(x x j ) R m [x] (3) x x j x k x j. R m [x]. (4)

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1 33 Interpolation Interpolation In vielen praktischen Anwendungen der Mathematik treten Funktionen f auf, deren Werte nur näherungsweise berechnet werden können oder sogar nur auf gewissen endlichen Mengen {x 0,x 1,,x m } bekannt sind In solchen Fällen ersetzt man f durch einfachere Funktionen, etwa durch Polynome Taylor-Polynome liefern gute Approximationen von f nur in der Nähe der Entwicklungspunkte Oft ist es wichtig, Approximationen zu finden, die in der Nähe mehrerer Punkte sehr genau sind Eine einfache derartige Möglichkeit besteht darin, für gegebene Punkte x 0, x 1,, x m die Bedingung P(x j ) = f(x j ) für j = 0,1,,m zu stellen Diese Interpolation ist stets möglich Etwas allgemeiner lösen wir diese 331 Aufgabe Gegeben seien (verschiedene) Stützstellen x 0, x 1,, x m R und Werte y 0, y 1,, y m K = R oder K = C Gesucht ist ein Polynom P K m [x] vom Grad m mit P(x j ) = y j, j = 0, 1,, m (1) 332 Lagrange-Basispolynome Zuverschiedenen Stützstellenx 0, x 1,, x m R und 0 k m definiert man die Polynome ω(x) := m ω k (x) := ω(x) x x k = (x x j ) R m+1 [x] und (2) j k sowie die Lagrange-Basispolynome L k (x) := ω k(x) ω k (x k ) = j k (x x j ) R m [x] (3) x x j x k x j R m [x] (4) 333 Satz Zu verschiedenen Stützstellen x 0, x 1,, x m R und Werten y 0, y 1,, y m C gibt es genau ein Polynom P C m [x] vom Grad m mit (1) Dieses ist gegeben durch P(x) = m y k L k (x) (5) { 1, k = j Beweis Wegen L k (x j ) = δ kj = wird (1) von dem Polynom 0, k j P C m [x] aus (5) gelöst Ist Q C m [x] eine weitere Lösung von (1), so hat P Q C m [x] die m + 1 Nullstellen x 0, x 1,, x m, und aus Satz 84 b) folgt P Q = 0 In Formel (5) erfordert die Hinzunahme einer weiteren Bedingung P(x m+1 ) = y m+1 die völlige Neuberechnung der Lagrange-Basispolynome Dieser Nachteil tritt nicht auf bei Verwendung der

2 148 IV Taylor-Formel und Reihenentwicklungen 334 Newton-Basispolynome Diese werden definiert durch N 0 (x) := 1 und N k (x) := k 1 (x x j ) R k [x] für k = 1,,m (6) Wegen degn k = k lässt sich das Interpoationspolynom P aus (5) in der Form P(x) = m c k N k (x) (7) schreiben Die Koeffizienten c 0,c 1,,c m lassen sich dann mittels (1) sukzessive bestimmen Explizitere Formeln erhält man mittels 335 Aitken-Neville-Rekursion a) Gegeben seien die Daten aus Aufgabe 331 Für k, i N 0 mit k + i m sei nun P k,i C k [x] das Interpoationspolynom für die Daten {(x j,y j ) i j k +i}; dann gilt offenbar P = P m,0 Für k 1 und k +i m interpoliert nun Q(x) := (x i+k x)p k 1,i (x) (x i x)p k 1,i+1 (x) C k [x] ebenfalls die Daten {(x j,y j ) i j k +i}; daher gilt die Rekursionsformel P k,i (x) = (x i+k x)p k 1,i (x) (x i x)p k 1,i+1 (x) (8) Ausgehend von den P 0,i = y i für 0 i m berechnet man gemäß (8) die P 1,i C 1 [x], dann die P 2,i C 2 [x], usw b) Ist nur ein Wert P(ξ) = P m,0 (ξ) zu bestimmen, so ist es nicht nötig, die Koeffizienten von P zu berechnen; man bestimmt einfach die Zahlen α k,i := P k,i (ξ) gemäß α 0,i = α i und der Rekursionsformel α k,i = (x i+k ξ)α k 1,i (x i ξ)α k 1,i+1 (9) Numerisch stabiler ist die Formel α k,i = α k 1,i +(x i ξ) α k 1,i α k 1,i+1 = α k 1,i + α k 1,i α k 1,i+1 x i+k ξ x i ξ Dividierte Differenzen a)fürdiepolynomep k,i hatmannach(7)newton- Darstellungen P k,i (x) = k y[x i,,x i+j ]N j (x) (10) Vergleich der Koeffizienten von x k in (8) liefert die Rekursionsformel y[x i,,x i+k ] = y[x i+1,,x i+k ] y[x i,,x i+k 1 ] (11) Ausgehend von y[x i ] = y i für 0 i m berechnet man dann sukzessive die dividierten Differenzen y[x i,x i+1 ] = y[x i+1] y[x i ] x i+1 x i erster Ordnung, dann die dividierten

3 33 Interpolation 149 Differenzen y[x i,x i+2 ] = y[x i+1,x i+2 ] y[x i,x i+1 ] x i+2 x i zweiter Ordnung usw Insbesondere gilt für das Interpolationspolynom aus (5) die Formel P(x) = P m,0 (x) = m y[x 0,,x j ]N j (x) (12) b) Bei der Berechnung der dividierten Differenzen kann man folgendes Schema verwenden: x 3 x 0 x 2 x 0 x 1 x 0 x 0 y 0 y[x 0,x 1 ] y[x 0,x 1,x 2 ] y[x 0,,x 3 ] x 3 x 1 x 2 x 1 x 1 y 1 y[x 1,x 2 ] y[x 1,x 2,x 3 ] x 3 x 2 x 2 y 2 y[x 2,x 3 ] x 3 y 3 Bei Hinzunahme einer weiteren Bedingung P(x m+1 ) = y m+1 kann dieses Schema einfach erweitert werden 337 Beispiel Gesucht ist das kubische Polynom durch die Punkte(0, 0),(1, 1),(2, 5) und (3,14) Das Schema liefert P(x) = (x 0)+ 3 (x 0)(x 1)+ 1 (x 0)(x 1)(x 2), also 2 3 P(x) = 1 6 (2x3 +3x 2 +x) Nun seien I R ein Intervall, f : I R eine Funktion und x 0, x 1,, x m I verschiedene Stützstellen Für dividierte Differenzen zum Interpolationsproblem P(x j ) = f(x j ), j = 0, 1,, m, (13) schreiben wir f[x i,,x i+k ] Nach (5) und (12) ist das entsprechende Interpolationspolynom gegeben durch P m (x) = m f(x k )L k (x) = m f[x 0,,x j ]N j (x) (14) 338 Theorem Es seien x 0 < x 1 < < x m I und f C m+1 (I,R) Für den Interpolationsfehler R m+1 (x) := f(x) P m (x) gilt dann R m+1 (x) = f(m+1) (ξ) (m+1)! ω(x) (15) für ein geeignetes ξ I sowie R m+1 (x) = f[x 0,,x m,x] ω(x) (16)

4 150 IV Taylor-Formel und Reihenentwicklungen 339 Bemerkungen a) Formel (16) gilt auch für komplexwertige Funktionen; in (15) müssen dann i A verschiedene Zwischenstellen in Real- und Imaginärteil gewählt werden b) Im Grenzfall x 0 = = x m geht der Interpolationsfehler nach (15) in das Lagrange-Restglied f(m+1) (ξ) (x x (m+1)! 0 ) m+1 dertaylor-formel über Theorem 338kann daher als eine Variante des Satzes von Taylor betrachtet werden 3310 Diskussion des Interpolationsfehlers a) Die Größe des Interpolationsfehlers wird also einerseits von dem von f unabhängigen Faktor ω(x) und andererseits von f(m+1) (ξ) bestimmt (m+1)! b) Offenbar gilt ω(x) I m+1 für x I ; außerhalb von I steigt ω(x) schnell an Man kann 2 ( I 4 )m+1 ω I I m+1 (17) zeigen Der minimale Wert wird nicht bei äquidistanten Stützstellen erreicht; im Fall I = [ 1,1] ist dies jedoch der Fall für die Nullstellen x k = cos( 2(m k)+1 2(m+1) )π, k = 0,,m (18) der durch T m+1 (cost) = cos(m+1)t gegebenen Tschebyscheff-Polynome (vgl [K1], 428) c) Es seien nun f C (I) und (x k ) eine Folge von Stützstellen in I Interpoliert man f an den Stützstellen x 0, x m 1, so gilt also R m (x) I m f (m) I m!, x I, (19) für die Interpolationsfehler Aufgrund des Satzes von Borel 3114 kann diese Schranke mit m beliebig schnell anwachsen; ia ist also lim R m(x) = 0 nicht zu m erwarten { e d) Dies ist in der Tat für die C 1/x 2 sin 1, x > 0 -Funktion f(x) := x 0, x 0 nicht der Fall: Für die Stützstellen x k := 1, k N (k+1)π 0, sind alle Interpolationspolynome 0! e) Andererseits gibt es zu jeder Funktion f C[a, b] eine Folge von Interpolationspolynomen zu geeigneten Stützstellen mit f P m 0 f) Hat man für f C (I) eine Abschätzung f (m) I C m! h m mit h I < 1, (20) so folgt R m 0 aufgrund von (19), dh die Interpolationspolynome P m zu beliebigen Stützstellen konvergieren gleichmäßig gegen f Bedingung (20) ist etwa für e x, sinx und cosx erfüllt; sie impliziert auch, daß die Taylor-Reihen von f in allen Punkten a I einen Konvergenzradius 1 > I haben und auf ganz I h gegen f konvergieren g) Für die Funktion f(x) := 1 ist (20) über I := [ 5,5] nicht erfüllt; man hat ja 1+x 2 f(x) = ( 1) k x 2k für x < 1 und somit f(m) (0) = 1 für gerade m Interpoliert m!

5 33 Interpolation 151 man nun f durch P 10 R 10 [x] in den Stützstellen Z I, so erhält man aus (15) wegen f(11) I 0,9 nur die Abschätzung R 11! 11 I 0,9 ω I Nach (17) gilt aber ω I 2 ( 10 4 )11, und man erhält bestenfalls R 11 I In Wahrheit ist R 11 [ 5,5] 2, wobei der Fehler nahe am Rand des Intervalls maximal wird P 10 ist also keine geeignete Approximation von f