Skript zur Vorlesung Mikroökonomik II (WS 2009) Teil 4

Transkript

1 Skript zur Vorlesung Mikroökonomik II (WS 09) Teil 4 PR 13: Spieltheorie Weiterentwicklung der ökonomischen Theorie untersucht Situationen strategischen Verhaltens John von Neumann und Oskar Morgenstern (1944): Theory of Games and Economic Behavior Hauptziel der Spieltheorie: PR (S. 6): optimale Strategie bestimmen besser: Zwei Arten von Spielen: kooperative Spiele Akteure können Entscheidungen Bsp.: nichtkooperative Spiele keine Bsp.: Definition: Ein Spiel Γ = (I, {S i } i I, {π i } i I ) besteht aus I, der Menge der der Menge der Beispiel: Gefangenen-Dilemma G 2 gesteht G 2 gesteht nicht G 1 gesteht 5, 5 1, G 1 gesteht nicht 1, 2, 2 Spiel Γ = (I, {S i } i I, {π i } i I ) I = S 1 = π 1 Darstellung in Auszahlungsmatrix: 1

2 Annahme: Spieler handeln rational Spieler versuchen, durch Wahl der geeigneten Strategie ihre Auszahlung zu maximieren Auszahlung muß also das darstellen, Beispiel 2: Werbung (PR, S. 624): B: Werbung B: keine Werbung A: Werbung, 5 15, 0 A: keine Werbung 6, 8, 2 Elemente des Spiels: Strategien: Strategien von A: Strategien von B: Auszahlungen: Beste Antwort Strategie ist BA, wenn keine andere Strategie existiert, die bei gegebener Strategie der anderen zu einer höheren Auszahlung führt BA A (B: Werbung) = Dominante Strategie: Strategie ist eine DS, wenn sie Strategie ist eine DS, wenn sie DS für A: DS für B: GG in dominanten Strategien: Jedes GG in dominanten Strategien ist ein Nash-GG. 2

3 B: Werbung B: keine Werbung A: Werbung, 5 15, 0 A: keine Werbung 6, 8, 2 Dominierte Strategie (weakly dominated strategy): Strategie s i wird von Strategie s i dominiert, falls Für B wird π i (s i s j ) π i (s i s j ) s j S j, falls also für jede mögliche Strategie Streng dominierte Strategie (strictly dominated str.): Strategie s i wird von Strategie s i streng dominiert, falls π i (s i s j ) < π i (s i s j ) s j S j, falls also für jede mögliche Strategie s j Für B wird Zusammenhang streng dominierte Strategie und BA: eine streng dominierte Strategie Zusammenhang dominierte Strategie und BA? streng dominierte Strategie Ein rationaler Spieler sollte niemals kann eine Beispiel: B: d B: e B: f A: x 1, 0 1, 2 0, 1 A: y 0, 3 0, 1 2, 0 Existiert für A eine streng dominierte Strategie? Existiert für B eine streng dominierte Strategie? Existiert für A eine streng dominierte Strategie, nachdem f gestrichen wurde? Ja, y wird von x streng dominiert. 3

4 B: d B: e B: f A: x 1, 0 1, 2 0, 1 A: y 0, 3 0, 1 2, 0 Iteratives Streichen streng dominierter Strategien: Streichen von Streichen von Streichen von Nash-GG damit: x, e. B: Werbung B: keine Werbung A: Werbung, 5 15, 0 A: keine Werbung 6, 8, 2 DS für A: DS für B: B: A: Hier: Nash-GG eindeutig. Beispiel: Produktwahl (PR S. 627) U2: knusprig U2: süß : knusprig -5, -5, : süß, -5, -5 DS für : DS für U2: : Hier: : 4

5 Beispiel: Münzspiel (PR S. 631) B: Kopf B: Zahl A: Kopf 1, -1-1, 1 A: Zahl -1, 1 1, -1 DS für A: DS für B: in jedem Feld Spiele können Nash-GG haben. Beispiel: Standortspiel (PR S. 628) zwei Anbieter identisches Produkt (Getränk) gleiche Preise Käufer auf einem Strand gleichmäßig verteilt Käufer laufen nur bis zum ersten Anbieter Positionierung der Anbieter: 5

6 PR 13.1: Maximin Strategien U2: keine Inv. U2: Inv. : keine Inv. 0, 0 -, : Inv. -0, 0, Problem: Hoher Verlust für, falls U2 fälschlicherweise nicht investiert! Alternative: Maximin Strategie: maximiere den minimalen Gewinn U2 Maximin-GG und Nash-GG PR 13.2: Gemischte Strategien Beispiel: Münzspiel (PR S. 631) B: Kopf B: Zahl A: Kopf 1, -1-1, 1 A: Zahl -1, 1 1, -1 Nash-GG in jedem Feld ist eine der beiden Strategien keine BA Alternative 6

7 Gemischte Strategie: Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Menge der reinen Strategien Beispiel: reine Strategien: Kopf, Zahl gemischte Strategie: P rob(kopf) = 0,3 und P rob(zahl) = 0,7 Münzspiel (PR S. 631) B: Kopf B: Zahl A: Kopf 1, -1-1, 1 A: Zahl -1, 1 1, -1 Nash-GG in gemischten Strategien: A: P rob(kopf) = 0,5 und P rob(zahl) = 0,5 B: P rob(kopf) = 0,5 und P rob(zahl) = 0,5 PR 13.4: Wiederholte Spiele Duopol-Preisbildungsproblem: U2: geringer Preis U2: hoher Preis : geringer Preis, 0, -50 : hoher Preis -50, 0 50, 50 Nash-GG plausibel in Situation, in der beide Unternehmen jeden Tag ihren Preis festlegen? Alternative: Versuch, hoher Preis, hoher Preis zu erreichen Wähle hohen Preis, falls nicht, Duopol-Preisbildungsproblem bei fester Anzahl Tagen: Problem der Tit-for-Tat-Strategie: kann U2 beide wenn Preis U2 GG an allen Tagen: Wie GG: hoher Preis, hoher Preis erklärbar? Spieler Zeitpunkt 7

8 13.5: Sequentielle Spiele Def.: Spiele, in denen die Spieler zu unterschiedlichen Zeitpunkten handeln Bsp.: Produktwahl (modifiziert): entscheidet zuerst U2: knusprig U2: süß : knusprig -5, -5, : süß, -5, -5 : hier bestimmbar in komplizierteren Fällen andere Darstellung nötig : Extensive Form eines Spiels Spiele können auch anders als in Auszahlungsmatrix dargestellt werden Darstellung als Spielbaum Knusprig Süß U2 U2 Knusprig Süß Knusprig Süß Abbildung 1: Extensive Form des Produktwahl-Spiels Elemente eines Spielbaums (game-tree): Knoten (node): jeder Knoten hat entweder oder enthält Information, 8

9 PR 13.6 Drohungen Preisbildung von Computern U2: hoher Preis U2: niedriger Preis : hoher Preis 0,, 0 : niedriger Preis, 0, GG im sequentiellen Spiel (U2 entscheidet zuerst)? Kann drohen, einen niedrigen Preis zu wählen, wenn U2 einen niedrigen Preis wählt, und damit U2 veranlassen, einen hohen Preis zu wählen? PR: Nein, Drohung nicht glaubwürdig. Daher nur ein Nash-GG, unabhängig von Reihenfolge. U Abbildung 2: Spielbaum: Preisbildung von Computern Strategien von U2 und? Strategie im sequentiellen Spiel: Def.: vollständige Beschreibung der Handlung für jeden Knoten Handlungsanweisung an einen Dritten Strategien von U2: Strategien von : Nash-GG? Auszahlungsmatrix? 9

10 Ursprüngliche Auszahlungsmatrix: U2: hoch U2: niedrig : hoch 0,, 0 : niedrig, 0, Nash-GG im sequentiellen Spiel U2: hoch U2: niedrig : bei h: h; bei n: h 0,, 0 : bei h: h; bei n: n 0,, :bei h: n; bei n: h :bei h: n; bei n: n Ist zweites Nash-GG sinnvoll? U Drohung, n bei h zu spielen, nicht glaubwürdig! Aber: n bei h zu spielen ist ein Nash-GG! Daher: Nash-GG reicht als Konzept nicht aus!

11 Erweiterung des Nash-GG-Konzepts für sequentielle Spiele: Teilspielperfektheit Reinhard Selten, Nobelpreis 1994 Teilspiel: der Teil eines Spiels, der einem Knoten folgt, der selbst nicht Wurzel ist U GG für Teilspiel 1: GG für Teilspiel 2: U2: niedrig, : (bei h: n; bei n: h) nicht teilspielperfekt, weil bei h: n kein GG für Teilspiel 1. 11