Karteikarten, Analysis 2, Sätze und Definitionen nach der Vorlesung von PD Hanke

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1 Karteikarten, Analysis 2, Sätze und en nach der Vorlesung von PD Hanke Felix Müller, Diese Karteikärtchen sollten alle en und Sätze der Vorlesung Analysis 2 bei Herrn PD Hanke enthalten. Falls ihr Fehler finden solltet, dann wäre es nett, wenn ihr mit ein kurzes Mail mit dem Fehler schickt. Viel Spaß beim Lernen! 1

2 NICHT VERGESSEN: DUPLEX-DRUCKMODUS + SEITEANPASSUNG UNTER DATEI - DRUCKEN - KEINE WÄHLEN!!

3 punktweise Folgenkonvergenz gleichmäßige Folgenkonvergenz Satz 21.1 Folge stetiger Funktionen, die gleichmäßig gegen eine Funktion konvergiert für Stetigkeit gilt... Supremumsnorm Satz 21.2 gleichmäßige Folgenkonvergenz mit der Supremumsnorm Konvergenzkriterium von Weierstraß Satz 21.3 Konvergenz einer Potenzreihe Konvergenzradius der Potenzreihe Satz 21.4 Satz 21.5 Integration und Limesbildung Funktionenfolge konvergiert gleichmäßig gegen Funktion lim Differentation und Limesbildung Funtionenfolge konvergiert gleichmäßig gegen Funktion; Folge der Ableitungen konvergiert gleichmäßig lim

4 Sei K eine Menge & f n : K C, n N, Funktionen. Die Folge (f n ) konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion f : K C, falls ε > N = N(ε) : f n (x) f(x) < ε x K und n N Sei K eine Menge & f n : K C, n N, Funktionen. Die Folge (f n ) konvergiert punktweise gegen eine Funktion f : K C, falls x K und ε > N = N(x, ε) : f n (x) f(x) < ε n N Bemerkung:Konvergiert eine Funktionenfolge gleichmäßig, so konvergiert sie auch punktweise Sei K eine Menge und f : K C eine Funktion. Dann setzt man f K := sup{ f(x) : x K} Sei K C und f n : K C, n N eine Folge stetiger Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion f : K C konvergiere. Dann ist auch f stetig Bemerkung: Es gilt f K R + { }. Die Funktion f ist beschränkt f K <, d.h. f K R +. Sind Missverständnisse ausgeschlossen, schreibt man oft kurz f statt f K anders ausgedrückt: Der Limes einer gleichmäßig konvergenten Folge stetiger Funktionen ist wieder stetig. Seien f n : K C, n N, Funktionen. Es gelte f n K <. Dann konvergiert die Reihe f n absolut und gleichmäßig auf K gegen eine Funktion F : K C. Eine Folge f n : K C, n N von Funktionen konvergiert genau dann gleichmäßig auf K gegen f : K C, wenn lim n f n f K = Sei f(z) = c n(z a) n eine Potenzreihe. Dann heißt R := sup{ z a : c n (z a) n konvergiert} Konvergenzradius der Potenzreihe Sei (c n) n N eine Folge komplexer Zahlen, a C. Die Potenzreihe f(z) = c n(z a) n konvergiere für ein z 1 C, z 1 a. Sei r eine reelle Zahl mit < r < z 1 a und K(a, r) := {z C : z a r}. Dann konvergiert die Potenzreihe absolut und gleichmäßig auf K(a, r). Die formal differenzierte Potenzreihe g(z) = nc n(z a) n 1 n=1 konvergiert ebenfalls absolut und gleichmäßig auf K(a, r). Seien f n : [a, b] R stetig differenzierbare Funktionen (n N), die punktweise gegen die Funtkion f : [a, b] R konvergieren. Die Folge der Ableitungen f n : [a, b] R konvergiere gleichmäßig. Dann ist f differenzierbar und es gilt f (x) = lim n f n(x) x [a, b]. Sei f n : [a, b] R, n N eine Folge stetiger Funktionen. Die Folge konvergiere auf [a, b] gleichmäßig gegen die Funktion f : [a, b] R. Dann gilt b a f(x)dx = lim n b a f n (x)dx. Bemerkung: Dieser Satz besagt, dass man bei gleichmäßiger Konvergenz Integration und Limesbildung vertauschen darf.

5 Corollar 21.1 Corollar 21.2 Corollar zu Satz 21.5 Differentation und Limesbildung Corollar zu Satz 21.5 Differentation und Limesbildung Satz 22.1 Corollar zu Satz 21.1 Taylorsche Formel Corollar zur Taylorschen Formel Satz 21.2 Corollar zu Satz 21.2 Lagrange Form des Restglieds Corollar zum Langrangschen Restglied Satz 22.3 Taylorreihe von f mit Entwicklungspunkt von a Zusammenhang Taylor-Reihe Potenzreihe Satz 22.4 Potenzreihen exp, sin, cos Logarithmus-Reihe

6 Die Potenzreihe f(x) = c n (x a) n konvergiere im Intervall I :=]a r, a + r[, (r > ). Dann ist f : I R beliebig oft differenzierbar und es gilt c n = 1 n! f (n) (a) n N. Sei f(x) = c n(x a) n eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius r >, (c n, a R). Dann gilt x ]a r, a + r[ f (x) = nc n (x a) n 1. n=1 Bemerkung: Eine Potenzreihe darf gliedweise differenziert werden. Sei f : I R eine (n + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion und a I. Dann gilt x I: Sei f : I R eine (n + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion mit f (n+1) (x) = x I. Dann ist f ein Polynom vom Grad n. f(x) = f(a) + f (a) 1! (x a) + f (a) 2! (x a) wobei f (n) (a) n! (x a) n + R n+1 (x) R n+1 (x) = 1 n! x a (x t) n f (n+q) (t)dt. Seif : I R eine n-mal stetig differenzierbare Funktion und a I. Dann gilt x I f(x) = n k= f (k) (a) (x a) k + ϕ(x)(x a) n, k! wobei ϕ eine Funktion mit lim k a ϕ(x) = ist. Sei f : I R eine (n + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion und a, x I ξ (a, x) : f(x) = n k= f (k) (a) (x a) k + f (n+1) (ξ) k! (n + 1)! (x a)n+1. Sei a R und f(x) = c n (x a) n eine Potenzreihe mit einem positiven Konvergenzradius r ], [. Dann ist diese Taylor-Reihe der Funktion f :]a r, a + r[ R mit Entwicklungspunkt a gleich dieser Potenzreihe (und konvergiert somit gegen f). Sei f : I R eine beliebig oft differenzierbare Funktion und a I. Dann heißt f (k) (a) T [f, a](x) := (x a) k k! k= die Taylor-reihe von f mit Entwicklungspunkt a. Bemerkungen: 1. Der Konvergenzradius der Taylorreihe ist nicht notwendig >. 2. Falls die Taylor-Reihe von f konvergiert, konvergiert sie nicht notwenig gegen f. 3. Die Taylor-Reihe konvergiert genau für diejenigen x I gegen f(x), für die das Restglied aus Satz 22.1 konvergiert. Für 1 < x +1 gilt log(1 + x) = x x2 2 + x = n=1 Bemerkung: Für beliebiges a > und < x 2a gilt ( 1) n 1 log x = log a + (x a) n. na n=1 n Dies folgt aus log x = log(a+(x a)) = log a(1+ x a a ( 1) n 1 x n. n ) = log a+log(1+ x a a ). sin(x) = exp(x) = cos(x) = x n n! ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)! ( 1) k x2k (2k)!

7 Satz 22.5 Satz 22.6 Abelscher Grenzwertsatz Arcus-Tangens-Reihe Satz 22.7 Zusatz zu Satz 22.7 Binomische Reihe Wann konvergiert bzw. divergiert die Binomische Reihe? periodische Funktionen trigonometrische Polynome Sinus & Cosinus in komplexer Schreibweise Fourier-Koeffizienten Fourier-Reihe Fourier-Reihe mit trigonometrischen Polynomen Skalarprodukt für periodische Funktionen

8 Für x 1 gilt arctan(x) = x x3 3 + x5 5 ±... = ( 1) n x2n+1 2n + 1. Sei c n eine konvergente Reihe reeller Zahlen. Dann konvergiert die Potenzreihe f(x) := c n x n gleichmäßig auf dem Intervall [, 1], stellt also dort eine stetige Funktion dar. Bemerkung: Es gilt dann lim x 1 cnxn = cn. Dies erklärt den Namen Grenzwertsatz. i Für α konvergiert die binomische Reihe (1 + x) α = ( α n) x n absolut und gleichmäßig im Intervall [ 1, +1]. ii Für 1 < α < konvergiert die binomische Reihe für x = +1 und divergiert für x = 1. iii Für α 1 divergiert die binomische Reihe sowohl für x = +1, als auch für x = 1. Sei α R. Dann gilt für x < 1 (1 + x) α = ( ) α x n. n ( α n α k + 1 Bemerkung: Dabei ist =. n) k k=1 Für α N bricht die Reihe ab, denn in diesem Fall ist ( α n) =. Spezielle periodische Funktionen sind die trigonometrischen Polynome. Eine Funktion f : R R heißt trigonometrisches Polynom der Ordnung n, falls sie sich schreiben lässt als f(x) = a 2 + n k=1 (a k cos(kx) + b k sin(kx)) mit a k = 1 2π π f(x) cos(kx)dx für k =, 1,..., n b k = 1 2π π f(x) sin(kx)dx für k = 1,..., n Eine auf ganz R definierte reell- oder komplexwertige Funktion f heißt periodisch mit der Periode L >, falls f(x + L) = f(x) x R. Es gilt dann natürlich auch f(x + nl) = f(x) x R n Z. Durch eine Variablen-Transformation kann man Funktionen mit der Periode L auf solche mit der Persiode 2π zurückführen: Hat f die Periode L, so hat die Funktion F, definiert durch F (x) := f ( L 2π x) die Periode 2π. Aus der Funktion F kann man f durch die Formel f(x) = F ( 2π L x) wieder zurückgewinnen. Sei f : R C eine periodische, über das Intervall [, 2π] integrierbare Funktion. Dann heißen die Zahlen 2π c k := 1 f(x)e ikx dx, k Z, 2π die Fourier-Koeffizienten von f, und die Reihe F[f](x) := c k e ikx Fourier-Reihe von f. k= cos(x) = eix + e ix 2 sin(x) = eix e ix 2i Die Fourier-Reihe lässt sich auch in der Form f, g = 1 2π 2π f(x)gxdx fürf, g V. a 2 + (a k cos(kx) + b k sin(kx)) k=1 schreiben, wobei a = 1 2π π f(x)dx a k = 1 2π π f(x) cos(kx)dx für k =, 1,..., n b k = 1 2π π f(x) sin(kx)dx für k = 1,..., n

9 Satz 23.1 Besselsche Ungleichung Konvergenz im quadratischen Mittel Corollar zu en Satz 23.2 Die Fourier-Reihe von f ist genau dann im quadratischen Mittel konvergent, wenn... f in [, 2π] Riemann-integrierbar, Fourierreihe konvergiert im quadratischen Mittel gegen f Vollständigkeitsrelation? Satz 23.3 f stetig differenzierbar & stückweise stetig differenzierbar & Unterteilungen Konvergenz?

10 Seien f : R C und f n : R C, n N, periodische, über das Intervall [, 2π] Riemann-integrierbare Funktionen. Man sagt, die Folge (f n) konvergiere im quadratischen Mittel gegen f, falls lim f fn 2 = n d.h. wenn das quadratische Mittel der Abweichung zwischen f und f n, nämlich 1 2π f(x) f n(x) 2 dx 2π für n gegen konvergiert. Sei f : R C eine periodische, über das Intervall [, 2π] Riemann-integrierbare Funktion mit den Fourier-Koeffizienten c k. Dann gilt k= c k 2 1 2π 2π f(x) 2 dx. Sei f : R C eine periodische Funktion, so dass f [, 2π] Riemann-integrierbar ist. Dann konvergiert die Fourier-Reihe von f im quadratischen Mittel gegen f. Sind c k die Fourier-Koeffizienten von f, so gilt die Vollständigkeitsrelation k= c k 2 = 1 2π 2π f(x) 2 dx. Die Fourier-Reihe von f ist genau dann im quadratischen Mittel konvergent, wenn k= c k 2 = f 2 2, d.h. wenn die Besselsche Ungleichung zu einer Gleichung wird. Das Bestehen dieser Gleichung bezeichnet man auch als Vollständigkeitsrelation. Es sei f : R C eine stetige periodische Funktion, die stückweise stetig differenzierbar ist, d.h. Unterteilung = t < t 1 <... < t r = 2π von [, 2π], sodass f[t k 1, t k ] für k = 1,..., r stetig differenzierbar ist. Dann konvergiert die Fourier-Reihe von f gleichmäßig gegen f.