Kapitel I. Analysis 1. 1 Topologie im R n

Transkript

1 Kpitel I Anlysis Topologie im R n Es sei (X, d) ein metrischer Rum. Unter diesen Begriff fllen lle normierten Vektorräume, ber uch beliebige Teilmengen solcher Räume. Wichtigstes Beispiel wird immer der R n sein. Definition: Eine Folge (x n ) n N von Punkten us X konvergiert gegen ein x 0 X, wenn gilt: ε > 0 n 0 N, so dß n n 0 gilt: d(x n, x 0 ) < ε. Mn schreibt dnn: lim n x n = x 0. Die Definition entspricht w ö r t l i c h der Definition der Konvergenz von Zhlenfolgen, wenn mn d(x n, x 0 ) sttt x n x 0 schreibt. Beispiel : x n := ( n, n n + ) ist eine Punktfolge im R2. Wir vermuten ntürlich, dß sie gegen x 0 := (0, ) konvergiert. Sei lso ε > 0 vorgegeben. Dnn gibt es ein n 0, so dß gilt: Aber dnn ist für n n 0. n < ε 2 und n n + < ε 2 für n n 0. d(x n, x 0 ) = ( n n )2 + ( n + )2 n + n n + < ε, Dbei hben wir folgende llgemeine Abschätzung benutzt: 2 + b 2 = ( + b ) 2 2 b + b. Mn knn ds Beweisschem us dem Beispiel verllgemeinern und zeigen:

2 2 KAPITEL I ANALYSIS Komponentenweise Konvergenz von Vektorfolgen Eine Folge x ν = (x (ν),..., x (ν) n ) im R n konvergiert genu dnn gegen ein x 0 = (x (0),..., x (0) n ), wenn jede der n Folgen (x (ν) i ) im gewöhnlichen Sinne gegen x (0) i konvergiert. Dmit lssen sich die meisten Konvergenzprobleme in mehreren Veränderlichen uf solche in einer Veränderlichen zurückführen. Nun soll für den R n und llgemeiner sogr für jeden metrischen Rum X erklärt werden, ws es bedeutet, dß Punkte mehr oder weniger benchbrt sind. Dzu bruchen wir den Begriff der offenen Menge. Definition: Sei (X, d) ein metrischer Rum, x 0 X und r > 0. Dnn heißt die offene Kugel um x 0 mit Rdius r. B r (x 0 ) := {x X d(x, x 0 ) < r}. Eine Teilmenge U X heißt offen, wenn es zu jedem x U ein ε > 0 gibt, so dß B ε (x) gnz in U liegt. Offene Kugeln im R n sind ds, ws mn sich drunter vorstellt. Offen bedeutet hierbei, dß der Rnd nicht dzu gehört. Entsprechend soll mn sich offene Teilmengen des R n so vorstellen, dß die Rndpunkte nicht mehr dzu gehören. Ds wird später noch weiter präzisiert werden. Beispiele :. Offene Kugeln B r (x 0 ) sind offen: Ist nämlich x B r (x 0 ), so ist δ := d(x, x 0 ) < r, lso r δ > 0. Mn knn ein ε mit 0 < ε < r δ finden. Für y B ε (x) gilt dnn: Also liegt B ε (x) in B r (x 0 ). d(y, x 0 ) d(y, x) + d(x, x 0 ) (Dreiecks-Ungleichung) < ε + δ < (r δ) + δ = r. 2. In R ist jedes offene Intervll offen. Ist nämlich < b und x 0 := +b und r := b 2 so ist (, b) = B r (x 0 ). Ds System ller offenen Mengen eines metrischen Rumes nennt mn die Topologie dieses Rumes. Die Topologie ht gewisse chrkteristische Eigenschften: 2,

3 Topologie im R n 3 Eigenschften offener Mengen Die offenen Mengen in einem metrischen Rum (X, d) (und dmit insbesondere im R n ) hben folgende Eigenschften:. Die leere Menge ist offen. 2. Der gnze Rum X ist offen. 3. Sind U, U 2 X offen, so ist uch U U 2 offen. 4. Ist (U λ ) λ L eine beliebige Fmilie von offenen Mengen in X, so ist uch offen. U λ λ L Beweis: ) Die leere Menge ht keine Elemente, lso ist uch nichts zu zeigen. 2) Ist x X und r > 0, so liegt ntürlich B r (x) in X. Also ist X offen. 3) Seien U, U 2 X offen, x 0 U U 2 beliebig vorgegeben. Dnn gibt es ε, ε 2 > 0, so dß B ε (x 0 ) U und B ε2 (x 0 ) U 2 ist. Setzt mn ε := min(ε, ε 2 ), so ist B ε (x 0 ) U U 2. Also ist der Durchschnitt von zwei offenen Mengen wieder offen. 4) Sei (U λ ) λ L eine Fmilie von offenen Mengen in X, x 0 U λ. Ds bedeutet: Also ist die Vereinigung der U λ offen. λ L mit x 0 U λ λ L = λ L, ε > 0, so dß B ε (x 0 ) U λ = ε > 0 mit B ε (x 0 ) U λ λ L Der Durchschnitt von endlich vielen offenen Mengen ist wieder offen (Induktion!), ber bei unendlichen Durchschnitten knn es schiefgehen. Dfür werden wir später noch ein Beispiel ngeben. Definition: Eine Teilmenge A X heißt bgeschlossen, wenn X(A) = X \ A offen ist. Beispiel : In R ist uch jedes Intervll der Gestlt (, b) oder (, ) offen, ls bzählbre Vereinigung offener Intervlle. Also ist offen und [, b] dmit bgeschlossen. R \ [, b] = (, ) (b, ) Es ist z.b. (, ) = (, + 2) ( +, + 3) ( + 2, + 4)....

4 4 KAPITEL I ANALYSIS Eigenschften bgeschlossener Mengen. Die leere Menge ist bgeschlossen. 2. Der gnze Rum X ist bgeschlossen. 3. Sind A, A 2 X bgeschlossen, so ist uch A A 2 bgeschlossen. 4. Ist (A λ ) λ L eine Fmilie von bgeschlossenen Mengen in X, so ist uch bgeschlossen. A λ λ L Die Beweise sind denkbr einfch. Es ist X \ = X, X \ X =, X(A A 2 ) = X(A ) X(A 2 ) und X( A λ ) = X(A λ ). λ L λ L Wir lernen hier, dß eine Menge durchus gleichzeitig offen und bgeschlossen sein knn. Ds logische Gegenteil zu offen ist nicht bgeschlossen, sondern nicht offen. Es knn uch pssieren, dß eine Menge weder offen noch bgeschlossen ist, wie z.b. ds Intervll [, b). Mit Hilfe von Folgen läßt sich der Begriff der bgeschlossenen Menge etws hndlicher chrkterisieren. Abgeschlossenheits-Kriterium Eine Menge A in einem metrischen Rum X ist genu dnn bgeschlossen, wenn gilt: Ist x n A eine gegen ein x 0 X konvergente Folge, so liegt uch x 0 in A. Beweis: ) A sei bgeschlossen in X, (x n ) eine Folge in A, x 0 = lim n x n. Annhme, x 0 liegt in X \ A. D diese Menge offen ist, gibt es ein ε > 0, so dß sogr B ε (x 0 ) in X \ A liegt. Wegen der Konvergenz der Folge muß es ber ein n 0 geben, so dß x n in B ε (x 0 ) liegt, für n n 0. Ds ist ein Widerspruch. 2) Sei umgekehrt ds Kriterium erfüllt. Wir müssen zeigen, dß X \ A offen ist, und wir nehmen n, ds wäre nicht der Fll. Dnn gibt es ein x 0 X \ A, so dß gilt: n N ist B /n (x 0 ) X \ A. Ds bedeutet, dß wir für lle n N ein x n B /n (x 0 ) finden können, ds nicht in X \ A liegt. (x n ) ist lso eine Folge in A. Ist ε > 0 vorgegeben, so gibt es ein n 0, so dß n < ε für n n 0 ist. Aber dnn ist d(x n, x 0 ) < n < ε, d.h. (x n) konvergiert gegen x 0, und nch dem Kriterium liegt x 0 in A. Ds ist ein Widerspruch, die Annhme wr flsch.

5 Topologie im R n 5 Beispiel : Jede -punktige Menge A := {x 0 } in einem metrischen Rum X ist bgeschlossen. Ist nämlich (x n ) eine Folge in A, so muß x n = x 0 für lle n gelten. Aber dnn konvergiert (x n ) uch gegen x 0, und dieser Grenzwert liegt in A. Definition: Sei x 0 ein Punkt in einem metrischen Rum X. Eine Teilmenge U X heißt Umgebung von x 0, wenn gilt: Es gibt ein ε > 0, so dß B ε (x 0 ) in U liegt. Wir sgen, x 0 liegt gnz im Inneren von U, wenn U eine Umgebung für x 0 ist. Ein Rndpunkt von U liegt ntürlich nicht im Inneren von U. Die Umgebung U brucht weder offen noch bgeschlossen zu sein. Ist sie ber offen, so sprechen wir uch von einer offenen Umgebung. Ist U bgeschlossen, so sprechen wir von einer bgeschlossenen Umgebung. Definition: Sei M X eine beliebige Teilmenge. Ein Punkt x 0 X (der nicht in M liegen muß) heißt Rndpunkt von M, wenn jede Umgebung von x 0 wenigstens einen Punkt us M und einen Punkt us X \ M enthält. Die Menge ller Rndpunkte von M bezeichnet mn mit M ( Rnd von M ). Beispiele :. In R ist [, b) = {, b}. 2. Im R n ist B r (x 0 ) = {x X d(x, x 0 ) = r}. 3. In R ist { n n N} = { n n N} {0}. Offene Mengen enthlten keine Rndpunkte Eine Menge M X ist genu dnn offen, wenn M M = ist. Der Beweis ist klr: Jeder Punkt einer offenen Menge M liegt gnz im Inneren von M. Ein Rndpunkt einer Menge knn ber nie im Inneren der Menge liegen. Abgeschlossene Mengen enthlten lle Rndpunkte Eine Menge M X ist genu dnn bgeschlossen, wenn M M ist.

6 6 KAPITEL I ANALYSIS Beweis: Sei zunächst M ls bgeschlossen vorusgesetzt, x 0 M. Wir wollen zeigen, dß x 0 in M liegt. Angenommen, x 0 X \ M. D X \ M offen ist, gibt es eine Umgebung U von x 0, die noch gnz in X \ M liegt. Also enthält U keinen Punkt von M, und x 0 knn demnch kein Rndpunkt von M sein. Widerspruch! Ist umgekehrt M M, so müssen wir zeigen, dß M bgeschlossen ist. Ein Punkt x 0 X \ M knn nicht Rndpunkt von M sein. Also gibt es eine Umgebung U von x 0 mit U M =. Also liegt x 0 gnz im Inneren von X \ M, und d der Punkt beliebig wr, bedeutet ds, dß X \ M offen ist. Dmit ist lles gezeigt. Ist M X eine beliebige Menge, so nennt mn die Menge M := M M die bgeschlossene Hülle von M. Offensichtlich ist M genu dnn bgeschlossen, wenn M = M ist. Beispiel : B r (x 0 ) = {x X d(x, x 0 ) r} nennt mn uch die bgeschlossene Kugel mit Rdius r um x 0. Wir wollen nun die Stetigkeit von Abbildungen zwischen metrischen Räumen definieren. D wir die Konvergenz von Folgen schon eingeführt hben, können wir die Stetigkeit genuso wie bei den reellen Funktionen formulieren. Definition: Eine Abbildung f : X Y zwischen metrischen Räumen heißt stetig in x 0 X, wenn gilt: Für jede Folge (x n ) in X mit lim n x n = x 0 ist lim n f(x n ) = f(x 0 ). Ds bedeutet nschulich: Ist x nhe genug bei x 0, so liegt uch f(x) nhe bei f(x 0 ). Mn knn lso zu jeder vorgegebenen Genuigkeit ε > 0 eine so kleine Umgebung B δ (x 0 ) finden, dß d(f(x), f(x 0 )) < ε für lle x B δ (x 0 ) ist: ε-δ-kriterium für die Stetigkeit Eine Abbildung f : X Y ist genu dnn stetig in x 0, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: ε > 0 δ > 0, so dß gilt: d(x, x 0 ) < δ = d(f(x), f(x 0 )) < ε. Beweis: ) Sei f stetig in x 0. Wir nehmen n, ds Kriterium sei nicht erfüllt: ε > 0, so dß δ > 0 gilt: x mit d(x, x 0 ) < δ und d(f(x), f(x 0 )) ε.

7 Topologie im R n 7 Wir wählen dnn zu jedem n N ein x n mit d(x n, x 0 ) < n und d(f(x n), f(x 0 )) ε. Ds bedeutet, dß die Folge (x n ) gegen x 0 konvergiert, ber (f(x n )) nicht gegen f(x 0 ). Ds ist ein Widerspruch. 2) Ist umgekehrt ds ε-δ-kriterium erfüllt, so betrchten wir eine beliebige Folge (x n ), die gegen x 0 konvergiert. Zu vorgegebenem ε > 0 können wir ein δ > 0 gemäß dem Kriterium wählen. Nun gibt es ein n 0, so dß d(x n, x 0 ) < δ für n n 0 ist. Aber dnn ist uch d(f(x n ), f(x 0 )) < ε für n n 0. Ds bedeutet, dß (f(x n )) gegen f(x 0 ) konvergiert. Die Stetigkeit der Metrik Sei x 0 M ein fester Punkt. Dnn ist die durch f(x) := d(x, x 0 ) gegebene Abbildung f : X R stetig. Beweis: Wir verwenden folgende Hilfs-Formel: x, y X gilt: d(x, x 0 ) d(y, x 0 ) d(x, y). Der Beweis dieser Formel ergibt sich us einer zweimligen Anwendung der Dreiecksungleichung: d(x, x 0 ) d(x, y) + d(y, x 0 ) und d(y, x 0 ) d(y, x) + d(x, x 0 ) = d(x, y) + d(x, x 0 ), lso d(x, y) d(x, x 0 ) d(y, x 0 ) d(x, y). Ist nun x 0 ein beliebiger Punkt von X und x n eine gegen x0 konvergente Folge, so gilt: f(x n ) f(x 0) = d(x n, x 0 ) d(x 0, x 0 ) d(x n, x 0) 0, für n. Ds heißt, dß f in x 0 stetig ist. Verknüpfung stetiger Funktionen Ist f : X Y stetig in x 0 X und g : Y Z stetig in y 0 := f(x 0 ), so ist uch g f : X Z stetig in x 0. Der Beweis ist sehr einfch: Strebt x n gegen x 0, so strebt y n := f(x n ) gegen y 0 = f(x 0 ). Aber dnn strebt uch (g f)(x n ) = g(y n ) gegen (g f)(x 0 ) = g(y 0 ).

8 8 KAPITEL I ANALYSIS Schreibt mn eine Abbildung f : R n R k in der Form f = (f,..., f k ), mit Funktionen f i : R n R, so ist f genu dnn stetig in x 0, wenn lle Funktionen f i stetig in x 0 sind. Beispiel : Sei f(x, x 2 ) := 2x x 2 für (x x 2 + x 2, x 2 ) (0, 0), 2 0 für (x, x 2 ) = (0, 0).. Dnn ist t f(t, c) und t f(c, t) für jede Konstnte c eine stetige Funktion von t. Aber dennoch ist f nicht stetig im Nullpunkt, denn es ist z.b. f(t, t) für t 0, und f(0, 0) = 0. Aus den Sätzen über Folgen knn mn solche über Stetigkeit herleiten. Wir zitieren hier nur die Ergebnisse: Regeln für die Stetigkeit f, g : R n R k seien in x 0 stetige Abbildungen.. f ± g : R n R k mit (f ± g)(x) := f(x) ± g(x) ist stetig in x Für α R ist α f mit (α f)(x) := α f(x) stetig in x f g : R n R mit (f g)(x) := f(x) g(x) ist stetig in x (f, g) : R n R k R k mit (f, g)(x) := (f(x), g(x)) ist stetig in x Ist g uch noch stetig in y 0, so ist f g : R n R n R k R k mit (f g)(x, y) := (f(x), g(y)) stetig in (x 0, y 0 ). Bemerkung : Die Aussgen des Stzes bleiben richtig, wenn mn den Definitionsbereich R n durch eine beliebige offene Teilmenge M des R n ersetzt. Verzichtet mn uch noch uf die Offenheit von M, so muß mn die Definition der Stetigkeit geringfügig npssen, es sind dnn nur noch Folgen in M zu betrchten. Linere Abbildungen sind stetig Eine linere Abbildung f : R n R k ist in jedem Punkt x R n stetig. Beweis: Es reicht, die Behuptung für Linerformen zu zeigen. ) Die Funktionen (x,..., x n ) x i sind sicherlich stetig:

9 Topologie im R n 9 Ist nämlich (x ν ) = (x (ν),..., x (ν) n ) eine Folge, die gegen x 0 = (x (0),..., x (0) n ) konvergiert, so konvergiert uch (x (ν) i ) gegen x (0) i. b) Nch den oben ngegebenen Regeln über die Stetigkeit ist dnn uch eine stetige Funktion. (x,..., x n ) m x + + m n x n Bemerkung : D wir die komplexen Zhlen geometrisch mit dem Rum R 2 identifizieren können, ist nun uch klr, ws eine offene Teilmenge U C und eine stetige komplexwertige Funktion uf U ist. Insbesondere sind die komplexen Polynome stetig. Durch Gleichungen und Ungleichungen definierte Mengen Seien f, g : R n R zwei steige Funktionen. Dnn gilt:. {x R n f(x) = g(x)} ist bgeschlossen. 2. {x R n f(x) < g(x)} ist offen. 3. {x R n f(x) g(x)} ist bgeschlossen. Beweis: Sei U := {x R n f(x) g(x)}. Wir müssen zeigen, dß U offen ist. Sei x 0 U. Dnn ist r := f(x) g(x) > 0. Ist 0 < ε < r, so gibt es ein δ > 0 mit 2 f(x) f(x 0 ) < ε und g(x) g(x 0 ) < ε, für d(x, x 0 ) < δ. Annhme, es gibt ein x B δ (x 0 ) mit f(x) = g(x). Dnn ist f(x 0 ) g(x 0 ) f(x 0 ) f(x) + f(x) g(x) + g(x) g(x 0 ) < ε ε < r. Aber ds ist ein Widerspruch! Also liegt gnz B δ (x 0 ) in U, U ist offen. Die Menge, wo f(x) = g(x) ist, ist demnch bgeschlossen. Genuso wie oben zeigt mn, dß die Menge, wo f(x) < g(x) ist, offen ist. Vertuscht mn f und g und geht zum Komplement über, so erhält mn schließlich, dß die Menge, wo f(x) g(x) ist, bgeschlossen sein muß. Nun sieht mn z.b., dß jede Gerde und jede Ebene im R 3 dort eine bgeschlossene Teilmenge ist. Es sei M R n eine Teilmenge und (f n ) eine Folge von (reell oder komplexwertigen) Funktionen uf M.

10 20 KAPITEL I ANALYSIS Definition: Die Funktionenfolge (f n ) konvergiert uf M punktweise gegen eine Funktion f, flls gilt: x M : n lim f n (x) = f(x). Ds Konvergenzverhlten wird lso für jeden einzelnen Punkt x M gesondert behndelt. Ds globle Verhlten der beteiligten Funktionen spielt dbei keine Rolle. Beispiel : Sei I := [0, ] R und f n : I R definiert durch f n (x) := x n. Dnn konvergiert diese Funktionenfolge punktweise gegen die Funktion f(x) := { 0 für 0 x <, für x =. Obwohl lle Funktionen f n stetig sind, ist die Grenzfunktion f nicht stetig. Ds ist ein wenig wünschenswertes Verhlten. Wir bruchen lso einen besseren Konvergenzbegriff für Funktionenfolgen! Wechseln wir den Stndpunkt! Sei K {R, C}. Wir betrchten den Rum B(M, K) := {f : M K : sup{ f(x) : x M} < }. Ds ist ein K-Vektorrum mit der Norm f := sup f, und dmit uch ein metrischer M Rum (mit d(f, g) = f g ). Die beschränkten Funktionen uf M fssen wir nun ls Punkte eines metrischen Rumes uf. Eine Folge (f n ) von Elementen von B(M, K) konvergiert gegen ein f B(M, K), wenn in jeder ε Umgebung von f fst lle Folgeglieder f n liegen: ε > 0 n 0 N, so dß n n 0 gilt: f n f < ε. Wie knn mn sich eine ε Umgebung einer Funktion vorstellen? Wir beschränken uns uf den Fll reeller Funktionen uf einem Intervll I und betrchten die zugehörigen Grphen. Wir definieren einen ε Schluch um G f : S ε (f) := {(x, y) R 2 x I und f(x) ε < y < f(x) + ε}.

11 Topologie im R n 2 G f 2ε Die ε Kugel um f besteht nun us llen Funktionen g : I R, deren Grph gnz in S ε (f) liegt: B ε (f) = {g : I R g f < ε} = {g : I R x I : g(x) f(x) < ε} = {g : I R x I : f(x) ε < g(x) < f(x) + ε} = {g : I R x I : (x, g(x)) S ε (f)} = {g : I R G g S ε (f)}. Definition: Die Folge (f n ) konvergiert gleichmäßig uf M gegen eine Funktion f, wenn gilt: ε > 0 n 0 (unbhängig von x M ), so dß für n n 0 und lle x M gilt: f n (x) f(x) < ε. (f n ) konvergiert lso genu dnn gleichmäßig gegen f, wenn in jedem ε Schluch um f fst lle f n liegen. Dß wir nun den richtigen Konvergenzbegriff gefunden hben, zeigt der folgende Stz: Gleichmäßiger Limes stetiger Funktionen (f n ) konvergiere uf M gleichmäßig gegen f, lle f n seien stetig. Dnn ist uch die Grenzfunktion f uf M stetig. Beweis: Stetigkeit ist eine lokle Eigenschft, die nur in der Nähe eines (beliebigen) Punktes x 0 M gezeigt werden muß. Sei x k M eine Folge von Punkten mit lim k x k = x 0. Wir müssen zeigen, dß dnn uch lim k f(x k) = f(x 0 ) ist. Sei ε > 0. D (f n ) gleichmäßig uf M gegen f konvergiert, gibt es ein n 0, so dß f n (x) f(x) < ε 3 für n n 0 und lle x M ist. Wir wählen ein solches n n 0. D f n stetig ist, gibt es ein k 0, so dß f n (x k ) f n (x 0 ) < ε 3 für k k 0

12 22 KAPITEL I ANALYSIS ist. Für solche k gilt dnn: f(x k ) f(x 0 ) f(x k ) f n (x k ) + f n (x k ) f n (x 0 ) + f n (x 0 ) f(x 0 ) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Ds zeigt, dß (f(x k )) gegen f(x 0 ) konvergiert. Beispiele :. Die Folge f n (x) := x n knn uf [0, ] nicht gleichmäßig konvergent sein, weil die Grenzfunktion nicht stetig ist. Aber wie steht es mit der Konvergenz uf I r := [0, r], mit 0 < r <? Die Folge r n konvergiert gegen Null, und für 0 x r ist 0 x n r n. Zu gegebenem ε > 0 gibt es dher ein n 0, so dß für n n 0 gilt: f n (x) 0 = x n r n r n 0 < ε. Also konvergiert (f n ) uf dem kleineren Intervll [0, r] gleichmäßig gegen die Nullfunktion. 2. Sei f n (x) := sin(nx) uf R. n Ist ε > 0 und n 0 > ε, so gilt für n n 0 : f n (x) 0 = n sin(nx) n n 0 < ε. Also konvergiert (f n ) uf gnz R gleichmäßig. Die Konvergenz von f n ± g n und c f n Wenn (f n ) uf M gleichmäßig gegen f und (g n ) uf M gleichmäßig gegen g konvergiert, dnn konvergiert uch f n ± g n gleichmäßig uf M gegen f ± g und (c f n ) gleichmäßig uf M gegen c f. Es scheint schwierig zu sein, Beispiele gleichmäßig konvergenter Folgen von Funktionen zu konstruieren. Dennoch gilt der folgende berühmte Stz: Stz von Stone/Weierstrß Ist f : [, b] R eine stetige Funktion, so gibt es eine Folge von Polynomen, die uf [, b] gleichmäßig gegen f konvergiert. Auf den nicht gnz einfchen Beweis müssen wir hier verzichten.

13 2 Differenzierbre Funktionen 23 2 Differenzierbre Funktionen Sei I R ein Intervll. Wir betrchten vektorwertige Funktionen uf I, d.h. Abbildungen f : I R n für beliebiges n N. Im Flle n = liegt eine reelle Funktion vor, die wir uns üblicherweise mit Hilfe ihres Grphen G f vernschulichen. Ist n = 2, so nennt mn f eine prmetrisierte ebene Kurve, die mn sich n Hnd ihres Bildes f(i) R 2 gut vorstellen knn. Typische Beispiele sind etw Gerden t x 0 + t v oder Kreise t x 0 + r cos(t) e + r sin(t) e 2. Ist n 3, so liegt der Grph in einem mindestens 4-dimensionlen Rum und entzieht sich dmit endgültig unserer Vorstellung. Aber ds Bild f(i) ist zumindest im Flle n = 3 noch eine vorstellbre Rumkurve. Den Begriff des Grenzwertes von Funktionen können wir mühelos uf vektorwertige Funktionen usdehnen. Wir schreiben f : I R n in der Form f = (f,..., f n ). Dnn ist lim f(t) = (lim f (t),..., lim f n (t)). t t 0 t t0 t t0 Nun sind wir gerüstet, um den Begriff der Differenzierbrkeit einzuführen. Definition: Eine (vektorwertige) Funktion f : I R n heißt in t 0 I differenzierbr, flls f (t 0 ) := lim t t0 f(t) f(t 0 ) t t 0 existiert. Der Grenzwert f (t 0 ) heißt die Ableitung von f in t 0 oder (im Flle n 2) der Tngentilvektor n f in t 0. Die Gerde T f (t) := f(t 0 ) + (t t 0 ) f (t 0 ) nennt mn die Tngente n f in t 0. Dß f : I R n in t 0 differenzierbr ist, knn mn uf verschiedene Weise interpretieren: Zunächst ist der Differenzenquotient f(t 0, t) := f(t) f(t 0) die Richtung der Seknte durch (t 0, f(t 0 )) und (t, f(t)). Läßt mn t gegen t 0 gehen, so strebt bei einer in t 0 t t 0 differenzierbren Funktion die Richtung der Seknte gegen die Richtung der Tngente. Insbesondere besitzt f in t 0 eine Tngente, d.h. der Grph von f ist dort gltt. Andererseits ist jede Seknte eine ffin-linere Approximtion von f in der Nähe von t 0. Unter ll diesen Approximtionen ist die Tngente die beste. Wir wollen sehen, wie gut diese Approximtion ist. Dzu definieren wir die linere Abbildung L : R R n durch L(h) := h f (t 0 ) und eine Abbildung r nhe 0 durch Dnn gilt: r(h) := f(t 0 + h) f(t 0 ) L(h) = f(t 0 + h) T f (t 0 + h).

14 24 KAPITEL I ANALYSIS. f(t 0 + h) = f(t 0 ) + L(h) + r(h), flls t 0 + h I ist. r(h) 2. lim h 0 h = 0. Beweis für die zweite Aussge: r(h) h = f(t 0 + h) f(t 0 ) f (t 0 ), h und dieser Ausdruck strebt offensichtlich gegen Null. Dmit hben wir ein Kriterium für die Differenzierbrkeit gewonnen. f ist genu dnn in t 0 differenzierbr, wenn f so durch eine ffin-linere Abbildung pproximiert werden knn, dß die beiden Abbildungen in t 0 übereinstimmen und ihre Differenz mindestens so schnell wie t 2 gegen Null geht. Eine Abbildung f = (f,..., f n ) : I R n ist genu dnn in t 0 differenzierbr, wenn jede der Funktionen f i in t 0 differenzierbr ist, und es gilt: f (t 0 ) = (f (t 0 ),..., f n(t 0 )). Wir sgen, f ist uf dem Intervll I differenzierbr, wenn f in jedem t I differenzierbr ist. Dnn wird durch t f (t) eine neue Funktion f : I R n definiert, die Ableitung von f. Wir setzen die Kenntnis der folgenden elementren Regeln ls beknnt vorus: (x n ) = n x n für n N, x beliebig, sin (x) = cos(x) für x R, cos (x) = sin(x) für x R, exp (x) = exp(x) für x R. Beispiele :. Ist f(t) c eine konstnte Abbildung, so ist f (t) Ist f(t) := x 0 + t v eine Gerde, so ist lso f (t) v. f(t) f(t 0 ) t t 0 = v für beliebige Prmeter t, t 0, 3. f(t) := t ist in t = 0 nicht differenzierbr, denn f(t) f(0) t = t t ht für t 0 keinen eindeutigen Grenzwert. = { für t > 0 für t < 0

15 2 Differenzierbre Funktionen 25 Bemerkung : Ist f in t 0 differenzierbr, so ist f in t 0 erst recht stetig. Ds folgt sofort us der Drstellung f(t) = f(t 0 ) + L(t t 0 ) + r(t t 0 ). (u f) für lineres u Sei f : I R n differenzierbr in t 0 und u : R n R k liner. Dnn ist uch u f : I R k in t 0 differenzierbr, und es ist (u f) (t 0 ) = u(f (t 0 )). Beweis: u f(t) u f(t 0 ) t t 0 ( ) f(t) f(t0 ) = u, t t 0 und d u stetig ist, konvergiert der rechte Ausdruck für t t 0 gegen u(f (t 0 )). Beispiele :. Sind f, g : I R differenzierbr, so uch f ± g, und es ist (f ± g) = f ± g. Beweis: (f, g) : I R 2 ist differenzierbr, und u : R 2 R mit u(x, x 2 ) := x ±x 2 ist liner. 2. Genuso folgt: Mit f ist uch c f differenzierbr, mit (c f) = c f. 3. Ist f(t) := (x 0 + r cos(t), y 0 + r sin(t)) die Prmetrisierung eines ebenen Kreises, so ist f (t) = ( r sin(t), r cos(t)) der zugehörige Tngentilvektor. Verllgemeinerte Produktregel Sind f, g : I R n beide in t 0 differenzierbr, so ist uch f g : I R in t 0 differenzierbr, und es gilt: (f g) (t 0 ) = f (t 0 ) g(t 0 ) + f(t 0 ) g (t 0 ). Beweis: Mn benutzt einen kleinen Trick: (f g)(t) (f g)(t 0 ) = (f(t) f(t 0)) g(t) + f(t 0 ) (g(t) g(t 0 )) t t 0 t t 0 = f(t) f(t 0 g(t) + f(t 0 ) g(t) g(t 0). t t 0 t t 0 strebt für t t 0 gegen f (t 0 ) g(t 0 ) + f(t 0 ) g (t 0 ). Hierin ist die gewöhnliche Produktregel (f g) = f g + f g enthlten. Es gibt eine nette Anwendung der verllgemeinerten Produktregel:

16 26 KAPITEL I ANALYSIS Sei f : I R n differenzierbr und f(t) konstnt (d.h., die Werte von f befinden sich uf einem Kreis um den Nullpunkt). Dnn ist uch f(t) f(t) = f(t) 2 konstnt, und es folgt: 0 (f f) = f f + f f = 2 f f. Also steht f (t) für jedes t senkrecht uf f(t). Ds knn mn speziell bei der Prmetrisierung des Kreises f(t) := (r cos(t), r sin(t)) beobchten. Der Tngentilvektor f (t) steht senkrecht uf dem Ortsvektor f(t). Aus der Produktregel folgt sogleich uch die beknnte Quotientenregel ( f g ) = f g fg g 2, die mn erhält, indem mn f = (g f g ) weiter usrechnet. Als Anwendung berechnen wir die Ableitung des Tngens: tn (t) = ( ) sin (t) = cos2 (t) ( sin 2 (t)) cos cos 2 (t) = + tn 2 (t). Kettenregel Sei f : I R n differenzierbr in t 0, J ein weiteres Intervll und g : J I differenzierbr in s 0 J, g(s 0 ) = t 0. Dnn ist uch f g : J R n differenzierbr in s 0, und es gilt: (f g) (s 0 ) = f (g(s 0 )) g (s 0 ). Den Beweis führen wir nicht us. Beispiele :. Ist f differenzierbr, so ist uch e f differenzierbr, und es gilt: (e f ) (t) = f (t) e f(t). Insbesondere ist t = e ln() t, lso ( t ) = ln() t, für > 0, t R. 2. Sei f : [0, 2π] R 2 mit f(t) := (r cos(t), r sin(t)) die Prmetrisierung eines Kreises um den Nullpunkt. Setzt mn φ(s) := 2s, so prmetrisiert f φ : [0, π] R 2 den gleichen Kreis. Es ist nun (f φ) (s 0 ) = 2 f (2s 0 ). Ds bedeutet, dß der Kreis diesml mit der doppelten Geschwindigkeit durchlufen wird.

17 2 Differenzierbre Funktionen 27 Definition: f : I R n sei in jedem Punkt t I differenzierbr. Ist die Ableitung f : I R n in t 0 I noch ein weiteres Ml differenzierbr, so sgt mn, f ist in t 0 zweiml differenzierbr, und mn schreibt: f (t 0 ) := (f ) (t 0 ). Induktiv definiert mn die n-te Ableitung f (n) : Ist f uf I (n )-ml differenzierbr und die (n )-te Ableitung f (n ) in t 0 noch ein weiteres ml differenzierbr, so sgt mn, f ist in t 0 n-ml differenzierbr, und die n-te Ableitung in t 0 wird definiert durch f (n) (t 0 ) := (f (n ) ) (t 0 ). Bemerkung : Mnchml benutzt mn uch die Leibnizsche Schreibweise: df dt sttt f und d n f dt n sttt f (n). Beispiel : Sei f(t) := e t2. Dnn gilt: f (t) = 2t e t2, f (t) = 2 e t2 + 2t (2t e t2 ) = (2 + 4t 2 ) e t2, f (3) (t) = 8t e t2 + (2 + 4t 2 ) (2t e t2 ) = (2t + 8t 3 ) e t2. Die Versuche lssen folgendes vermuten: f (n) (t) = p(t) e t2, mit einem Polynom p(t) vom Grd n, ds nur gerde bzw nur ungerde Potenzen von t enthält, je nchdem, ob n gerde oder ungerde ist. Für kleine n hben wir ds verifiziert. Also können wir einen Induktionsbeweis führen. Ist die Formel für n richtig, so gilt: f (n+) (t) = (p (t) + 2t p(t)) e t2. Ist etw n = 2k, so enthält p(t) nur gerde Potenzen von t. Aber dnn ist p (t) ein Polynom vom Grd n und 2t p(t) ein Polynom vom Grd n +, und beide enthlten nur ungerde Potenzen von t. Ähnlich funktioniert es im Flle n = 2k +. Also gilt die Formel uch für n + und dmit für lle n. Im Rest des Prgrphen betrchten wir nur noch reellwertige Funktionen.

18 28 KAPITEL I ANALYSIS Ableitung der Umkehrfunktion Ist f : I J R eine bijektive differenzierbre Abbildung und f (x 0 ) 0, so ist f : J I in f(x 0 ) differenzierbr, und es gilt: (f ) (f(x 0 )) = f (x 0 ). Auch hier lssen wir den Beweis weg. Beispiele :. exp : R R + ist bijektiv und differenzierbr, und exp (x) = exp(x) ist stets > 0. Also ist uch die Umkehrfunktion ln : R + R überll differenzierbr, mit (ln) (e x ) = e x, lso ln (x) = x. 2. Die Funktion x ist für festes 0 und x > 0 definiert durch x := e ln(x). Dnn ist (x ) = x e ln(x), lso (x ) = x, für x > 0 und 0. Die Funktion x x = e x ln(x) ergibt nun beim Differenzieren weder x x x = x x noch ln(x) x x, sondern vielmehr gilt: (x x ) = (ln x + ) x x. 3. Sei I R ein Intervll und f : I R + eine differenzierbre Funktion. Dnn ist uch g := ln f : I R differenzierbr, und es gilt: g (x) = (ln f) (x) = ln (f(x)) f (x) = f (x) f(x). Mn nennt ds uch die logrithmische Ableitung von f. 4. Die Funktion tn : ( π 2, + π 2 ) R ist differenzierbr und bijektiv, und tn (x) = + tn 2 (x) ht dort keine Nullstelle. Also ist uch die Umkehrfunktion rctn uf R differenzierbr, und es gilt: rctn (y) = tn (rctn(y)) = + y. 2 Dieses Ergebnis sollte mn sich für später merken: Durch Differenzieren der Umkehrfunktion der Winkelfunktion Tngens erhält mn eine rtionle Funktion.

19 2 Differenzierbre Funktionen 29 Definition: f : I R ht in x 0 I ein lokles Mximum (bzw. lokles Minimum), flls gilt: ε > 0, so dß f(x) f(x 0 ) (bzw. f(x) f(x 0 ) ) für x I und x x 0 < ε ist. In beiden Fällen sgt mn, f ht in x 0 einen (loklen) Extremwert. Mn bechte: Ist f in der Nähe von x 0 konstnt, so ht f dort nch unserer Definition uch einen Extremwert! Wir führen deshlb noch einen zusätzlichen Begriff ein: Definition: f : I R ht in x 0 I ein isoliertes Mximum (bzw. ein isoliertes Minimum), flls gilt: ε > 0, so dß f(x) < f(x 0 ) für x x 0 < ε und x x 0 ist (bzw. f(x) > f(x 0 ) im Flle des Minimums). Notwendiges Kriterium für Extremwerte Sei I ein Intervll, x 0 ein innerer Punkt von I und f : I R in x 0 differenzierbr. Wenn f in x 0 ein lokles Extremum besitzt, dnn ist f (x 0 ) = 0. Beweis: Wir betrchten den Differenzenquotienten f(x 0, x) := f(x) f(x 0), und x x 0 behndeln nur den Fll des loklen Mximums, beim Minimum geht es nlog. Ht f in x 0 ein lokles Mximum, so ist f(x) f(x 0 ) für x nhe bei x 0. Ist x < x 0, so ist x x 0 < 0 und dher f(x 0, x) 0. Ist jedoch x > x 0, so ist f(x 0, x) 0. Aber dnn muß f (x 0 ) = lim x x0 f(x 0, x) = 0 sein. Hinreichende Kriterien behndeln wir später. Beispiele :. Sei I = [, ], f : I R definiert durch f(x) := x 2. Dnn gilt für lle x I : f(x) 0 = f(0). Also ht f in x 0 := 0 ein (sogr isoliertes) lokles Minimum. Und ttsächlich besitzt f (x) = 2x in x 0 eine Nullstelle. 2. g : I R mit g(x) := x ht ebenflls in x 0 = 0 ein lokles Minimum. Aber weil x dort nicht differenzierbr ist, knn mn ds Kriterium nicht nwenden. Für x I ist x = g( ) = g(). Also ht g in den Punkten x = und x = + jeweils ein lokles Mximum. Aber uch hier knn mn ds notwendige Kriterium nicht nwenden, denn die Punkte liegen nicht im Innern von I.

20 30 KAPITEL I ANALYSIS 3 Mittelwertstz und Tylorsche Formel Der Stz von Rolle Sei f : I := [, b] R stetig und im Innern von I differenzierbr. Ist f() = f(b), so gibt es einen inneren Punkt x 0 von I mit f (x 0 ) = 0. x 0 b Beweis: Sei c := f() = f(b). Ist f(x) c uf gnz I, so ist uch f (x) 0. Ist f uf I nicht konstnt, so muß entweder ds Minimum oder ds Mximum von f im Innern von I liegen. Und dort muß dnn f verschwinden. Der folgende wichtige Stz ist eine einfche Folgerung: Der. Mittelwertstz der Differentilrechnung Sei f : I := [, b] R stetig und im Innern von I differenzierbr. Dnn gibt es einen Punkt x 0 im Innern von I mit f (x 0 ) = f(b) f(). b x 0 b Beweis: Sei L : R R die eindeutig bestimmte ffin-linere Funktion mit L() = f() und L(b) = f(b) (lso die Seknte durch (, f()) und (b, f(b)) ). Dnn ist L(x) = L(0) + mx, mit m := f(b) f(). b

21 3 Mittelwertstz und Tylorsche Formel 3 Setzen wir g := f L uf I, so ist g() = g(b) = 0 und g (x) = f (x) m. Nch dem Stz von Rolle, ngewndt uf die Funktion g, existiert ein Punkt x 0 im Innern von I mit g (x 0 ) = 0, lso f (x 0 ) = m. So einfch der Beweis, so mächtig die Konsequenzen: Funktionen mit verschwindender Ableitung Sei f : I R stetig und im Inneren von I differenzierbr. Ist f (x) 0, so ist f konstnt. Beweis: Sei I = [, b], x < x 2 b. Nch dem Mittelwertstz existiert ein x 0 mit x < x 0 < x 2 und 0 = f (x 0 ) = f(x 2) f(x ). x 2 x Ds ist nur möglich, wenn f(x ) = f(x 2 ) ist. Und d die Punkte x und x 2 beliebig gewählt werden können, ist f konstnt. Ableitung und Monotonie Sei f : I := [, b] R stetig und im Inneren von I differenzierbr. f ist genu dnn uf I monoton wchsend (bzw. fllend), wenn f (x) 0 (bzw. f (x) 0 ) für lle x (, b) ist. Ist sogr f (x) > 0 für lle x I (bzw. f (x) < 0 für lle x I), so ist f streng monoton wchsend (bzw. fllend). Beweis: Wir beschränken uns uf den Fll der wchsenden Funktion. ) Ist f monoton wchsend, so sind lle Differenzenquotienten 0, und dher ist uch überll f (x) 0. 2) Nun sei f (x) 0 für lle x (, b). Ist x < x 2, so gibt es nch dem Mittelwertstz ein x 0 mit x < x 0 < x 2, so dß gilt: 0 f (x 0 ) = f(x 2) f(x ) x 2 x, lso f(x ) f(x 2 ). 3) Ist f monoton wchsend, ber nicht streng monoton wchsend, so muß f uf einem Teilintervll positiver Länge konstnt sein, und dort verschwindet die Ableitung von f. Ist lso f überll positiv, so muß f streng monoton wchsend sein. Beispiele :. Sei f(x) := x 3. Dnn ist f (x) = 3x 2 und f (x) = 6x. D überll f (x) 0 ist, wächst f uf gnz R monoton. Außerhlb des Nullpunktes ist f (x) sogr positiv, lso wächst f dort streng monoton. Und für kleines positives h ist f( h) = h 3 <

22 32 KAPITEL I ANALYSIS 0 < h 3 = f(h). Drus folgt, dß f sogr überll streng monoton steigt. Trotzdem ist f (0) = Die Funktionen sinh(x) = 2 (ex e x ) und cosh(x) = 2 (ex + e x ) sind offensichtlich überll differenzierbr, und es gilt: sinh (x) = cosh(x) und cosh (x) = sinh(x). D sinh (x) > 0 für lle x ist, ist sinh streng monoton wchsend und somit umkehrbr. Die Umkehrfunktion wird mit rsinh (Are-Sinus hyperbolicus) bezeichnet. Die Beziehung y = sinh(x) = 2 (ex e x ) liefert eine qudrtische Gleichung für e x, und dmit 2y = (ex ) 2 e x, lso (e x ) 2 2y e x = 0, rsinh(y) = x = ln(y + + y 2 ). Ds positive Vorzeichen vor der Wurzel muß gewählt werden, weil e x > 0 ist. Drus folgt: rsinh (y) = + y 2. Der Cosinus hyperbolicus läßt sich nur für x 0 oder für x 0 umkehren. Die Umkehrfunktion rcosh (Are-Cosinus hyperbolicus) ist jeweils für y erklärt. Sie ist gegeben durch rcosh(y) = ln(y ± y 2 ). Schließlich knn mn den Mittelwertstz noch weiter verllgemeinern: Der 2. Mittelwertstz der Differentilrechnung Es seien f und g uf I := [, b] stetig und im Innern von I differenzierbr. Außerdem sei g (x) 0 im Innern von I. Dnn gibt es einen Punkt c im Innern von I mit f (c) g (c) = f(b) f() g(b) g(). Für g(x) = x erhält mn den. Mittelwertstz zurück. Beweis: Wäre g(b) g() = 0, so wäre g (x 0 ) = 0 für ein x 0 im Innern von I. Ds htten wir ber gerde usgeschlossen. Wir benutzen die Hilfsfunktion F (x) := f(x) f(b) f() g(b) g() (g(x) g()).

23 3 Mittelwertstz und Tylorsche Formel 33 Es ist F () = f() = F (b). Nch dem Stz von Rolle gibt es ein c im Innern des Intervlls, so dß F (c) = 0 ist. Aber offensichtlich ist F (c) = f (c) Drus folgt die gewünschte Gleichung. Als Anwendung ergibt sich die f(b) f() g(b) g() g (c).. Regel von de l Hospitl (der Grenzwert 0 0 ) Die Funktionen f und g seien uf dem offenen Intervll I := (, b) differenzierbr, und es sei g (x) 0 für x I. Außerdem sei c I und f(c) = g(c) = 0. f (x) Wenn lim existiert, dnn existiert uch x c g (x) und die beiden Grenzwerte sind gleich. f(x) lim x c g(x), Beweis: Wir rbeiten mit einseitigen Grenzwerten. Der Stz gilt dnn dementsprechend uch etws llgemeiner. Es sei (x ν ) eine Folge von Zhlen mit c < x ν < b und lim x ν = c (nicht notwendig ν monoton). Nch dem 2. Mittelwertstz gibt es Zhlen c ν mit c < c ν < x ν und f(x ν ) g(x ν ) = f(x ν) f(c) g(x ν ) g(c) = f (c ν ) g (c ν ). D uch lim c ν = c ist, strebt der letzte Quotient nch Vorussetzung gegen f (c) ν g (c). Aber ds bedeutet, dß f(x) lim x c+ g(x) = f (c) g (c) ist, und nlog schließt mn für den linksseitigen Grenzwert. An Stelle der Annäherung n eine endliche Zhl c knn mn uch den Fll x ± betrchten, es gelten nloge Aussgen. Beispiele :. Sei f(x) := sin x und g(x) := x. D f(0) = g(0) = 0 ist und f (x) g (x) = cos x sin(x) lim x 0 x für x 0 gegen strebt, ist uch = lim x 0 cos(x) =.

24 34 KAPITEL I ANALYSIS 2. Sei f(x) := ln( x) und g(x) := x + cos x. Dnn gilt: f (x) g (x) = (x )( sin x), für x 0. Aber mn drf l Hospitl gr nicht nwenden, denn es ist zwr f(0) = 0, ber g(0) =. Ttsächlich ist lim x 0 ln( x) x + cos x = Regel von de l Hospitl (der Grenzwert ) Die Funktionen f und g seien uf dem offenen Intervll I := (, b) differenzierbr, und es sei g (x) 0 für x I. Es sei lim f(x) = lim g(x) = +. x + x + f (x) Wenn lim x + g (x) f(x) existiert, dnn existiert uch lim x + g(x), und die beiden Grenzwerte sind gleich. Die gleiche Aussge gilt für die Annäherung n von links. Der Beweis benutzt ebenflls den verllgemeinerten Mittelwertstz, ist ber etws komplizierter. Ich lsse ihn hier weg. Beispiele :. Es ist ln(x) lim x ln(x) = lim x 0+ x 0+ x x = lim = lim ( x) = 0. x 0+ x 2 x Sei p(x) ein Polynom. Mehrfche Anwendung von l Hospitl ergibt: lim x e x p(x) = lim x e x p (x) =... = lim x Die Exponentilfunktion wächst stärker ls jedes Polynom. 3. Dgegen gilt: ln(x) lim x e x Konstnte = +. x p (x) = 0. p(x) = lim x Die Logrithmusfunktion wächst lso schwächer ls jedes Polynom. Definition: Ist f : I R überll k-ml differenzierbr und f (k) uf I noch stetig, so nennt mn f uf I k-ml stetig differenzierbr. Die Menge der k-ml stetig differenzierbren Funktionen uf I bezeichnet mn mit C k (I).

25 3 Mittelwertstz und Tylorsche Formel 35 Bemerkung : C k (I) ist ein R-Vektorrum, und D : C k (I) C k (I) mit D(f) := f ist eine linere Abbildung. Ker (D) besteht us den konstnten Funktionen. Sei I R ein Intervll, f : I R differenzierbr, I ein fest gewählter Punkt. Wir wollen versuchen, f in der Nähe von möglichst gut durch ein Polynom zu pproximieren. Dzu untersuchen wir erst einml ein Polynom selbst. D x n = ((x ) + ) n = n k=0 ( ) n n k (x ) k k ist, können wir nnehmen, dß wir ein Polynom p(x) vom Grd n in der Form gegeben hben. Es ist ((x ) k ) (i) = Drus folgt, dß p (i) () = i! b i ist, lso n p(x) = c k (x ) k k=0 k(k )... (k i + ) (x ) k i für i < k, k! für i = k, 0 sonst. p(x) = n k=0 p (k) () (x ) k. k! Wir nennen ds uch die Entwicklung von p im Punkte. Wir suchen jetzt zu einer Funktion f C n (I) ein Polynom p mit f (k) () = p (k) () für k = 0,,..., n. Definition: Sei f C n (I), I ein fester Punkt. Ds Polynom T n f(x) = T n f(x; ) := heißt n tes Tylorpolynom von f in. n k=0 f (k) () (x ) k k! Offensichtlich ist T f(x; ) = f() + f ()(x ) die Tngente n f in, und (T n f) (k) () = f (k) (), für k = 0,, 2,..., n. Nun geht es um ds Verhlten des Restgliedes R n (x) := f(x) T n f(x) in der Nähe von :

26 36 KAPITEL I ANALYSIS Stz von der Tylorentwicklung Es sei f C n (I) und R n (x) := f(x) T n f(x).. Es gibt eine Funktion η(x) mit lim x η(x) = 0, so dß gilt: R n (x) = η(x) (x ) n. 2. Ist sogr f C n+ (I), so gibt es zu jedem x ein c = c(x) zwischen und x, so dß gilt: R n f(x) = f (n+) (c) (n + )! (x )n+. Mn spricht dnn uch von der Lgrngeschen Form des Restgliedes. Die Drstellung f = T n f + R n nennt mn die Tylorentwicklung der Ordnung n von f im Punkte. Beweis: Wir beginnen mit dem zweiten Teil und betrchten φ(x) := R n(x) (x ) n+ für x. Die (n + ) te Ableitung von (x ) n+ ergibt (n + )!. Deshlb führt eine (n + ) fche Anwendung des 2. Mittelwertstzes zu φ(x) = R n(c ) (n + )(c ) n = R n(c 2 ) n(n + )(c 2 ) n = = R(n+) n (c) (n + )! = f (n+) (c) (n + )!, mit geeigneten Punkten c i = c i (x) zwischen und x, sowie c := c n+, lso R n (x) = f (n+) (c) (n + )! (x )n+. Ist f nur n ml stetig differenzierbr, so erhält mn uf die gleiche Weise die Beziehung f(x) T n f(x) = f (n) (c) (x ) n, n! mit einem geeigneten c zwischen und x. Wir setzen η(x) := n! (f (n) (c) f (n) ()). D c stets zwischen und x liegt und f (n) stetig ist, ist lim x η(x) = 0. Außerdem gilt: f (n) (c) n! (x ) n = f (n) () (x ) n + η(x) (x ) n. n!

27 3 Mittelwertstz und Tylorsche Formel 37 Ds ergibt die erste Behuptung. f(x) Bemerkung : Die Beziehung lim = 0 wird gerne mit Hilfe des Lnduschen x g(x) Symbols o bgekürzt: f(x) = o(g(x)) (für x ). Zum Beispiel ist oder ( + x) n = + nx + n(n ) x = + nx + o(x), (für x 0) 2 x sin( x ) = o(). Im Flle der Tylorentwicklung knn mn nun schreiben: Ist f C n (I), so ist f(x) = T n f(x) + o((x ) n ), (für x ). Wir wollen einige Beispiele zur Tylorentwicklung betrchten:. Sei = 0 und f(x) = sin(x). Es ist sin (x) = cos(x), sin (x) = sin(x), sin (3) (x) = cos(x), sin (4) (x) = sin(x), und dnn wiederholt sich ds wieder. Drus folgt: sin (2n) (0) = 0 und sin (2n+) (0) = ( ) n. Ds ergibt für die Entwicklung der Ordnung 2n + 2 : sin(x) = n k=0 2. Anlog geht es beim Cosinus. Es ist Drus folgt: cos(x) = ( ) k (2k + )! x2k+ + o(x 2n+2 ) = x 6 x x5 ± + ( )n (2n + )! x2n+ + o(x 2n+2 ). n k=0 cos (2n+) (0) = 0 und cos (2n) (0) = ( ) n. ( ) k (2k)! x2k + o(x 2n+ ) = 2 x x4 720 x6 ± + ( )n (2n)! x2n + o(x 2n+ ). Wir wollen diese Entwicklung benutzen, um den Cosinus numerisch zu berechnen. Zunächst sind einige Reduktionsschritte nötig.

28 38 KAPITEL I ANALYSIS ) D cos( x) = cos(x) ist, knn mn sich uf den Fll x 0 beschränken. 2) Wegen der Periodizität interessiert nur 0 x < 2π. 3) Wegen cos(π + x) = cos(π x) knn mn sich uf 0 x π beschränken. 4) Zwischen 0 und π ist cos( π + x) = cos( π x). Also brucht mn sogr nur den 2 2 Bereich 0 x π zu betrchten. 2 5) Für 0 x π verwenden wir die Tylorentwicklung cos(x) = x2 2 + x4 24 x R 7(x), wobei lso Dmit ist R 7 (x) = cos(x) T 7 cos(x) = cos(8) (c) 8! x 8 = cos(c) x8 ist, mit 0 c π 2, R 8 (x) ( ) cos(x) x2 2 ( x2 2 ( )) x2, für 0 x π Setzt mn x = π = ein, so erhält mn cos(x) 0.707, ws recht gut 4 dem ttsächlichen Wert 2 2 entspricht. 3. Sei wieder = 0 und f(x) = e x. D (e x ) = e x und e 0 = ist, folgt: e x = n k=0 k! xk + o(x n ) = + x + 2 x2 + 6 x3 + + n! xn + o(x n ). 4. Die Funktion f(x) = ln(x) ist nur für x > 0 definiert. Hier nehmen wir = ls Entwicklungspunkt. Es ist ln() = 0, ln (x) = x, ln (x) = x 2, ln(3) (x) = 2 x 3, ln(4) (x) = 6 x 4, und llgemein Ds bedeutet, dß ln (k) (x) = ( ) k+ (k )! x k, für k. ln (k) () k! k+ (k )! = ( ) k! = ( )k+ k für k

29 3 Mittelwertstz und Tylorsche Formel 39 ist, lso ln(x) = n ( ) k+ (x ) k + o((x ) n ) k= k = (x ) 2 (x )2 + 3 (x )3 ± + ( )n+ (x ) n + o((x ) n ). n Diese Entwicklung knn ntürlich nur für x > 0 gelten, und ds symptotische Verhlten bezieht sich sowieso stets nur uf die Annäherung n den Entwicklungspunkt. Als Anwendung der Tylorformel können wir jetzt ds Problem der loklen Extrem erledigen: Hinreichendes Kriterium für Extremwerte Die Funktion f sei in der Nähe von x 0 n ml stetig differenzierbr. Es sei f (k) (x 0 ) = 0 für k =,..., n und f (n) (x 0 ) 0. Ist n ungerde, so besitzt f in x 0 kein lokles Extremum. Ist n gerde, so liegt ein lokles Extremum in x 0 vor, und zwr ein Mximum, flls f (n) (x 0 ) < 0 ist, und ein Minimum, flls f (n) (x 0 ) > 0 ist. Beweis: Wir verwenden die Lgrngesche Form des Restgliedes bei der Tylorentwicklung. D f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (n ) (x 0 ) ist, folgt mit h := x x 0 : mit einem geeigneten c zwischen x 0 und x. f(x) = f(x 0 + h) = f(x 0 ) + f (n) (c) h n, n! Ist ε > 0 klein genug gewählt, so ist f (n) (x) 0 für x x 0 < ε, und dnn ht f (n) (c) ds gleiche Vorzeichen wie f (n) (x 0 ). Wir betrchten nur den Fll f (n) (x 0 ) > 0, der ndere geht nlog. D c von x (und dmit von h ) bhängt, können wir schreiben: mit einer positiven Funktion φ. f(x 0 + h) f(x 0 ) = φ(h) h n, Ist n ungerde, so wechselt h n bei h = 0 sein Vorzeichen, und es knn kein Extremwert vorliegen. Ist n gerde, so bleibt h n immer 0 und verschwindet bei h = 0. Dnn besitzt f in x 0 ein Minimum. Gelegentlich interessiert mn sich für die folgende Sitution: f (x 0 ) = f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) 0.

30 40 KAPITEL I ANALYSIS Dnn besitzt f in x 0 kein lokles Extremum. f knn nicht in einer gnzen Umgebung von x 0 verschwinden, denn dnn müßte j uch f (x 0 ) = 0 sein. Aber uch wenn eine Folge (x ν ) mit x ν x 0 existieren würde, so dß f (x ν ) = 0 für lle ν ist, so würde ds bedeuten, dß f f (x ν ) f (x 0 ) (x 0 ) = lim = 0 ν x ν x 0 ist, im Widerspruch zur Vorussetzung. Also muß es ein ε > 0 geben, so dß f (x) 0 für x x 0 < ε und x x 0 ist. D f (x 0 ) = 0 ist und f in x 0 kein Extremum besitzt, muß f bei x 0 sein Vorzeichen wechseln, und demnch f bei x 0 sein Monotonieverhlten. Der Grph einer Funktion mit monoton wchsender Ableitung ist nch links gekrümmt, der einer Funktion mit monoton fllender Ableitung ist nch rechts gekrümmt. Linkskrümmung Rechtskrümmung Sei f C 2 (I), x 0 I und f (x 0 ) = 0. Definition: f ht in x 0 einen Wendepunkt, flls f dort sein Vorzeichen ändert (lso f von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung übergeht, oder umgekehrt). Bemerkung : Wir bruchen für einen Wendepunkt nicht die Vorussetzung, dß f (x 0 ) = 0 ist. Wenn ds zusätzlich erfüllt ist, sprechen wir von einem Sttelpunkt. Wir hben gezeigt: Hinreichendes Kriterium für Wendepunkte Sei I ein offenes Intervll, f C 3 (I) und x 0 I. Ist f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) 0, so besitzt f in x 0 einen Wendepunkt. Beispiele :. Sei f(x) := x 3. Es ist f (x) = 6x, lso f (0) = 0. Für x < 0 ist f (x) < 0, und für x > 0 ist f (x) > 0. Also wechselt f von einer Rechtskrümmung zu einer Linkskrümmung

31 3 Mittelwertstz und Tylorsche Formel 4 und ht dmit in 0 einen Wendepunkt. Ttsächlich ist f (0) = Sei f(x) := x 4, lso f (x) = 2x 2, f (x) = 24x und f (4) (x) = 24. Es ist f (0) = f (0) = f (0) = 0, ber f (4) (0) > 0. Dmit muß f im Nullpunkt ein Minimum besitzen, es knn dort kein Wendepunkt vorliegen! 3. Jetzt betrchten wir noch f(x) := x 5. Es ist f (x) = 5x 4, f (x) = 20x 3 und f (x) = 60x 2, lso f (0) = 0 und f (0) = 0. Aber offensichtlich ist f (x) < 0 für x < 0 und f (x) > 0 für x > 0. Dmit besitzt f im Nullpunkt einen Wendepunkt.

32 42 KAPITEL I ANALYSIS 4 Integrle und Stmmfunktionen Definition: Ist M R eine beliebige Teilmenge, so nennt mn die durch χ M (t) := { für t M, 0 sonst, definierte Funktion χ M : R R die chrkteristische Funktion von M. Wir wollen im Folgenden chrkteristische Funktionen von beschränkten Intervllen betrchten, lso von Intervllen I der Form (, b), [, b), (, b] oder [, b]. In jedem dieser Fälle nennt mn l(i) := b die Länge des Intervlls, und mit I bezeichnet mn ds offene Intervll (, b). Ein Punkt liegt genu dnn gnz im Innern von I, wenn er in I liegt. Definition: Eine Treppenfunktion uf R ist eine endliche Linerkombintion φ = c χ I + + c r χ Ir, wobei I,..., I r beschränkte Intervlle und c,..., c r reelle Konstnten sind. Mn nennt φ eine Treppenfunktion uf dem (bgeschlossenen) Intervll [, b], flls φ(t) = 0 für t < und t > b ist. die Teilmenge ller Trep- T sei die Menge ller Treppenfunktionen uf R, und T b penfunktionen uf [, b]. Es ist offensichtlich, dß T ein Vektorrum über R und T b ein Unterrum von T ist. T selbst ist übrigens ein Unterrum des Vektorrumes B(R, R) ller beschränkten Funktionen uf R, trägt lso uf ntürliche Weise eine Norm. Beispiel : Sei I := [0, 4], I 2 := (2, 5], I 3 := [7, 8) und φ(t) := 3 χ I 2 χ I2 + 5 χ I3. Dnn gilt: φ(t) = 3 für 0 t 2 für 2 < t 4 2 für 4 < t 5 0 für 5 < t < 7 5 für 7 t < 8 Dnn ergibt sich folgendes Bild: und φ(t) = 0 für t < 0 und t 8.

33 4 Integrle und Stmmfunktionen 43 Es sieht lso so us, ls ob eine Treppenfunktion immer stückweise konstnt ist. Wir müssen nur R in geeigneter Weise zerlegen. Unter einer Zerlegung von R verstehen wir eine ufsteigende endliche Folge von reellen Zhlen t 0 < t <... < t n. Eine weitere Zerlegung nennen wir eine Verfeinerung der ersten, wenn sie us ihr durch Hinzunhme weiterer Teilungspunkte hervorgegngen ist. Zulässige Zerlegung zu einer Treppenfunktion Zu einer Treppenfunktion φ uf R gibt es eine Zerlegung t 0 < t <... < t n und Zhlen k,..., k n, so dß gilt: φ (ti,t i ) k i für i =,..., n und φ(t) = 0 für t < t 0 und t > t n. Jede Zerlegung mit den obigen Eigenschften nennt mn eine zulässige Zerlegung für φ. Mn bechte, dß nichts über die Werte von φ in den Punkten t i usgesgt wird! r Beweis: Sei φ = c ϱ χ Iϱ eine Treppenfunktion, und I ϱ = ( ϱ, b ϱ ), für ϱ =,..., r. ϱ= Mn knn offensichtlich eine Zerlegung t 0 < t <... < t n finden, so dß gilt: Wir setzen {, b, 2, b 2,..., r, b r } = {t 0, t,..., t n }. M := {,..., r} und M i := {ϱ M (t i, t i ) ( ϱ, b ϱ )}. Für t (t i, t i ) ist dnn φ(t) = c ϱ χ Iϱ (t) ϱ M = c ϱ + c ϱ 0 ϱ M i ϱ M\M i = c ϱ =: k i = konstnt. ϱ M i Und liegt t ußerhlb [t 0, t n ], so ist ntürlich φ(t) = 0.

34 44 KAPITEL I ANALYSIS Ist I ein beschränktes Intervll (mit den Endpunkten und b) und c eine positive reelle Zhl, so ist φ := c χ I eine besonders einfche Treppenfunktion und = t 0 < t = b eine zulässige Zerlegung für φ. Die Fläche unter dem Grphen von φ wird durch die Zhl Σ(φ) := c (b ) = c l(i) gegeben. c b Ist c < 0, so knn mn höchstens von der Fläche zwischen dem Grphen und der x-achse sprechen. Der Flächeninhlt ist gleich geblieben, ber die Zhl Σ(φ) ist nun negtiv. Definition: Ist φ = c χ I + + c r χ Ir eine Treppenfunktion, so versteht mn unter dem Integrl r von φ die Zhl Σ(φ) := c ϱ l(i ϱ ). ϱ= Diese Definition ist einfch, ber nicht sehr nschulich. Und d die Drstellung einer Treppenfunktion ls Linerkombintion von chrkteristischen Funktionen nicht eindeutig ist, muß mn uch noch zeigen, dß die Definition von Σ(φ) unbhängig von der gewählten Drstellung von φ ist. Σ(φ) ist unbhängig von der Drstellung von φ Sei t 0 < t <... < t n eine zulässige Zerlegung für die Treppenfunktion φ, lso φ (ti,t i ) k i und φ(t) = 0 für t < t 0 und t > t n, so ist n Σ(φ) = k i (t i t i ). i= r Beweis: Sei φ = c ϱ χ Iϱ und I ϱ = ( ϱ, b ϱ ), für ϱ =,..., r. ϱ= Geht mn von der gegebenen zulässigen Zerlegung zu einer Verfeinerung über, so erhält mn wieder eine zulässige Zerlegung. Aber für t i < ξ < t i ist k i (ξ t i )+k i (t i ξ) = k i (t i t i ). Wir können lso o.b.d.a. nnehmen, dß die gegebene zulässige Zerlegung schon fein genug ist, nämlich so fein, dß gilt: {, b, 2, b 2,..., r, b r } {t 0,..., t n }. Die Intervlle (t i, t i ) enthlten dnn keinen der Punkte ϱ oder b ϱ. Wenn sie lso zu einem I ϱ nicht disjunkt sind, müssen sie schon gnz drin enthlten sein. Wie oben setzen

35 4 Integrle und Stmmfunktionen 45 wir M := {,..., r} und M i := {ϱ M (t i, t i ) I ϱ }. Außerdem sei { cϱ flls ϱ M f(i, ϱ) := i, 0 sonst. r Dnn ist f(i, ϱ) = c ϱ = k i. ϱ= ϱ M i D sich I ϱ us llen Intervllen (t i, t i ) mit ϱ M i zusmmensetzt, ist l(i ϱ ) = (t i t i ), lso c ϱ l(i ϱ ) = i mit ϱ M i und n f(i, ϱ)(t i t i ), i= Σ(φ) = = = = r c ϱ l(i ϱ ) ϱ= r n f(i, ϱ)(t i t i ) ϱ= i= n r f(i, ϱ) (t i t i ) i= ϱ= n k i (t i t i ). i= Ds wr zu zeigen. Eigenschften des Integrls von Treppenfunktionen. φ Σ(φ) ist eine Linerform uf T. 2. Es ist Σ(χ [0,] ) =. 3. Ist φ ψ, so ist Σ(φ) Σ(ψ) 4. Ist φ T b, so ist Σ(φ) (b ) φ. Dbei ist φ := sup{ φ(t) : t [, b]}. Beweis: ) Die Linerität folgt sehr einfch us der Gleichung Σ(c χ I + + c r χ Ir ) = c Σ(χ I ) + + c r Σ(χ Ir ). 2) ist trivil.

36 46 KAPITEL I ANALYSIS 3) Ist φ 0, so ist offensichtlich uch Σ(φ) 0. Ds sieht mn sofort, wenn mn eine zulässige Zerlegung für φ benutzt. Ist ψ φ, so ist ψ φ 0 und dher Σ(ψ) Σ(φ) = Σ(ψ φ) 0, lso Σ(ψ) Σ(φ). 4) Ist = t 0 < t <... < t n = b eine zulässige Zerlegung für φ und φ (ti,t i ) k i, so ist n Σ(φ) k i (t i t i ) φ (b ). i= Definition: Sei I ein beschränktes Intervll mit unterer Grenze und oberer Grenze b. Eine Funktion f : I R heißt Regelfunktion uf I, wenn f in jedem Punkt x (, b) sowohl einen linksseitigen ls uch einen rechtsseitigen Grenzwert, in einen rechtsseitigen und in b einen linksseitigen Grenzwert besitzt. R(I) sei der Vektorrum der Regelfunktionen uf I. Alle stetigen Funktionen, lle monotonen Funktionen und lle Treppenfunktionen uf I sind Regelfunktionen. Mit f und g sind uch f, f g, mx(f, g) und min(f, g) Regelfunktionen. Approximtionsstz Eine Funktion f : [, b] R ist genu dnn eine Regelfunktion, wenn es eine Folge von Treppenfunktionen φ n T b gibt, die uf [, b] gleichmäßig gegen f konvergiert. Der Beweis ist nicht gnz einfch und wird deshlb hier weggelssen. D jede Treppenfunktion höchstens endlich viele Unstetigkeitsstellen besitzt, ist ds folgende Ergebnis nicht llzu verwunderlich: Unstetigkeitsstellen von Regelfunktionen Jede Regelfunktion f : [, b] R ist mit Ausnhme von höchstens bzählbr vielen Stellen stetig. Jetzt können wir den Integrlbegriff vom Rum der Treppenfunktionen uf den Rum der Regelfunktionen usdehnen: