Fachhochschule Bochum Fachhochschule Münster Fachhochschule Südwestfalen

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1 Fachhochschule Bochum Fachhochschule Münster Fachhochschule Südwestfalen Verbundstudiengang Technische Betriebswirtschaft Prof. Dr. rer. nat. habil. J. Resch Modulprüfung Mathematik 1 Termin: November 2007 Bearbeitungszeit: 90 Minuten Name, Vorname Matrikelnummer Aufgabe Gesamt Note Punkte Soll: Ist: Hinweise: Lesen Sie zunächst alle Aufgaben durch. Vergewissern Sie sich, dass die Aufgabenstellung vollständig ist, Sie umfasst das Deckblatt und 4 Aufgabenblätter. Versehen Sie das Deckblatt mit Ihrem Namen und der Matrikelnummer und kennzeichnen Sie jedes weitere Blatt zur Sicherheit mit Ihrem Namen (oben rechts). Für die Lösung ist auf den Aufgabenblättern Platz vorgesehen, die Rückseiten können dafür ebenfalls verwendet werden. Sollte der Platz dann immer noch nicht ausreichen, verweisen Sie am Seitenende auf eine konkretes (Seitennummer) der von der Prüfungsaufsicht zur Verfügung gestellten Zusatzblätter, die Sie bitte nummerieren und ebenfalls mit Ihrem Namen kennzeichnen. Eigenes Papier darf für die Lösungen nicht verwendet werden. Kennzeichnen Sie bitte immer eindeutig, zu welcher Aufgabe/Teilaufgabe die Lösung gehört. Aus Ihrer Lösung einer Aufgabe muss der Lösungsweg erkennbar sein. Falls Sie den Taschenrechner für komplexere Lösungsschritte verwenden, sollten Sie dies vermerken, z.b. Nullstelle / Gleichung... mit dem Taschenrechner bestimmt / gelöst ; 1

2 1. In einer Zeitung werden kurzfristige Kredite bis zu e angeboten. Es werden bei einer fest vorgegebenen Kreditlaufzeit von 3 Monaten 3% Zinsen sowie eine bei der Kreditvergabe zu zahlende Gebühr von 30 e berechnet. (a) Welchem Effektivzins entspricht dieses Kreditangebot, wenn es für einen Kredit über e in Anspruch genommen wird? (b) Ändert sich der Effektivzins, wenn die Kreditsumme kleiner wird? Begründen Sie Ihre Aussage. 2

3 2. Herr A. nimmt einen Kredit über e auf, bei dem der zu zahlende Zinssatz für die gesamte Laufzeit auf 6.5% festgeschrieben ist. Es wurde eine Tilgung in Höhe von 3% zzgl. der ersparten Zinsen (jährlich, nachschüssig), aber eine äquivalente monatliche (nachschüssige) Zahlungsweise vereinbart. (a) Wie hoch ist die monatliche Belastung für Herrn A.? (b) Wie viele Monate dauert die Tilgung, wenn mit einer verminderten Abschlussannuität gerechnet wird? (c) Herr A. wird nach sieben Jahren für ein Jahr arbeitslos, so dass er die im Kreditvertrag für diesen Fall vereinbarte Stundung in Anspruch nehmen muss, d.h. er zahlt im achten Jahr weder Zinsen noch Tilgung. Da der Job, den er danach findet, weniger gut bezahlt wird, möchte er (vom Beginn des 9. Jahres an) eine geringere monatliche Zahlung vereinbaren. Welche monatliche Zahlung muss er vereinbaren, wenn er den Kredit nach insgesamt 25 Jahren getilgt haben möchte? 3

4 3. In einem monopolistischen 1-Produkt-Unternehmen wurde der Absatz x in Abhängigkeit vom Preis p erfasst. Preis p in e/stck Absatzmenge x in ME zu je 1000 Stck (a) Bestimmen Sie aus den in der Tabelle zusammengestellten Werten eine stückweise lineare Preis-Absatz-Funktion x (a) = x (a) (p), p [12, 22], die die in der Tabelle zusammengestellten Werten realisiert und geben Sie an, welche Eigenschaften diese Funktion hat (Monotonie, Krümmungseigenschaften, Stetigkeit, Differenzierbarkeit). (b) Alternativ zu der in (a) bestimmten stückweise linearen Funktion kann die Absatzmenge auch nach einer linearen Funktion x (b) (p) = p bestimmen, die zwar etwas einfacher ist, aber die tatsächlichen Absatzmengen nicht so genau wiedergibt. Wie groß ist die maximale Differenz der beiden Absatzmengen x (a) und x (b), die sich nach der in Aufgabe (a) bestimmten und dieser vorgegebenen Funktion ergeben, betragsmäßig und bei welchem Preis p 0 [12, 22] wird dieses Maximum angenommen? 4

5 4. Ein 1-Produkt-Unternehmen produziert nach der Kostenfunktion K(x) = x x x , wobei die Kosten in e und x in ME von je Stück angegeben sind. (a) Bestimmen Sie für das Unternehmen eine Angebotsfunktion x(p), die angibt, wie viel das Unternehmen in Abhängigkeit vom Marktpreis p produzieren muss, wenn davon ausgegangen wird, dass das Unternehmen seinen Gewinn G(x) = p x K(x) jeweils maximieren möchte. Geben Sie den mathematischen Definitionsbereich dieser Funktion an. (b) Bestimmen Sie die untere Grenze p 1 des ökonomischen Definitionsbereichs D oec = [p 1, ) der in Aufgabe (a) bestimmten Angebotsfunktion (in e/stück), unterhalb der das Unternehmen nicht mehr in der Lage wäre, die laufenden (variablen) Kosten zu decken? (c) Bestimmen Sie die den Preis p 2, von dem an das Unternehmen in der Lage wäre, seine gesamten Kosten zu decken? Hinweise: 1. Überlegen Sie für alle Funktionswerte, in welchen Einheiten diese angegeben werden! 2. Falls Sie Gleichungen höheren als zweiten Grades lösen müssen, benutzen Sie das Newton-Verfahren. Begründen Sie die Wahl Ihrer Anfangsnäherung und beschreiben Sie mindestens eine Iteration ausführlich! 5

6 Lösungen 1. (a) (10 Punkte) i eff = % (b) (4 Punkte) ja, der Effektivzins steigt, da die konstante Gebühr einem höheren Prozentsatz der Kreditsumme entspricht. 2. (a) (8 Punkte) A m = e (b) (8 Punkte) n = d.h. 220 Monate (c) (14 Punkte) Ã m = e 3. (a) (16 Punkte) p, p [12, 14] x(p) = p, p (14, 16] p, p (16, 22] x(p) ist degressiv fallend, stetig und nicht differenzierbar. (b) (8 Punkte) Größte Abweichung bei p 0 = 12 e beträgt = 54 Tausend Stück. 4. (a) (12 Punkte) x(p) = 60 + p p 1200 (b) (6 Punkte) p 3 900, d.h e/stück (kurzfristiges Preisminimum) (c) (14 Punkte) p , d.h e/stück (langfristiges Preisminimum) 6