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1 Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen Satz 4 (komplexe Partialbruchzerlegung) Es sei q/p eine echt gebrochen rationale Funktion, dh deg q < deg p und es sei p(z) = c (z z 1 ) α 1 (z z k ) α k die kanonische Faktorisierung von p Dann besitzt q/p eine Summendarstellung der Form p(z) = a 11 z z 1 a 21 z z 2 a k1 z z k a 12 (z z 1 ) a 1α1 2 (z z 1 ) α 1 a 22 (z z 2 ) a 2α2 2 (z z 2 ) α 2 a k2 (z z k ) a kαk 2 (z z k ) α k (1) Beweis Vollständige Induktion nach deg p Falls deg p = 1 ist deg q = 0 und damit alles klar Die Behauptung gelte für alle echt gebrochen rationalen Funktionen für die der Grad des Nenners nicht größer als n 1 ist, und es sei nun deg p = n Dann ist p(z) = (z z 1 ) α 1 r(z) mit r(z 1 ) 0 Für eine beliebige komplexe Zahl a gilt dann p(z) a (z z 1 ) α 1 = ar(z) p(z) Setzt man speziell a := q(z 1 )/r(z 1 ), so ist der Zähler der rechten Seite ein Polynom mit der Nullstelle z 1, das deshalb von der Form (z z 1 )q 1 (z) ist

2 Mithin gilt p(z) = a (z z 1 ) α 1 (z z 1)q 1 (z) (z z 1 ) α 1 r(z) = a (z z 1 ) α 1 q 1(z) p 1 (z) mit deg p 1 = deg p 1 Nach Induktionsannahme besitzt die rationale Funktion q 1 /p 1 eine Zerlegung in Partialbrüche, woraus die Behauptung im allgemeinen Fall folgt Zur Bestimmung der Koeffizienten ist der obige Beweis ebenfalls geeignet Es gilt nämlich a 1α1 = a = q(z 1) r(z 1 ), und danach wird q 1 /p 1 = q/p a 1α1 /(z z 1 ) α 1 zerlegt Das ist auch einzusehen, indem man (1) mit (z z j ) α j multipliziert, den Faktor (z z j ) α j herauskürzt und z = z j einsetzt Auf diese Weise erhält man die Koeffizienten a 1α1, a 2α2,, a kαk Anschließend zieht man die schon bestimmten Terme von der rechten Seite in (1) ab, multipliziert mit (z z j ) α j 1, usw Dieses Verfahren wird Grenzwertmethode genannt Man kann auch eine geschlossene Formel für alle Koeffizienten angeben: für j = 1,, α m gilt a mj = 1 (α m j)! lim z z m d αm j ( dz α m j (z z m ) α m p(z) Am einfachsten (allerdings nicht besonders effektiv) ist jedoch die Methode des Koeffizientenvergleichs Dazu multipliziert man (1) mit p(z) und erhält so eine Identität zwischen zwei Polynomen Diese kann nur gelten, wenn alle ),

3 Koeffizienten dieser Polynome übereinstimmen Das liefert ein (eindeutig lösbares) Gleichungssystem für die Unbekannten a 11,, a kαk Da wir bisher komplexe Funktionen nicht integrieren können, brauchen wir eine reelle Variante der Partialbruchzerlegung Satz 5 (reelle kanonische Faktorisierung) Jedes Polynom mit reellen Koeffizienten ist in der Form p(x) = a n (x x 1 ) α1 (x x r ) αr (x 2 A 1 xb 1 ) β1 (x 2 A s xb s ) β s darstellbar, wobei x 1,, x r die reellen Nullstellen von p und α 1,, α r deren Vielfachheiten sind Die Zahlen A k und B k sind reell und die quadratischen Polynome x 2 A k x B k haben keine reellen Nullstellen Beweis Ist z 0 eine Nullstelle von p, so gilt auch p(z 0 ) = a n z n 0 a n 1 z n 1 0 a 1 z 0 a 0 = a n z n 0 a n 1 z n 1 0 a 1 z 0 a 0 = a n z n 0 a n 1z n 1 0 a 1 z 0 a 0 = p(z 0 ) = 0 Nicht reelle Nullstellen treten also in Paaren konjugiert komplexer Zahlen auf Es seien deshalb x 1, x 2,, x r die reellen } u 1 i v 1,, u s i v s die nicht reellen u 1 i v 1,, u s i v s Nullstellen von p und α 1,, α r, β 1,, β s deren Vielfachheiten Das Resultat folgt durch Zusammenfassung der Produkte (x u j i v j )(x u j i v j ) = x 2 2u j x u 2 j v 2 j Satz 6 (reelle Partialbruchzerlegung) Es sei q/p eine reelle echt gebrochen rationale Funktion und es sei p(x) = a n (x x 1 ) α1 (x x r ) α r (x 2 A 1 xb 1 ) β1 (x 2 A s xb s ) β s

4 die reelle kanonische Faktorisierung von p Dann existieren reelle Zahlen a kj, b kj, c kj so, daß gilt p(x) = a 11 x x 1 a r1 x x r a 12 (x x 1 ) 2 a 1α1 (x x 1 ) α 1 a r2 (x x r ) 2 a rαr b 11 x c 11 x 2 A 1 x B 1 b s1 x c s1 x 2 A s x B s mit reellen Zahlen a kj, b kj, c kj (x x r ) α r b 1β1 x c 1β1 (x 2 A 1 x B 1 ) β 1 b sβs x c sβs (x 2 A s x B s ) β s Der Beweis kann aus Satz 4 abgeleitet werden, wenn man dort die Terme zusammenfaßt, die zu konjugiert komplexen Nullstellen gehören (diese haben konjugiert komplexe Koeffizienten) Zur Koeffizientenbestimmung benutzt man meist die Methode des Koeffizientenvergleichs oder kombinierte Methoden

5 Integration von Partialbrüchen Partialbrüche sind von einer der Formen 1 Ax B (x a) m, mit a 2 < 4b (x 2 ax b) m Die zugehörigen Stammfunktionen können mit Hilfe der folgenden Formeln bestimmt werden, wobei stets a 2 < 4b und m 2 vorausgesetzt wird x a = ln x a (x a) m = 1 m 1 x 2 ax b = 2 4b a 2 1 (x a) m 1 arc tan 2x a 4b a 2 2x a = (x 2 ax b) m (m 1)(4b a 2 )(x 2 ax b) m 1 2(2m 3) (m 1)(4b a 2 ) (x 2 ax b) m 1 Ax B x 2 ax b = A ( 2 ln(x2 ax b) B Aa 2 Ax B (x 2 ax b) = A m 2(m 1)(x 2 ax b) m 1 ( B Aa ) 2 (x 2 ax b) m ) x 2 ax b

6 Spezielle Integrationsmethoden Im weiteren steht R für eine rationale Funktion in zwei Variablen x und y Die Variable y ist jeweils durch den angegebenen Ausdruck zu ersetzen R(x) Partialbruchzerlegung R(x, a 2 x 2 ) trigonometrische Substitution x = a sin t R(x, a 2 x 2 ) hyperbolische Substitution x = a sinh t R(x, ax 2 bx c) R(cos x, sin x) Eulersche Substitution t = ax 2 bx c x a t := tan (x/2) x m (a bx n ) p Binomische Differentiale Bei den binomischen Differentialen müssen zwischen m, n und p gewisse Beziehungen gelten Alle Integrale werden duch diese Substitutionen auf den Fall rationaler Integranden transformiert Elliptische Integrale 1,2 und 3 Art sind die folgenden Stammfunktionen dϕ F (ϕ, k) := 1 k2 sin 2 ϕ dϕ, E(ϕ, k) := 1 k 2 sin 2 ϕ dϕ, Π(ϕ, h, k) := dϕ (1 h sin 2 ϕ) 1 k 2 sin 2 ϕ dϕ Es gibt leistungsfähige Software (zb MATHEMATICA, MAPLE, MAT- LAB) (und umfangreiche Tafeln) zur Berechnung unbestimmter Integrale Empfohlene klassische Literatur: Fichtenholz Bd 2

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