13. Hashing. AVL-Bäume: Frage: Suche, Minimum, Maximum, Nachfolger in O(log n) Einfügen, Löschen in O(log n)

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1 AVL-Bäume: Ausgabe aller Elemente in O(n) Suche, Minimum, Maximum, Nachfolger in O(log n) Einfügen, Löschen in O(log n) Frage: Kann man Einfügen, Löschen und Suchen in O(1) Zeit? 1

2 Hashing einfache Methode um Wörtebücher zu implementieren, d.h. Hashing unterstützt die Operationen Search, Insert, Delete. Worst-case Zeit für Search: Θ(n). In der Praxis jedoch sehr gut. Unter gewissen Annahmen, erwartete Suchzeit O(1). Hashing Verallgemeinerung von direkter Adressierung durch Arrays. 2

3 Direkte Adressierung mit Arrays Schlüssel für Objekte der dynamischen Menge aus U:={0,,m-1}. Menge U wird Universum genannt. Nehmen an, dass alle Objekte unterschiedliche Schlüssel haben. Legen Array T[0,,m-1] an. Position k in T reserviert für Objekt mit Schlüssel k. T[k] verweist auf Objekt mit Schlüssel k. Falls kein Objekt mit Schlüssel k in Struktur, so gilt T[k]=NIL. 3

4 Operationen bei direkter Adressierung (1) Direct - Address - Search 1. returnt Direct - 1. T Direct - 1. T [ key[ x ] [ k] Address - Insert x Address - Delete [ key[ x ] NIL ( T,k ) ( T,x) ( T,x) 4

5 Operationen bei direkter Adressierung (2) Laufzeit jeweils O(1). Direkte Adressierung nicht möglich, wenn Universum U sehr groß ist. Speicherineffizient (Θ( U )), wenn Menge der aktuell zu speichernden Schlüssel deutlich kleiner als U ist. 5

6 Direkte Adressierung - Illustration Schlüssel / Universum U 0 6 Benutzte Schlüssel K 2 7 / / / / / 8 8 Satellitendaten 6

7 Hashing Idee (1) Nehmen an, dass die Menge K der zu speichernden Schlüssel immer kleiner als das Universum U ist. Hashing hat dann Speicherbedarf Θ ( K ) Insert wie bei direkter Adressierung ( ) Zeit für Search und Delete ebenfalls O ( 1) Durchschnitt bei geeigneten Annahmen. Legen Array [ 0,,m 1]. Zeit für O 1., aber nur im T K an, wobei m < U. Nennen T Hashtabelle. Benutzen Hashfunktion h:u { 0, K,m-1}. Verweis auf Objekt mit Schlüssel k in [ h( k) ] T. 7

8 Hashing - Illustration Universum U k 1 k 5 k 4 Benutzte 2 k Schlüssel K 3 0 / / h h ( k 1 ) ( ) k 4 ( k ) h( ) h = k h ( ) / / / m 1 / k 3 2 k 5 8

9 Hashing Idee (2) Da m < U, gibt es Objekte, deren Schlüssel auf denselben Wert gehasht werden, d.h., es gibt Schlüssel k 1,k2 mit k1 k2 und h( k1) = h( k2 ). Dieses wird Kollision genannt. Verwaltung von Kollision erfolgt durch Verkettung. Speichern Objekte, deren Schlüssel auf den Hashwert h abgebildet werden, in einer doppelt verketteten Liste L h. Dann verweist T [ h] auf den Beginn der Liste, head. speichert also [ ] L h Insert, Delete, Search jetzt mit Listenoperationen. 9

10 Hashing Beispiel 10

11 Operationen bei Kollisionsverwaltung Chained - Hash - Search 1. Suche nach Element ( T,k ) mit Schlüssel k in Liste T [ h( k )]. Chained 1. Füge - x Hash - Insert am Kopf der ( T,x ) Liste T [ h( key [ x] )] ein. Chained - Hash - Delete 1. Entferne x aus Liste T ( T,x ) h( key [ x] ) [ ]. Laufzeit für Insert O(1). Laufzeit für Delete, Search proportional zur Länge von T[h(k)]. 11

12 Hashing mit Listen - Illustration Universum U / / k 1 k 1 k 4 / k / 5 Benutzte k2 Schlüssel K k / 3 / k 4 k k 2 5 k 3 12

13 Analyse von Hashing mit Listen (1) m Größe der Hashtabelle T, n Anzahl der gespeicherten Objekte. Dann heisst α:=n/m der Lastfaktor von T. α ist die durchschnittliche Anzahl von Elementen in einer verketteten Liste. Werden alle Objekte auf denselben Wert gehasht, so benötigt Suche bei n Elementen Zeit Θ(n). Dasselbe Verhalten wie verkettete Listen. Im Durchschnitt aber ist Suche deutlich besser, falls eine gute Hashfunktion h benutzt wird. Gute Hashfunktion streut Werte wie zufällige Funktion. 13

14 Einfaches uniformes Hashing Definition 13.1: Wenn wir annehmen, dass bei jedem neuen Objekt mit Schlüssel k, die Hashfunktion h den Schlüssel k gleichverteilt und unabhängig von anderen bereits festgelegten Hashwerten auf die möglichen Hashwerte abbildet, so sprechen wir von einfachem uniformen Hashing. 14

15 Analyse von einfachem uniformen Hashing (1) Für j = 0, 1, K,m 1sei n j Größe der Liste T [ j]. Dann gilt: n = n 0 + n 1 + L + n m 1. Erwartungswert E [ n ] j von n j ist α = n / m. Nehmen zusätzlich an, dass die Hashfunktion h in Zeit O(1) ausgewertet werden kann. 15

16 Analyse von einfachem uniformen Hashing (1) 16

17 Analyse von einfachem uniformen Hashing (2) Satz 13.2: Bei einfachem uniformen Hashing benötigt eine nicht erfolgreiche Suche im Erwartungswert Zeit Θ(1+α). Satz 13.3: Bei einfachem uniformen Hashing benötigt eine erfolgreiche Suche im Erwartungswert und bei zufälligem Suchobjekt Zeit Θ(1+α). In beiden Fällen: Ist n=o(m), so ist erwartete Laufzeit O(1). 17

18 Analyse von einfachem uniformen Hashing (2) Satz 13.2: Bei einfachem uniformen Hashing benötigt eine nicht erfolgreiche Suche im Erwartungswert Zeit Θ(1+α). 18

19 Analyse von einfachem uniformen Hashing (2) Satz 13.3: Bei einfachem uniformen Hashing benötigt eine erfolgreiche Suche im Erwartungswert und bei zufälligem Suchobjekt Zeit Θ(1+α). 19

20 Analyse von einfachem uniformen Hashing (2) 20

21 Analyse von einfachem uniformen Hashing (2) 21

22 Analyse von einfachem uniformen Hashing (2) 22

23 Einfaches uniformes Hashing - Realisierung Interpretation: Ist die Größe der Hashtabelle proportional zur Anzahl gespeicherter Elemente, dann ist die durchschnittliche Laufzeit O(1). Fragen: Gibt es Hash Funktionen, die die Annahme einfaches uniformes Hashing erfüllen? 23

24 Einfaches uniformes Hashing - Realisierung Interpretation: Ist die Größe der Hashtabelle proportional zur Anzahl gespeicherter Elemente, dann ist die durchschnittliche Laufzeit O(1). Fragen: Ja, z.b. eine zufällige Funktion von U nach {0,,m-1} Gibt es Hash Funktionen, die die Annahme einfaches uniformes Hashing erfüllen? 24

25 Einfaches uniformes Hashing - Realisierung Interpretation: Ist die Größe der Hashtabelle proportional zur Anzahl gespeicherter Elemente, dann ist die durchschnittliche Laufzeit O(1). Fragen: Gibt es Hash Funktionen, die die Annahme einfaches uniformes Hashing erfüllen? Kann man diese effizient konstruieren und abspeichern? 25

26 Einfaches uniformes Hashing - Realisierung Interpretation: Ist die Größe der Hashtabelle proportional zur Anzahl gespeicherter Elemente, dann ist die durchschnittliche Laufzeit O(1). Fragen: Nein. Es gibt m Funktionen und somit benötigen wir mindestens U log m Bits, um eine solche (zufällige) Funktion Gibt es Hash Funktionen, die die Annahme einfaches uniformes Hashing erfüllen? eindeutig zu kodieren. Kann man diese effizient konstruieren und abspeichern? 26

27 Einfaches uniformes Hashing - Realisierung Interpretation: Ist die Größe der Hashtabelle proportional zur Anzahl gespeicherter Elemente, dann ist die durchschnittliche Laufzeit O(1). Fragen: Gibt es Hash Funktionen, die die Annahme einfaches uniformes Hashing erfüllen? Kann man diese effizient konstruieren und abspeichern? Wie konstruiert man gute Hash Funktionen? 27

28 Einfaches uniformes Hashing - Realisierung Interpretation: Ist die Größe der Hashtabelle proportional zur Anzahl gespeicherter Elemente, dann ist die durchschnittliche Laufzeit O(1). Fragen: Man nimmt sich eine kleinere Klasse von Funktionen mit der Eigenschaft, dass eine zufällige Funktion aus dieser Klasse sich Gibt es Hash Funktionen, die die Annahme einfaches uniformes Hashing erfüllen? ähnlich verhält wie eine zufällige Funktion von U nach {0,..,m-1}. Kann man diese effizient konstruieren und abspeichern? Wie konstruiert man gute Hash Funktionen? 28

29 Einfaches uniformes Hashing - Realisierung Einfaches uniformes Hashing kann realisiert werden, indem 1. Jedem einzufügenden Objekt beim Einfügen ein Schlüssel zufällig gleichverteilt zugewiesen wird. 2. Für die Hashfunktion h und für jeden Hashwert w 0, 1, K, m 1 gilt: { } Die Anzahl der Schlüssel k, die auf w gehasht werden, ist genau U /m. Hashfunktion mit 2.Eigenschaft ist z.b. h(k)=k mod m, falls U Vielfaches von m ist. 29

30 Einfaches uniformes Hashing - Beispiel 30

31 Einfaches uniformes Hashing Realisierung 1.Eigenschaft ist sehr unrealistisch. Stattdessen Hashfunktionen, die Schlüssel regelmäßig streuen und Regelmäßigkeiten in den Daten umgehen. Beispiel: Schlüssel sind Eigennamen. Alphabetisch nahe Eigennamen sollten weit auseinander liegende Hashwerte erhalten. 31

32 Beispiele für Hashfunktionen 1. h(k)=k mod m (Divisionsmethode) 2. h(k)= m(ka mod 1), mit ka mod 1 = ka- ka (Multiplikationsmethode) Hashing mit Divisionsmethode schnell, pro Hashwert eine Division. m sollte keine Zweierpotenz sein. Andernfalls besteht Hashwert nur aus unteren Bits des Schlüssels. Gute Wahl ist Primzahl m, die nicht sehr nah an Zweierpotenzen liegt. 32

33 Multiplikationsmethode (1) Methode: h ( k ) m( k A mod m) =. Parameterwahl: p 1. Wahl von m irrrelevant, häufig m = Wahl von A wichtig, häufig gewählt als gute Approximation zum goldenen Schnitt ( 5 1) / 2. 33

34 Multiplikationsmethode (2) Berechnung h(k): p w (bei m = 2, A = s / 2, p w, k 2 w für alle Schlüssel k ) 1. Berechne r 2 w = k A. w w 2. Schreibe r als r12 + r0, 0 r Binärdarstellung von ( k ) oberen p Bits von r 0. h gegeben durch die 34

35 Multiplikationsmethode - Illustration w Bits k s = A 2 w r 1 r 0 h(k ) extrahiere p Bits 35

36 Offene Adressierung (1) Hashing mit Kollisionsvermeidung weist Objekt mit gegebenen Schlüssel feste Position in Hashtabelle zu. Bei Hashing durch offene Adressierung wird Objekt mit Schlüssel keine feste Position zugewiesen. Position abhängig von Schlüssel und bereits belegten Positionen in Hashtabelle. Für neues Objekt wird erste freie Position gesucht. Dazu wird Hashtabelle nach freier Position durchsucht. Reihenfolge der Suche hängt vom Schlüssel des einzufügenden Objekts ab. 36

37 Offene Adressierung (2) Keine Listen zur Kollisionsvermeidung. Wenn Anzahl eingefügter Objekte ist m, dann sind keine weiteren Einfügungen mehr möglich. Listen zur Kollisionsvermeidung möglich, aber Ziel von offener Adressierung ist es, Verfolgen von Verweisen zu vermeiden. Da keine Listen benötigt werden, kann die Hashtabelle vergrößert werden. Suchen von Objekten in der Regel schneller, da keine Listen linear durchsucht werden müssen. 37

38 Offene Adressierung (3) Laufzeit für Einfügen nur noch im Durchschnitt Θ(1). Entfernen von Objekten schwierig, deshalb Anwendung von offener Adressierung oft nur, wenn Entfernen nicht benötigt wird. 38

39 Hashfunktionen bei offener Adressierung Hashfunktion legt für jeden Schlüssel fest, in welcher Reihenfolge für Objekte mit diesem Schlüssel nach freier Position in Hashtabelle gesucht wird. Hashfunktion h von der Form { 0, 1,,m 1} { 0, 1, K, 1} h : U K m. m:=größe der Hashtabelle. Verlangen, dass für alle Schlüssel k die Folge ( h ( k, 0 ),h ( k, 1 ), K,h ( k,m 1 ) ) eine Permutation der 0, 1, K,m 1 ist. Folge ( ) ( ( k, 0),h( k, 1),,h( k,m 1) ) h K heisst Testfolge bei Schlüssel k. 39

40 Einfügen bei offener Adressierung ( T,k ) Hash - Insert 1 i 0 2 repeat j h ( k,i ) 3 if T [ j] = NIL 4 thent [ j] k 5 else i i until i = m 7 error "Hashtabelle vollständig gefüllt" Dabei zur Vereinfachung angenommen, dass keine Satellitendaten vorhanden, d.h., Objekt ist Schlüssel. 40

41 Einfügen bei offener Adressierung 41

42 Offene Adressierung - Illustration

43 Suchen bei offener Adressierung ( T,k ) Hash - Search 1 i 0 2 repeat j h ( k,i ) 3 if T [ j] = k 4 then return j 5 else i i until T [ j] = NIL i = m 7 return NIL 43

44 Probleme bei Entfernen Können Felder i mit gelöschten Schlüsseln nicht wieder mit NIL belegen, denn dann wird Suche nach Schlüsseln, bei deren Einfügung Position i getestet wird, fehlerhaft sein. Mögliche Lösung ist, Felder gelöschter Schlüssel mit DELETED zu markieren. Aber dann werden Laufzeiten für Hash-Insert und Hash-Delete nicht mehr nur vom Lastfaktor α=n/m abhängen. Daher Anwendung von offener Adressierung nur, wenn keine Objekte entfernt werden müssen. 44

45 Mögliche Hashfunktionen 1. h' : U { 0, 1, K, m 1} Funktion. Lineares Hashen: h k,i ( ) ( h' ( k ) + i ) mod m =. 2. h' : U {, 1, K,m 1} Funktion, c,c Quadratisches Hashen: h( k,i ) = h' ( k ) + c i 2 c i mod. ( ) m

46 Vergleich Hashfunktionen Im linearen und quadratischen Hashen bestimmt erste gestestete Position gesamte Testfolge. Damit jeweils nur m mögliche Testfolgen. Bei linearem Testfolgen zusätzlich lange zusammenhängende Folgen von besetzten Positionen 46

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