Formelsammlung zu Investition und Finanzierung, Wertpapieranalyse und Investments 1: Aktien. Jan Henning

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1 Formelsammlung zu Investition und Finanzierung, Wertpapieranalyse und Investments 1: Aktien Jan Henning 21. Juli 2003

2 Vorwort Diese Mitschrift soll beim Lernen helfen, sie basiert jedoch auf meinen persönlichen Aufzeichnungen aus der Vorlesung (und auf dem Skript) und ist sicherlich weder fehlerfrei noch von Professor Reichling authorisiert. Wer inhaltliche Fehler findet, möge sie mir mitteilen. Gleiches gilt, falls ich irgendein Copyright verletzen sollte. Besonderer Dank gilt Timo Moeller, der mir freundlicherweise seine Mitschrift 1 zu Investments zur Verfügung gestellt hat. 1 online verfügbar unter i

3 Inhaltsverzeichnis Vorwort Inhaltsverzeichnis i ii 1 Grundlagen Diskrete und stetige Rendite Kapitalwert und Annuität Methode des Internen Zinsfußes Anleihen Termin- und Kassazinssätze Anleihepreise Duration Aktien Portfolioselektion CAPM Downside-Risiko Performance-Messung Optionen 12 5 Finanzierung Beteiligungsfinanzierung Leverage-Effekt Bilanzkennzahlen ii

4 Kapitel 1 Grundlagen 1.1 Diskrete und stetige Rendite Je nach Anwendung wird zwischen diskret und kontinuierlich berechneter (stetige) Rendite unterschieden: P 1 = P 0 (1 + r d ) P 1 = P 0 e rs 1 + r d = e rs r d = e rs 1 r d = P 1 P 0 P 0 r s = ln P 1 P 0 = ln P 1 ln P 0 R o d = T PT P 0 1 (ökonomische Rendite) 1.2 Kapitalwert und Annuität Kapitalwert T KW = CF t DF t = t=0 T t=0 CF t (1 + r) t Kapitalwertfunktion T KW (r) = CF t DF t (r) = t=0 T t=0 CF t (1 + r) t 1

5 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 2 Annuitätenmethode Mit den Bezeichnungen AN Annuität und q t DF t = (1 + r) t gilt: KW = t AN q t. t=1 = KW AN = q 1 + q q T = q KW AN = 1 + q 1 + q q (T 1). Die Subtraktion der letzten beiden Gleichungen ergibt: q KW AN KW AN = 1 q T. Löst man diese Gleichung nach dem Kapitalwert KW auf, so erhält man folgende Darstellung: Dabei wird der Faktor KW = AN 1 q T q 1 = AN qt 1 q T r. RBF (r, T ) qt 1 q T r als Rentenbarwertfaktor bezeichnet. Der dazu reziproke Faktor AF (r, T ) qt r q T 1 wird als Annuitätenfaktor bezeichnet. Mit seiner Hilfe läßt sich in bequemer Weise die Annuität aus dem Kapitalwert bestimmen: AN = KW 1.3 Methode des Internen Zinsfußes q T r q T = KW AF (r, T ). 1 Der Interne Zinsfuß (IZF) einer Investition ist derjenige Zinsfuß r, bei dessen Verwendung als Kapitalisierungszinsfuß der Kapitalwert dieser Investition Null ist: KW (r ) = T t=0 CF t (1 + r ) t = 0. Die Bestimmung von r ist problematisch, da die Nullstelle des Polynoms KW(r) (es kann bis zu T reelle oder komplexe Nullstellen aufweisen) im allgemeinen nur iterativ (z.b. mittels der Regula Falsi oder Varianten des Newton-Verfahrens) bestimmt werden kann. In zwei speziellen Fällen kann der Interne Zinsfuß jedoch recht einfach bestimmt werden:

6 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN 3 Ewige Rente: Wird dieser Rentenanspruch zum Preis von A 0 erworben, dann muß gelten. Hieraus folgt: KW (r ) = AN r A 0 = 0 r = AN A 0. Zu pari emittierte Kuponanleihe: Bezeichnet man mit N den Nennwert, mit K den Kupon und mit T die Laufzeit der Anleihe, so muss KW (r ) = N + gelten. Daraus ergibt sich folgender Interner Zinsfuß: K AF (r ) + N (1 + r ) T = 0 r = K N.

7 Kapitel 2 Anleihen 2.1 Termin- und Kassazinssätze Bei gegebener Kassazinsstruktur sind implizit auch Zinssätze für in der Zukunft beginnende Anlagezeiträume festgelegt. Hier spricht man daher von Terminzinssätzen. Entsprechend handelt es sich um Preise für die Kapitalüberlassung zu einem zukünftigen Zeitpunkt. Notation: r t (T ) Kassazinssatz p.a. (spot rate) einer insolvenzrisikofreien Finanzanlage mit Restlaufzeit T zum Zeitpunkt t; dieser entspricht der Verfallrendite einer Nullkuponanleihe mit Restlaufzeit T f t (T ) zum Zeitpunkt t bekannter Terminzinssatz p.a. (forward rate) für eine einperiodige, im Zeitpunkt T beginnende, insolvenzrisikofreie Finanzanlage zur Vereinfachung: r(t ) r 0 (T ) und f(t ) f 0 (T ) 2.2 Anleihepreise f(t 1) = Bewertungsformeln bei flacher Zinsstruktur (1 + r(t)) t 1, t = 1, 2, 3... (1 + r(t 1)) t 1 Allgemeiner Fall: KW = Nullkuponanleihe: KW = T t=1 K (1 + r) t + N (1 + r) T N (1 + r) T Ewige Rente: KW = K r Rente: KW = K (1 + r)t 1 (1 + r) T r 4

8 KAPITEL 2. ANLEIHEN 5 Bewertungsformeln bei nichtflacher Zinsstruktur Allgemeiner Fall: KW = Nullkuponanleihe: KW = T t=1 K (1 + r(t)) t + N (1 + r(t )) T N (1 + r(t )) T 2.3 Duration D = T t=1 t KW (Z t ) KW KW 1 KW 1 + r D r D mod = r D KW KW D mod r KW KW D mod r

9 Kapitel 3 Aktien 3.1 Portfolioselektion In der Portfolioselektion wird die diskrete Berechnung von Renditen vorausgesetzt! Rendite und Risiko einzelner Wertpapiere Erwartungswert Für den Erwartungswert gilt: n E(R A ) µ A p(r A,j ) r A,j. j=1 E(a) = a; E(a R A ) = a E(R A ); E(a + b R A ) = a + b E(R A ). Varianz V ar(r A ) σ 2 A E((R A µ A ) 2 ) = E(R 2 A 2 R A µ A + µ 2 A) = E(R 2 A µ 2 A). Es gilt: V ar(a R A ) = a 2 V ar(r A ). Standardabweichung Std(R A ) σ A = V ar(r A ). Es gilt: Std(a R A ) = a Std(R A ). 6

10 KAPITEL 3. AKTIEN 7 Kovarianz Cov(R A, R B ) σ A,B E((R A µ a ) (R B µ B )) = E(R A R B ) µ A µ B. Es gilt: Cov(a R A, b R B ) = a b Cov(R A, R B ). Korrelationskoeffizient Corr(R A, R B ) ρ A,B Für den Korrelationskoeffizienten gilt stets: 1 ρ A,B 1. Cov(R A, R B ) Std(R A ) Std(R B ) Rendite und Risiko von Wertpapiermischungen (Portfolios) Portfoliorendite Betrachtet wird ein aus den Wertpapieren A und B bestehendes Portfolio mit den wertmäßigen Anteilen x A bzw. x B mit x A + x B = 1. Falls x A und x B nur nichtnegative Werte annehmen dürfen, dann entspricht dies einem Leerverkaufsverbot. Für den Erwartungswert der Portfoliorendite R P gilt: E(R P ) = E(x A R A + x B R B ) = xa µ A + x B µ B = x A µ A + (1 x A ) µ B. Für die Varianz der Portfoliorendite gilt: V ar(r P ) = E(((x A R A + x B R B ) E(x A R A + x B R B )) 2 ) = x 2 A E((R A µ A ) 2 ) + x 2 B E((R B µ B ) 2 ) +2 x A x B E((R A µ A ) (R B µ B )) } {{ } Cov(R A,R B ) = x 2 A σ 2 A + x 2 B σ 2 B + 2 x A x B Cov(R A, R B ). = x 2 A σ 2 A + x 2 B σ 2 B + 2 x A x B σ A σ B ρ A,B

11 KAPITEL 3. AKTIEN 8 Minimum-Varianz-Portfolio (MVP) x MV P A = σ 2 B σ A σ B ρ A,B σ 2 A + σ2 B 2 σ A σ B ρ A,B x MV P A Ein Minimum-Varianz-Portfolio verletzt dann nicht das Leerverkaufsverbot (d.h. es gilt, x MV B P 0), falls wegen (3.1) ρ A,B σ2 B σ A σ B = σ B σ A bzw. ρ A,B σ2 A σ A σ B = σ A σ B, also folgende Bedingung für den Korrelationskoeffizienten gilt: { σa ρ A,B min, σ } B. σ B σ A Marktmodell Systematisches und unsystematisches Risiko R A = E(R A ) + β A (R M E(R M )) + ɛ A mit β A = Cov(R A, R M ) V ar(r M ) Gesamtrisiko = Systematisches + Unsystematisches Risiko Risiko (nicht diversifizierbar) (diversifizierbar) V ar(r A ) = βa 2 V ar(r M) + V ar(ɛ A ) mit: β A = Cov(R M, R A ) σm Capital Asset Pricing Model (CAPM) Die Wertpapierkennlinie E(R i ) = r f + (E(R M ) r f )β i mit β Cov(R i, R M ) V ar(r M ) = σ i,m σ 2 M Zero-Beta-Version des CAPM Die Kapitalmarktlinie E(R j ) = E(R Z ) + β j (E(R M ) E(R Z )) E(R P ) = r f + E(R M) r f σ M σ P

12 KAPITEL 3. AKTIEN Downside-Risiko Stochastische Dominanz Stochastische Dominanz 1. Ordnung Gilt für zwei Verteilungsfunktionen F und G u(x) = a + bx + cx 2 E(u(x)) = a + b E(x) + c E(x 2 ) } {{ } var(x)+e 2 (x) F (R) G(R) R so dominiert G die Verteilung stochastisch 1. Ordnung. Die Entscheidung über Investitionsalternativen nach dieser Regel ist kompatibel mit dem Bernoulli-Prinzip, falls u {u u (R) > 0}. Die Verteilung G dominiert die Verteilung F stochastisch erster Ordnung (G SSD F (First (Degree s) Stochastic Dominance)) genau dann, wenn R 0 f(x)dx R 0 g(x)dx für alle R gilt und diese Ungleichung für mindestens ein R strikt erfüllt ist. Schnittpunkt Stochastische Dominanz 2. Ordnung Die Verteilung G dominiert die Verteilung F stochastisch zweiter Ordnung (G SSD F (Second Stochastic Dominance)) genau dann, wenn R 0 F (x)dx R 0 G(x)dx für alle R gilt und diese Ungleichung für mindestens ein R strikt erfüllt ist. neuerlicher Schnittpunkt Stochastische Dominanz 3. Ordnung Die Verteilung G dominiert die Verteilung F stochastisch dritter Ordnung (G SSD F (Third Stochastic Dominance)) genau dann, wenn R 0 y F (x)dxdy R 0 y G(x)dxdy für alle R gilt und diese Ungleichung für mindestens ein R strikt erfüllt ist.

13 KAPITEL 3. AKTIEN 10 Klassen von Nutzenfunktionen Satz: U 1 { u(r) u (R) > 0 R } Gier U 2 { u(r) u (R) > 0 u (R) < 0 R } Risikoaversion U 3 { u(r) u (R) > 0 u (R) < 0 u (R) > 0 R } Vorsicht abnehmende absolute Risikoaversion 1) u(r) U 1 : 2) u(r) U 2 : F F SD G F G F SSD G F G 3) u(r) U 3 : F T SD G und E(R F ) E(R G ) F G Dabei kennzeichnet Präferenz nach dem Bernoulli-Prinzip. Lower Partial Moments n=0 n=1 n=2 τ τ τ df (x) LP M n (τ) τ (τ x) n df (x) Ausfallwahrscheinlichkeit ( Value-at-Risk) (τ x)df (x) Ausfallerwartung (τ x) 2 df (x) Ausfallvarianz 3.4 Performance-Messung Jensens Alpha LP M(τ) = τ (τ x) n df (x) } {{ } F (x)dx (F/S/T )SD LP M 1/2/3 τ α i = E(R i ) r f β i (E(R M ) r f ) mit r it = α i + β i r Mt + ɛ it und E(R i ) r f = α i + β i (E(R M ) r f )

14 KAPITEL 3. AKTIEN 11 Treynor-Index E(R i ) r f β i? E(R M ) r f Sharpe-Index E(R i ) r f σ i? E(R M) r f σ M

15 Kapitel 4 Optionen Zur Darstellung der Wertgrenzen wird die folgende Notation verwendet: S(S t ): aktueller Preis (Preis im Zeitpunkt t) des Basisinstruments; K: Basispreis bzw. Ausübungspreis; er soll sinnvollerweise nichtnegativ sein: K 0; T : Restlaufzeit der Option; C(C e ): aktueller Preis eines Calls mit Basispreis K und Fälligkeit T vom amerikanischen (europäischen) Typ auf den Basiswert; P (P e ): aktueller Preis eines Puts mit Basispreis K und Fälligkeit T vom amerikanischen (europäischen) Typ auf den Basiswert; B t (T ): Preis einer Nullkuponanleihe (NKA) mit Fälligkeit T z im Zeitpunkt t; unter der Annahme einer im Zeitablauf konstanten, flachen Zinsstrukturkurve mit kontinuierlichem Zinssatz r 0 besitzt dieser Preis auch die Darstellung B t (T ) = e r(t t) ; im Fälligkeitszeitpunkt t = T soll dieser Preis dem Nennwert von 1 EUR entsprechen: B T (T ) = 1; für t < T soll B t (T ) 1 gelten Triviale Wertgrenzen C e C S P e P K C t, Ct e 0 P t, Pt e 0 C t = max{ct e, S T K} P t = max{pt e, K S T } C t (T 1 ) > C t (T 2 ) und P t (T 1 ) > P t (T 2 ) mit T 1 > T 2 C t (K 1 ) < C t (K 2 ) und P t (K 1 ) > P t (K 2 ) mit K 1 > K 2 am Verfalltag: C T = CT e = max{0, S T K} P T = PT e = max{0, K S T } 12

16 KAPITEL 4. OPTIONEN 13 Europäische Wertuntergrenze C e max{0, S KB(T )} P e max{kb(t ) S, 0} Vorzeitige Ausübung S K < S KB(T ) C e C Put-Call-Parität P e = C e S + KB(T ) P C S + KB(T ) C S + KB(T ) P C S + K

17 Kapitel 5 Finanzierung 5.1 Beteiligungsfinanzierung Der rechnerische Wert des Bezugsrechts bei einer ordentlichen Kapitalerhöhung B = Bezugsrecht K a = Kurs der alten Aktien = Börsenkurs K n = Kurs der neuen Aktien = Bezugskurs K = Mischkurs a = Zahl der alten Aktien n = Zahl der neuen Aktien a : n = Bezugsverhältnis B = K a K B = K a a K a + n K n a + n Nach Umformung dieser Ausgangsgleichung erhält man: 5.2 Leverage-Effekt B = K a + K n a n + 1 Eigenkapitalrendite r E r G GK r F F K EK Eigenkapitalrendite als Funktion des Verschuldungsgrades F K/EK r E = r G + (r G r F ) F K EK 14

18 KAPITEL 5. FINANZIERUNG 15 Die erwartete Eigenkapitalrendite und die Varianz der Eigenkapitalrendite in Abhängigkeit von dem Verschuldungsgrad 5.3 Bilanzkennzahlen Vertikale Kapitalstrukturregeln E(r E ) = E(r G ) + (E(r G ) r F ) F K EK ( V ar(r E ) = V ar(r G ) 1 + F K ) 2 EK Eigenkapitalquote = Eigenkapital Gesamtkapital Fremdkapitalquote = Fremdkapital Gesamtkapital Eigenkapitalkoeffizient = Eigenkapital Fremdkapital Verschuldungsgrad = Eigenkapital Gesamtkapital Horizontale Kapital- und Vermögensstrukturregeln Anlagendeckung A = Eigenkapital Anlagevermögen Anlagendeckung B = Eigenkapital + langfr. Fremdkapital Anlagevermögen Anlagendeckung C = Eigenkapital + langfr. Fremdkapital Anlagevermögen + langfr. gebundenes Umlaufvermögen Working Capital = (kurzfristiges) Umlaufvermögen - (kurzfristiges) Fremdkapital Liquiditätskennzahlen Liquidität 1. Grades = Liquidität 2. Grades = Liquidität 3. Grades = Zahlungsmittel kurzfristige Verbindlichkeiten Zahlungsmittel + kurzfristige Forderungen kurzfristige Verbindlichkeiten Umlaufvermögen kurzfristige Verbindlichkeiten

19 KAPITEL 5. FINANZIERUNG 16 Kennzahlen zur Finanzlage und Rentabilität Eigenkapitalrentabilität = Jahresüberschuß/-fehlbetrag Eigenkapital Gesamtkapitalrentabilität = Jahresüberschuß/-fehlbetrag + Fremdkapitalzinsen Gesamtkapital Umsatzrentabilität = Jahresüberschuß (vor Steuern) Umsatz Return on Investment = Umsatzrentabilität Kapitalumschlag = Gewinn eingesetztes Kapital Cash-flow orientierte Kennzahlen Am häufisten wird die vereinfachte indirekte Methode verwendet! Direkte Methode: Cash-flow = einzahlungswirksamer Ertrag - auszahlungswirksamer Aufwand Indirekte Methode: Cash-flow = Jahresüberschuß + auszahlungslose Aufwendungen - einzahlungslose Erträge Vereinfachte Indirekte Methode: Cash-flow = Jahresüberschuß + Abschreibungen - Rückstellungen Cash-flow je Aktie = Cash-flow Aktiennennbetrag Gezeichnetes Kapital Cash-flow-RoI = Cash-flow Gesamtkapital Dynamischer Verschuldungsgrad = Effektivverschuldung Cash-flow