Brückenkurs zur Kombinatorik WS

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Reinhold Friedrich
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1 Fachhochschule Köln Faklutät für Wirtschaftswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 1, Tel homepage: Brückenkurs zur Kombinatorik WS Uns interessiert die Frage, wie viele Möglichkeiten es gibt, die Elemente einer endlichen Menge anzuordnen. Beispiel 1: Wie viele Möglichkeiten der Reihenfolge gibt es, ein Essen bestehend aus Salat S, Pizza P und Mousse-au-Chocolat M zu verspeisen? SP M, SMP, P SM, P MS, MSP, MP S d.h. es gibt insgesamt sechs verschiedene Reihenfolgen. Oder anders ausgedrückt, gibt es 1 = 6 Möglichkeiten. Für jede natürliche Zahl n IN heißt der Ausdruck n n! = 1... n = i n-fakultät. i=1 Auf dem Taschenrechner heißt die Taste x! Beispiel : 4! = 1 4 = 4 5! = = 10 Zusätzlich wurde vereinbart: 0! = 1. Beispiel : vier Dozenten D 1, D, D, D 4 zwei Klausuren K 1, K Gesucht: Jeweils eine Aufsicht pro Klausur (Mehrfachnennungen sind möglich). Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, die Klausur-Aufsichten einzuteilen? K 1 : D 1 D 1 D 1 D 1 D D D D D D D D D 4 D 4 D 4 D 4 K : D 1 D D D 4 D 1 D D D 4 D 1 D D D 4 D 1 D D D 4 d.h. es gibt 16 = 4 Möglichkeiten. Hierbei handelt es sich um ein Ziehen von zwei Dozenten aus vier Dozenten mit Zurücklegen und mit Berücksichtigung der Reihenfolge. 1

2 Allgemein: Für das Ziehen von k Kugeln aus n unterschiedlichen Kugeln mit Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge gibt es insgesamt n k Möglichkeiten. Beispiel 4: vier Dozenten D 1, D, D, D 4 zwei Klausuren K 1, K Gesucht: Jeweils eine Aufsicht pro Klausur ohne Mehrfachnennungen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, die Klausur-Aufsichten einzuteilen? K 1 : D 1 D 1 D 1 D D D D D D D 4 D 4 D 4 K : D D D 4 D 1 D D 4 D 1 D D 4 D 1 D D d.h. es gibt 4 = 1 Möglichkeiten. Hierbei handelt es sich um ein Ziehen von zwei Dozenten aus vier Dozenten ohne Zurücklegen und mit Berücksichtigung der Reihenfolge. Allgemein: Für das Ziehen von k Kugeln aus n unterschiedlichen Kugeln ohne Zurücklegen mit n! Berücksichtigung der Reihenfolge gibt es insgesamt (n k)! Möglichkeiten. Beispiel 5: vier Dozenten D 1, D, D, D 4 eine Klausur K 1 Gesucht: Zwei Aufsichten für die Klausur. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, die Klausur-Aufsichten einzuteilen? K 1 D 1 D D 1 D D 1 D 4 D D D D 4 D D 4 d.h. es gibt 6 Möglichkeiten. Hierbei handelt es sich um ein Ziehen von zwei Dozenten aus vier Dozenten ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Allgemein: Für das Ziehen von k Kugeln aus n unterschiedlichen Kugeln ohne Zurücklegen ohne n! Berücksichtigung der Reihenfolge gibt es insgesamt k! (n k)! Möglichkeiten. Für k, n IN {0} und k n heißt der Ausdruck ( ) n = k n! k! (n k)! Binomialkoeffizient. (lies: n über k )

3 ( ) 5 Auf dem Taschenrechner erhalten Sie zum Beispiel mit folgender Eingabe: 5 ncr = Manche Taschenrechner benötigen auch folgende Eingabe: 5 : ncr = Beispiel( 6: ) 8 1 ( ) 5 = 8! 1! 7! = = 8 = 5!!! = = 4 5 = 10 Übung: (6 ) = 15 ( ) 7 = 1 5 ( ) 8 = 56 Beispiel 7: gleichzeitiges Würfeln mit zwei nicht unterscheidbaren Würfeln Wie viele verschiedene Ergebnisse gibt es? {1, 1} {1, } {1, } {1, 4} {1, 5} {1, 6} {, } {, } {, 4} {, 5} {, 6} {, } {, 4} {, 5} {, 6} {4, 4} {4, 5} {4, 6} {5, 5} {5, 6} {6, 6} d.h. es gibt 1 verschiedene Möglichkeiten. Hierbei handelt es sich um ein Ziehen von zwei Zahlen aus sechs Zahlen mit Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Allgemein: Für das Ziehen von k Kugeln aus n unterschiedlichen ( ) Kugeln mit Zurücklegen ohne n + k 1 Berücksichtigung der Reihenfolge gibt es insgesamt Möglichkeiten. k

4 Zusammenfassung Wir interessieren uns für die Anzahl der Möglichkeiten, aus einem Topf mit n durchnummerierten und unterschiedlichen Kugeln nacheinander k Kugeln heraus zu ziehen: Berücksichtigung Zurücklegen der Reihenfolge mit ohne ja n k n! (n k)! nein ( ) ( ) n + k 1 n k k Die Formeln stehen auch in der Statistik-Formelsammlung. Das Problem beim Lösen solcher Aufgaben ist es herauszufinden, welche der vier Formeln in der Aufgabe zutrifft. 4

5 Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschaftswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 1, Tel homepage: Übungsaufgaben zur Kombinatorik Aufgabe K.1 ( Falls ) der Ausdruck ( ) erklärt ( ) ist, berechnen ( ) Sie:,,,, 6!, ( ) 4, Aufgabe K. Aus einer Gruppe von fünf Dozenten werden für eine Klausur drei Aufsichten benötigt. Wie viele Zusammenstellungen für das Aufsichtsteam sind möglich? Aufgabe K. Sie kaufen zwei blaue und zwei rote Sofakissen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese vier Sofakissen in einer Reihe anzuordnen? Aufgabe K.4 Für eine Diplomarbeit müssen aus einer Gruppe von sechs Dozenten ein Erst-Gutachter und ein Zweit-Gutachter benannt werden. Wie viele Möglichkeiten der Prüfer-Wahl gibt es? Aufgabe K.5 Eine Studentin möchte in der letzten Woche vor ihrem Urlaub noch dreimal ein Fitness-Studio besuchen. Wie viele verschiedene Einteilungen gibt es für die drei geplanten Besuche, wenn die Studentin a) auch mehrmals am Tag ins Fitness-Studio geht? b) Nur einmal am Tag in das Fitness-Studio geht? ( Lösung ) von Aufgabe ( ) K.1 ( ) ( ) = 1 und = und = 16 und = 16 und 6! = ( ) 4 Der Ausdruck ist nicht erklärt, da die untere Zahl k = größer als die obere Zahl n = 4 ist. 1

6 Lösung von Aufgabe K. Ziehen von Dozenten aus 5 Dozenten D 1,..., D 5 ohne Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge ergibt: ( 5 ) = 5!!! = 10 Möglichkeiten Lösung von Aufgabe K. Ein blaues Sofakissen identifizieren wir mit der Zahl Eins, ein rotes Sofakissen identifizieren wir mit der Zahl Null d.h. es gibt genau sechs Möglichkeiten. Berechnen wir die Anzahl mit der Formel, so ziehen wir für die Positionen der Einsen aus der Menge { 1. Position,. Position,. Position, 4. Position } zwei Elemente ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge; also gibt es ( ) 4 = 6 Möglichkeiten. Lösung von Aufgabe K.4 Die Dozenten bezeichnen wir wieder mit D 1,..., D 6. Dann müssen wir aus der Menge {D 1, D, D, D 4, D 5, D 6 } zwei Elemente ziehen ohne Zurücklegen (der Erst-Gutachter darf nicht gleichzeitig der Zweit-Gutachter sein) und mit Berücksichtigung der Reihenfolge (um zwischen Erst- und Zweit-Gutachter unterscheiden zu können). Also gibt es: 6! (6 )! = 6! = 5 6 = 0 Möglichkeiten. 4! Lösung von Aufgabe K.5 a) Aus den Wochentagen W 1,..., W 7 sind drei Tage mit Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge zu ziehen. Also gibt es: ( ) ( ) = =! = 84 Möglichkeiten.! 6! b) Aus den Wochentagen W 1,..., W 7 sind drei Tage ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge zu ziehen. Also gibt es: ( ) 7 = 7! = 5 Möglichkeiten.! 4!

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