7 Nicht-abelsche Eichtheorien

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1 7 NICHT-ABELSCHE EICHTHEORIEN Nicht-belsche Eichtheorien 7.1 Grundlegende Eigenschften von Lie-Gruppen Lie-Gruppe. Lie-Gruppen sind kontinuierliche Gruppen, d.h. Gruppen, bei denen die Gruppenelemente durch kontinuierliche Vriblen prmetrisiert werden können, G g = g(θ 1,... θ d ), θ Ê. (7.1) Mit nderen Worten, eine Lie-Gruppe ist eine Mnnigfltigkeit mit Gruppenstruktur. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit knn die Prmetrisierung so gewählt werden, dss g(0) = ½. Lie-Algebr und Genertoren. Zu jeder Lie-Gruppe gehört eine Lie-Algebr g, deren Genertoren den Tngentilrum der Lie-Gruppe m Ursprung ufspnnen, X = g(θ 1,..., θ d ). (7.2) θ θ1= =θ d =0 Die Gruppen-Elemente der Lie-Gruppe G, die in der gleichen Zusmmmenhngs-Komponente wie ds Einheitselement liegen, gehen durch die Exponentil-Abbildung us den Genertoren hervor, g(θ) = exp (θ X ). (7.3) In der Physik werden die Genertoren X üblicherweise reskliert und mit i-fktoren verziert, d.h. g(θ) = exp (i θ T ). (7.4) Wir werden im Folgenden mit den Genertoren T rbeiten, die der Normierung tr(t T b ) δ b (7.5) genügen. Die Genertoren und ihre Drstellungs-Mtrizen werden synonym verwendet. Eine grundlegende Eigenschft von Lie-Algebren ist, dss sich der Kommuttor (oder die Lie-Klmmer) zweier Genertoren ls Linerkomintion der Genertoren schreiben läßt, d.h. [T, T b ] = liner in T. Die Strukturkonstnten sind dnn über [T, T b ] = i f c b T c (7.6) definiert; dbei wird jetzt wie im Folgenden über zweifch uftretende Indizes, b, c,... von 1 bis d summiert. Ist insbesondere G = SU(N), so sind die Genertoren T spurfrei und hermitesch; desweiteren ist d = N 2 1. Speziell für die SU(2) wählt mn in der Physik für die Genertoren bis uf einen Fktor 1/2 die Puli-Mtrizen, T = σ 2, und für die SU(3) bis uf einen Fktor 1/2 die Gell-Mnn-Mtrizen λ (vgl. Anhng F), T = λ 2, (1 8).

2 7 NICHT-ABELSCHE EICHTHEORIEN Yng-Mills-Theorie Es wird nun diskutiert, wie die belsche Eichtheorie uf nicht-belsche Symmetriegruppen verllgemeinert werden knn. Der Ausgngspunkt ist wieder ein (Fermion-)Feld Ψ 1 (x) Ψ(x) =. Ψ N (x), (7.7) wo die Ψ i für 4-komponentige Dirc-Felder stehen. (Lokle) SU(N)-Eichtrnsformtion. Als lokle SU(N)-Eichtrnsformtion definiert mn wo Ψ(x) U(x)Ψ(x), (7.8) U(x) = exp i α (x)t } (7.9) für jedes x ein Gruppenelement der nicht-belschen Gruppe SU(N) (N 2) ist. In diesem Fll sgt mn, Ψ trnsformiere ls N-dimensionle oder fundmentle Drstellung unter der SU(N), oder einfch ls N-plet. Betrchte zunächst die Lgrngedichte für freie Fermionen, L 0 = Ψ(x) i γ µ µ m} Ψ(x) = N Ψ i (x) i γ µ µ m} Ψ i (x) (7.10) i=1 mit Ψ wie in (7.7). L 0 ist nicht invrint unter G, d.h. L 0 ist nicht invrint unter den Eichtrnsformtionen Ψ(x) U(x) Ψ(x), (7.11) Ψ(x) Ψ(x)U (x). (7.11b) Ähnlich wie im belschen Fll ist L 0 invrint unter globlen Trnsformtionen, d.h. U(x) = U 0. Ziel ist es nun, eine Lgrngedichte zu konstruieren, die invrint unter loklen Trnsformtionen U(x) ist. In Anlogie zum belschen Fll führt mn d Eichbosonenfelder A mit Komponenten (x) ein. Mit diesen Feldern konstruiert mn die eichkovrinte Ableitung A µ D µ =½N µ i g A µ (x)t. (7.12) Mn bechte, dss im Gegenstz zum belschen Fll hier die kovrinte Ableitung eine nicht-trivile Mtrix-Struktur ufweist. Im nächsten Schritt setzt mn ls Yng-Mills- Lgrngedichte L gym = Ψ(x) i γ µ D µ m} Ψ(x) 1 4 F µν(x)f µν (x) (7.13) mit dem Feldtensor F µν = µa ν νa µ + gf bc A b µ Ac ν (7.14)

3 7 NICHT-ABELSCHE EICHTHEORIEN 105 bzw. [D µ, D ν ] = i g F µν T. (7.15) Nun muß noch ds Trnsformtionsverhlten der Eichbosonenfelder festgelegt werden. Wir wollen erreichen, dss für die trnsformierten Fermionfelder Ψ (x) = U(x)Ψ(x) und die trnsformierten Eichbosonenfelder gilt (D µ Ψ) = µ Ψ i g A µ T Ψ = U µ Ψ + ( µ U)Ψ i g A µ T U Ψ! = U D µ Ψ. Der Term, der Probleme bereitet, ist ( µ U)Ψ. Er knn beseitigt werden, indem mn A µ T = i g ( µu)u + U A µ T U (7.16) setzt. Benutzt mn noch 0 = µ (U U ) ( µ U)U = U ( µ U ), so knn mn ds gewünschte Trnsformtionsverhlten von D µ ψ erreichen durch die Forderung, dss die Eichbosonenfelder sich unter Eichtrnsformtionen folgendermßen verhlten sollen A µ (x)t U(x) A µ (x)t + i } g µ U (x). (7.17) Durch Zusmmenzählen läßt sich zeigen, dss die Lgrngedichte (7.13) invrint ist unter der loklen nicht-belschen Eichtrnsformtion (7.8) bzw. (7.17). 7.3 Klssische Bewegungsgleichungen der Yng-Mills-Theorie Es sollen nun Yng-Mills-Theorien uf dem klssischen Niveu diskutiert werden. Dzu errbeitet mn sich die Euler-Lgrnge-Gleichungen für die Yng-Mills-Lgrngedichte (7.13). Für ds Fermion-Feld ergibt sich einfch die Dirc-Gleichung mit eichkovrinter Ableitung (i γ µ D µ m) Ψ(x) = 0. (7.18) Dbei ist zu bechten, dss Ψ ein N-plet ist und D µ einen nicht-trivile Mtrix-Struktur im SU(N) Drstellungs-Rum besitzt. Zusätzlich treten noch die Felder der Eichbosonen uf, µ Fµν (x) + g f bc A µ b (x)fµν c = g j ν (x) (7.19) mit den Noetherströmen der Fermionen j ν (x) = Ψ(x)γ νt Ψ(x). (7.20) Diese Strömen folgen us den d globlen Symmetrien, entsprechend den d Genertoren. Gemäß dem Noether schen Theorem genügen die j den Kontinuitätsgleichungen µ j µ (x) = 0. (7.21)

4 7 NICHT-ABELSCHE EICHTHEORIEN 106 Bemerkungen (1) Es tritt ein neues Phänomem uf In einer nicht-belschen Eichtheorie gibt es Wechselwirkung zwischen den Eichbosonen. (2) Als reine Eichtheorie bezeichnet mn die Theorie ohne Fermionfelder, d.h. mit der Lgrngedichte L YM = 1 4 F µν F µν. Hier folgen die Bewegungsgleichungen µ F µν = g fc b Aµ b (x)f c µν (x), welche wegen der nichtverschwindenden rechten Seite die Wechselwirkung der Eichbosonen untereinnder implizieren. Schreibweise. Abkürzend setzt mn A µ (x) = A µ (x)t, F µν (x) = F µν(x)t. (7.22) Mit dieser Nottion lutet die Yng-Mills-Lgrngedichte (7.13) L = Ψ (i γ µ D µ m) Ψ 1 2 tr (F µν F µν ) (7.23) und die eichkovrinte Ableitung D µ = µ i g A µ. (7.24) Die Bewegungsgleichungen (7.18) und (7.19) bekommen die Gestlt (i γ µ D µ m)ψ(x) = 0 (7.25) und [D µ, F µν ] = g j ν, (7.26) wobei in Anlogie zu (7.22) j ν = j ν T gesetzt wird. 7.4 Fdeev-Popov-Methode für nicht-belsche Eichtheorien Frgestellung. Es geht drum, die Pfdintegrlquntisierung einer nicht-belschen Eichtheorie durchzuführen. Dzu betrchten wir nur die Eichfeldtheorie, die Fermionen können später hinzugenommen werden. Ausgngspunkt ist ds Funktionlintegrl DA exp i d 4 x ( 1 4 F µν F µν )}, (7.27)

5 7 NICHT-ABELSCHE EICHTHEORIEN 107 wobei der Exponent bis uf einen Fktor i der Wirkung entspricht, ( S[A] = d 4 x 1 ) 4 F µν F µν. (7.28) Ds Eichfeld A trnsformiert sich unter den loklen Eichtrnsformtionen gemäß A µ T U(x) A µ (x)t + i } g µ U (x), (7.29) mit U(x) = exp (i Λ (x)t ). Die Theorie ist invrint unter solchen Trnsformtionen. Insbesondere ist die Wirkung invrint unter infinitesimlen Trnsformtionen A µ A µ (Λ 1,...Λ d ) = A µ (x) + 1 g µ Λ (x) + Λ c (x)f c b A b µ(x), (7.30) wo d die Dimension der Lie-Gruppe ist, d.h. S[A(Λ)] = S[A]. (7.31) Felder A, welche durch eine Eichtrnsformtion useinnder hervorgehen, sind physiklisch äquivlent. Wie im belschen Fll will mn erreichen, dss ds Pfdintegrl sich nur über die Anteile der Felder erstreckt, die nicht durch eine Eichtrnsformtion mit nderen Feldern in Beziehung stehen. Ds Pfdintegrl über die so reduzierten Feldkonfigurtionen bezeichnen wir mit DA. Die Vorgehensweise ist dieselbe wie bei der belschen Theorie. Eine Eichung wird fixiert durch die d Bedingungen F A(Λ) = µ A µ (Λ) ω! = 0. (7.32) Dmit ergibt sich nlog zu (5.47) } Z = FP DA exp i d 4 L YM + Jµ Aµ δ( µ A 1 µ ω1 ) δ( µ A d µ ωd ).(7.33) Die Abhängigkeit von den beliebigen Funktionen ω beseitigt mn nlog zu (5.48) durch Pfdintegrtion mit Guß-förmiger Gewichtsfunktion. Der wesentliche Unterschied ergibt sich bei der Auswertung der Fddeev-Popov-Determinnte, FP = d ( δf 1 ) A(Λ) det, (7.34) δλ =1 denn hier ist ds Verhlten von A unter der Eichtrnsformtion durch (7.17) gegeben. Fordern wir die verllgemeinerte Lorentz-Bedingung F A = µ A µ (x) ω (x)! = 0, (7.35)

6 7 NICHT-ABELSCHE EICHTHEORIEN 108 und setzen die infinitesimle Trnsformtion (7.30) ein, so folgt nch Rechnung δf A(Λ) δλ b = 1 g δ b µ µ + µ A c µ f cb. (7.36) Dmit wiederum ergibt sich die Fddeev-Popov-Determinnte zu FP = Dη Dη exp i d 4 xη ( 1 ) } g δ b µ µ + µ A c µ f bc η b. (7.37) Um den üblichen kinetischen Term zu erhlten, muß mn die Felder η und η resklieren, η g η und η g η. Diese Resklierung knn in der Normierung des Pfdintegrls bsorbiert werden. Fzit Ds erzeugende Funktionl knn geschrieben werden in der Form Z[J] = DA Dη Dη exp i [ d 4 x 1 2 tr (F µνf µν ) + JµA µ 1 2ξ ( µ A µ ) 2 + η ( δ b µ µ + g µ A c µ f bc)η b]}. (7.38) Der Eich-Fixierungsterm ist ht die selbe Form wie im belschen Fll. Fixiert mn die Eichung durch eine spezifische Whl von ξ spricht mn uch von den R ξ -Eichung. Wie zuvor knn die Fddeev-Popov-Determinnte ls Pfdintegrl über -Zhl-wertige Sklrfelder geschrieben werden. Der wesentliche Unterschied zur belschen Theorie ist jedoch, dss die Geistfelder η und η n die Eichfelder koppeln, d.h. es gibt eine neue Wechselwirkungen und ein zusätzliches propgierendes Feld. Die Geist-Felder η und η repräsentieren keine physiklischen Freiheitsgrde, sondern sind Hilfsfelder. Insbesondere tuchen diese nicht in Anfngs- oder Endzuständen uf. Andererseits werden, wie wir später sehen werden, nur durch die Geist-Beiträge die Übergngswhrscheinlichkeiten eichinvrint. 7.5 Feynmn-Regeln Mit den üblichen Funktionlmethoden erhält mn die folgenden Feynmn-Regeln (1) Fermion-Eichboson-Vertex i µ, i g γ µ (T ) ij j

7 7 NICHT-ABELSCHE EICHTHEORIEN 109 (2) Eichbosonen-Dreier-Vertex k ν, c λ, p q g f bc [(k q) λ η µν + (q p) ν η λµ + (p k) µ η νλ ] µ, b (3) Eichbosonen-Vierer-Vertex ρ, c σ, d i g 2 [ f be fe cd (ηµρ η νσ η µσ η νρ ) + f ce fe bd (η µν η ρσ η µσ η νρ ) + f de fe bc (ηµν η σρ η µσ η νρ ) ] µ, ν, b (4) Eichboson-Geist-Vertex b µ, c g f bc p µ p (5) Eich-Propgtor k µ, ν, b (6) Geist-Propgtor i δ b [η µν k 2 kµ k ν ] + i ε k 2 (1 ξ) b q i δ b q 2 + i ε