Gymnasium Muttenz Maturitätsprüfung 2013 Mathematik Profile A und B
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- Emil Becker
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1 Gymnasium Muttenz Maturitätsprüfung 2013 Mathematik Profile A und B Name, Vorname:... Hinweise: Klasse:... Die Prüfung dauert 4 Stunden. Es können maximal 48 Punkte erreicht werden. Es werden alle Aufgaben bewertet. Der Lösungsweg muss bei allen Aufgaben ersichtlich und vollständig sein. Der Einsatz des CAS-Rechners ist klar anzugeben. Vorgehen: Teil A: Sie erhalten die Aufgaben (1), (2) und (3), die Sie mit Hilfe des CAS- Rechners und der Formelsammlung (FS A. Wetzel, 4. Auflage) lösen. Teil B: Nach Abgabe des CAS-Rechners erhalten Sie die Aufgaben (4) und (5), zu deren Lösung nur noch die Formelsammlung als einziges Hilfsmittel zugelassen ist. Die Aufgaben (1), (2) und (3) dürfen Sie bei Bedarf ohne Rechner weiterbearbeiten. Am Ende der Prüfung werden alle Lösungen der Aufgaben zusammen abgegeben. Klasse 4A 4AM 4Ba 4Bb Bewertung: Aufgabe (1) Analysis 8P (2) Komplexe Zahlen 10P (3) Stochastik 10P Examinatorin/Examinator (4) Vektorgeometrie 6P, Kombinatorik 4P (5) Kegelschnitte 7.5P, Folgen & Reihen 2.5P Anzahl erreichte Punkte Punktesumme: Note = P unktesumme Note: gerundet auf halbe Noten
2 Teil A mit Rechner Aufgabe 1 (8 Punkte) Gegeben sei die Funktionsschar f a (x) = x2 +a x+2 x (a) Erstellen Sie für a = 2 und a = 5 je eine Skizze des Graphen der Funktion ins gleiche Koordinatensystem (Einheit 1 = 2 Häuschen). [1P] (b) Bestimmen Sie die x-koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte der Funktionsschar in Abhängigkeit von a, inklusive Nachweise. [2P] (c) Zeigen Sie, dass unabhängig von a alle Funktionsgraphen die gleiche Asymptote besitzen und bestimmen Sie ihre Gleichung. [1P] (d) Für welche Werte von a besitzt der Graph von f a (x) keine Nullstellen? [1P] (e) Für welche Werte von a schneidet der Graph von f a (x) die y-achse unter einem Winkel von 20.13? [3P]
3 Aufgabe 2 (10 Punkte) (a) p (t) ist eine komplexwertige Funktion, deren Graph eine Parabel mit dem Scheitelpunkt S(0 4) darstellt. k (t) ist eine komplexwertige Funktion, deren Graph ein Kreis mit dem Radius R = 2 und dem Mittelpunkt M(0 0) darstellt. Der Kreis, die beiden Winkelhalbierenden und die Parabel besitzen in Q und R gemeinsame Punkte. Geben Sie für p (t) die Funktionsgleichung an. (siehe Bild 1) [1.5P] (b) Durch Drehungen des Graphen von p (t) um den Ursprung entstehen die Graphen von m (t), n (t), o (t) und u (t) welche zusammen die dargestellte symmetrische blumenartige Figur F bilden. Geben Sie für m (t) die Funktionsgleichung an. (siehe Bild 2) [1P] (c) Bestimmen Sie den t-bereich so, dass F eine geschlossene Figur ist. [0.5P] (d) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Figur F. [2P] (e) Ein Quadrat mit der Seitenlänge 6 und dem Mittelpunkt M(0 0) wird so um die Figur F gelegt, dass die Seiten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Untersuchen Sie rechnerisch, ob der Graph von m (t) die Quadratseiten berührt. (siehe Bild 3) [2.5P] (f) Der Kreis k (t) wird im mathematisch positiven Sinn 30 um das Drehzentrum Z(0 2) gedreht. Zeigen Sie, dass der gedrehte Kreis und die Gerade x = 3 genau einen Punkt gemeinsam haben und berechnen Sie seine Koordinate. (siehe Bild 4) [2.5P]
4 Aufgabe 3 (10 Punkte) Hans und Fritz spielen folgendes Spiel: Jeder erhält 12 Kärtchen, nummeriert mit den Zahlen von 1 bis 12. Nun werden zwei Würfel gleichzeitig geworfen. Falls die Nummer eines Kärtchens durch Addition oder Subtraktion der beiden gewürfelten Augenzahlen erreicht werden kann, darf jeder Spieler ein entsprechendes Kärtchen in einen Topf ablegen. Wird zum Beispiel eine 3 und eine 5 gewürfelt, darf entweder das Kärtchen mit der Nummer 8 (= 3 + 5) oder das Kärtchen mit der Nummer 2 (= 5 3) abgelegt werden. (a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann nach dem ersten Würfeln der beiden Würfel das Kärtchen mit der Nummer 5 abgelegt werden? [1P] (b) Bestimmen Sie für alle übrigen Kärtchen die Wahrscheinlichkeit, nach dem ersten Würfeln abgelegt werden zu können. [2P] (c) Wie viele Runden müssten mindestens gespielt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% das Kärtchen mit der Nummer 1 abgelegt werden könnte? [2P] (d) Es werden 10 Spielrunden gespielt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigt dabei in 8 oder mehr Spielrunden mindestens ein Würfel eine gerade Augenzahl? [3P] (e) Gegen Ende des Spiels hat Hans bereits alle seine Kärtchen in den Topf abgelegt und Fritz besitzt nur noch das Kärtchen mit der Nummer 11. Er beschliesst nun so lange zu würfeln, bis er dieses Kärtchen ablegen kann. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann er spätestens nach drei Mal würfeln das Kärtchen ablegen? [2P]
5 Teil B ohne Rechner Aufgabe 4 (10 Punkte) Kurzaufgabe 4.1 Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E: x 5 3 g : y = 1 + t 2 und E : 4 x 8 y + z 16 = 0 z 3 4 (a) Zeigen Sie, dass g parallel zu E verläuft. [1P] (b) Berechnen Sie den Abstand zwischen g und E. [2P] (c) Die Ebene E schliesst mit den drei Koordinatenebenen eine Pyramide ein. Der Schnittpunkt der Ebene E mit der z-achse bildet die Spitze dieser Pyramide. Bestimmen Sie das Pyramidenvolumen. [3P] Kurzaufgabe 4.2 An einem Justin Bieber Konzert setzt sich das Publikum von 2013 Personen aus 13 Männern und 2000 Frauen zusammen (Hinweis: Für die folgenden Teilaufgaben ist das Zahlergebnis jeweils nicht verlangt). (a) Auf wie viele Arten kann man aus dem Publikum eine Gruppe von 13 Personen auswählen, welche aus 10 Frauen und 3 Männern besteht? [1P] (b) Die Konzerthalle hat genau 2013 Sitze. 13 davon sind strikte für die 13 Männer reserviert. Wie viele Sitzordnungen sind möglich, wenn alle 2013 Personen ordnungsgemäss Platz nehmen? [1P] (c) Am Schluss des Konzerts möchten 13 Personen Justin gratulieren und warten in einer Reihe vor seiner Garderobe. Wie viele Möglichkeiten gibt es für eine solche Reihe von 13 Personen? [1P] (d) Sortieren Sie die Ergebnisse von (a), (b) und (c) der Grösse nach. [1P]
6 Aufgabe 5 (10 Punkte) Kurzaufgabe 5.1 Gegeben sind die beiden Kurven K 1 : y 2 4 x 2 4 = 0 und K 2 : y 2 8 x = 0. (a) Skizzieren Sie K 1 und K 2 für 2 x 2 in das gleiche Koordinatensystem (Einheit 1 = 2 Häuschen). [2P] (b) Bestimmen Sie die Gleichungen aller Asymptoten von K 1. [1P] (c) Berechnen Sie die Koordinaten der gemeinsamen Punkte von K 1 und K 2. [1.5P] (d) K 1 und K 2 begrenzen im ersten Quadranten mit der y-achse die Fläche F. Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der sich ergibt, wenn F um die x-achse rotiert. [3P] Kurzaufgabe 5.2 (a) In ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 sind 16 kongruente Kreise eingelagert. Jeder Kreis hat vier Berührungspunkte mit Nachbarkreisen oder Quadratseiten. Berechnen Sie den Inhalt A 4 der von den Kreisen bedeckten Fläche. [1P] (b) Auf die gleiche Weise werden nun n 2 statt 16 Kreise in das Quadrat eingelagert. Berechnen Sie den Inhalt A n der von den Kreisen bedeckten Fläche für n. [1.5P]
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