Vortrag 4 - Primärzerlegung

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1 Vortrag 4 - Primärzerlegung von Christian Straßberger Beispiel 4.1: Primfaktorzerlegung als Primärzerlegung Sei n Z : n = ±p d1 1 pd2 2 pdr r, wobei p i Primzahlen, d i N. Dann ist (n) = (p d1 1 ) (pdr r ) Beweis (durch Induktion): Der Induktionsanfang ist klar! Induktionsschritt: Sei I := (p d1 1 pdr 1 ) IV = (p d1 1 ) (pdr 1 ), J := (pdr r ), zz: IJ = I J : IJ I J, (denn für a I, b J ist ab I und ab J) : (Benutze: (a) + (b) = (ggt (a, b))), I + J = (1) i I, j J : i + j = 1 Sei x I J x = 1x = (i + j)x = ix + jx IJ Definition und Satz 4.2: i) a A Ideal heißt Primideal : xy a x a oder y a A/a ntf. Ring ii) a A Ideal heißt Primärideal : xy a x a oder y n a für ein n N Jeder Nullteiler in A/a ist Nilpotent und A/a 0 iii) a A Ideal, dann heißt r(a) := {x A x n a für ein n > 0} Radikal von a Bemerkung: Ist p ein Primideal, so ist r(p) = {x A x n p } = {x A x p } = p Beweis von ii): : x = (x + a) A/a Nullteiler. Sei y / a: (x + a)(y + a) = (xy + a) = (0 + a) Also ist xy a, aber y / a x n a x n = (x + a) n = (x n + a) = (0 + a) : Sei xy a mit x 0 y xy = 0 Œ ist x Nullteiler und damit Nilpotent in A/a, also ist x n = 0, also x n a. 1

2 Satz 4.3: Sei q ein primäres Ideal im Ring A. Dann ist r(q) das kleinste Primideal, welches q enthält. Mit p = r(q) sagt man: q ist p-primär. Betrachte A/q: r(q) sind gerade die nilpotenten Elemente in A/q, also das Nilradikal. Dieses ist nach 1.8 gerade der Schnitt aller Primideale in A/q. Diese entsprechen allen Primidealen in A, welche q enthalten. q r(q) minimal. Noch zz: r(q) ist Prim Sei xy r(q) (xy) m q x m q oder y mn q x r(q) oder y r(q) Beispiel 4.4: Sei A = K[x, y] und q = (x, y 2 ) A / q = K[y] / (y 2 ) Dort sind alle Nullteiler Vielfache von y und somit alle Nilpotent q ist primär. Da r(q) = (x, y) ist r(q) 2 q r(q) (z.b. ist y / q und x / r(q) 2 ) Somit ist ein primäres Ideal nicht notwendig die Potenz eines Primideals. Sei nun A = K[x, y, z] / (xy z 2 ); x, y, z A. Dann ist p = (x, z) Prim, denn A / p = K[x, y, z] / (x, z) = K[y] Betr. xy xy+a(xy z 2 ) = (a+1)xy az 2 +z 2 z 2 = z 2 +(a+1)(xy z 2 ) z 2 also xy = z 2 p 2, aber x / p 2 und y n / p 2, also p 2 nicht primär. Somit sind auch Potenzen von Primidealen nicht notwendig primär. Satz 4.5: Sei a A Ideal. Ist r(a) maximal, dann ist a primär. Insbesondere Potenzen von maximalen Idealen m sind m-primär. Sei r(a) = m. Das Bild von m in A/a ist das Nilradikal von A/a. Da dies der Schnitt aller Primideale in A/a ist, gibt es nur ein Primideal in A/a. Ferner muss jede nicht-einheit in einem maximalen Ideal enthalten sein. Somit gibt es in A/a nur Einheiten und nilpotente Elemente und daher ist jeder Nullteiler in A/a nilpotent a ist primär. (Spezialfall: r(m n ) = m für ein maximales Ideal m m n ist m-primär) 2

3 Lemma 4.6: Seien q i (1 i n) p-primäre Ideale, dann ist auch q := n q i p-primär. r(q) = r( n q i ) = n r(q i ) = p Sei xy q, x / q es gibt i, so dass xy q i, x / q i y m q i für ein m y r(q i ) = p y r(q) und somit ist q primär. Erinnerung: Seien a, b A Ideale, dann ist (a : b) := {x A xb a} der Idealquotient Ist b = (x), schreibe (a : b) = (a : x) Lemma 4.7: Sei q A ein p-primäres Ideal, x A. Dann gilt: i) x q (q : x) = (1) ii) x / q (q : x) ist p-primär iii) x / p (q : x) = q i) Es ist x q. Da q Ideal ist Aq q, also (q : x) = (1) ii) Sei y (q : x) xy q x/ q y p. Also q (q : x) p 1.: zeige r(q : x) = p r(q : x) = {a A : a n (q : x)} a n p a p r(q : x) p p = r(q) = {a A : a n q} a n x q a n (q : x) a r(q : x) p r(q : x) 2.: zeige (q : x) ist primär Sei yz (q : x), y / p xyz q y / p xz q z (q : x) iii) Sei a (q : x) ax q, aber n : x n q a q (q : x) q (q (q : x) ist klar, also folgt Gleichheit) 3

4 Definition 4.8: Die Primärzerlegung eines Ideals a A ist eine Darstellung der Form a = n q i wobei q i Primideale sind und n < Diese muss i.a. nicht existieren und ist i.a. nicht eindeutig. Gilt ferner, dass i) r(q i ) und r(q j ) paarw. verschieden sind und ii) q i q j, für 1 i, j n j i so nennt man die Zerlegung minimal. Da nach 4.6 der Schnitt p-primärer Ideale wieder p-primär ist, kann man Œ i) annehmen. Ferner kann man auch Œ ii) annehmen (a b : a b c = a c ) Wenn eine Primärzerlegung für a A existiert, so heißt a zerlegbar, die Primärideale q i heißen Primärkomponenten einer Zerlegung. Satz 4.9: 1. Eindeutigkeitssatz Sei a A zerlegbar mit a = n q i minimal und p i := r(q i ) (1 i n). Dann sind die p i genau die Primideale in der Menge {r(a : x) x A} und somit unabhängig von der genauen Zerlegung. Sei x A beliebig: (a : x) = ( n r(a : x) = n r(q i : x) = sonst ist r(q j : x) = p j ). q i : x) = n (q i : x) x / q j p j (nach 4.7, denn für x q j ist r(q j : x) = (1), (Satz 1.11: Sind a 1...a n Ideale, p Primideal mit p = a i p = a i für ein i) Somit ist, angenommen r(a : x) ist Primideal, r(a : x) = p j für ein j. Also entspricht jedes Primideal in {r(a : x) x A} einem p j. Umgekehrt gibt es zu jedem i ein x i / q i, x i j i q j, da die Zerlegung minimal ist. Nach 4.7. ist dann p i = r(a : x i ). Man findet also zu jedem i ein x i, sodass (a : x i ) p i -primär ist. Anmerkung: Betrachte A/a als A-Modul. Dann ist (a : x) = Ann(x) in A/a. Somit sind die p i genau die Primideale, die Radikale von Annulatoren der Elemente in A/a sind. 4

5 Definition 4.10: Die Primideale p i aus 4.9 heißen zu a gehörige oder assoziierte Primideale. Die minimalen Elemente der Menge {p 1,..., p n } heißen minimale oder isolierte Primideale, die anderen heißen eingebettet. Analog definiert man die obigen Begriffe für die zug. Primärkomponenten. Beispiel 4.11: Sei A = K[x, y] und a = (x 2, xy). Betr. die Ideale q 1 = (x) und q 2 = (x 2, xy, y 2 ). Dann ist q 1 q 2 = (x) (x 2, xy, y 2 ) = (x 2, xy) = a Wegen q 2 = (x, y) 2 =: p 2 2 und da p 2 max. ist p 2 2 nach 4.5 p 2 -primär. Ferner ist q 1 = p 1 bereits Primideal. Es ist dann p 1 p 2, also ist p 1 ein isoliertes, und p 2 ein eingebettetes Primideal von a. Außerdem sieht man an diesem Beispiel, dass die Primärzerlegung nicht eindeutig ist, denn a = (x) (x, y) 2 = (x) (x 2, y) Da diese Zerlegungen beide minimal sind, gilt nach 4.9: r(x 2, y) = r((x, y) 2 ) = (x, y) Satz 4.12: Sei a ein zerlegbares Ideal in A. Dann enthält jedes Primideal p a auch ein minimales, zu a gehöriges Primideal. Daher sind die minimalen Primideale von a genau die minimalen Elemente der Menge {b A Primideal b a } Sei p a = n p = r(p) n r(q i ) = n q i ein beliebiges Primideal, welches a enthält p i (Satz 1.11: Sind a 1...a n Ideale, p Primideal mit p a i p a i für ein i) Somit ist p p i für ein i, und enthält also auch ein minimales Primideal. Satz 4.13: Sei a zerlegbar mit a = n q i minimal und p i := r(q i ). Dann ist n p i = {x A (a : x) a} Ist speziell a = 0 zerlegbar, dann ist n p i = D (= Menge der Nullteiler in A) 5

6 Sei a zerlegbar 0 ist in A/a zerlegbar als 0 = q i, (wobei q i das Bild von q i in A/a ist. Somit genügt es den Satz für a = 0 zu zeigen: Nach 1.15 ist D = r(0 : x) und wie im Beweis zu 4.9 ist r(0 : x) = p j p j x 0 x / q j D n p i Umgekehrt ist aber auch jedes p i von der Form r(0 : x) für ein x A n p i D Somit ergibt sich: i) D =Menge der Nullteiler = aller zu 0 gehörigen Primidealen ii) R = Menge der Nilpotenten Elemente = aller zu 0 gehörigen (minimalen) Primideale zu ii): Nach Satz 1.8 ist R = aller Primideale, welche nach 4.12 alle ein minimales, zu 0 geh. Primideal enthalten. Also genügt es den Schnitt über diese Primideale zu bilden. Insbesondere genügt es dann, den Schnitt über die minimalen Primideale zu bilden. Satz 4.14: Sei S A eine multiplikative Teilmenge und q A ein p-primäres Ideal. Dann gilt: i) falls S p S 1 q = S 1 A ii) falls S p = S 1 q ist (S 1 p)-primär und q ec = q Daher besteht eine Korrespondenz von Primäridealen in S 1 A und kontrahierten Idealen in A analog zu 3.11 i) Sei s S p s n S q sn 1 S 1 q, was eine Einheit in S 1 A ist. ii) 1. zeige: S 1 q ist primär: x, y S 1 A, x = ( a s ), y = ( b ab t ) xy = ( st ) S 1 q q q, s S : ab st q Def. s s : (abs q st) s = 0 abs s = q st s q also abs s q S p= = ab q a n q oder b n q x n S 1 q oder y n S 1 q 2. Es ist r(s 1 q) = S 1 r(q) = S 1 p Also: S 1 q ist (S 1 p)-primär 6

7 ii) 3. zeige: (S 1 q) c = q (S 1 q) c = S 1 q A = {a A a 1 S 1 q} Sei a 1 S 1 q a q, s S : a 1 a s as s = at q(mit t S) a (q : t) Bezeichnung: S(a) := (S 1 a) c t S s : (as a ) s = 0, as s = a s q also q = q nach 4.7 = S p= Satz 4.15: Sei S A eine multiplikative Teilmenge und a A zerlegbar mit a = minimal, p i := r(q i ). Sei ferner {q i } derart sortiert, dass i) S p i =, für i = 1,..., m ii) S p i, für i = m + 1,..., n n q i Dann gilt: m m S 1 a = S 1 q i und S(a) = q i sind min. Primärzerlegungen Nach 4.14 ist S 1 q i = S 1 A für i = m + 1,..., n S 1 a = n S 1 q i = m S 1 q i und S 1 q i ist (S 1 p i )-primär (i = 1,..., m) Da die p i paarw. verschieden sind, gilt dies auch für die S 1 p i. Somit ist die Zerlegung minimal. Ferner ist ebenfalls nach 4.14 S(a) = (S 1 a) c = m (S 1 q i ) c = m Definition und Satz 4.16: q i Eine Menge Σ von zu a gehörigen Primidealen heißt isoliert, falls: p A zu a geh. Primideal und p p, p Σ p Σ Insbesondere bilden die isolierten (minimalen) Primideale von a eine isolierte Menge. Sei also Σ wie oben und S := A\( p Σ p) multiplikative Teilmenge von A (a, b S, ang.: ab / S ab p für ein p Σ a p oder b p ) Für jedes zu a gehörige Primideal p gilt dann: i) p Σ p S = ii) p / Σ p S (denn ang. p S = p p Σ p 1.11 p p Σ p Σ ) 7

8 Satz 4.17: 2. Eindeutigkeitssatz Sei a zerlegbar mit a = n q i minimal und Σ := {p i1,..., p im } isolierte Menge von Primidealen von a. Dann ist q i1 q im unabhängig von der Zerlegung. (d.h.: Sei a = n q i mit p ij = r(q i j ) (1 j m), so ist dennoch m q ij = m q i j ) Insbesondere sind somit die isolierten (minimalen) Primärkomponenten von a eindeutig bestimmt. Sei S = A\ p Σ p. Dann ist für jedes p / Σ nach 4.16 p S = S(a) = q i1 q im Da S(a) aber nur von a und dessen zugehörigen Primidealen abhängt, ist S(a) unabhängig von der speziellen Zerlegung. j=1 j=1 8