Datenstrukturen und Algorithmen 2. Klausur SS 2001

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1 UNIVERSITÄT PADERBORN FACHBEREICH 7 (MATHEMATIK INFORMATIK) Datenstrukturen und Algorithmen 2. Klausur SS 200 Lösungsansätze Dienstag, 8. September 200 Name, Vorname: Matrikelnummer: Studiengang: Bitte Zutreffendes ankreuzen: Vordiplom: Schein: Bitte nicht beschriften: Aufgabe erreichbare Punkte erreichte Punkte Bitte sorgfältig durchlesen und beachten! Als Hilfsmittel ist nur ein zweiseitig handbeschriebenes DIN A4 Blatt erlaubt. Notieren Sie Name und Matrikelnummer auf dieses Blatt. Prüfen Sie die Vollständigkeit Ihres Klausurexemplares (Deckblatt, 5 Aufgaben, insgesamt 5 Seiten). Legen Sie Ihren Studentenausweis und einen Lichtbildausweis auf den Tisch. Verwenden Sie keinen Rotstift und keinen Bleistift. Verwenden Sie kein eigenes Papier, sondern nur die zur Verfügung gestellten Blätter. Zusätzliche Blätter erhalten Sie von der Aufsicht. Schreiben Sie zu Beginn der Klausur auf das Deckblatt und jede weitere Seite deutlich lesbar Ihren Namen, Ihren Vornamen und Ihre Matrikelnummer. Viel Erfolg!

2 Aufgabe a) Sortieren Sie die untenstehende Zahlenfolge mittels Quicksort. Verwenden Sie hierbei die Variante, die das erste Element der Folge als Splitelement wählt. [4 Pkt.] Splitelement: : : Splitelement: Splitelement: Sortierte Folge: Für diese Folge war die Wahl der Splitelemente bestmöglich. [ Pkt.] 2

3 b) Sortieren Sie die untenstehende Zahlenfolge mittels des modifizierten Bubblesort-Algorithmus, indem Sie die folgende Tabelle vervollständigen. Jede Zeile stellt hierbei die Belegung des Feldes nach einmaligen Ausführen der äußeren Schleife dar. Tragen Sie nur Zahlen in die Felder ein, auf welche der Algorithmus in der entsprechenden Runde zugreift, d.h. wird eine Zahl in einer Runde nicht mit anderen Zahlen verglichen, so bleibt das entsprechende Feld leer. [4 Pkt.] Der modifizierte Bubblesort-Algorithmus braucht hier weniger Vergleiche als der Bubblesort-Algorithmus. [ Pkt.] 3

4 Aufgabe 2 Gegeben ist ein ungerichteter Graph mit Kantenlängen. a) Nehmen Sie an, die Kantenlänge ist "! für alle Kanten des Graphen. Modifizieren Sie den Breitensuchalgorithmus folgendermaßen: Er erhält als zusätzliche Eingaben die Knoten # und $ und soll die geringste Entfernung in [3 Pkt.] ausgeben. Welche Laufzeit besitzt der modifizierte Algorithmus? Im folgenden Beispiel sind die Knoten # und $ drei Schritte voneinander entfernt. u v Lösungsidee: Man startet eine normale Breitensuche im Knoten #. Zusätzlich speichert man sich aber für jeden Knoten % ab, auf welchem Level im Breitensuchbaum er liegt. Dieser Level entspricht der Entfernung zwischen % und dem Knoten #. Wenn man $ gefunden hat, dann kennt man somit auch die Entfernung zwischen # und $. Schlange & &(' enqueue() #* + );,,-# liegt auf Level 0 while () ) %. 0/+ = &(' dequeue;,, Knoten % auf Level /,, wird aus der Schlange entfernt. if %2 3$ then return(/ );,4, Knoten $ gefunden. für alle noch nicht besuchten Nachbarn 5 von % &6' enqueue() 56 7/98:!;+ );,4, noch nicht besuchte Nachbarn,4, liegen auf Level / 8:!. b) Geben sie nun einen Algorithmus an, der für allgemeine Kantenlängen =<">? in A BADCFE4GHA BA die geringste Entfernung zwischen den gegebenen Knoten # und $ bestimmt. [6 Pkt.] Im folgenden Beispiel haben die Knoten # und $ Entfernung 0. u v Lösungsidee: Man muß den obigen Algorithmus in einigen Punkten ändern. Man benutzt eine Prioritätswarteschlange anstatt einer Schlange. 4

5 @ Der Schlüssel eines Knotens % in der Schlange ist die Länge eines kürzesten Weges von # zu % der nur schon vollständig abgearbeitete Knoten benutzt, d.h. Knoten die die Schlange schon wieder verlassen haben. In jedem Schritt entfernt man den Knoten mit dem kleinsten Schlüssel. Wenn man ein Knoten aus der Schlange entfernt hat muß man einerseits natürlich testen, ob man über diesen Knoten neue Knoten erreichen kann. (wie bei jeder normalen Breitensuche.) Zusätzlich muß man aber nun überprüfen, ob man die Knoten, die schon in der Warteschlange sind über einen kürzeren Weg erreichen kann, d.h. man muß testen ob %*8= % gilt. (% ist der Knoten der gerade die Schlange verläßt, und ist ein beliebiger Nachbar von % der in der Schlange ist.) Falls das gilt muß man über eine decrease key-operation den Wert von anpassen. Wenn man $ aus der Schlange entfernt gibt $ die Entfernung eines kürzesten Weges zwischen # und $ an. Laufzeit: Man benötigt maximal A BA decrease key-operationen, die man in Zeit C EG A A durchführen kann, da höchstens A BA Elemente im Heap vorhanden sind. Die sonstigen Operationen entsprechen im wesentlichen einer normalen Breitensuche, so daß sich für diesen Teil eine Laufzeit A ACFE4G A BA *8A BA ergibt. (Der Unterschied zum A BA 8A BA für eine Aufgabe 3 Breitensuche kommt durch die Verwendung der Prioritätswarteschlange). Insgesamt benötigt man A BAA7C EG A A A BA;CFE4G A BA Operationen. Gegeben ist eine Menge von unterschiedlichen Münzwerten ;' ';' <2 und ein Betrag <. a) Geben Sie einen Algorithmus an, der alle unterschiedlichen Möglichkeiten ausgibt, den Betrag mit diesen Münzwerten darzustellen. [4 Pkt.] Nehmen wir als Beispiel 2- und 5-Euromünzen, d.h. ;. Für! gibt es zwei verschiedene Darstellungsmöglichkeiten:!!" 8#"$ ' Lösungsidee: In der Aufgabe wurde nirgends gefordert dass man in irgendeiner Weise clever vorgehen soll. Man nimmt sich eine Folge von Zahlen %& ;';' '; '% mit %( < ) ';';'; +, wobei % ( ) bedeutet, dass man die * -te Münze ) -mal nimmt. Jetzt testet man einfach für jede mögliche solche Folge ob % + 8,% + 8' ';'8-% +. gilt. Da die Münzwerte ( aus sind kommen Werte % (0/ für eine sinnvolle Kombination eh nicht in Frage. Achtung: Sowohl in Teil a) als auch in Teil b) macht es keinen Sinn die Münzwerte der Größe nach zu sortieren, und dann erst durch den größten Münzwert zu teilen, dann den Rest durch den zweitgrößten, u.s.w.. (Siehe Beispiel) ausrechnet, wie groß die Mindestanzahl von Münzen ist, um den Betrag darzustellen. (Hinweis: Verwenden Sie dynamische Programmierung.) [6 Pkt.] b) Geben Sie einen Algorithmus an, der in 5 ' Nehmen wir als Beispiel 2- und 5-Euromünzen, d.h. 2 ; 2. Für!3 benötigt man mindestens 5 Münzen:! 4$ 85"$ Lösungsidee: Der gesuchte Algorithmus ist exakt der, der in den Übungen für das Rucksackproblem vorgestellt worden ist. Man nimmt ein Array 6 der Länge, in dem man alle Einträge (bis auf den Nullten) mit 7 initialisiert. Der Algorithmus arbeitet in Runden. 5

6 ) ) ) Falls nach der -ten Runde ein Eintrag 6 ) ) + innerhalb des Arrays immer noch einen Wert 7 hat, dann kann ich den Betrag ) nicht mit Münzen darstellen. Andernfalls steht die minimale Anzahl an benötigten Münzen in 6 ) ) +. In einer Runde markiert der Algorithmus einfach alle Beträge, die er jetzt mit Münzen darstellen kann. Dabei nutzt er die Information welche Beträge er schon mit! Münzen darstellen konnte. A[0] = 0; )B<!4 ;' ';' 6 ) ) + 7 ; for! to do ) <! ;';' ' *9<!4 ';' '75( If 6 ) ) (+ 7 then 6 ) ) +. 6) ) +,4, Betrag ) kann mit Münzen Aufgabe 4 Array 6 Array 6 ; Die folgenden Teilaufgaben geben jeweils 2 Punkte:,4, dargestellt werden. a) Ein gerichteter Graph kann topologisch nummeriert (oder sortiert) werden, genau dann wenn er zyklisch ist. stark zusammenhängend ist. azyklisch ist. als Adjazensliste vorliegt. Hinweis: Skript: Satz 4.. b) Ein (nicht notwendigerweise balancierter) Baum mit Grad an allen inneren Knoten und Tiefe hat mindestens die folgende Anzahl von Knoten: 8!!$!! #" Hinweis: Ein minimaler Baum mit der geforderten Eigenschaft hat eine Wurzel und auf jedem Level genau Knoten. Also insgesamt % 8! viele Knoten. c) Betrachten sie die Rekursionsformel & 5.(!'& 5(!? 8! mit & 7!6!. Es gilt & 5.9 *) +) 5. 5 ) 5 ) C EG , Hinweis: Durch vollständige Induktion kann man leicht zeigen, dass & 5.(!! gilt. d) Wie tief ist ein Blatt eines (nicht notwendigerweise balancierten) Suchbaums für 5 Schlüssel höchstens? *) +) ) ) 7! CFE4G CFE4G65. Hinweis: Wenn nur 5 Knoten da sind, kann ein Blatt natürlich nicht tiefer hängen. 5 Aufgabe 5 Die folgenden Aufgaben geben pro richtige Antwort einen Punkt. Für eine falsche Antwort wird ein Punkt abgezogen! Falls keine Antwort angekreuzt wird, so wird auch kein Punkt abgezogen. Weniger als 0 Punkte können bei dieser Aufgabe nicht erreicht werden. a) Welche beiden Traversierungen beschreiben zusammen eindeutig einen Baum: in-order post-order prae-order b) Sind die Kantengewichte eines Graphen paarweise verschieden, so gibt es höchstens einen minimalen Spannbaum. 6

7 c) 5#" " " 0 C EG 5. " " " d) AVL-Bäume sind ein Spezialfall der Ja Nein -Bäume. e) Quick-Sort ist im worst-case effizienter als Merge-Sort. Ja Nein 7

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