Die Logik der Sprache AL

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1 II Die Logik der Sprache AL 10 Der Aufbau der Sprache AL Vorbemerkung Die Sprachen AL und PL enthalten nur Aussagesätze, da wir nur an Argumenten interessiert sind. Jeder Aussagesatz hat eine Syntax und eine Semantik. Die Sprache AL Syntax 1 Syntax 1. Aus welchen Grundzeichen oder Grundausdrücken sind die Sätze dieser Sprache aufgebaut? 2. ie erzeugt man aus diesen Grundzeichen die Sätze der Sprache? Semantik 1. as bedeuten die Grundzeichen der Sprache? 2. ie ergeben sich aus der Bedeutung der Grundzeichen ahrheitsbedingungen für die Sätze dieser Sprache? Die Sprache AL Syntax 2

2 10.1 Die Syntax von AL Erste rage Aus welchen Grundzeichen oder Grundausdrücken sind die Sätze dieser Sprache aufgebaut? Grundsätzlich gibt es drei Arten von Grundzeichen: deskriptive Zeichen logische Zeichen Hilfszeichen Die Sprache AL Syntax 3 Deskriptive Zeichen von AL Die einzigen deskriptiven Zeichen von AL sind Satzbuchstaben kleine Buchstaben ab dem Buchstaben p, wenn nötig auch mit Indizes. Also z.b. die Zeichen p, q, r, s usw. sowie die Zeichen p 1, p 2,..., q 1, q 2 usw. Logische Zeichen von AL Die Junktoren,,, und. Hilfszeichen von AL Die beiden Klammern ( und ). Die Sprache AL Syntax 4

3 Andere Zeichen, die man in der Literatur findet Name Negator Konjunktor Adjunktor Subjunktor Bisubjunktor Unser Zeichen Andere gebräuchliche Zeichen ~, &,,,! Die Sprache AL Syntax 5 Zweite rage ie erzeugt man aus diesen Grundzeichen die Sätze der Sprache AL? 1. Alle Satzbuchstaben sind Sätze. Sätze sind also z.b. die Ausdrücke p, q und r, aber auch die Ausdrücke p 9, q 17, r 3 und s Die Junktoren von AL sind ein- bzw. zweistellige Satzoperatoren mit ihnen kann man neue Sätze erzeugen, indem man sie auf einen bzw. zwei Sätze anwendet. Die Sprache AL Syntax 6

4 Im Detail Neue Sätze von AL erzeugt man, indem man vor einen Satz das Negationszeichen schreibt oder zwischen zwei Sätze eines der Zeichen,, und schreibt und danach den ganzen neu gebildeten Ausdruck in Klammern setzt. Die Sprache AL Syntax 7 Definition 10.1 A ist genau dann ein Satz von AL, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist: (i) A ist ein Satzbuchstabe; (ii) B und C sind Sätze von AL, und A ist gleich B, (B C), (B C), (B C) oder (B C). Die Sprache AL Syntax 8

5 Sprachliche Verabredung Sätze der orm A heißen Negationen, Sätze der orm (A B) Konjunktionen, Sätze der orm (A B) Adjunktionen, Sätze der orm (A B) Subjunktionen und Sätze der orm (A B) Bisubjunktionen.! Bei einer Subjunktion (A B) nennt man A das Vorderglied (Antezedens) und B das Hinterglied (Konsequens) der Subjunktion. Die Sprache AL Syntax 9 Beispiele für Sätze von AL (1) p (2) s (3) r (4) (p q) (5) (t t) (6) (p q) (7) (s r) (8) ( r p) (9) ((p p) q) (10) (r (q q)) (11) (( ( q r) r) (t p)) Die Sprache AL Syntax 10

6 Keine Sätze von AL sind dagegen (12) a, b, c (13) abx (14) (x - y) (15) ( p) (16) (p q) (17) ((p q)) Die Sprache AL Syntax 11 Klammerersparnisregeln 1. Äußerste Klammern dürfen weggelassen werden. 2. und binden stärker als und. Die Sprache AL Syntax 12

7 10.2 Die Semantik von AL Erste rage as bedeuten die Grundzeichen der Sprache AL? Konkret elche Bedeutung haben die Satzbuchstaben von AL? Die Sprache AL Semantik 1 Grundsätzlich Satzbuchstaben sind Sätze, und die Bedeutung eines Satzes gibt man an, indem man sagt, unter welchen Bedingungen er wahr ist. (Satzbedeutung = ahrheitsbedingungen) Die Sprache AL Semantik 2

8 Vorüberlegung Die Satzbuchstaben von AL sollen einfachen deutschen Aussagesätzen entsprechen wie etwa dem Satz (1) Hans ist sehr begabt oder dem Satz (2) rieda und Hartmut sind Geschwister. ann sind diese Sätze wahr? Offenbar genau dann, wenn es sich so verhält, wie diese Sätze besagen, d.h. wenn Hans tatsächlich sehr begabt ist bzw. rieda und Hartmut tatsächlich Geschwister sind. Die Sprache AL Semantik 3 Das kann man auch so ausdrücken Einfache deutsche Aussagesätze wie die Sätze (1) und (2) drücken Sachverhalte aus. Sie sind genau dann wahr, wenn diese Sachverhalte bestehen, und genau dann falsch, wenn diese Sachverhalte nicht bestehen. So soll es auch mit Satzbuchstaben sein. Die Bedeutung jedes Satzbuchstabens soll ein Sachverhalt sein. Jeder Satzbuchstabe drückt einen Sachverhalt aus, der besteht oder nicht besteht. Die Sprache AL Semantik 4

9 Verabredung Sachverhalte geben wir mit Hilfe von Sätzen der deutschen Umgangsprache an, die sie ausdrücken. D.h., die Bedeutung von Satzbuchstaben geben wir dadurch an, dass wir ihnen Sätze der deutschen Umgangssprache zuordnen. Auf diese eise werden den Satzbuchstaben die Sachverhalte zugeordnet, die diese deutschen Sätze ausdrücken. Die Sprache AL Semantik 5 Definition 10.2 Eine Bewertung V von AL ist eine Abbildung, die jedem Satzbuchstaben einen Aussagesatz der deutschen Umgangssprache zuordnet bzw.genauer: den Sachverhalt, den dieser Satz ausdrückt. Die Sprache AL Semantik 6

10 Beispiel einer Bewertung V 1 p " 8 ist durch 2 teilbar q " 6 ist das Produkt von 2 und 4 r " Alle geraden Zahlen sind durch 3 teilbar s " Es gibt Primzahlen t " 8 ist eine Primzahl u " Keine Zahl ist größer als 7 v " 3 = 3 Die Sprache AL Semantik 7 Zweite rage ie ergeben sich aus der Bedeutung der Satzbuchstaben die ahrheitsbedingungen für die Sätze von AL? Es gibt in AL sechs verschiedene Arten von Sätzen: Satzbuchstaben Negationen Konjunktionen Adjunktionen Subjunktionen Bisubjunktionen Die Sprache AL Semantik 8

11 Die ahrheitsbedingungen von Satzbuchstaben Hierzu hatten wir schon gesagt Ein Satzbuchstabe von AL soll genau dann wahr sein, wenn der Sachverhalt besteht, den er ausdrückt. ür die komplexen Sätze von AL soll olgendes gelten Die ahrheit oder alschheit komplexer, d.h. mit Hilfe von Junktoren gebildeter Sätze soll nur von der ahrheit oder alschheit ihrer Teilsätze abhängen.! Junktoren sind wahrheitsfunktionale Satzoperatoren. Die Sprache AL Semantik 9 Im Detail soll gelten Eine Negation A ist genau dann wahr, wenn der Satz A nicht wahr ist. Eine Konjunktion (A B) ist genau dann wahr, wenn die Sätze A und B beide wahr sind. Eine Adjunktion (A B) ist genau dann wahr, wenn von den Sätzen A und B mindestens einer wahr ist. Eine Subjunktion (A B) ist genau dann wahr, wenn das Vorderglied A nicht wahr ist und/oder das Hinterglied B wahr ist. Eine Bisubjunktion (A B) ist genau dann wahr, wenn die Sätze A und B entweder beide wahr oder beide nicht wahr sind. Die Sprache AL Semantik 10

12 ichtig Die Sätze von AL sind nicht einfach wahr oder falsch; sie sind immer nur wahr oder falsch bezüglich einer Bewertung V. Die Sprache AL Semantik 11 Definition 10.3 Ein Satz A von AL ist genau dann wahr bzgl. einer Bewertung V, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist: (i) A ist ein Satzbuchstabe, und der Sachverhalt, den V A zuordnet, besteht; (ii) A = B, und der Satz B ist nicht wahr bzgl. V; (iii) A = (B C), und die Sätze B und C sind beide wahr bzgl. V; (iv) A = (B C), und von den Sätzen B und C ist mindestens einer wahr bzgl. V; Die Sprache AL Semantik 12

13 (v) A = (B C), und B ist nicht wahr bzgl. V oder C ist wahr bzgl. V oder beides; (vi) A = (B C), und die Sätze B und C sind beide wahr oder beide falsch bzgl. V. Die Sprache AL Semantik 13 Veranschaulichung Eine Negation A ist genau dann wahr, wenn der Satz A nicht wahr ist. A A Die Sprache AL Semantik 14

14 Eine Konjunktion (A B) ist genau dann wahr, wenn die Sätze A und B beide wahr sind. A B A B Die Sprache AL Semantik 15 Eine Adjunktion (A B) ist genau dann wahr, wenn von den Sätzen A und B mindestens einer wahr ist. A B A B Die Sprache AL Semantik 16

15 Eine Subjunktion (A B) ist genau dann wahr, wenn das Vorderglied A nicht wahr ist und/oder das Hinterglied B wahr ist. A B A B Die Sprache AL Semantik 17 Eine Bisubjunktion (A B) ist genau dann wahr, wenn die Sätze A und B entweder beide wahr oder beide nicht wahr sind. A B A B Die Sprache AL Semantik 18

16 elche der folgenden Sätze sind wahr bzgl. V 1? (1) p (2) q (3) r (4) r (5) p q (6) ( r q) r (7) q (q ( r p)) (8) q r (9) p q r Die Sprache AL Semantik 19

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