n = I Im folgenden wollen wir sowol die x j ls uc die w j so wälen, dss die resultierende Qudrturformel Q n mximlen Genuigkeitsgrd besitzt Wir betrcten one Einscränkung der Allgemeineit ds Intervll [,1], d f(x) dx Begründung: Durc die Substitution t = b x + + b 69

10 64 Guss sce Qudrturformeln get ds Integrl über in b b g(t) dt ( b g x + + b ) dx, ist lso mit f(x) := b g(b x + +b ) von obiger Form Eine Qudrturformel knn beurteilt werden nc dem Grd der Polynome, die sie exkt integriert Trpezmetode: T = Q = f() + f(1) f(x) = 0 x + 1 : f(x) dx = 1 D T = 1 ist, folgt drus, dss die Trpezmetode mindestens Polynome ersten Grdes exkt integriert Simpson-Metode: S = Q = 1 [f() + 4f(0) + f(1)] f(x) = 0 x + 1 x + x + : f(x) dx = 1 + D S = 1 + ist, folgt drus, dss die Simpson-Metode mindestens kubisce Polynome exkt integriert Es gilt: Der Genuigkeitsgrd einer Qudrturformel Q n ist öcstens (n 1) Es existiert genu eine Qudrturformel Q n mit x j [,1], welce den mximlen Genuigkeitsgrd (n 1) besitzt Die x j sind die Nullstellen des n-ten Legendre-Polynoms P n (x) und die Gewicte sind gegeben durc: w j = n ( ) x xk dx > 0, j = 1,,,n k=1 k j x j x k Die Legendre-Polynome erfüllen die Rekursionsformel P 0 (x) = 1, P 1 (x) = x, P k+1 (x) = k + 1 k + 1 xp k(x) k k + 1 P k(x), k Diese Integrtionsmetoden mit mximlem Genuigkeitsgrd eissen Guss- Qudrturformeln 70

11 64 Guss sce Qudrturformeln Bemerkungen: Die Gusspunkte x j und die Gewicte w j können ntürlic für jedes n ein für lleml berecnet werden (genügend genu!) Die us Tbellen entnommenen Werte können dnn ls Dten in einem Progrmm vorgegeben werden (Es gibt ber uc eine einfce Metode, um die x j und w j numerisc zu erzeugen) Die von null versciedenen Stützstellen x j liegen prweise symmetrisc zum Nullpunkt Die Gewicte sind für diese Pre gleic Deslb muss mn nur die nict negtiven x j mit den zugeörigen w j ngeben Flls der Integrnd f(x) n beliebigen Stellen verfügbr ist, sind die Guss- Qudrturformeln im llgemeinen viel effizienter ls beispielsweise ds Romberg- Verfren Beispiel: 0 te t (t + 1) dt = e = Die Substitution: t = 1 x + 1 = 1 (x + 1) ergibt (x + 1)e (x+1)/ (x + ) dx Guss-Qudrturformel mit n Punkten: n = : , n = : , n = 4 : , n = 5 : , n = 6 : , n = 7 : Bemerkungen: Für gleicviele Stellen wie n = 6 bruct mn mit dem Rombergverfren 17 Funktionsuswertungen (5 Elemente in der ersten Splte) plus 4 Elimintionsscritte Allerdings muss mn bei der Guss-Qudrtur für die Felerscätzung den Aufwnd ziemlic vergrössern Der Wert der Guss-Qudrturformel mit n Knoten x j entsprict dem Integrl von bis 1 über ds Integrtionspolynom P n (x) durc die Stützpunkte (x j,f(x j )) Ein oer Polynomgrd ist jedoc kein Problem, d nict gleicbständige Stützstellen benutzt werden 71