Statistik II. IV. Hypothesentests. Martin Huber

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1 Statistik II IV. Hypothesentests Martin Huber 1 / 22

2 Übersicht Weitere Hypothesentests in der Statistik 1-Stichproben-Mittelwert-Tests 1-Stichproben-Varianz-Tests 2-Stichproben-Tests Kolmogorov-Smirnov-Test für Gleichverteilung Varianzanalyse 2 / 22

3 Mittelwert-Test in einer Stichprobe Wir wollen testen, ob der Mittelwert einer Variablen X in einer Stichprobe, X, signifikant verschieden von (bzw. grösser oder kleiner als) einem hypothetischen Wert µ 0 ist. In diesem Fall würden wir die Nullhypothese ablehnen, dass der Mittelwert einer Variablen X in der Grundgesamtheit, µ, dem hypothetischen Wert µ 0 entspricht. Die zu testende Nullhypothese lautet also z.b.: H 0 : µ = µ 0, H 0 : µ µ 0, H 0 : µ µ 0. Wir wenden deshalb einen sogenannten 1-Stichproben-Mittelwert-Test an. 3 / 22

4 Mittelwert-Test unter Normalverteilung, bekannter Varianz Im folgenden Test wird unterstellt, dass X normalverteilt ist, mit bekannter Varianz σ0 2, sodass die Teststatistik T (X ) normalverteilt ist: Auch hier gilt: Asymptotisch, d.h. in sehr grossen Stichproben wird die Normalverteilungsannahme von X aufgrund des Zentralen Grenzwertsatzes nicht benötigt. 4 / 22

5 Beispiel 5 / 22

6 Mittelwerttest unter Normalverteilung, unbekannter Var. Im folgenden Test wird unterstellt, dass X normalverteilt ist, mit unbekannter Varianz σ 2, sodass die Teststatistik T (X ) t-verteilt ist: 6 / 22

7 Beispiel 7 / 22

8 Varianz-Test in einer Stichprobe Wir wollen testen, ob die Varianz einer Variablen X in einer Stichprobe, SX 2, signifikant verschieden von einem hypothetischen Wert σ0 2 ist. In diesem Fall würden wir die Nullhypothese ablehnen, dass die Varianz einer Variablen X in der Grundgesamtheit, σ 2, dem hypothetischen Wert σ 2 0 entspricht. Die zu testende Nullhypothese lautet also z.b.: H 0 : σ 2 = σ 2 0. Wir wenden deshalb einen sogenannten 1-Stichproben-Varianz-Test an. 8 / 22

9 Varianztest unter Normalverteilung Im folgenden Test wird unterstellt, dass X normalverteilt ist, sodass die Teststatistik T (X ) χ 2 -verteilt ist: 9 / 22

10 Illustration 10 / 22

11 11 / 22

12 Beispiel 12 / 22

13 2-Stichproben-Test: Mittelwert-Vergleich Wir wollen testen, ob µ X und µ Y, die Mittelwerte zweier Variablen X und Y in der Grundgesamtheit, gleich sind. Wir ziehen deshalb 2 Stichproben der Variablen X und Y, um zu testen, ob sich deren Mittelwerte in den Stichproben, X und Ȳ, signifikant von einander unterscheiden. Die Varianzen der beiden Variablen in der Grundgesamtheit und den Stichproben bezeichnen wir mit σ 2 X und σ2 Y bzw. mit S 2 X und S 2 Y. 13 / 22

14 Mittelwert-Vergleich mit gleicher Varianz Im folgenden t-test wird unterstellt, dass X und Y die gleiche Varianz in der Grundgesamtheit aufweisen: σ 2 X = σ2 Y = σ2 : 14 / 22

15 Mittelwert-Vergleich mit unterschiedlicher Varianz Im folgenden t-test wird unterstellt, dass X und Y unterschiedliche Varianzen in der Grundgesamtheit aufweisen: σ 2 X σ2 Y : 15 / 22

16 Mittelwert-Vergleich durch Mann-Whitney U-Test Im Mann-Whitney U-Test wird weder unterstellt, dass X und Y einer bestimmten Verteilung folgen, noch dass sie die gleichen Varianzen aufweisen: Verteilung von Y und X unterscheiden sich nur in der Lage (und deshalb im Mittelwert): F Y (x) = F X (x a). Mann-Whitney U-Test (oder auch Wilcoxon-Mann-Whitney-Test) testet H 0 : a = 0 vs. H 1 : a 0 16 / 22

17 2-Stichproben-Test: Varianz-Vergleich Im folgenden F -Test werden die Stichproben-Varianzen von X und Y verglichen, um die die Nullhypothese gleicher Varianzen zu testen (H 0 : σ 2 X = σ2 Y ): 17 / 22

18 Kolmogorov-Smirnov Test für identische Verteilungen Der Kolmogorov-Smirnov Test testet die Nullhpythese, dass die Verteilungen von X und Y in der Grundgesamtheit, F und G, identisch sind (also identische Mittelwerte, Varianzen, etc. aufweisen): 18 / 22

19 Varianzanalyse (1) Varianzanalyse: lineare Regression einer abhängigen Variablen auf diskrete Regressoren (Faktoren). Erster Schritt: Test für Null-Effekt aller Faktoren. Nullhypothese: Mittelwert der abhängigen Variable, µ, hängt nicht von den Regressoren/Faktoren ab: 19 / 22

20 Varianzanalyse (2) Zweiter Schritt (falls Nullhypothese verworfen): Test für Differenz in µ zwischen einzelnen Faktoren: 20 / 22

21 Beispiel 21 / 22

22 Beispiel 22 / 22

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