Moderne Theoretische Physik WS 2013/2014

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Moderne Theoretische Physik WS 2013/2014"

Transkript

1 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Moderne Theoretische Physik WS 23/24 Prof. Dr. A. Shnirman Blatt 2:Lösungen Dr. B. Narozhny Besprechung Gauß scher Satz: Erst geben wir die allgemeine Formel des Elektrischen Feldes in Abhängigkeit von der Ladungsverteilung an, bevor wir für die konkreten Ladungsverteilungen die Felder berechnen. Maxwell (Kugelsymmetrie Größen hängen nur vom Betrag des Ortes ab: (ɛ E (r = ρ (r d 3 r E (r = d 3 r ρ (r ɛ. Wir wenden den Satz von Gauß auf der linken Seite der Gleichung an. Wegen der Rotationssymmetrie ist das elektrische Feld radial und somit parallel zum Normalenvektor der Kugeloberfläche ausgerichtet. Es kann also mit den Beträgen gerechnet werden: da E (r = 4πr 2 E (r = E (r = 4πr 2 E (r = 4πr 2 E (r = ɛ r 2 d 3 r ρ (r ɛ d 3 r ρ (r r r ɛ d 3 r ρ (r ɛ dr 2π dr r 2 ρ (r. π r 2 dφ r d cos (θ ρ (r π ɛ 2

2 (a leitende Kugel Ladungen sitzen gleichmäßig verteilt auf der Oberfläche ρ (r = Q δ (r R 4πR2 Q r E (r = dr r 2 δ (r R ( 4πR 2 ɛ r 2 E (r = = { Q R 2 falls R (, r 4πR 2 ɛ r 2 sonst Q 4πR 2 ɛ r 2 R2 Θ (r R (2 = Q Θ (r R, (3 4πɛ r2 wobei Θ(x x = die Heaviside-Funktion ist. { falls x x, sonst dθ(x dx = δ(x, (4

3 (b gleichmässig verteilte Ladung ρ (r = Q 4 Θ (R r πr3 3 3 Q r E (r = dr r 2 Θ (R r 4πR 3 ɛ r 2 ( 3Q = 4πR 3 ɛ r 2 3 R3 Θ (r R + 3 r3 Θ (R r = Q Θ (r R + Q r Θ (R r. (5 4πɛ r2 4πɛ R3 (c Ladungsdichte, die mit r n variiert (n > 3, Skizze für n = ±2: Wie in den vorherigen Aufgaben auch, muss die Ladungsdichte so normiert werden, dass das Integral über die Gesamtladung Q ergibt: ρ (r = Q N rn Θ (R r, Q = N = R = Q N R R dr4πr 2 ρ (r dr4πr n+2 dr4πr n+2 = 4πRn+3 n + 3. (6

4 Damit können wir das Elektrische Feld berechnen: Q (n + 3 ρ (r = 4πR n+3 rn Θ (R r Q (n + 3 r E (r = dr r 2 r n Θ (R r 4πR n+3 ɛ r 2 ( Q (n + 3 = 4πR n+3 ɛ r 2 n + 3 Rn+3 Θ (r R + n + 3 rn+3 Θ (R r = Q Q Θ (r R + 4πɛ r2 4πɛ R n+3 rn+ Θ (R r. (7

5 2. Leitende Fläche: Die Fläche ist leitend, daher darf keine elektrische Feldkomponente in den Platten vorhanden sein. Das Potential ist konstant und wir wählen insbesondere Φ =. Wir legen die Punktladung in die xy-ebene und bezeichnen ihre Position mit r = (, a T. (a Die Spiegelladung mit Ladung q liegt dann bei r = (, a T. (b Das Gesamtpotential ist gegeben durch φ(r = 4πɛ i= = q 4πɛ q i r r i [ ] x2 + (y a 2 + z 2 x2 + (y + a 2 + z 2 (8 Auf der Fläche φ(y = = q 4πɛ [ ] x2 + a 2 + z =. 2 x2 + a 2 + z 2 Das elektrische Feld auf der Fläche ist senkrecht φ E(x,, z = e y y, y= qa ( E(x,, z = e y x 2 + a 2 + z 2 3/2. 2πɛ (c Die Oberflächnladungsdichte ergibt sich wieder aus dem Sprung des elektrischen Feldes (siehe Aufgabe d σ(x,, z = aq ( x 2 + a 2 + z 2 3/2. 2π (d Die gesamte Oberflächenladung in der xz-ebene is gegeben durch Q = dx dz σ(x,, z = aq 2π dx dz = q. (x 2 + a 2 + z 2 3/2

6 3. Leitende Kugel: (a Da die leitende Kugel geerdet ist, gilt für das Potential im Innenraum K R, φ(r =. Wir berechnen nun das Potential im Außenraum K R C = {r R3 : r > R} mit der Methode der Spiegelladung. Wir fügen eine fiktive Spiegelladung q im Innenraum der Kugel hinzu, deren Potential im Außenraum die Laplace-Gleichung erfüllt, also eine homogene Lösung darstellt. Diese Lösung wird so gewählt, dass das Gesamtpotential das Randwertproblem löst. Die Spiegelladung beschreibt dabei das Potential der auf dem Rand des Gebietes K R C induzierten Oberflächenladung. Da das Problem symmetrisch bezüglich Rotationen um die z-achse ist kann die Spiegelladung ebenfalls nur auf der z-achse liegen. Wir bezeichnen die Position der Spiegelladung mit a = a e z, wobei a < R gilt und e z den Einheitsvektor in z-richtung bezeichnet. Das Potential im Außenraum ist nun gegeben durch die Überlagerung beider Potentiale, φ(r = 4πɛ ( q r ae z + q r a e z. (9 Die Konstanten a und q sind aus der Randbedingung φ( r = R = zu berechnen. Dazu betrachten wir die zwei Punkte r = ±Re z in Gl. (9. Wir erhalten die beiden Gleichungen q a R = q a + R = q R a, ( q a + R. ( Man erkennt unmittelbar, dass sign(q = sign(q gilt. Teilt man nun Gl. ( und ( durcheinander so erhält man a = R2 a < R. (2 Einsetzen in Gl ( gibt die Spiegelladung q = q R a. (3 Wir setzen die Konstanten aus Gl. (2 und (3 in das Potential (9 ein und erhalten ( φ(r = q 4πɛ r ae z R/a r R 2 e a z = q 4πɛ a + r2 2 r cos(θ R 2 + r2 2 r cos(θ (4 a 2 a a 2 R 2 a = q a + r2 2 r cos(θ. R2 + r2 2 r cos(θ R 2

7 Hierbei haben wir das Potential in Kugelkoordinaten (r, ϕ, θ geschrieben, wobei wir r e z = r cos(θ benutzen. In der letzten Zeile haben wir die dimensionslosen ariablen r = r/a, R = R/a eingeführt und schreiben q = q/4πɛ. (b Das elektrische Feld ist gegeben durch E(r = φ(r, wobei wir den -Operator in Kugelkoordinaten verwenden = e r r + e θ r θ + e φ r sin(θ φ. (5 Wir wollen das elektrische Feld auf der Kugeloberfläche, also für r R berechnen. Das Potential (4 hängt nicht vom Azimutalwinkel ϕ ab, daher verschiwndet die Komponente des elektrisches Feldes in Richtung e φ. Die Ableitung des Potentials nach dem Polarwinkel θ verschwindet ebenfalls auf der Kugeloberfläche, [ ] r sin(θ θ φ(r r R = ( + r 2 2 r cos(θ r sin(θ 3/2 ( R 2 + r 2 / R =. 2 2 r cos(θ 3/2 r= R (6 Damit ist das elektrische Feld auf der Kugeloberfläche parallel zu e r und gegeben durch φ E( r r=r = e r q a r = e R 2 r r=r a R[ + R 2 2 R. (7 cos(θ] 3/2 Oder ausgedrueckt durch, R, a, q und r, E(r r=r = e r q a 2 R 2. (8 4πɛ R[a 2 + R 2 2aR cos(θ] 3/2 (c Aus dem Potential (4 ergibt sich die Kraft, welche auf die Punktladung q wirkt. Dabei muss die unendliche Selbstwechselwirkung (der erste Term in Gl. (4 ignoriert werden. Die Ladung q erfährt daher nur die Kraft hervorgerufen durch die Oberflächenladung, welche äquivalent zur Bildladung ist, q F = qe Bildl. (ae z = qe r a r = q ar R + r 2 2 r cos(θ r=a 4πɛ (a 2 R 2. (9 2 R 2 Die Ableitung θ φ verschwindet im Punkt r = a, θ =. (d Nach dem Gaußschen Gesetz ist die Oberflächenladung σ auf der Kugeloberfläche gegeben durch die Unstetigkeit des elektrischen Feldes an der Grenzschicht mit Normalen ±e r, σ = ɛ e r [E(r R E(r R]. (2 Da das elektrische Feld im Innenraum verschwindet erhalten wir mit der Gl. (8 σ Oberfl. = q 4π a 2 R 2. (2 R[a 2 + R 2 2aR cos(θ] 3/2

8 Und für die gesamte Oberflächenladung erhalten wir durch Integration von Gl. (2, Q Oberfl. = q 4π = q 2 (a 2 R 2 2a 2π d cos(θ dz dφ R 2 a 2 R 2 R[a 2 + R 2 2aR cos(θ] 3/2 [a 2 + R 2 z] 3/2 = q R a. (22 Wie erwartet ist die gesamte Oberflächenladung gleich der Spiegelladung aus Gl. (3.

Ferienkurs - Experimentalphysik 2 - Übungsblatt - Lösungen

Ferienkurs - Experimentalphysik 2 - Übungsblatt - Lösungen Technische Universität München Department of Physics Ferienkurs - Experimentalphysik 2 - Übungsblatt - Lösungen Montag Daniel Jost Datum 2/8/212 Aufgabe 1: (a) Betrachten Sie eine Ladung, die im Ursprung

Mehr

Übungsblatt 3 - Lösungen

Übungsblatt 3 - Lösungen Übungsblatt 3 - Lösungen zur Vorlesung EP2 (Prof. Grüner) im 2010 3. Juni 2011 Aufgabe 1: Plattenkondensator Ein Kondensator besteht aus parallelen Platten mit einer quadratischen Grundäche von 20cm Kantenlänge.

Mehr

Randwertprobleme der Elektrostatik

Randwertprobleme der Elektrostatik Kapitel 3 Randwertprobleme der Elektrostatik 3.1 Eindeutigkeitstheorem Wir wollen im folgenden zeigen, dass die Poisson-Gleichung bzw. die Laplace-Gleichung eine eindeutige Lösung besitzt, wenn eine der

Mehr

Einführung in die theoretische Physik II Sommersemester 2015

Einführung in die theoretische Physik II Sommersemester 2015 Einführung in die theoretische Physik II Sommersemester 25 martin.eckstein@mpsd.cfel.de Ausgewählte Aufgaben zur Klausurvorbereitung Lösungshinweise Aufgabe : Elektrostatik Betrachten Sie eine geladene

Mehr

Felder und Wellen WS 2016/2017

Felder und Wellen WS 2016/2017 Felder und Wellen WS 216/217 Musterlösung zum 2. Tutorium 1. Aufgabe (**) Berechnen Sie das el. Feld einer in z-richtung unendlich lang ausgedehnten unendlich dünnen Linienladung der Ladungsdichte η pro

Mehr

Elektrizitätslehre und Magnetismus

Elektrizitätslehre und Magnetismus Elektrizitätslehre und Magnetismus Othmar Marti 27. 04. 2009 Institut für Experimentelle Physik Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik Seite 2 Physik Elektrizitätslehre und Magnetismus 27. 04. 2009

Mehr

3. Die Divergenz und die Quellen des elektrischen Feldes

3. Die Divergenz und die Quellen des elektrischen Feldes 3. Die Divergenz und die Quellen des elektrischen Feldes Das Gauß sche Gesetz V E d f = ɛ Q in = ɛ V ρ el dv stellte eine beachtliche Verbindung her zwischen dem elektrischen Feld E und seinen Quellen,

Mehr

4 Grenzflächen, Leiter und das elektrostatische Randwertproblem

4 Grenzflächen, Leiter und das elektrostatische Randwertproblem 4 Grenzflächen, Leiter und das elektrostatische Randwertproblem Bei der Berechnung elektrostatischer Felder und Potentiale mussten wir bisher voraussetzen, dass wir die Ladungsverteilungen im gesamten

Mehr

Übungen zur Klassischen Theoretischen Physik III (Theorie C Elektrodynamik) WS Aufgabe 1: Ampère-Gesetz (2+2+2=6 Punkte)

Übungen zur Klassischen Theoretischen Physik III (Theorie C Elektrodynamik) WS Aufgabe 1: Ampère-Gesetz (2+2+2=6 Punkte) Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Übungen zur Klassischen Theoretischen Physik III (Theorie Elektrodynamik) WS 1-13 Prof. Dr. Alexander Mirlin Musterlösung:

Mehr

2.3 Gekrümmte Oberflächen

2.3 Gekrümmte Oberflächen 2.3 Gekrümmte Oberflächen Jede Fläche im R 3 besitzt eine zweidimensionale Parameterdarstellung, so dass die Punkte der Fläche durch r(u, u 2 ) = x(u, u 2 )ê x + y(u, u 2 )ê y + z(u, u 2 )ê z beschrieben

Mehr

1 = z = y + e. Nabla ist ein Vektor, der als Komponenten keine Zahlen sondern Differentiationsbefehle

1 = z = y + e. Nabla ist ein Vektor, der als Komponenten keine Zahlen sondern Differentiationsbefehle Anmerkung zur Notation Im folgenden werden folgende Ausdrücke äquivalent benutzt: r = x y = x 1 x 2 z x 3 1 Der Vektoroperator Definition: := e x x + e y y + e z z = x y z. Nabla ist ein Vektor, der als

Mehr

1.3. DAS COULOMBSCHE GESETZ, ELEKTROSTATISCHES FELD 9

1.3. DAS COULOMBSCHE GESETZ, ELEKTROSTATISCHES FELD 9 8 KAPITEL. ELEKTROSTATIK.3 Das Coulombsche Gesetz, elektrostatisches Feld Zur Einführung verschiedener Grundbegriffe betrachten wir zunächst einmal die Kraft, die zwischen zwei Ladungen q an der Position

Mehr

ELEKTRISCHER DIPOL (5.1)

ELEKTRISCHER DIPOL (5.1) @ 3 4 4 Kapitel 5 ELEKTRISCHER DIPOL Wegen der Linearität der Poisson leichung, φ = ρ/ɛ gilt das Superpositionsprinip: φ( R) = f c i Q i R r i (5.) Für Ladungen, die im Raum kontinuierlich verteilt sind

Mehr

Klausursammlung Grundlagen der Mechanik und Elektrodynamik

Klausursammlung Grundlagen der Mechanik und Elektrodynamik Klausursammlung Grundlagen der Mechanik und Elektrodynamik Fachschaft Physik Stand: Mai 27 Liebe Physik-Studis, hier haltet ihr die Klausursammlung für das Modul Grundlagen der Mechanik und Elektrodynamik

Mehr

Experimentalphysik 2

Experimentalphysik 2 Ferienkurs Experimentalphysik 2 Sommer 2014 Vorlesung 1 Thema: Elektrostatik Technische Universität München 1 Fakultät für Physik Inhaltsverzeichnis 1 Elektrostatik 3 1.1 Elektrische Ladungen und Coulomb-Gesetz...................

Mehr

2. Grundlagen der Elektrostatik

2. Grundlagen der Elektrostatik . luss eines ektor-eldes. Grundlagen der Elektrostatik. Wichtige Integralsätze Im folgenden werden wir wiederholt die folgenden beiden Integralsätze im R 3 benötigen (in der ektoranalysis werden sie in

Mehr

Elektromagnetische Felder und Wellen: Lösung zur Klausur

Elektromagnetische Felder und Wellen: Lösung zur Klausur Elektromagnetische Felder und Wellen: zur Klausur 2014-2 1 Aufgabe 1 ( 7 Punkte) Eine ebene Welle der Form E = (E x, ie x, 0) exp{i(kz + ωt)} trifft aus dem Vakuum bei z = 0 auf ein Medium mit ε = 6 und

Mehr

2 Grundgrößen und -gesetze der Elektrodynamik

2 Grundgrößen und -gesetze der Elektrodynamik Grundgrößen und -gesetze der Elektrodynamik. Grundgrößen der Elektrodynamik.. Ladung und die dreidimensionale δ-distribution Ladung Q, q Ladungen treten in zwei Variationen auf: positiv und negativ Einheit:

Mehr

TU München, Musterlösung. Ferienkurs Experimentalphysik II: Elektrostatik und elektrischer Strom. Rolf Ripszam. x + a. L = q.

TU München, Musterlösung. Ferienkurs Experimentalphysik II: Elektrostatik und elektrischer Strom. Rolf Ripszam. x + a. L = q. TU München, 9.08.2009 Musterlösung Geladener Stab Ferienkurs Experimentalphysik II: Elektrostatik und elektrischer Strom Rolf Ripszam (a) Der Stab ist homogen geladen, also gilt einfach λ = L. (b) Das

Mehr

Experimentalphysik 2

Experimentalphysik 2 Ferienkurs Experimentalphysik 2 Probeklausur Technische Universität München 1 Fakultät für Physik Aufgabe 1: Punktförmige Ladungsverteilung 1. Ein Elektron in der Nähe der Erdoberfläche wird durch ein

Mehr

Elektrizitätslehre und Magnetismus

Elektrizitätslehre und Magnetismus Elektrizitätslehre und Magnetismus Othmar Marti 17. 04. 2008 Institut für Experimentelle Physik Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik Seite 2 Physik Klassische und Relativistische Mechanik 17. 04.

Mehr

Ferienkurs Elektrodynamik - Drehmomente, Maxwellgleichungen, Stetigkeiten, Ohm, Induktion, Lenz

Ferienkurs Elektrodynamik - Drehmomente, Maxwellgleichungen, Stetigkeiten, Ohm, Induktion, Lenz Ferienkurs Elektrodynamik - Drehmomente, Maxwellgleichungen, Stetigkeiten, Ohm, Induktion, Lenz Stephan Huber 19. August 2009 1 Nachtrag zum Drehmoment 1.1 Magnetischer Dipol Ein magnetischer Dipol erfährt

Mehr

VIII.1.4 Magnetisches Feld induziert durch einfache Ladungsströme

VIII.1.4 Magnetisches Feld induziert durch einfache Ladungsströme V. Grundbegriffe und -ergebnisse der Magnetostatik 5 V..4 Magnetisches Feld induziert durch einfache Ladungsströme m Fall eines Ladungsstroms durch einen dünnen Draht vereinfacht sich das ntegral im Biot

Mehr

Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Andreas Müller-Rettkowski Dr. Vu Hoang. Sommersemester

Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Andreas Müller-Rettkowski Dr. Vu Hoang. Sommersemester Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Andreas Müller-Rettkowski Dr. Vu Hoang Sommersemester 3 8.6.3 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektrotechnik und Informationstechnik

Mehr

(Gaußscher Integralsatz)

(Gaußscher Integralsatz) Der Gaußsche Integralsatz Beim Oberflächenintegral O F n da beschreibt der Integrand den senkrechten Durchsatz des Vektorfeldes durch das Flächenelement da. Insgesamt liefert das Integral über eine geschlossene

Mehr

Klassische Theoretische Physik II (Theorie B) Sommersemester 2016

Klassische Theoretische Physik II (Theorie B) Sommersemester 2016 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Klassische Theoretische Physik II (Theorie B) Sommersemester 2016 Prof. Dr. Alexander Mirlin Musterlösung: Blatt 12. PD

Mehr

Integrieren Das bestimmte Integral einer Funktion f f(x) in einer Variable über das Intervall [a,b] schreiben wir

Integrieren Das bestimmte Integral einer Funktion f f(x) in einer Variable über das Intervall [a,b] schreiben wir Klassische Theoretische Physik TP-L - WS 2013/14 Mathematische Methoden 8.1.2014 Frank Bertoldi (Version 2) Abbildungen und Beispiele aus F. Embacher "Mathematische Grundlagen..." und "Elemente der theoretischen

Mehr

Serie 9: Der Satz von Green und Parametrisierungen von Flächen im Raum

Serie 9: Der Satz von Green und Parametrisierungen von Flächen im Raum : Der Satz von Green und Parametrisierungen von Flächen im Raum Bemerkung: Die Aufgaben der sind der Fokus der Übungsstunden vom 6./8. April.. Überprüfung des Satzes von Green Der Satz von Green besagt

Mehr

2 Gauss Gesetz. 2.1 Elektrischer Fluss

2 Gauss Gesetz. 2.1 Elektrischer Fluss 2 Gauss Gesetz Das Gauss'sche Gesetz formuliert einen Zusammenhang zwischen der elektrischen Ladung und dem elektrischen Feld. Es ist allgemeiner und eleganter als das Coulomb Gesetz. Die Anwendung des

Mehr

Integralrechnung für GLET

Integralrechnung für GLET Freitagsrunden Tech Talk November 2, 2012 1 Grundlagen Rechenregeln für Integrale 2 Mehrdimensionale Integrale Flächenintegrale Volumenintegrale Lösbar? 3 Kugel- und Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten

Mehr

WELLEN im VAKUUM. Kapitel 10. B t E = 0 E = B = 0 B. E = 1 c 2 2 E. B = 1 c 2 2 B

WELLEN im VAKUUM. Kapitel 10. B t E = 0 E = B = 0 B. E = 1 c 2 2 E. B = 1 c 2 2 B Kapitel 0 WELLE im VAKUUM In den Maxwell-Gleichungen erscheint eine Asymmetrie durch Ladungen, die Quellen des E-Feldes sind und durch freie Ströme, die Ursache für das B-Feld sind. Im Vakuum ist ρ und

Mehr

Elektrodynamik. Übungsblatt 5 Musterlösungen. 1 c t( i A i ) = 4πρ, A i = i g + ( v) i. t ρ(τ, x)dτ + w( x) w 0 (t, x) + w( x),

Elektrodynamik. Übungsblatt 5 Musterlösungen. 1 c t( i A i ) = 4πρ, A i = i g + ( v) i. t ρ(τ, x)dτ + w( x) w 0 (t, x) + w( x), UNIVERSITÄT LEIPZIG INSTITUT FÜR THEORETISCHE PHYSIK Elektrodynamik Übungsblatt 5 Musterlösungen 13 Aufgabe (a) Der Ausgangspunkt für diese Aufgabe sind die Maxwell-Gleichungen a ( a A b b A a ) = 4π c

Mehr

Elektromagnetische Felder und Wellen. Klausur Herbst Aufgabe 1 (5 Punkte) Aufgabe 2 (3 Punkte) Aufgabe 3 (5 Punkte) Aufgabe 4 (12 Punkte) Kern

Elektromagnetische Felder und Wellen. Klausur Herbst Aufgabe 1 (5 Punkte) Aufgabe 2 (3 Punkte) Aufgabe 3 (5 Punkte) Aufgabe 4 (12 Punkte) Kern Elektromagnetische Felder und Wellen Klausur Herbst 2000 Aufgabe 1 (5 Punkte) Ein magnetischer Dipol hat das Moment m = m e z. Wie groß ist Feld B auf der z- Achse bei z = a, wenn sich der Dipol auf der

Mehr

x + y + z = 6, x = 0, z = 0, x + 2y = 4, indem Sie das Volumen als Dreifachintegral schreiben.

x + y + z = 6, x = 0, z = 0, x + 2y = 4, indem Sie das Volumen als Dreifachintegral schreiben. Übungen (Aufg. u. Lösungen) zur Ingenieur-Mathematik II SS 8 Blatt 1 3.7.8 Aufgabe 47: Berechnen Sie das Volumen des von den folgenden Flächen begrenzten Körpers x + y + z 6, x, z, x + y 4, indem Sie das

Mehr

Randwertprobleme der Elektrostatik

Randwertprobleme der Elektrostatik Kapitel 3 Randwertprobleme der Elektrostatik Ein elektrisches Feld verändert sich beim Einbringen von Körpern, weil sich durch Einwirkung des Feldes in bzw. auf den Körpern Ladungsverteilungen bilden (Influenz),

Mehr

Übungen zu Doppel- und Dreifachintegralen Lösungen zu Übung 15

Übungen zu Doppel- und Dreifachintegralen Lösungen zu Übung 15 5. Es sei Übungen zu Doppel- und Dreifachintegralen Lösungen zu Übung 5 f(x, y) : x y, : x, y, x + y, y x. erechnen Sie f(x, y) d. Wir lösen diese Aufgabe auf zweierlei Art. Zuerst betrachten wir das Gebiet

Mehr

Linien- und Oberflächenintegrale

Linien- und Oberflächenintegrale Linien- und berflächenintegrale Bei den früheren eindimensionalen Integralen wurde in der Regel entlang eines Intervalls einer Koordinatenachse integriert. Bei einem Linienintegral wird der Integrationsweg

Mehr

Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 13 G. Bärwolff, C. Mehl, G. Penn-Karras

Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 13 G. Bärwolff, C. Mehl, G. Penn-Karras Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 3 G. Bärwolff, C. Mehl, G. Penn-Karras 9..3 Oktober Klausur Analysis II für Ingenieure Rechenteil. Aufgabe Punkte i) Wir berechnen zunächst

Mehr

1 Vektoralgebra (3D euklidischer Raum R 3 )

1 Vektoralgebra (3D euklidischer Raum R 3 ) Institut für Physik der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg WS 202/203 Vorlesung Elektrodynamik LAG PD Dr. Angelika Chassé) Vektoralgebra 3D euklidischer Raum R 3 ). Grundbegriffe = Vektordefinition

Mehr

"Integral über die Ableitung einer Funktion hängt nur von ihrem Wert am Rand ab"

Integral über die Ableitung einer Funktion hängt nur von ihrem Wert am Rand ab V4.2 - V4.3: Integralsätze der Vektoranalysis [Notation in diesem Kapitel: Vorausschau/Überblick: alle Indizes unten!] "Integral über die Ableitung einer Funktion hängt nur von ihrem Wert am Rand ab" Hauptsatz

Mehr

Analysis II für Ingenieure Übersicht: Integration. 1 Kurvenintegral über ein Skalarfeld

Analysis II für Ingenieure Übersicht: Integration. 1 Kurvenintegral über ein Skalarfeld Analysis II für Ingenieure Übersicht: Integration 1 Kurvenintegral über ein Skalarfeld 1.1 erechnung c f ds = b a f ( c(t) ) c(t) dt 1. Kurve c parametrisieren: c : [a, b] R n, t c(t). 2. c(t) und dann

Mehr

Physik-Department. Ferienkurs zur Experimentalphysik 2 - Aufgaben

Physik-Department. Ferienkurs zur Experimentalphysik 2 - Aufgaben Physik-Department Ferienkurs zur Experimentalphysik 2 - Aufgaben Daniel Jost 26/08/13 Technische Universität München Aufgabe 1 Gegeben seien drei Ladungen q 1 = q, q 2 = q und q 3 = q, die sich an den

Mehr

Fallender Stein auf rotierender Erde

Fallender Stein auf rotierender Erde Übungen zu Theoretische Physik I - Mechanik im Sommersemester 2013 Blatt 4 vom 13.05.13 Abgabe: 27. Mai Aufgabe 16 4 Punkte allender Stein auf rotierender Erde Wir lassen einen Stein der Masse m in einen

Mehr

Physik-Department. Ferienkurs zur Experimentalphysik 2 - Musterlösung

Physik-Department. Ferienkurs zur Experimentalphysik 2 - Musterlösung Physik-Department Ferienkurs zur Experimentalphysik 2 - Musterlösung Daniel Jost 27/08/13 Technische Universität München Aufgaben zur Magnetostatik Aufgabe 1 Bestimmen Sie das Magnetfeld eines unendlichen

Mehr

10.1 Ampère sches Gesetz und einfache Stromverteilungen

10.1 Ampère sches Gesetz und einfache Stromverteilungen 1 Magnetostatik Solange keine Verwechslungen auftreten, werden wir in diesem und in den folgenden Kapiteln vom magnetischen Feld B an Stelle der magnetischen Induktion bzw. der magnetischen Flußdichte

Mehr

Elektrizitätslehre und Magnetismus

Elektrizitätslehre und Magnetismus Elektrizitätslehre und Magnetismus Othmar Marti 12. 06. 2008 Institut für Experimentelle Physik Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik Seite 2 Physik Klassische und Relativistische Mechanik 12. 06.

Mehr

Theoretische Physik I: Lösungen Blatt Michael Czopnik

Theoretische Physik I: Lösungen Blatt Michael Czopnik Theoretische Physik I: Lösungen Blatt 2 15.10.2012 Michael Czopnik Aufgabe 1: Scheinkräfte Nutze Zylinderkoordinaten: x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = z Zweimaliges differenzieren ergibt: ẍ = r cos ϕ 2ṙ ϕ sin

Mehr

Induktion, Polarisierung und Magnetisierung

Induktion, Polarisierung und Magnetisierung Übung 2 Abgabe: 11.03. bzw. 15.03.2016 Elektromagnetische Felder & Wellen Frühjahrssemester 2016 Photonics Laboratory, ETH Zürich www.photonics.ethz.ch Induktion, Polarisierung und Magnetisierung In dieser

Mehr

Theoretische Physik: Elektrodynamik

Theoretische Physik: Elektrodynamik Ferienkurs Merlin Mitschek, Verena Walbrecht.3.25 Ferienkurs Theoretische Physik: Elektrodynamik Probeklausur - Lösung Technische Universität München Fakultät für Physik Ferienkurs Merlin Mitschek, Verena

Mehr

Aufgabe K5: Kurzfragen (9 1 = 9 Punkte)

Aufgabe K5: Kurzfragen (9 1 = 9 Punkte) Aufgabe K5: Kurzfragen (9 = 9 Punkte) Beantworten Sie nur, was gefragt ist. (a) Wie transformiert das Vektorpotential bzw. das magnetische Feld unter Eichtransformationen? Wie ist die Coulomb-Eichung definiert?

Mehr

Theoretischen Physik II SS 2007 Klausur II - Aufgaben und Lösungen

Theoretischen Physik II SS 2007 Klausur II - Aufgaben und Lösungen Theoretischen Physik II SS 007 Klausur II - Aufgaben und Lösungen Aufgabe Hohlleiter Gegeben sei ein in z-richtung unendlich langer, gerader Hohlleiter (Innenradius R/3, Außenradius R), der einen Stromfaden

Mehr

Elektromagnetische Felder und Wellen: Lösung zur Klausur Herbst

Elektromagnetische Felder und Wellen: Lösung zur Klausur Herbst Elektromagnetische Felder und Wellen: Lösung zur Klausur Herbst 26 1 Aufgabe 1 Eine Punkladung Q soll durch eine Kugel mit Radius a und der Oberflächenladung ϱ SO ersetzt werden. Wie groß muss ϱ SO gewählt

Mehr

Greensche Funktion. Frank Essenberger FU Berlin. 30.September Nomenklatur 1. 2 Greensche Theoreme 1. 3 Anwendung in der Elektrostatik 2

Greensche Funktion. Frank Essenberger FU Berlin. 30.September Nomenklatur 1. 2 Greensche Theoreme 1. 3 Anwendung in der Elektrostatik 2 Greenche Funktion Frank Eenberger FU Berlin 30.September 2006 Inhalterzeichni Nomenklatur 2 Greenche Theoreme 3 Anwendung in der Elektrotatik 2 4 Anpaung an Randbedingungen 3 5 Eindeutigkeit der Löung

Mehr

Formelsammlung Elektrodynamik

Formelsammlung Elektrodynamik Formelsammlung Elektrodynamik SS 2006 RWTH Aachen Prof. Kull Skript Simon Sawallich Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeines 3 1.1 Funktionen............................................ 3 Trigonometrische Funktionen..................................

Mehr

Musterlösungen Serie 6

Musterlösungen Serie 6 D-MAVT D-MATL Analysis II FS 1 Prof. Dr. P. Biran Musterlösungen Serie 6 1. Frage 1 [Analysis Prüfung Winter1] Ein Vektorfeld v(x,y,z) mit Definitionsbereich erfüllediv( v) =. Was folgt? Es gibt eine Funktionf(x,y,z)

Mehr

Fluss durch einen Zylindermantel

Fluss durch einen Zylindermantel Fluss durch einen Zylindermantel Der Fluss eines Vektorfeldes F = F ϱ e ϱ + F ϕ e ϕ + F z e z nach außen durch den Mantel eines Zylinders mit Randkurve ϱ = ϱ(ϕ) ist 2π z max z min F ϱ ϱ F ϕ ϕ ϱ dz dϕ.

Mehr

Elektromagnetische Felder und Wellen: Lösung zur Klausur Herbst Die Ladung in dem Raumbereich resultiert aus der Raumladungsdichte

Elektromagnetische Felder und Wellen: Lösung zur Klausur Herbst Die Ladung in dem Raumbereich resultiert aus der Raumladungsdichte Elektromagnetische Felder und Wellen: Lösung zur Klausur Herbst 27 Aufgabe Im freien Raum wird das elektrische Feld E E x a ) 2 ey gemessen. Wie groß ist die elektrische Ladung in einem würfelförmigen

Mehr

Integration über allgemeine Integrationsbereiche.

Integration über allgemeine Integrationsbereiche. Integration über allgemeine Integrationsbereiche. efinition: Sei R n eine kompakte und messbare Menge. Man nennt Z = { 1,..., m } eine allgemeine Zerlegung von, falls die Mengen k kompakt, messbar und

Mehr

ein geeignetes Koordinatensystem zu verwenden.

ein geeignetes Koordinatensystem zu verwenden. 1.13 Koordinatensysteme (Anwendungen) Man ist immer bemüht, für die mathematische Beschreibung einer wissenschaftlichen Aufgabe ( Chemie, Biologie,Physik ) ein geeignetes Koordinatensystem zu verwenden.

Mehr

3. Erhaltungsgrößen und die Newton schen Axiome

3. Erhaltungsgrößen und die Newton schen Axiome Übungen zur T1: Theoretische Mechanik, SoSe13 Prof. Dr. Dieter Lüst Theresienstr. 37, Zi. 45 Dr. James Gray James.Gray@physik.uni-muenchen.de 3. Erhaltungsgrößen und die Newton schen Axiome Übung 3.1:

Mehr

2. Teilprüfung im Fach TET I. Name:... Vorname:... Matr.-Nr.:... Studiengang:... bitte in Druckbuchstaben ausfüllen

2. Teilprüfung im Fach TET I. Name:... Vorname:... Matr.-Nr.:... Studiengang:... bitte in Druckbuchstaben ausfüllen Technische Universität Berlin Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik Prüfungen in Theoretischer Elektrotechnik Semester: WS 2006/07 Tag der Prüfung: 11.01.2007 2. Teilprüfung im Fach TET I Name:........................

Mehr

Im folgenden Schaltkreis beobachtet man eigenartige Phänomene: = > Beim Einschalten leuchtet die Glühbirne für

Im folgenden Schaltkreis beobachtet man eigenartige Phänomene: = > Beim Einschalten leuchtet die Glühbirne für + Kapitel 4 KAPAZITÄT und ENERGIE 4. Kondensator Ein Kondensator besteht typischerweise aus zwei Leiterplatten, die sich in einem kleinen Abstand voneinander befinden. Meist liegt zwischen den Elektroden

Mehr

Aufgabenblatt zum Seminar 12 PHYS70357 Elektrizitätslehre und Magnetismus (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt, Nebenfach Physik)

Aufgabenblatt zum Seminar 12 PHYS70357 Elektrizitätslehre und Magnetismus (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt, Nebenfach Physik) Aufgabenblatt zum Seminar 2 PHYS7357 Elektrizitätslehre und Magnetismus (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt, Nebenfach Physik) Othmar Marti, (othmar.marti@uni-ulm.de) 8. 7. 29 Aufgaben. In der Vorlesung

Mehr

Übungen zur Theoretischen Physik 1. Übungsblatt

Übungen zur Theoretischen Physik 1. Übungsblatt 1. Übungsblatt 1. In kartesischen Koordinaten gilt: grad Φ( r) = ( Φ x, Φ y, Φ ), div A x A = z x + A y y + A z z rot A = ( A z y A y z, A x z A z x, A y x A x ) y Berechnen Sie: (a) grad Φ( r) für Φ(

Mehr

Kapitel 11: Oberflächen- und Flussintegrale

Kapitel 11: Oberflächen- und Flussintegrale Kapitel 11: Oberflächen- und Flussintegrale Ziel: Berechnung von Integralen, deren Integrationsbereich eine 2-dim. Fläche in einem 3-dim. Raum ist (z.b. Fläche von Kugel) Motivation / Anwendungen: - z.b.

Mehr

Darstellungsformeln für die Lösung von parabolischen Differentialgleichungen

Darstellungsformeln für die Lösung von parabolischen Differentialgleichungen Kapitel 8 Darstellungsformeln für die Lösung von parabolischen Differentialgleichungen Wir hatten im Beispiel 5. gesehen, dass die Wärmeleitungsgleichung t u u = f auf Ω (0, ) (8.1) eine parabolische Differentialgleichung

Mehr

mit 0 < a < b um die z-achse entsteht.

mit 0 < a < b um die z-achse entsteht. Übungen (Aufg. u. Lösungen) zu Mathem. u. Lin. Alg. II SS 6 Blatt 8 13.6.6 Aufgabe 38: Berechnen Sie das Volumen des Volltorus, der durch Rotation der reisscheibe { (x, y, z) R 3 y, (x b) + z a } mit

Mehr

Tutorium Mathematik II, M Lösungen

Tutorium Mathematik II, M Lösungen Tutorium Mathematik II, M Lösungen 1. Juni 13 *Aufgabe 1. erechnen Sie durch Übergang zu Polar-, Kugel- oder Zylinderkoordinaten die Fläche bzw. das Volumen (a) der von der Lemniskate x y (x + y ) = umschlossenen

Mehr

Musterlösung. TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik. Probeklausur Mathematik 4 für Physik (Analysis 3) I...

Musterlösung. TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik. Probeklausur Mathematik 4 für Physik (Analysis 3) I... ................ Note I II Name Vorname Matrikelnummer Studiengang (Hauptfach) Fachrichtung (Nebenfach) 2 3 Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 4 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik

Mehr

6.4.8 Induktion von Helmholtzspulen ******

6.4.8 Induktion von Helmholtzspulen ****** V648 6.4.8 ****** Motivation Das Induktionsgesetz von Faraday wird mit einer ruhenden Leiterschleife im zeitabhängigen B-Feld und mit einer bewegten Leiterschleife im stationären B-Feld untersucht. 2 Experiment

Mehr

Einführung in die Physik II für Studierende der Naturwissenschaften und Zahnheilkunde. Sommersemester 2007

Einführung in die Physik II für Studierende der Naturwissenschaften und Zahnheilkunde. Sommersemester 2007 Einführung in die Physik II für Studierende der Naturwissenschaften und Zahnheilkunde Sommersemester 2007 VL #5 am 27.04.2007 Vladimir Dyakonov Frage des Tages Kupfermünze hat die Masse 0.003 kg Atomzahl

Mehr

Übungen zur Experimentalphysik 3

Übungen zur Experimentalphysik 3 Übungen zur Experimentalphysik 3 Prof. Dr. L. Oberauer Wintersemester / Anwesenheitsübung -.November Musterlösung Franziska Konitzer (franziska.konitzer@tum.de) Aufgabe ( ) ( Punkte) Eine harmonische elektromagnetische

Mehr

Fakultät für Physik Wintersemester 2016/17. Übungen zur Physik I für Chemiker und Lehramt mit Unterrichtsfach Physik

Fakultät für Physik Wintersemester 2016/17. Übungen zur Physik I für Chemiker und Lehramt mit Unterrichtsfach Physik Fakultät für Physik Wintersemester 16/17 Übungen zur Physik I für Chemiker und Lehramt mit Unterrichtsfach Physik Dr. Andreas K. Hüttel Blatt 8 / 7.1.16 1. Schwerpunkte Berechnen Sie den Schwerpunkt in

Mehr

12. Elektrodynamik. 12. Elektrodynamik

12. Elektrodynamik. 12. Elektrodynamik 12. Elektrodynamik 12.1 Quellen von Magnetfeldern 12.2 Das Ampere sche Gesetz 12.3 Maxwell sche Verschiebungsstrom 12.4 Magnetische Induktion 12.5 Lenz sche Regel 12.6 Magnetische Kraft 12. Elektrodynamik

Mehr

Zwischenklausur Physik I für MWWT

Zwischenklausur Physik I für MWWT Prof. Martin H. Müser Lehrstuhl f. Materialsimulation Universität des Saarlandes 17. 12. 2011 Name: Zwischenklausur Physik I für MWWT Matrikelnummer: Die sechs besten Punktezahlen aus den acht reguären

Mehr

Sei Φ(x, y, z) ein skalares Feld, also eine Funktion, deren Wert in jedem Raumpunkt definiert ist.

Sei Φ(x, y, z) ein skalares Feld, also eine Funktion, deren Wert in jedem Raumpunkt definiert ist. Beim Differenzieren von Vektoren im Zusammenhang mit den Kreisbewegungen haben wir bereits gesehen, dass ein Vektor als dreiwertige Funktion a(x, y, z) aufgefasst werden kann, die an jedem Punkt im dreidimensionalen

Mehr

19.3 Oberflächenintegrale

19.3 Oberflächenintegrale 19.3 Oberflächenintegrale Definition: Sei D R 2 ein Gebiet und p : D R 3 eine C 1 -Abbildung x = p(u) mit x R 3 und u = (u 1, u 2 ) T D R 2 Sind für alle u D die beiden Vektoren und u 1 linear unabhängig,

Mehr

Physikalische Anwendungen II

Physikalische Anwendungen II Physikalische Anwendungen II Übungsaufgaben - usterlösung. Berechnen Sie den ittelwert der Funktion gx = x + 4x im Intervall [; 4]! ittelwert einer Funktion: f = b fxdx b a a ḡ = 4 x + 4x dx = [ ] 4 4

Mehr

5.5 Elektrisches Zentralfeld, Coulombsches Gesetz

5.5 Elektrisches Zentralfeld, Coulombsches Gesetz 5 Elektrizität und Magnetismus 5.5 Elektrisches Zentralfeld, Coulombsches Gesetz Elektrisches Zentralfeld Kugel mit Radius r um eine Punktladung = ǫ 0 Ed A = ǫ 0 E E d A Kugel da = ǫ 0 E(4πr 2 ) (5.26)

Mehr

Ferienkurs Elektrodynamik. Elektrostatik. Michael Drews

Ferienkurs Elektrodynamik. Elektrostatik. Michael Drews Inhaltsverzeichnis Ferienkurs Elektrodynamik Elektrostatik Michael Drews 15.03.10 1 Vektoranalysis 2 1.1 Grundbegriffe............................. 2 1.2 Integralsätze............................. 2 1.2.1

Mehr

Das Amperesche Gesetz Der Maxwellsche Verschiebungsstrom Magnetische Induktion Lenzsche Regel

Das Amperesche Gesetz Der Maxwellsche Verschiebungsstrom Magnetische Induktion Lenzsche Regel 11. Elektrodynamik 11.5.4 Das Amperesche Gesetz 11.5.5 Der Maxwellsche Verschiebungsstrom 11.5.6 Magnetische Induktion 11.5.7 Lenzsche Regel 11.6 Maxwellsche Gleichungen 11.7 Elektromagnetische Wellen

Mehr

2 x x 2 y 2 vol(a) = d(x, y, z) = 4 3 x3 dx = [ 1

2 x x 2 y 2 vol(a) = d(x, y, z) = 4 3 x3 dx = [ 1 UNIVERSITÄT ARLSRUHE Institut für Analsis HDoz Dr P C unstmann Dipl-Math M Uhl Sommersemester 9 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Phsik und Geodäsie inklusive omplexe Analsis

Mehr

11. Vorlesung Wintersemester

11. Vorlesung Wintersemester 11. Vorlesung Wintersemester 1 Ableitungen vektorieller Felder Mit Resultat Skalar: die Divergenz diva = A = A + A y y + A z z (1) Mit Resultat Vektor: die Rotation (engl. curl): ( rota = A Az = y A y

Mehr

ETH Zürich Analysis I Zwischenprüfung Winter 2014 D-BAUG Musterlösungen Dr. Meike Akveld

ETH Zürich Analysis I Zwischenprüfung Winter 2014 D-BAUG Musterlösungen Dr. Meike Akveld ETH Zürich Analysis I Zwischenprüfung Winter 2014 D-BAUG Musterlösungen Dr. Meike Akveld Bitte wenden! 1. Die unten stehende Figur wird beschrieben durch... (a) { (x, y) R 2 x + y 1 }. Richtig! (b) { (x,

Mehr

, r [0, 2], ϕ [0,π/2], ϑ [0,π/6]. x 3. x 2 2 x 2 1. F(x) = x 2 3

, r [0, 2], ϕ [0,π/2], ϑ [0,π/6]. x 3. x 2 2 x 2 1. F(x) = x 2 3 Prof. Dr. Eck Höhere Mathematik 3 9.3.9 Aufgabe ( Punkte) Gegeben ist der Körper K mit der Parametrisierung x r cos ϕ cos ϑ K : x = Φ(r,ϕ,ϑ) = r sin ϕ cos ϑ, r [, ], ϕ [,π/], ϑ [,π/6]. x 3 r sin ϑ a) Berechnen

Mehr

1 falls x 2. falls x = 1 und. 0 falls x > 1. eine Lebesgue-integrierbare Majorante. Somit können wir den Satz von Lebesgue anwenden:

1 falls x 2. falls x = 1 und. 0 falls x > 1. eine Lebesgue-integrierbare Majorante. Somit können wir den Satz von Lebesgue anwenden: Lösungsvorschläge zur Klausur 045 Maß- und Integrationstheorie WS 205/6 Lösungsvorschlag zu Aufgabe Sei f n der Integrant 0 falls x > 2 und f n x) falls x 2. 3+sin 2n)+x x 4n Sein punktweiser Grenzwert

Mehr

Blatt 14.2: Integralsätze von Gauß und Stokes

Blatt 14.2: Integralsätze von Gauß und Stokes Fakltät für Physik R: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 205/6 Dozent: Jan on Delft Übngen: Benedikt Brognolo, Dennis Schimmel, Frake Scharz, Lkas Weidinger http://homepages.physik.ni-menchen.de/~ondelft/lehre/5r/

Mehr

4. Gruppenübung zur Vorlesung. Höhere Mathematik 3. Wintersemester 2015/ , E 2 := (x, y, z) R 3 4z M := Z E 1 E 2.

4. Gruppenübung zur Vorlesung. Höhere Mathematik 3. Wintersemester 2015/ , E 2 := (x, y, z) R 3 4z M := Z E 1 E 2. Dr. F. Gaspoz, Dr. T. Jentsch, Dr. A. Langer, J. Neusser, J. Schmid. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik 3 Wintersemester 1/16 Apl. Prof. Dr. N. Knarr Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe

Mehr

C4.6: Oberflächenintegrale

C4.6: Oberflächenintegrale C4.6: Oberflächenintegrale Ziel: Berechnung von Integralen, deren Integrationsbereich eine 2-dim. Fläche in einem 3-dim. Raum ist (z.b. Fläche von Kugel) Motivation / Anwendungen: - z.b. Elektrostatik:

Mehr

3.7 Das magnetische Feld in Materie

3.7 Das magnetische Feld in Materie 15 KAPITEL 3. MAGNETOSTATIK 3.7 Das magnetische Feld in Materie Wie wir in den vorangegangenen Kapiteln bereits gesehen haben, wird die magnetische Induktionsdichte B durch ein Vektorpotenzial A charakterisiert,

Mehr

Lösung 10 Klassische Theoretische Physik I WS 15/16

Lösung 10 Klassische Theoretische Physik I WS 15/16 Karlsruher Institut für Technologie Institut für theoretische Festkörperphysik www.tfp.kit.edu ösung Klassische Theoretische Physik I WS 5/6 Prof. Dr. G. Schön Punkte Sebastian Zanker, Daniel endler Besprechung

Mehr

Theoretische Physik C Lösungen der Übungsblätter. KIT - Karlsruher Institut für Technologie Wintersemester 2011/12

Theoretische Physik C Lösungen der Übungsblätter. KIT - Karlsruher Institut für Technologie Wintersemester 2011/12 Theoretische Physik C Lösungen der Übungsblätter KIT - Karlsruher Institut für Technologie Wintersemester 2/2 Mitschriebe ausgearbeitet von Philipp Basler, Nils Braun, Larissa Bauer 2. April 22 Inhaltsverzeichnis.

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 9/ Blatt 4..9 Aufgabe : Berechnen Sie das Volumen des Volltorus, der durch Rotation der reisscheibe { x,, z R 3, x b + z a } mit < a < b um die z-achse entsteht.

Mehr

Theoretische Physik I: Weihnachtszettel Michael Czopnik

Theoretische Physik I: Weihnachtszettel Michael Czopnik Theoretische Physik I: Weihnachtszettel 21.12.2012 Michael Czopnik Aufgabe 1: Rudolph und der Weihnachtsmann Der Weihnachtsmann (Masse M) und sein Rentier Rudolph (Masse m) sind durch ein Seil mit konstanter

Mehr

Übungen zu Wellen und Elektrodynamik für Chemie- und Bioingenieure und Verfahrenstechniker WS 11/12

Übungen zu Wellen und Elektrodynamik für Chemie- und Bioingenieure und Verfahrenstechniker WS 11/12 Institut für Experimentelle Kernphysik Übungen zu Wellen und Elektrodynamik für Chemie- und Bioingenieure und Verfahrenstechniker WS 11/12 Prof. Dr. T. Müller Dr. F. Hartmann Blatt 3 Bearbeitung: 25.11.2011

Mehr

Name: Gruppe: Matrikel-Nummer:

Name: Gruppe: Matrikel-Nummer: Theoretische Physik 1 (Theoretische Mechanik) SS08, Studienziel Bachelor (170 1/13/14) Dozent: J. von Delft Übungen: B. Kubala Klausur zur Vorlesung T1: Theoretische Mechanik, SoSe 008 (3. Juli 007) Bearbeitungszeit:

Mehr

Analysis IV. Gruppenübungen

Analysis IV. Gruppenübungen Fachbereich Mathematik Prof. B. Farkas Martin Fuchssteiner Lisa Steiner TECHNISCHE UNIVESITÄT DAMSTADT ASS 6 7.7.26 Analysis IV 3. Übung mit Lösungshinweisen (G ) Berechnung einiger Volumina Gruppenübungen

Mehr

Theoretische Physik II: Quantenmechanik

Theoretische Physik II: Quantenmechanik Theoretische Physik II: Quantenmechanik Hans-Werner Hammer Marcel Schmidt (mschmidt@theorie.ikp.physik.tu-darmstadt.de) Wintersemester 2016/17 Probeklausur 12./13. Januar 2017 Name: Matrikelnummer: Studiengang:

Mehr

1. Aufgabe Auf dem Bildschirm eines Oszillographen durchlaufe ein Elektronenstrahl eine Bahn mit dem zeitabhängigen Ortsvektor

1. Aufgabe Auf dem Bildschirm eines Oszillographen durchlaufe ein Elektronenstrahl eine Bahn mit dem zeitabhängigen Ortsvektor Thema: Vektoranalysis Studiengang: PT/LOT Analysis III Serie 3 Semester: WS 1/11 1. Aufgabe Auf dem Bildschirm eines Oszillographen durchlaufe ein Elektronenstrahl eine Bahn mit dem zeitabhängigen Ortsvektor

Mehr

Theoretische Physik: Mechanik

Theoretische Physik: Mechanik Ferienkurs Theoretische Physik: Mechanik Blatt 2 - Lösung Technische Universität München 1 Fakultät für Physik 1 Perle Eine Perle der Masse m gleite reibungsfrei auf einem vertikal stehenden Ring vom Radius

Mehr