Großer Beleg. Arithmetische Optimierung eines kryptographischen Algorithmus für moderne FPGA-Architekturen. Peter Heinzig. 17.

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1 Großer Beleg Arithmetische Optimierung eines kryptographischen Algorithmus für moderne FPGA-Architekturen Peter Heinzig 17. Januar /23 Peter Heinzig Großer Beleg

2 Überblick Einleitung 1 Einleitung 2 Übersicht Symmetrische Verfahren Asymmetrische Verfahren 3 4 Aufsplitten von PowerMod Aufsplitten der Multiplikation Berechnungsschritt der Multiplikation 5 Syntheseergebnisse Zeitbedarf Vergleich Schluss 2/23 Peter Heinzig Großer Beleg

3 Einleitung Warum Kryptographie? Schutz vor Wirtschaftsspionage Schutz vor Überwachung Authentizität von Nachrichten 3/23 Peter Heinzig Großer Beleg

4 Übersicht Symmetrische Verfahren Asymmetrische Verfahren Symmetrische Schlüssel zum ver- und entschlüsseln gleich Beispiele: Cäsar, One-Time-Pad, DES, 3DES, AES Asymmetrische Auch: Public-Key-Verfahren Verschiedene Schlüssel zum ver- und entschlüsseln Beispiele: RSA, El-Gamal, Diffie-Hellman-(Merkle-)Schlüsselaustausch, Rabin-Kryptosystem 4/23 Peter Heinzig Großer Beleg

5 DES Einleitung Übersicht Symmetrische Verfahren Asymmetrische Verfahren Data-Encryption-Standard, Wettbewerb NIST Rundenbasierende Chiffre Heute: Nutzung von 3DES und AES Rundenfunktion Linke und rechte Seite werden getrennt verarbeitet L i+1 = R i R i+1 = L i P(S(E(R i ) K i )) Hardwareimplementierung FFs, Verdratung, ROM/LUTs, XOR 5/23 Peter Heinzig Großer Beleg

6 RSA Einleitung Übersicht Symmetrische Verfahren Asymmetrische Verfahren Rivest, Shamir und Adleman, 1977 Sicherheit hängt von Komplexität der Faktorisierung ab Parameter p, q Primzahlen, n = p q d Z ϕ(n), e = d 1 Public Key: n, d Private Key: n, e mod ϕ(n) Verschlüsselung c = m d mod n m = c e mod n = m d e mod n = m 6/23 Peter Heinzig Großer Beleg

7 El-Gamal Einleitung Übersicht Symmetrische Verfahren Asymmetrische Verfahren Taher El-Gamal, 1985 Sicherheit abhängig vom Diskreter-Logarithmus-Problem Parameter p Primzahl, Erzeugendes Element der Gruppe Z p : g Zufallszahl a, A = g a Public Key: p, g, A Private Key: p, a Verschlüsselung mod p Weitere Zufallszahl: b c = (B = g b, m A b ) mod p m = m A b B p 1 a mod p = m 7/23 Peter Heinzig Großer Beleg

8 Übersicht Symmetrische Verfahren Asymmetrische Verfahren Diffie-Hellman-Merkle-Schlüsselaustausch Diffie, Hellman, Merkle, 1976 Verfahren zum Schlüsselaustausch Sicherheit abhängig vom Diskreter-Logarithmus-Problem Parameter Ablauf p Primzahl, Erzeugendes Element der Gruppe Z p : g Einigung auf p, g Zufallszahlen: a, b, A = g a, B = g b, Übertragung von A und B s = A b mod p = B a mod p = g a b mod p 8/23 Peter Heinzig Großer Beleg

9 Kernfunktion PowerMod: a b mod c 9/23 Peter Heinzig Großer Beleg

10 Aufsplitten von PowerMod Aufsplitten der Multiplikation Berechnungsschritt der Multiplikation Nutzbare arithmetische Funktionen auf FPGAs Addition, Subtraktion Shiften Multiplikation mit kleinen Faktoren Wie kann man PowerMod auf diese Funktionen reduzieren? Aufsplitten von PowerMod Modulo ist der Rest einer Division und Zifferniterativ berechenbar Exponentiation ist eine Verkettung von Multiplikationen Multiplikationen lassen sich als Vielfachaddition darstellen 10/23 Peter Heinzig Großer Beleg

11 Aufsplitten von PowerMod Aufsplitten der Multiplikation Berechnungsschritt der Multiplikation Ansätze zur Reduktion von PowerMod Naiv: Zuerst Exponentiation, dann Modulo Zwischenergebnis wird sehr groß Berechnung ist langsam, Hardwarebedarf hoch Verschiebung der Modulorechnung in die Multiplikationen Operanden bleiben klein schneller, weniger Hardware Aber: MultiplyMod wird als Funktion benötigt Aufsplitten der Exponentiation Naiv: Mehrfache Multiplikationen der Basis mit sich selbst viele Berechnungsschritte (linear) langsam Square-and-Multiply: Berechnung von Quadraten und Multiplikation dieser weniger Berechnungsschritte (logarithmisch) schnell 11/23 Peter Heinzig Großer Beleg

12 Arten von Square-and-Multiply Aufsplitten von PowerMod Aufsplitten der Multiplikation Berechnungsschritt der Multiplikation LSB-first Schrittweise Berechnung über a b mod 2n, a 2n Parallelisierbar (benötigt doppelte Hardware) MSB-first Berechnung über a b 2 n Nicht parallelisierbar 12/23 Peter Heinzig Großer Beleg

13 Berechnung von MulitplyMod Aufsplitten von PowerMod Aufsplitten der Multiplikation Berechnungsschritt der Multiplikation Ansätze Naiv: Erst Multiplizieren, dann Modulo Zwischenergebnis doppelt so groß Iteratives Einbinden von Modulo Montgomery-Algorithmus Eigene : MSB-first- Double-and-Add 13/23 Peter Heinzig Großer Beleg

14 Aufsplitten von PowerMod Aufsplitten der Multiplikation Berechnungsschritt der Multiplikation Montgomery-Algorithmus Berechnet iterativ a (b mod 2 n ) 2 n mod m Wahl der Korrekturgröße abhängig vom LSB Korrektur des Ergebnisses erforderlich Eigene Berechnet iterativ a b 2 n mod m Wahl der Korrekturgröße abhängig vom MSB Keine Korrektur nötig 14/23 Peter Heinzig Großer Beleg

15 Berechnungsschritt der Aufsplitten von PowerMod Aufsplitten der Multiplikation Berechnungsschritt der Multiplikation Vorschrift b a 2 n+1 b = 2a = 2a 2 n + b n+1 a mod m b 2 n + b n+1 a k m Schwierigkeiten Ermittelung des k unter Berücksichtigung möglichst weniger Bitstellen schnelle Addition/Subtraktion bei üblichen Bitbreiten von 1024 Bit 15/23 Peter Heinzig Großer Beleg

16 Aufsplitten von PowerMod Aufsplitten der Multiplikation Berechnungsschritt der Multiplikation Anpassungen Aufweichen der strengen Vorschrift für den Operanden k darf auch um 1 zu klein sein Korrektur des Ergebnisses evtl. nötig Shiften von Modul und 1 Operand Addition/Subtraktion zu einer Reduktion umbauen Vermeiden des langen Carry-Pfades Abschließende (iterative) Aufsummierung nötig Abschließende Berechnungen lassen sich verbinden Parameter Operandenbreite Anzahl der Binärstellen pro Takt (Multiplikation) Anzahl der Binärstellen pro Takt (Addition) 16/23 Peter Heinzig Großer Beleg

17 Einleitung Aufsplitten von PowerMod Aufsplitten der Multiplikation Berechnungsschritt der Multiplikation DIV-LUT module x << + ai b x 6-to-2 Adder << << R1 R2 Abbildung: Multiply-Mod-Design mit Carry-Save- 17/23 Peter Heinzig Großer Beleg

18 Weitere Module Einleitung Aufsplitten von PowerMod Aufsplitten der Multiplikation Berechnungsschritt der Multiplikation log4prefix Ein Modul zur Bestimmung der höchstwertigen 1 FastShift Ein schneller Shifter, der eine freie Verschiebung von Zwischenergebnissen in 1 Takt ermöglicht reduce6to2 Ein Reduzierer, der 6 Additionsoperanden nimmt und diese zu 2 Operanden verknüpft. Dabei ist keine Carry-Weiterleitung nötig. 18/23 Peter Heinzig Großer Beleg

19 Syntheseergebnisse Einleitung Syntheseergebnisse Zeitbedarf Vergleich Schluss Auf einem Virtex 5 VFX200T: Hardwarebedarf clk 145,4 MHz SliceReg SliceLUT /23 Peter Heinzig Großer Beleg

20 Berechnungsdauer für 1024 Bit Syntheseergebnisse Zeitbedarf Vergleich Schluss Takte LUT-Berechnung für Division 128 Shiften des Moduls 1 Multiplikation Multiply-Mod 206 Addition Multiply-Mod 13 Multiply-Mod (Summe) 219 Power-Mod Zeitbedarf Möglicher Takt: 145,4 MHz Zeitbedarf für 1 Operation mit 1024 Bit-Operanden: = 1, 55 ms ,4MHz 20/23 Peter Heinzig Großer Beleg

21 Vergleich Einleitung Syntheseergebnisse Zeitbedarf Vergleich Schluss Design Device Resourcen ms eigenes Virtex Reg, LUT 1,55 Ref1 Virtex Slices, Mul 2,33 PC Phenom II X4 3,2GHz 3,00 Ref2 XC40250XV 6633 CLBs 11,95 Ref3 Stratix EP1S40 434LE, 13,6k Bits, 4 DSP 26,39 Ref4 Virtex-E Slices 208,00 21/23 Peter Heinzig Großer Beleg

22 Vor- und Nachteile Einleitung Syntheseergebnisse Zeitbedarf Vergleich Schluss Vorteile Sehr schnell Parametrierbar Auch gerade Module nutzbar Nachteile hoher Hardwareaufwand 22/23 Peter Heinzig Großer Beleg

23 Danke Einleitung Syntheseergebnisse Zeitbedarf Vergleich Schluss vielen Dank für die Aufmerksamkeit 23/23 Peter Heinzig Großer Beleg

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