Mathematik für Ingenieure mit Maple

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1 Thomas Westermann Mathematik für Ingenieure mit Maple Band 2: Differential- und Integralrechnung für Funktionen mehrerer Variablen, gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, Fourier-Analysis Mit 240 Abbildungen, 369 Aufgaben und Lösungen Springer

2 Kapitel X: Funktionen von mehreren Variablen 1 1. Differentialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen Einführung und Beispiele Stetigkeit :. ' Partielle Ableitung Totale Differenzierbarkeit Gradient und Richtungsableitung Kettenregeln f Der Taylorsche Satz Anwendungen der Differentialrechnung Das Differential als lineare Näherung Fehlerrechnung Lokale Extrema bei Funktionen mit mehreren Variablen Ausgleichen von Meßfehlern; Regressionsgerade Integralrechnung für Funktionen von mehreren Variablen Doppelintegrale (Gebietsintegrale) Dreifachintegrale Linien- oder Kurvenintegrale Oberflächenintegrale 117 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle 124 Aufgaben zu Funktionen von mehreren Variablen 129 Kapitel XI: Gewöhnliche Differentialgleichungen Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung Einleitung und Beispiele Lineare DG 1. Ordnung Lineare DG 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Nichtlineare DG 1. Ordnung Lösen von DG 1. Ordnung mit MAPLE Lineare Differentialgleichungssysteme Einführung Homogene lineare Differentialgleichungssysteme Eigenwerte und Eigenvektoren Eigenwerte und Eigenvektoren mit MAPLE Lösen von homogenen LDGS Berechnung spezieller Lösungen mit MAPLE Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung Einleitende Beispiele Reduktion einer DG n-ter Ordnung auf ein System Homogene DG n-ter Ordnung Inhomogene DG n-ter Ordnung Lösen von DG n-ter Ordnung mit MAPLE 228

3 4. Numerische Lösung von Anfangswertproblemen 1. Ordnung Streckenzugverfahren von Euler Verfahren höherer Ordnung Quantitativer Vergleich der numerischen Verfahren Numerisches Lösen von DG 1. Ordnung mit MAPLE Numerisches Lösen von DG für elektrische Filter Physikalische Gesetzmäßigkeiten der Bauelemente Aufstellen der DG für elektrische Schaltungen Aufstellen und Lösen der DG für Filterschaltungen 255 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle 266 Aufgaben zu Differentialgleichungen 268 Kapitel XII: Die Laplace-Transformation Die Laplace-Transformation Inverse Laplace-Transformation Berechnung der Laplace-Transformation und Inversen mit MAPLE Zwei grundlegende Eigenschaften der Laplace-Transformation Linearität Laplace-Transformierte der Ableitung Transformationssätze Verschiebungssatz Dämpfungssatz Ähnlichkeitssatz Faltungssatz Grenzwertsätze ; Methoden der Rücktransformation Anwendungen der Laplace-Transformation mit MAPLE 301 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle 312 Aufgaben zur Laplace-Transformation 313 Kapitel XIII: Fourierreihen Einführung Bestimmung der Fourierkoeffizienten Fourierreihen für 2?r-periodische Funktionen Fourierreihen für p-periodische Funktionen Fourierreihen für komplexwertige Funktionen Zusammenstellung elementarer Fourierreihen 347 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle 349 Aufgaben zu Fourierreihen 349 Kapitel XIV: Fouriertransformation Fouriertransformation und Beispiele Übergang von der Fourierreihe zur Fouriertransformation Inverse Fouriertransformation 355

4 xi 2. Eigenschaften der Fouriertransformation Linearität Symmetrieeigenschaft Skalierungseigenschaft Verschiebungseigenschaften Modulationseigenschaft Fouriertransformation der Ableitung Faltungstheorem Fouriertransformation mit MAPLE Fouriertransformation der Deltafunktion f Deltafunktion und Darstellung der Deltafunktion Fouriertransformation der Deltafunktion Darstellung der Deltafunktion mit MAPLE Beschreibung von linearen Systemen LZK-Systeme Impulsantwort Die Systemfunktion (Übertragungsfunktion) Übertragungsfunktion elektrischer Netzwerke Zusammenhang zwischen der Sprung- und Deltafunktion Anwendungsbeispiele mit MAPLE Frequenzanalyse des Doppelpendelsystems Frequenzanalyse eines Hochpasses Diskrete Fouriertransformation Herleitung der Formeln der DFT Inverse diskrete Fouriertransformation Diskrete Fouriertransformation mit MAPLE Anwendungsbeispiele zur DFT mit MAPLE Anwendung der DFT zur Signalanalyse Anwendung der DFT zur Systemanalyse 442 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle 447 Aufgaben zur Fouriertransformation 448 Kapitel XV: Partielle Differentialgleichungen Einführung Die Wellengleichung Herleitung der Wellengleichung Unendlich ausgedehnte Saite (Anfangswertproblem) Eingespannte Saite (Anfangsrandwertproblem) Visualisierung mit MAPLE Die Wärmeleitungsgleichung ' Herleitung der Wärmeleitungsgleichung Lösung der Wärmeleitungsgleichung bei Wärmeisolation Lösung der Wärmeleitungsgleichung bei Wärmeisolation Lösung des stationären Falls bei Wärmeübergang 474

5 XÜ Inhaltsverzeichnis 4. Die Laplace-Gleichung Herleitungen der Laplace-Gleichung Lösung der Laplace-Gleichung (Dirichlet-Problem) Lösung der Laplace-Gleichung (Neumann-Problem) Die Laplace-Gleichung in Zylinderkoordinaten (r, tp) Die zweidimensionale Wellengleichung Die Biegeschwingungsgleichung Herleitung der Biegeschwingungsgleichung Lösung der Biegeschwingungsgleichung Einspannbedingung: gelenkig/gelenkig Einspannbedingung: fest/fest 500 Aufgaben zu partiellen DG 505 Kapitel XVI: Vektoranalysis und Integralsätze Divergenz und Satz von Gauß Die Divergenz Gaußscher Integralsatz Rotation und Satz von Stokes Die Rotation Stokescher Integralsatz Rechnen mit Differentialoperatoren Anwendung: Die Maxwellschen Gleichungen 529 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle 532 Aufgaben zur Vektoranalysis 533 Anhang A: Lösungen zu den Übungsaufgaben 535 Anhang B: Die CD-ROM 548 Literaturverzeichnis 553 Index 555

Inhaltsverzeichnis Kapitel X: Funktionen von mehreren Variablen Kapitel XI: Gew ohnliche Differentialgleichungen 135

Inhaltsverzeichnis Kapitel X: Funktionen von mehreren Variablen Kapitel XI: Gew ohnliche Differentialgleichungen 135 Inhaltsverzeichnis Kapitel X: Funktionen von mehreren Variablen 1 x1. Differentialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen....... 1 1.1 Einführung und Beispiele.............................. 1 1.2

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