Kapitel II. Vektoren und Matrizen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Kapitel II. Vektoren und Matrizen"

Transkript

1 Kapitel II. Vektoren und Matrizen Vektorräume A Körper Auf der Menge R der reellen Zahlen hat man zwei Verknüpfungen: Addition: R R R(a, b) a + b Multiplikation: R R R(a, b) a b (Der Malpunkt wird oft weggelassen.) Regeln: Für alle a, b, c R gilt: (A) a + (b + c) = (a + b) + c (A2) a + b = b + a (A3) a + = a (A4) Zu jedem a R gibt es genau ein x R mit a + x = (Diese Zahl wird mit a bezeichnet.) (M) a(bc) = (ab)c (M2) ab = ba (M3) a = a (M4) Zu jedem a aus R gibt es genau ein y R mit ay = (Diese Zahl wird mit a oder bezeichnet). a (D) (a + b)c = ac + bc Allgemein definiert man: Eine Menge K, zusammen mit 2 Verknüpfungen + : K K K, (a, b) a + b (Addition), : K K K, (a, b) a b (Multiplikation) nennt man einen Körper, wenn es in K Elemente gibt, so dass die obigen neun Regeln ( Axiome ) gelten. Das Element heißt neutrales Element der Addition oder Null und heißt neutrales Element der Multiplikation oder Eins. a = Negatives von a; a = Reziprokes oder Inverses von a. Beispiele: Außer R gibt es noch weitere Körper. a) Sei Q = Menge der rationalen Zahlen a, wobei a, b Z und b. b Q ist ein Körper, mit den gleichen Verknüpfungen wie R, denn: a b a b a b + a b = aa bb Q, falls a b und a b = ab + a b bb Q, falls a b aus Q sind, und a b aus Q sind,

2 Also sind + und Verknüpfungen auf Q. Die Regeln (A) bis (A3), (M) bis (M3) und (D) gelten in Q, da sie in R gelten. (A4) Aus r = a a Q folgt r = Q b b (M4) Aus r = a Q, r folgt a und = b Q. b r a b) Später wird der Körper der komplexen Zahlen eingeführt: C = {a + ib a, b R} mit i 2 =. c) In der Zahlentheorie werden sogenannte endliche Körper (das sind Körper mit nur endlich vielen Elementen) eingeführt. Abkürzende Schreibweisen: Sei K ein Körper, a, b K und n N. a a b := a + ( b) ; b b, falls b n a : } a + a + {{... + a } und a n := a } a {{...a} n mal n mal Dabei: a := und a := ( n) a := (n a) und a n := (a n ) B Vektorräume: Sei K ein Körper. V sei eine nicht leere Menge, zusammen mit zwei Verknüpfungen + : V V V, (x, y) x + y (Additon) : K V V, (a, x) a x(skalarmultiplikation) V heißt Vektorraum über K, wenn die folgenden Rechenregeln (Vektorraum- Axiome) gelten: Für alle x, y, z V und alle a, b K ist (A) x + (y + z) = (x + y) + z (A2) x + y = y + x (A3) Es gibt genau ein Element in V - welches mit bezeichnet wird -, für das gilt x + = x für alle x V (A4) Zu jedem x V gibt es genau ein y V mit x + y = 2

3 (Dieses Element wird mit x bezeichnet ( Negatives von x).) (SM) (SM2) (SM3) (SM4) (ab)x = a(bx) x = x a(x + y) = ax + ay (a + b)x = ax + bx Die Elemente eines Vektorraums V heißen die Vektoren in V. Schreibe x y für x + ( y). Rechenregel (Übungsaufgabe): Für x, y V und a K gilt Aus ax = folgt: a = oder x = Beispiele: x =, a = ( a)x = (ax) = a( x); ( )x = x a(x y) = ax ay a) Sei n N, n und K n die Menge der n Tupel Gleichheit: x =. x x =., x i K für i =,...,n x x n x n = y. y n x + y Addition: x + y =. x n + y n = y genau dann, wenn x = y x n. = y n Skalare Multiplikation: ax a a x =. ax n 3

4 Aus den Körperaxiomen folgt: K n ist ein K Vektorraum mit Null = =.. Veranschaulichung im Falle V = R 2. Wähle in der Zeichenebene E einen Punkt und lege durch ein kartesisches Koordinatensystem. Achse λx λv = λ x v =.. x. x v = x Achse Identifiziere jeden( von) ausgehenden anschaulichen Vektor v mit dem x x Koordinatenpaar seines Endpunkts: v = v ist der zu v entgegengesetzte Vektor gleicher Länge. λx λ > : λv = hat die gleiche Richtung wie v, aber die λ fache λ Länge. Interpretiere v als im Punkt angreifende Kraft: λv ist dann das λ fache der Kraft v. 4

5 v + w ergänzt das Dreieck (, v, w) zu einem Parallelogramm ( Kräfte- Parallelogramm für die resultierende Kraft.) v x + y v + w = + y 2 y w = y 2 Die schraffierten Dreiecke sind offenbar kongruent. Folglich ist das Viereck (, w, v + w, v) ein Parallelogramm. b) Sei I R ein Intervall. Wir bezeichnen mit R I die Menge der Funktionen f : I R. f ist eine Vorschrift, die jedem x I einen eindeutig bestimmten Wert y = f(x) R zuordnet. Definiere die Funktion f + g durch (f + g)(x) := f(x) + g(x) und λ f durch (λf)(x) := λ f(x) Damit wird R I zu einem R-Vektorraum mit der Nullfunktion (f(x) = für alle x I) als Null. Sei V nun ein beliebiger Vektorraum über K ( K Vektorraum ). Definition: Eine Teilmenge W V heißt linearer Teilraum oder Untervektorraum von V, wenn W die Null enthält und abgeschlossen ist unter Addition und Skalarmultiplikation, d.h. wenn gilt: W, aus x, y W folgt x + y W, ist λ K, x W, so auch λx W. 5

6 Damit wird innerhalb des Untervektorraums W eine Addition und Skalarmultiplikation induziert W W W, (x, y) x + y; K W W, (a, x) ax (.) Bemerkung: Ist W V ein Untervektorraum, so ist W bezüglich der induzierten Addition und Skalarmultiplikation ein Vektorraum. Beweis: Es ist lediglich zu zeigen: Ist x W so auch x: Wegen x W und W Untervektorraum ist auch x = ( )x W (siehe obige Rechenregel). Summenschreibweise: Sind x,, x 3 V so gilt (x + ) + x 3 = x + ( + x 3 ). Lasse daher die Klammern weg und schreibe für das Resultat x + + x 3. Rekursiv erklären wir: x + + x 3 := (x + ) + x 3 x + + x 3 + x 4 := (x + + x 3 ) + x 4 Ist x x n schon erklärt, so setzt man x x n + x n+ = (x x n ) + x n+ Abkürzende Schreibweise mit dem Summenzeichen : m x k := x x m (Entsprechende Schreibweisen sind in K erklärt.) Aus den Axiomen ergeben sich weitere Regeln: m x k + m y k = m (x k + y k ) λ m x k = m (λx k ) ( m ) λ k x = m λ kx m λ k x k + m µ k x k = m (λ k + µ k )x k, u.s.w. Beispiele von Untervektorräumen: 6

7 a) V ist ein Untervektorraum ( UVR ) von V. b) {} ist ein UVR von V. (Schreibe dafür ). c) Man kann auch lineare Gleichungssysteme mit Koeffizienten aus K (anstelle R) definieren. Alle Aussagen in Kapitel I gelten dann entsprechend. Sei also n a ij x j =, i =,...,m j= ein homogenes lineares Gleichungssystem in n Unbekannten x,...,x n mit Koeffizienten a ij aus K. Gesucht sind seine Lösungen x =. in K n. Nach Kapitel I, 2 gilt: ist eine Lösung. Sind x, y Lösungen und ist a K, so sind auch x + y und ax Lösungen. Fazit: Die Lösungsmenge L eines homogenen linearen GLS in n Unbekannten ist ein UVR des K n, der sogenannte Lösungsraum des linearen Gleichungssystems. d) Für Teilmengen M, N V definieren wir die Summe M + N = {m + n m M und n N} x x n Sind U, U 2 V Untervektorräume, so sind auch ihre Summe U + U 2 und ihr Durchschnitt U U 2 = {x V x U und x U 2 } Untervektorräume. Beweis: Seien u + u 2, v + v 2 aus U + U 2 mit u i, v i U i, i =, 2 u + v U und u 2 + v 2 U 2, da beides UVRe sind. Es folgt (u + U 2 ) + (v + v 2 ) = (u + v ) + (u 2 + v 2 ) U + U 2 a K : au U und au 2 U 2, da beides UVRe sind. Also ist a(u + u 2 ) = au + au 2 U + U 2. Ferner ist = + U + U 2. Analog zeigt man, dass U U 2 ein UVR ist (ÜA). Offenbar ist U U + U 2, U 2 U + U 2, also auch U U 2 U + U 2. Konkretes Beispiel: 7

8 a) Die Gleichungen x + +x 3 = bzw. 2x +4 +3x 3 = haben UVRe E bzw. E 2 als Lösungsmengen. Fasse jeweils und x 3 als freie Variable auf. Nach Gauß (I, 4.2) besteht E aus den Vektoren der Form λ + λ 2 mit bel. Zahlen λ, λ 2 R. Anschaulich. E ist die von den Vektoren und aufgespannte Ebene im R 3. 2 Entsprechend wird E 2 von und 3 2 aufgespannt. x E E 2 = Lösungsmenge des GLS + + x 3 = : 2x x 3 =, freie Variable x Nach Gauß. G = E E 2 2 ist die von dem Vektor aufgespannte Gerade. 2 2 b) E E 2 ist kein UVR, denn E, E 2 aber + = liegt weder in E, noch in E 2. 8

9 c) = = = 2 + E + E 2, + E + E 2, da E + E 2 UV R, E E + E 2 + E + E 2, da E + E 2 UV R, E E + E 2 Da E + E 2 UVR ist, folgt: Für alle x, y, z R ist x y = x + y + z E + E 2. Also ist E + E 2 = R 3. z 9

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen

2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen 2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen V und V seien Vektorräume über einem Körper K. Hom K (V, V ) bezeichnet die Menge der K linearen Abbildungen von V nach V. Wir machen Hom K (V, V )

Mehr

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt SS, Lineare Algebra Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar.

Mehr

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u.

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u. Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dipl. Math. D. Zimmermann Msc. J. Köllner FAQ 3 Höhere Mathematik I 4..03 el, kyb, mecha, phys Vektorräume Vektorräume

Mehr

Lineare Algebra - alles was man wissen muß

Lineare Algebra - alles was man wissen muß Statistik für Bioinformatiker SoSe 3 Rainer Spang Lineare Algebra - alles was man wissen muß Der Titel ist natürlich gelogen, aber was wir hier zusammengetragen haben ist zumindest ein Anfang. Weniger

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Linearkombinationen, Basen, Lineare Abbildungen 2.1 Lineare Unabhängigkeit Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? (a) 1, 2, 3 im Q Vektorraum R (b)

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n. Weiters seien b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... a m1

Mehr

Übungsaufgaben LAAG I. für Lehramtsstudenten GS, MS, BS

Übungsaufgaben LAAG I. für Lehramtsstudenten GS, MS, BS Doz.Dr. Norbert Koksch TU DRESDEN Fachrichtung Mathematik, Institut für Analysis Übungsaufgaben LAAG I für Lehramtsstudenten GS, MS, BS Logik: Übungsaufgabe 1. Begründen Sie, ob es sich um eine Aussage

Mehr

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Informatik Medieninformatik Wirtschaftsinformatik Wirtschaftsingenieurwesen

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

Zuammenfassung: Reelle Funktionen

Zuammenfassung: Reelle Funktionen Zuammenfassung: Reelle Funktionen 1 Grundlegendes a) Zahlenmengen IN = {1; 2; 3; 4;...} Natürliche Zahlen IN 0 = IN {0} Natürliche Zahlen mit 0 ZZ = {... ; 2; 1; 0; 1; 2;...} Ganze Zahlen Q = { z z ZZ,

Mehr

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung Matrizen Definition einer Matrix Unter einer (reellen) m x n Matrix A versteht man ein rechteckiges Schema aus reellen Zahlen, die wie folgt angeordnet sind:

Mehr

Elemente der Analysis II

Elemente der Analysis II Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel

Mehr

Optimalitätskriterien

Optimalitätskriterien Kapitel 4 Optimalitätskriterien Als Optimalitätskriterien bezeichnet man notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür, dass ein x 0 Ω R n Lösung eines Optimierungsproblems ist. Diese Kriterien besitzen

Mehr

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer. Mathematik 1 Prof Dr K Melzer karinmelzer@hs-esslingende http://wwwhs-esslingende/de/mitarbeiter/karin-melzerhtml Inhaltsverzeichnis 1 Matrizenrechnung 2 11 Matrixbegri 2 12 Spezielle Matrizen 3 13 Rechnen

Mehr

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Übung Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Diese Übung beschäftigt sich mit Grundbegriffen der linearen Algebra. Im Speziellen werden lineare Abbildungen, sowie

Mehr

Matrixalgebra. mit einer Einführung in lineare Modelle. Stefan Lang Institut für Statistik Ludwigstrasse 33 email: lang@stat.uni-muenchen.

Matrixalgebra. mit einer Einführung in lineare Modelle. Stefan Lang Institut für Statistik Ludwigstrasse 33 email: lang@stat.uni-muenchen. Matrixalgebra mit einer Einführung in lineare Modelle Stefan Lang Institut für Statistik Ludwigstrasse 33 email: lang@statuni-muenchende 25 August 24 Vielen Dank an Christiane Belitz, Manuela Hummel und

Mehr

Reelle Zahlen. Mathematische Grundlagen Lernmodul 4. Stand: Oktober 2010

Reelle Zahlen. Mathematische Grundlagen Lernmodul 4. Stand: Oktober 2010 Mathematische Grundlagen Lernmodul 4 Reelle Zahlen Stand: Oktober 200 Autoren: Prof. Dr. Reinhold Hübl, Professor Fakultät für Technik, Wissenschaftliche Leitung ZeMath, E-Mail: huebl@dhbw-mannheim.de

Mehr

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Der binäre Rang, der symplektische Graph, die Spektralzerlegung und rationale Funktionen Vortrag am 24.01.2012 Heike Farkas 0410052 Inhaltsverzeichnis

Mehr

Vorlesung. Komplexe Zahlen

Vorlesung. Komplexe Zahlen Vorlesung Komplexe Zahlen Motivation Am Anfang der Entwicklung der komplexen Zahlen stand ein algebraisches Problem: die Bestimmung der Lösung der Gleichung x 2 + 1 = 0. 1 Mit der Lösung dieses Problems

Mehr

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011 Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h

Mehr

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 )

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 ) Aufgabe 65. Ganz schön span(n)end. Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 aus Aufgabe P 6: M = v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 = Welche der folgenden Aussagen sind wahr? span(v,

Mehr

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für die optimale Vorbereitung in Analysis, Geometrie und Stochastik mit verständlichen Lösungen

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für die optimale Vorbereitung in Analysis, Geometrie und Stochastik mit verständlichen Lösungen H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Übungsbuch für die optimale Vorbereitung in Analysis, Geometrie und Stochastik mit verständlichen Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Analysis Von der

Mehr

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html

Mehr

A Matrix-Algebra. A.1 Definition und elementare Operationen

A Matrix-Algebra. A.1 Definition und elementare Operationen A Matrix-Algebra In diesem Anhang geben wir eine kompakte Einführung in die Matrizenrechnung bzw Matrix-Algebra Eine leicht lesbare Einführung mit sehr vielen Beispielen bietet die Einführung in die Moderne

Mehr

Vorwort. Günter M. Gramlich. Lineare Algebra. Eine Einführung ISBN: 978-3-446-43035-8. Weitere Informationen oder Bestellungen unter

Vorwort. Günter M. Gramlich. Lineare Algebra. Eine Einführung ISBN: 978-3-446-43035-8. Weitere Informationen oder Bestellungen unter Vorwort Günter M. Gramlich Lineare Algebra Eine Einführung ISBN: 978-3-446-43035-8 Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/978-3-446-43035-8 sowie im Buchhandel. Carl Hanser

Mehr

11. Primfaktorzerlegungen

11. Primfaktorzerlegungen 78 Andreas Gathmann 11 Primfaktorzerlegungen Euch ist sicher aus der Schule bekannt, dass sich jede positive ganze Zahl a als Produkt a = p 1 p n von Primzahlen schreiben lässt, und dass diese Darstellung

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv

Mehr

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung. Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,

Mehr

Lineare Algebra (Mathe I) für Wirtschaftsinformatiker; Zusammenfassung

Lineare Algebra (Mathe I) für Wirtschaftsinformatiker; Zusammenfassung Lineare Algebra (Mathe I) für Wirtschaftsinformatiker; Zusammenfassung Artur Trzewik sw562@uni-essen.de v1., 26.3.1998 korrigiert 16. Februar 2 Zusammenfassung Warnung: für die Richtigkeit der Definitionnen

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.

Mehr

2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik

2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 57 2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Uhr: Stunden mod 24, Minuten mod 60, Sekunden mod 60,... Rechnerarithmetik: mod 2 w, w {8, 16, 32,

Mehr

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung 3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.

Mehr

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist.

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist. Matrizennorm Es seien r,s N Mit M r,s (R bezeichnen wir die Menge der reellen r s- Matrizen (also der linearen Abbildungen R s R r, und setze M s (R := M s,s (R (also die Menge der linearen Abbildungen

Mehr

Lineare Algebra und Computer Grafik

Lineare Algebra und Computer Grafik Lineare Algebra und Computer Grafik Vorlesung an der Hochschule Heilbronn (Stand: 7 Mai ) Prof Dr V Stahl Copyright 6 by Volker Stahl All rights reserved Inhaltsverzeichnis Vektoren 4 Vektoren und Skalare

Mehr

Minimale Darstellungen, Kommutator- und Fixräume, projektive Geometrie

Minimale Darstellungen, Kommutator- und Fixräume, projektive Geometrie Notation Die in dieser Arbeit verwendete Notation ist im Wesentlichen Standard, so wie sie beispielsweise in [As] zu nden ist. Einige Abweichungen hiervon, Klarstellungen und zusätzliche Notationen (sofern

Mehr

Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V

Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = mit einer Abbildung + : A V A,

Mehr

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik Höhere Mathematik 3 Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr FB Mathematik Wintersemester 2015/16 4. Homogene lineare Dierentialgleichungen 4.1. Grundbegrie 4.1.1. Denition. Es sei J R ein Intervall und a 0 ; : :

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder

Mehr

Einführung in die Tensorrechnung

Einführung in die Tensorrechnung 1. Definition eines Tensors Tensoren sind Grössen, mit deren Hilfe man Skalare, Vektoren und weitere Grössen analoger Struktur in ein einheitliches Schema zur Beschreibung mathematischer und physikalischer

Mehr

Gleichungen und Ungleichungen

Gleichungen und Ungleichungen Gleichungen Ungleichungen. Lineare Gleichungen Sei die Gleichung ax = b gegeben, wobei x die Unbekannte ist a, b reelle Zahlen sind. Diese Gleichung hat als Lösung die einzige reelle Zahl x = b, falls

Mehr

ax 2 + bx + c = 0, (4.1)

ax 2 + bx + c = 0, (4.1) Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die

Mehr

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Wir befassen uns nun mit der Lösung im allgemeinen nichthomogener linearer Gleichungssysteme in zweifacher Hinsicht. Wir studieren

Mehr

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10 TU München Prof. Dr. P. Vogl, Dr. S. Schlicht Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10 Vorlesung 1, Montag vormittag Vektoralgebra Ein Vektor lässt sich geometrisch als eine gerichtete Strecke darstellen,

Mehr

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 3.1

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 3.1 .1 Dr. Jürgen Roth Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik Elemente der Algebra . Inhaltsverzeichnis Elemente der Algebra & Argumentationsgrundlagen, Gleichungen und Gleichungssysteme Quadratische

Mehr

Repetitionsaufgaben: Lineare Gleichungen

Repetitionsaufgaben: Lineare Gleichungen Kantonale Fachschaft Mathematik Repetitionsaufgaben: Lineare Gleichungen Zusammengestellt von Hannes Ernst, KSR Lernziele: - Lineare Gleichungen von Hand auflösen können. - Lineare Gleichungen mit Parametern

Mehr

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dipl.-Math. Kevin Everard Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14 Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mehr

KAPITEL 0. Einführung

KAPITEL 0. Einführung Lineare Algebra KAPITEL 0 Einführung Dieses Skript zur Vorlesung Lineare Algebra an der Goethe Universität Frankfurt im Sommersemester 2011 befindet sich noch in der Entstehung und wird fortlaufend aktualisiert

Mehr

GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1)

GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1) GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1) Im Kapitel 2.1 wurde bereits gezeigt, dass die endliche Zahlenmenge {0, 1, 2, 3} q = 4 nicht die Eigenschaften eines Galoisfeldes GF(4) erfüllt. Vielmehr

Mehr

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term

Mehr

Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Gleichungssysteme I

Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Gleichungssysteme I Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Gleichungssysteme I 3 1.1 Mengen und Abbildungen....................................... 3 1.1.1 Mengen und ihre Operationen.............................. 3 1.1.2 Summen- und

Mehr

Kevin Caldwell. 18.April 2012

Kevin Caldwell. 18.April 2012 im Rahmen des Proseminars Numerische Lineare Algebra von Prof.Dr.Sven Beuchler 18.April 2012 Gliederung 1 2 3 Mathematische Beschreibung von naturwissenschaftlich-technischen Problemstellungen führt häufig

Mehr

Kapitel 3 Mathematik. Kapitel 3.3. Algebra Gleichungen

Kapitel 3 Mathematik. Kapitel 3.3. Algebra Gleichungen TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Kapitel 3 Mathematik Kapitel 3.3 Algebra Gleichungen Verfasser: Hans-Rudolf Niederberger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 877 Nidfurn 055-654 1 87 Ausgabe: Februar 009

Mehr

3. Die Eigenschaften der reellen Zahlen II: Geordnete Körper

3. Die Eigenschaften der reellen Zahlen II: Geordnete Körper 32 Andreas Gathmann 3. Die Eigenschaften der reellen Zahlen II: Geordnete Körper Wir haben bisher von den reellen Zahlen nur die Körpereigenschaften, also die Eigenschaften der vier Grundrechenarten ausgenutzt

Mehr

4 Kongruenz und Modulorechnung

4 Kongruenz und Modulorechnung 4 Kongruenz und Modulorechnung 39 4 Kongruenz und Modulorechnung In unserer Zeitrechnung haben wir uns daran gewöhnt, nur mit endlich vielen Zahlen zu rechnen. Es ist gerade 3 Uhr und in 50 Stunden muss

Mehr

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b Aufgabe 1: Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. (a) Nehmen Sie lineares Wachstum gemäß z(t) = at + b an, wobei z die Einwohnerzahl ist und

Mehr

Siegfried Bosch. Lineare Algebra. Vierte, überarbeitete Auflage

Siegfried Bosch. Lineare Algebra. Vierte, überarbeitete Auflage Springer-Lehrbuch Siegfried Bosch Lineare Algebra Vierte, überarbeitete Auflage 123 Prof. Dr. Siegfried Bosch Mathematisches Institut Universität Münster Einsteinstraße 62 48149 Münster bosch@math.uni-muenster.de

Mehr

1 Lineare Gleichungssysteme

1 Lineare Gleichungssysteme MLAN1 1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 1 Literatur: K Nipp/D Stoffer, Lineare Algebra, Eine Einführung für Ingenieure, VDF der ETHZ, 4 Auflage, 1998, oder neuer 1 Lineare Gleichungssysteme Zu den grundlegenden

Mehr

Anwengungen geometrischer Abbildungen Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildung

Anwengungen geometrischer Abbildungen Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildung Anwengungen geometrischer Abbildungen Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildung Amina Duganhodzic Proseminar: Mathematisches Problemlösen Unter der Leitung von Privat Dozentin Dr. Natalia Grinberg 26. Juni

Mehr

Schlussrechnung, Modellbildung und Interpolation

Schlussrechnung, Modellbildung und Interpolation Schlussrechnung, Modellbildung und Interpolation Franz Pauer Institut für Mathematik, Universität Innsbruck, Technikerstr. 13, A-6020 Innsbruck, Österreich. Franz.Pauer@uibk.ac.at 1 Einleitung Schlussrechnungen

Mehr

Q(n) = n 0 +n 1 +n 2 +...+n k.

Q(n) = n 0 +n 1 +n 2 +...+n k. 25 2 Kongruenzen Mit Hilfe der hier definierten Kongruenz können Aussagen über Teilbarkeit einfacher formuliert und bewiesen werden, und man erhält eine Differenzierung der Zahlen, die bezüglich einer

Mehr

Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008

Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev Technische Universität Berlin 1 Hausaufgaben vom 12.09.2007 Zahlentheorie 1 Aufgabe 1.1 Berechne die (quadratischen)

Mehr

2 Algebraische Grundstrukturen

2 Algebraische Grundstrukturen 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 1 8. November 2002 2 Algebraische Grundstrukturen Definitionen. Eine binäre Operation (binary operation) oder zweistellige Verknüpfung auf einer Menge M ist eine Abbildung

Mehr

Leitprogramm Vektorgeometrie

Leitprogramm Vektorgeometrie Leitprogramm Vektorgeometrie Torsten Linnemann Pädagogische Hochschule FHNW Gymnasium Oberwil E-mail:torsten.linnemann@fhnw.ch 18. September 2011 Dank: Ich danke der Klasse 4aL, Kantonsschule Solothurn,

Mehr

Beispiel zur Lösung eines Gleichungssystems : 6 y + z = 15 0 6 1. 15 12 x + 3 y 3 z = 15 12 3 3. 15 2 x 3 y = 4 2 3 0.

Beispiel zur Lösung eines Gleichungssystems : 6 y + z = 15 0 6 1. 15 12 x + 3 y 3 z = 15 12 3 3. 15 2 x 3 y = 4 2 3 0. Beispiel zur Lösung eines Gleichungssystems : 6 y + z = 5 0 6 5 2 x + 3 y 3 z = 5 2 3 3 5 2 x 3 y = 4 2 3 0 4 z2 /3 z : 3 2 x 3 y = 4 2 3 0 4 4 x + y z = 5 4 5 6 y + z = 5 0 6 5 z2 + 2 z 2 x 3 y = 4 2

Mehr

INFOMAPPE ZUM EINSTUFUNGSTEST MATHEMATIK AN DER FOS/BOS MEMMINGEN

INFOMAPPE ZUM EINSTUFUNGSTEST MATHEMATIK AN DER FOS/BOS MEMMINGEN INFOMAPPE ZUM EINSTUFUNGSTEST MATHEMATIK AN DER FOS/BOS MEMMINGEN Liebe Schülerinnen und Schüler, wie schnell man einen bereits einmal gekonnten Stoff wieder vergisst, haben Sie sicherlich bereits schon

Mehr

Download. Mathematik üben Klasse 8 Terme und Gleichungen. Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr. Jens Conrad, Hardy Seifert

Download. Mathematik üben Klasse 8 Terme und Gleichungen. Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr. Jens Conrad, Hardy Seifert Download Jens Conrad, Hardy Seifert Mathematik üben Klasse 8 Terme und Gleichungen Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr Downloadauszug aus dem Originaltitel: Mathematik üben Klasse 8 Terme

Mehr

3.1. Die komplexen Zahlen

3.1. Die komplexen Zahlen 3.1. Die komplexen Zahlen Es gibt viele Wege, um komplexe Zahlen einzuführen. Wir gehen hier den wohl einfachsten, indem wir C R als komplexe Zahlenebene und die Punkte dieser Ebene als komplexe Zahlen

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.

Mehr

Lineare Gleichungssysteme I (Matrixgleichungen)

Lineare Gleichungssysteme I (Matrixgleichungen) Lineare Gleichungssysteme I (Matrigleichungen) Eine lineare Gleichung mit einer Variable hat bei Zahlen a, b, die Form a b. Falls hierbei der Kehrwert von a gebildet werden darf (a 0), kann eindeutig aufgelöst

Mehr

Kongruenzrechnung. 2 Kongruenzrechnung 7 2.1 Rechnenregeln Addition und Multiplikation... 7 2.2 Rechenregeln bzgl. verschiedener Moduln...

Kongruenzrechnung. 2 Kongruenzrechnung 7 2.1 Rechnenregeln Addition und Multiplikation... 7 2.2 Rechenregeln bzgl. verschiedener Moduln... Kongruenzrechnung Inhaltsverzeichnis 1 Einführung und Definitionen 2 1.1 Einige Beispiele aus dem Alltag..................... 2 1.2 Kongruenzrechnung im Alltag und Rechenproben........... 3 1.3 Kongruenzen

Mehr

Theorie der Informatik

Theorie der Informatik Theorie der Informatik 6. Formale Sprachen und Grammatiken Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 17. März 2014 Einführung Beispiel: Aussagenlogische Formeln Aus dem Logikteil: Definition (Syntax

Mehr

Projekt Standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik. T e s t h e f t B 1. Schulbezeichnung:.. Klasse: Vorname: Datum:.

Projekt Standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik. T e s t h e f t B 1. Schulbezeichnung:.. Klasse: Vorname: Datum:. Projekt Standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik T e s t h e f t B Schulbezeichnung:.. Klasse: Schüler(in) Nachname:. Vorname: Datum:. B Große und kleine Zahlen In Wikipedia findet man die

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu en 1 Aufgaben Lineare Gleichungen Aufgabe 1.1 Ein Freund von Ihnen möchte einen neuen Mobilfunkvertrag abschließen. Es gibt zwei verschiedene Angebote: Anbieter 1: monatl.

Mehr

Einführung in die Zahlentheorie und algebraische Strukturen

Einführung in die Zahlentheorie und algebraische Strukturen Einführung in die Zahlentheorie und algebraische Strukturen Wintersemester 2012/2013 Universität Bayreuth Michael Stoll Inhaltsverzeichnis 1. Wiederholung: Gruppen, Ringe, Körper 2 2. Teilbarkeitslehre

Mehr

Mathematik für Informatiker: Algebraische Strukturen

Mathematik für Informatiker: Algebraische Strukturen Mathematik für Informatiker: Algebraische Strukturen Vorlesungsskript 2009/205 Klaus Wirthmüller http://www.mathematik.uni-kl.de/ wirthm/de/mfi.html K. Wirthmüller Mathematik für Informatiker: Algebraische

Mehr

Geometrische Maße oder,... wie kann man quantitative Aussagen über geometrische Objekte erhalten?

Geometrische Maße oder,... wie kann man quantitative Aussagen über geometrische Objekte erhalten? In der euklidischen Geometrie der Mittelstufe ging es zumeist um geometrische Konstruktionen und um qualitative Aussagen über geometrische Objekte in Bezug zueinander. Möchte man, insbesondere im dreidimensionalen

Mehr

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. 13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)

Mehr

MSG Kurs 10. Klasse, 2011/2012

MSG Kurs 10. Klasse, 2011/2012 MSG Kurs 10. Klasse, 011/01 Holger Stephan, Berlin Weierstraß Institut für Angewandte Analysis und Stochastik Inhaltsverzeichnis 1 Komplexe Zahlen 3 1.1 Heuristische Herleitung I (Potenzreihen)......................

Mehr

Planungsblatt Mathematik für die 4E

Planungsblatt Mathematik für die 4E Planungsblatt Mathematik für die 4E Woche 26 (von 09.03 bis 13.03) Hausaufgaben 1 Bis Mittwoch 11.03: Auf dem Planungsblatt stehen einige Aufgaben als Übung für die SA. Bereite diese Aufgaben vor! Vor

Mehr

Didaktik der Algebra Jürgen Roth Didaktik der Algebra 4.1

Didaktik der Algebra Jürgen Roth Didaktik der Algebra 4.1 Didaktik der Algebra 4.1 Didaktik der Algebra Didaktik der Algebra 4.2 Inhalte Didaktik der Algebra 1 Ziele und Inhalte 2 Terme 3 Funktionen 4 Gleichungen Didaktik der Algebra 4.3 Didaktik der Algebra

Mehr

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen?

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen können zwei Ebenen (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Wie heiÿt

Mehr

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme 1 Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Es kommt häufig vor, dass man nicht mit einer Variablen alleine auskommt, um ein Problem zu lösen. Das folgende Beispiel soll dies verdeutlichen

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Lineare Algebra 1 WS 26/7 en Blatt 4 13.11.26 Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität

Mehr

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag. $Id: quadrat.tex,v.5 9//5 ::59 hk Exp $ $Id: orthogonal.tex,v.4 9// ::54 hk Exp $ $Id: fourier.tex,v. 9// :: hk Exp $ Symmetrische Matrizen und quadratische

Mehr

Statistische Methoden

Statistische Methoden Statistische Methoden Dr CJ Luchsinger 6 Repetition: Rechnen mit Matrizen für die Statistik Matrizen sind aus zwei Gründen für die Statistik sehr wichtig: Sie ermöglichen uns einerseits eine sehr elegante

Mehr

Propädeutikum Wichtige Grundlagen der Mathematik Stand WS 2015 / 2016 Dörte Fröhlich

Propädeutikum Wichtige Grundlagen der Mathematik Stand WS 2015 / 2016 Dörte Fröhlich Propädeutikum Wichtige Grundlagen der Mathematik Stand WS 05 / 06 Dörte Fröhlich Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite Wichtige Grundlagen der Mathematik Für Ihr Studium und sicher nicht nur für das Fach

Mehr

Didaktik der Zahlbereiche 4. Die Menge der ganzen Zahlen. Mathematikunterricht in der Jahrgangsstufe 7. Zahlbereichserweiterungen in der Hauptschule

Didaktik der Zahlbereiche 4. Die Menge der ganzen Zahlen. Mathematikunterricht in der Jahrgangsstufe 7. Zahlbereichserweiterungen in der Hauptschule Zahlbereichserweiterungen in der Hauptschule Didaktik der Zahlbereiche 4 Dr. Christian Groß Lehrstuhl Didaktik der Mathematik Universität Augsburg Wintersemester 2006/07 Natürliche Zahlen, : Klasse 5 positive

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2013/14 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen

Mehr

Probestudium der Physik: Mathematische Grundlagen

Probestudium der Physik: Mathematische Grundlagen Probestudium der Physik: Mathematische Grundlagen Ludger Santen 1. Februar 2013 Fachrichtung Theoretische Physik, Universität des Saarlandes, Saarbrücken 1 Einführung Die Mathematik ist die Sprache der

Mehr

Invariantentheorie. Vorlesung 5. Invariantenringe zu Untergruppen

Invariantentheorie. Vorlesung 5. Invariantenringe zu Untergruppen Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2012/2013 Invariantentheorie Vorlesung 5 Invariantenringe zu Untergruppen Proposition 5.1. Es sei R G R eine Operation einer Gruppe G auf einem kommutativen Ring durch

Mehr

1 Aussagenlogik und Mengenlehre

1 Aussagenlogik und Mengenlehre 1 Aussagenlogik und engenlehre 1.1 engenlehre Definition (Georg Cantor): nter einer enge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten (m) unserer Anschauung oder unseres

Mehr

Teil II. Nichtlineare Optimierung

Teil II. Nichtlineare Optimierung Teil II Nichtlineare Optimierung 60 Kapitel 1 Einleitung In diesem Abschnitt wird die Optimierung von Funktionen min {f(x)} x Ω betrachtet, wobei Ω R n eine abgeschlossene Menge und f : Ω R eine gegebene

Mehr

11 Normalformen von Matrizen

11 Normalformen von Matrizen 11 Normalformen von Matrizen Wir wenden uns in diesem Kapitel noch einmal der Untersuchung linearer Abbildungen auf endlichdimensionalen Vektorräumen und deren Darstellung mittels Matrizen zu Speziell

Mehr

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:

Mehr

Bevor lineare Gleichungen gelöst werden, ein paar wichtige Begriffe, die im Zusammenhang von linearen Gleichungen oft auftauchen.

Bevor lineare Gleichungen gelöst werden, ein paar wichtige Begriffe, die im Zusammenhang von linearen Gleichungen oft auftauchen. R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 13.0.010 Lineare Gleichungen Werden zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden, so entsteht eine Gleichung. Enthält die Gleichung die Variable

Mehr