mathematik-abc für das Lehramt P. Kirsche Einführung in die Abbildungsgeometrie

Transkript

1 mathematik-abc für das Lehramt P. Kirsche Einführung in die Abbildungsgeometrie

2 mathematik-abc für das Lehramt Herausgegeben von Prof. Dr. Stefan Deschauer, Dresden Prof. Dr. Klaus Menzel, Schwäbisch Gmünd Prof. Dr. Kurt Peter Müller, Karlsruhe Die Mathematik-ABC-Reihe besteht aus thematisch in sich abgeschlossenen EinzeIbänden zu den drei Schwerpunkten: Algebra und Analysis, Bilder und Geometrie, Computer und Anwendungen. In diesen drei Bereichen werden Standardthemen der mathematischen Grundbildung gut verständlich behandelt, wobei Zielsetzung, Methoden und Schulbezug des behandelten Themas im Vordergrund der Darstellung stehen. Die einzelnen Bände sind nach einem "Zwei-Seiten-Konzept" aufgebaut: Der fachliche Inhalt wird fortlaufend auf den linken Seiten dargestellt, auf den gegenüberliegenden rechten Seiten finden sich im Sinne des "Iearning by doing" jeweils zugehörige Beispiele, Aufgaben, stoffliche Ergänzungen und Ausblicke. Die Beschränkung auf die wesentlichen fachlichen Inhalte und die Erläuterungen anhand von Beispielen und Aufgaben erleichtern es dem Leser, sich auch im Selbststudium neue Inhalte anzueignen oder sich zur Prüfungsvorbereitung konzentriert mit dem notwendigen Rüstzeug zu versehen. Aufgrund ihrer Schulrelevanz eignet sich die Reihe auch zur Lehrerweiterbildung.

3 Einführung in die Abbildungsgeometrie Kongruenzabbildungen und Ähnlichkeiten Von PD Dr. Peter Kirsche Universität Augsburg B. G. Teubner Stuttgart. Leipzig 1998

4 Priv.-Doz. Dr. Peter Kirsche Geboren 1941 in Zittau. Studium an der Universität Freiburg. Promotion 1972 an der Mathematischen Fakultät der Universität Freiburg, Habilitation 1991 an der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät der Universität Augsburg. Seit 1974 tätig in der Lehramtsausbildung Mathematik an der Universität Augsburg. Arbeitsgebiet: Didaktik der Mathematik. Gedruckt auf chlorfrei gebleichtem Papier. Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Kirsche, Peter: Einführung in die Abbildungsgeometrie : Kongruenzabbildungen und Ähnlichkeiten I von Peter Kirsche. - Stuttgart ; Leipzig: Teubner, 1998 (Mathematik-ABC für das Lehramt) ISBN ISBN (ebook) DOI / Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhaib der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt besonders für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen B. G. Teubner Stuttgart. Leipzig

5 Vorwort Dieses Buch ist eine Einfiihrung in die Abbildungsgeometrie. Der Begriff "Abbildungsgeometrie" wird unterschiedlich interpretiert. Wir verstehen darunter grob gesprochen eine Methode, mit Hilfe von Abbildungen und deren Eigenschaften Geometrie zu betreiben. Nachdem A. F. MÖBIUS ( ) in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts den Abbildungsbegriff geschaffen hatte, erkannte man sehr bald, daß sich die Aussagen der Elementargeometrie mit Hilfe von Abbildungen gewinnen und in einfacher Weise ordnen lassen. Diese Idee wurde im wesentlichen von F. KLEIN ( ) in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts ausgearbeitet. Seit dieser Zeit gibt es auch Bestrebungen, im Geometrieunterricht die von EUKLID geprägte kongruenzgeometrische Methode durch die abbildungsgeometrische Methode zu ersetzen. Den wesentlichen Unterschied beider Methoden kann man an einem einfachen Beispiel aufzeigen. Es soll nachgewiesen werden, daß ein gleichschenkliges Dreieck gleich große Basiswinkel hat. Die Beweise mit Hilfe der beiden Methoden verlaufen grob skizziert folgendermaßen. Nach der kongruenzgeometrischen Methode zerlegt man das Dreieck durch die Seitenhalbierende der Basis in zwei Teildreiecke, weist mittels eines Kongruenzsatzes deren Kongruenz nach und schließt dann auf gleich große Basiswinke1. Nach der abbildungsgeometrischen Methode spiegelt man das Dreieck an der Winkelhalbierenden der gleich langen Seiten und weist nach, daß dabei die Basiswinkel aufeinander abgebildet werden. Aus den Eigenschaften der Achsenspiegelung folgt dann, daß die Basiswinkel gleich groß sind. Die abbildungsgeometrische Methode hat aus didaktischer Sicht gegenüber der kongruenzgeometrischen Methode den wesentlichen Vorteil, daß sich Abbildungen durch kinematische Bewegungen konkretisieren lassen. Beispielsweise kann man aus Papier ein gleichschenkliges Dreieck ausschneiden und durch Falten die Basiswinkel zur Deckung bringen. Daher sprach man in der Anfangsphase dieser Entwicklung auch von Bewegungsgeometrie, nicht von Abbildungsgeometrie. Die abbildungsgeometrische Methode erfiillte trotz aller Bemühungen nicht die Erwartungen, die man in sie gesetzt hatte. Sie wurde nur ansatzweise in den Geometrieunterricht aufgenommen. In der Lehrerausbildung ist die Situation anders. Hier spielt die Abbildungsgeometrie eine zentrale Rolle. Dabei darf allerdings nicht übersehen werden, daß es durchaus Situationen gibt, in denen die kongruenzgeometrische Methode vorzuziehen ist. Insgesamt sollte man beide Methoden nicht als Alternativen ansehen, sie sind komplementär. Wir werden daher beide Methoden behandeln. Der Schwerpunkt liegt dabei auf der abbildungsgeometrischen Methode. Der Grund liegt nicht nur darin, daß man mit Hilfe von Abbildungsgruppen die Aussagen der Elementargeometrie ordnen kann, sondern es können zentrale Begriffe wie "Symmetrie" wesentlich allgemeiner gefaßt und einer algebraischen Behandlung zugänglich gemacht werden. Das Buch gliedert sich im wesentlichen in vier Kapite1. Im ersten Kapitel werden geometrische Grundbegriffe und Beziehungen zwischen diesen Begriffen zusammengestellt. Diese Grundlagen werden der Anschauung entnommen. Sie werden nur so weit entwikkelt, wie sie zur Erklärung der folgenden Kongruenzabbildungen nötig sind.

6 6 Vorwort Diesen Abbildungen ist das zweite Kapitel gewidmet, in dem Achsenspiegelungen, Verschiebungen, Drehungen usw. sowie deren Eigenschaften untersucht werden. Mit Hilfe dieser Abbildungen werden die Kongruenzsätze für Dreiecke erarbeitet. Damit steht eine breite Argumentationsbasis zur Ableitung von Eigenschaften geometrischer Figuren bereit. Im dritten Kapitel werden die zentrischen Streckungen eingefuhrt. Zusammen mit den Kongruenzabbildungen erhalten wir so die Ähn1ichkeitsabbildungen. Mit deren Hilfe werden die Strahlensätze und die Ähn1ichkeitssätze für Dreiecke gewonnen. Diese Grundlagen ermöglichen die Herleitung weiterer geometrischer Aussagen. Im Unterschied zu anderen Darstellungen der Elementargeometrie wird der Diagonalensatz des PTOLEMAIOS ausfiihrlieh behandelt, weil er eine ganze Reihe überraschender Anwendungen in der Trigonometrie gestattet. Das vierte und letzte Kapitel bietet einen knappen Ausblick auf affme Abbildungen. Man erhält diese, indem man zu den Ähnlichkeitsabbildungen die Achsenaffmitäten hinzunimmt. Die Darstellung dieser Themen erfolgt bis auf wenige Ausnahmen nach dem Zwei Seiten-Konzept: Auf den jeweils linken Seiten werden die grundlegenden geometrischen Inhalte entwickelt. Dabei wurde versucht, alle wesentlichen Gedankengänge durch Skizzen zu veranschaulichen und zu verdeutlichen. Die rechten Seiten enthalten Beispiele, Kommentare und vor allem Übungen. Es wird dringend empfohlen, diese Übungen zu bearbeiten. Dieses dient sowohl der Ergänzung des Lehrtextes als auch der Kontrolle, ob die Inhalte verstanden worden sind. Die Übungen weisen unterschiedlichen Schwierigkeitsgrad auf. Sie umfassen einfache Konstruktionen mit Hilfe von Zeichengeräten, die beispielsweise das Abbilden von Figuren betreffen, aber auch Begründungen von Aussagen, die formale Schlußweisen erfordern. Am Ende des Buches fmden sich Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben. Herrn Prof. Dr. K. P. Müller danke ich für die Durchsicht des Manuskriptes. Ebenso möchte ich mich bei Herrn J. Weiß vom Teubner-Verlag für seine Hilfe bedanken. Friedberg, August 1998 Peter Kirsche

7 Inhalt 1 Geometrische Grundbegriffe Punkte und Geraden in der Ebene Halbgeraden, Strecken und Halbebenen Winkel Winkeltypen Winkel an sich schneidenden Geraden Vielecke Abbildungen Kongruenzabbildungen Achsenspiegelungen Abbildungsvorschrift und Eigenschaften Achsensymmetrie Grundkonstruktionen mit Zirkel und LineaL Verketten von Achsenspiegelungen Verketten von Abbildungen Verketten von Achsenspiegelungen Verschiebungen Abbildungsvorschrift Verschiebungen und Doppelspiegelungen an parallelen Geraden Eigenschaften von Verschiebungen Schub symmetrie Drehungen Abbildungsvorschrift Drehungen und Doppelspiegelungen an sich schneidenden Geraden Eigenschaften von Drehungen Drehsymmetrie Punktspiegelungen Abbildungsvorschrift Eigenschaften der Punktspiegelung Punktsymmetrie Schubspiegelungen Verketten von drei Achsenspiegelungen Schubspiegelungen Gruppe der Kongruenzabbildungen Verketten von vier Achsenspiegelungen Kongruenzabbildungen und deren Verkettung... 68

8 8 Inhalt 2.8 Kongruenz Kongruente Figuren Kongruenzsätze für Dreiecke Zur abbildungsgeometrischen und zur kongruenzgeometrischen Methode Zerlegungsgleiche Vielecke Anwendungen in der Elementargeometrie Ähnlichkeitsabbildungen Zentrische Streckungen Abbildungsvorschrift und Eigenschaften Strahlensätze Teilverhältnisse Gruppe der Ähnlichkeitsabbildungen Verketten von zentrischen Streckungen Verketten von zentrischen Streckungen und Kongruenzabbildungen, Ähnlichkeitsabbildungen Ähnlichkeit Ähnliche Figuren Anwendungen der Ähnlichkeitssätze Affinitätsabbildungen Achsenaffinitäten Scherungen Lösungshinweise zu ausgewählten Aufgaben Literatur Namen- und Sachverzeichnis