Einführung in die Programmierung (MA8003)
|
|
- Hedwig Graf
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Theorie 1.2: Vektoren & Matrizen II, Funktionen, Indizierung Dr. Laura Scarabosio Technische Universität München Fakultät Mathematik, Lehrstuhl für Numerische Mathematik M
2 Theorie 1.2: Inhalt 1 Vektoren und Matrizen Backslash und Slash 2 Funktionen 3 Indizierung 4 Matrizen manipulieren
3 Inhalt 1 Vektoren und Matrizen Backslash und Slash 2 Funktionen 3 Indizierung 4 Matrizen manipulieren
4 \ und / Operator I \ (mldivide) und / (mrdivide) sind im gewissen Sinn das Gegenstück zum Matrizenprodukt *: Mit Ihnen kann man lineare Gleichungssysteme lösen bzw. eine Lösung approximieren. Fragestellung: Gesucht ist ein Vektor x mit Ax = b. Wenn kein solches x existiert, dann suche x mit Ax b 2 minimal. Dieser Vektor wird mit A \ b bestimmt. Dazu wird intern je nach Struktur von A ein geeigneter Algorithmus verwendet. b kann auch eine Matrix sein (z.b. mehrere rechte Seiten). Anzahl Zeilen von A muss gleich Anzahl Zeilen von b sein. Bei Verwendung von Zeilenvektoren, also x = (x 1, x 2,..., x n ), verwendet man /. Merkregel A \ b = A 1 b, wenn b Spaltenvektor b / A = ba 1, wenn b Zeilenvektor
5 \ und / Operator II >> hilb(3) >> b = (1:3) ; >> x = A\b x = >> A*x >> x = b /A x = >> x*a >> B = [(1:3), ones(3,1)] B = >> A\B
6 \ und / Operator III Achtung: Aufpassen, wenn Matrix nicht quadratisch oder singulär! >> [hilb(3); ones(1,3)] >> b = (1:4) b = >> x = A\b x = >> A*x
7 Inhalt 1 Vektoren und Matrizen Backslash und Slash 2 Funktionen 3 Indizierung 4 Matrizen manipulieren
8 Funktionen Viele Matlab Funktionen lassen sich in eine von drei Klassen einteilen: Skalarwertig Skalar als Eingabeargument. Wirken bei Feldern komponentenweise. Vektorwertig Vektor als Argument. Werden bei Matrizen auf jede Spalte einzeln angewendet. Rückgabewert ist Skalar oder Vektor. Matrixwertig Matrix als Argument, z.b. det Viele Funktionen in Matlab verhalten sich unterschiedlich je nach Anzahl und Art der Eingabe- bzw. Ausgabeparameter. QR Orthogonal-triangular decomposition. [Q,R] = QR(A), where A is m-by-n, produces an m-by-n... [Q,R] = QR(A,0) produces the "economy size" decomposition... [Q,R,E] = QR(A) produces unitary Q, upper triangular R... [Q,R,E] = QR(A,0) produces an "economy size" decomposition... X = QR(A) and X = QR(A,0) return the output of LAPACK s......
9 Skalare Funktionen Beispiele: >> magic(2) >> cos(a*pi/2) sin cos tan asin acos atan exp log (ln) round sqrt factorial (Fakultät) abs (Betrag)
10 Vektor Funktionen I Wenn das Argument der Funktion eine Matrix ist, wird die Funktion einzeln auf jede Spalte der Matrix angewendet. Um eine Vektorfunktion auf eine gesamte Matrix A anzuwenden und nicht auf die einzelnen Spalten, A(:) als Argument verwenden. Meist zweites optionales Argument welches angibt, ob Funktion auf Spalten (1) oder Zeilen (2) einer Matrix angewendet werden soll. Beispiele: min max mean sum prod (Produkt) diff cumsum sort
11 Vektor Funktionen II >> x = 4:-1:1; >> prod(x) 24 >> max(x) 4 >> [m, i] = max(x) >> magic(3); >> sum(a) >> sum(a,2) m = i = 4 1 >> sum(a(:)) 45 >> sort(a) >> diff(x)
12 Hilfreiche Funktionen length: Die Länge eines Vektors oder die größere Dimension einer Matrix size: Vektor mit den Dimensionen des Feldes numel: Anzahl der Elemente des Feldes Hinweis: prod(size(a)) == numel(a) == length(a(:)) >> A=ones(3,2); >> length(a) 3 >> length(a ) 3 >> size(a) 3 2 >> numel(a) 6
13 Inhalt 1 Vektoren und Matrizen Backslash und Slash 2 Funktionen 3 Indizierung 4 Matrizen manipulieren
14 Indizierung I Mit Matlab kann gezielt auf Teile eines Vektors oder einer Matrix zugegriffen werden. Zum Indizieren verwendet man runde Klammern (...). x(i): Das i-te Element des Vektors x A(i,j): Das Element in der i-ten Zeile und j-ten Spalte end: Bezeichnet den letzten Index der Dimension Achtung: Indizes fangen in Matlab bei 1 an! >> A(1,2) = -2 >> x = 2:-1:0; >> x(2) 1 >> [1,2; 3,4] >> A(1,end) -2 >> A(end,end) 4
15 Lineares Indizieren Auf die Elemente einer Matrix kann auch mit nur einem Index zugegriffen werden. Syntax A(i) gibt den i-ten Eintrag der Matrix A zurück. Die Einträge werden hierbei spaltenweise durchnummeriert >> A=magic(3) >> A(2) 3 >> A(end) 2
16 Indizierung II Auch Felder können zum Indizieren verwendet werden, sei v ein Vektor bzw. M eine Matrix mit Indizes x(v): Vektor mit i-tem Element gleich x(v(i)) x(m): Matrix mit (i,j)-ten Element gleich x(m(i,j)) A(v,w): Matrix mit (i,j)-ten Element gleich A(v(i), w(j)) A(v): Vektor mit i-tem Element gleich A(v(i)) Hinweis: Kurschreibweise: : == 1:end. Hinweis: v(:) bzw. A(:) ist immer ein Spaltenvektor. Achtung: Die Einträge in den Vektoren, bzw. Matrizen, die zum Indizieren verwendet werden, müssen ganzzahlig und größer als 0 sein. Achtung: Matlab unterstützt keine doppelte Indizierung, z.b. x(v)(1) funktioniert nicht!
17 Indizierung III x = >> x(2:4) >> x([2 3 end end 1]) >> M = [1 2; 2 1] M = >> x(m) >> magic(3) >> A(1,:) >> A([1,2],[2,3]) >> A(2:end,:)
18 Lineares Indizieren II >> x = 1:3 >> zeros(3) >> A(2:2:end) = x = >> x(:) >> A*x error: operator *: nonconformant arguments (op1 is 3x3, op2 is 1x3) >> A*x(:) 2 4 2
19 Inhalt 1 Vektoren und Matrizen Backslash und Slash 2 Funktionen 3 Indizierung 4 Matrizen manipulieren
20 Einträge löschen Es ist möglich, Einträge aus Vektoren zu löschen. x(i) = [] löscht den i-ten Eintrag des Vektors x x(v) = [] löscht alle Einträge von x mit Indizes in v A(i,:) = [], A(:,i) = [] löscht i-te Zeile bzw. Spalte der Matrix A >> x=1:5; >> x([2 3]) = [] x = >> A=magic(3) >> A(:,2) = [] >> A([2,1],:) = [] 4 2 >> magic(3); >> A(1:end, 2) = []??? Subscripted assignment dimension mismatch.
21 Einträge hinzufügen Matlab verlängert Felder bei Element-Zuweisung automatisch. >> x=1 x(i) = k setzt das i-te Element auf den Wert k und verlängert den Vektor wenn i > length(x). A(i,j) = k setzt das (i,j)-te Element auf den Wert k, hängt ggf. Zeilen und Spalten an. x = 1 >> x(4) = 4 x = >> x(3,3) = 5 x =
22 Fragen? Ende Theorie 1.2 Fragen?
Einführung in die Programmierung (MA8003)
Theorie 1.2: Vektoren & Matrizen II, Funktionen, Indizierung Dr. Lorenz John Technische Universität München Fakultät Mathematik, Lehrstuhl für Numerische Mathematik M2 04.10.2016 Theorie 1.2: Inhalt 1
MehrEinführung in die Programmierung (MA8003)
Theorie 2.1: Relationale und logische Operatoren, Funktionen Dr. Lorenz John Technische Universität München Fakultät Mathematik, Lehrstuhl für Numerische Mathematik M2 05.10.2016 Ablauf Theorie 1.1+1.2
MehrPraktikum zur Vorlesung: Numerische Mathematik für Lehramt SS Matlab: Fortsetzung. Jan Mayer. 4. Mai 2006
Praktikum zur Vorlesung: Numerische Mathematik für Lehramt SS 2006 Matlab: Fortsetzung Jan Mayer 4. Mai 2006 Manipulation von Matrizen und Vektoren [M,N]=size(A); speichert die Dimension einer Matrix bzw.
MehrMathematische Computer-Software
Mathematische Computer-Software Kommerzielle Computeralgebrasysteme (CAS) Beispiele: Mathematica, Maple, Numerisches und symbolisches Verarbeiten von Gleichungen: Grundrechenarten Ableitung und Integration
MehrMATLAB Ferienkurs WS 2010/2011
MATLAB Ferienkurs WS 2010/2011 Teil 4 von 6 Andreas Klimke, Matthias Wohlmuth Technische Universität München Fakultät Mathematik, Lehrstuhl für Numerische Mathematik Basier auf Kursunterlagen von Boris
MehrEinführung in die Programmierung (MA8003)
Theorie 2.2: Schleifen, Vektorisierung, bedingte Ausführung Dr. Lorenz John Technische Universität München Fakultät Mathematik, Lehrstuhl für Numerische Mathematik M2 05.10.2016 Numerische Mathematik M2
MehrZugriff auf Matrizen. Anhängen von Elementen. Punktweise Operatoren. Vektoren und Matrizen in MATLAB II
Zugriff auf Matrizen. Anhängen von Elementen. Punktweise Operatoren. Vektoren und Matrizen in MATLAB II Matrixzugriff Wir wollen nun unsere Einführung in die Arbeit mit Vektoren und Matrizen in MATLAB
Mehr3 Matrizenrechnung. 3. November
3. November 008 4 3 Matrizenrechnung 3.1 Transponierter Vektor: Die Notation x R n bezieht sich per Definition 1 immer auf einen stehenden Vektor, x 1 x x =.. x n Der transponierte Vektor x T ist das zugehörige
Mehr2.2. Übung. Einführung in die Programmierung (MA 8003)
Technische Universität München M2 - Numerische Mathematik Dr. Laura Scarabosio 2.2. Übung. Einführung in die Programmierung (MA 8003) Hinweis: Ab jetzt werden Schleifen benötigt. Aufgabe 2.2.1: Verändern
MehrInhaltsverzeichnis. MATLAB Einführung Teil I. Übungen zur Einführung in die wissenschaftliche Programmierung
Übungen zur Einführung in die wissenschaftliche Programmierung MATLAB Einführung Teil I Modifiziertes Exzerpt aus: Christian Karpfinger, Boris von Loesch: MATLAB Eine Einführung, 14. Oktober 2013 https://www-m11.ma.tum.de/fileadmin/w00bnb/www/people/karpfinger/matlab-tutorial.pdf
MehrKurze Einführung in Octave
Kurze Einführung in Octave Numerische Mathematik I Wintersemester 2009/2010, Universität Tübingen Starten von Octave in einer Konsole octave eintippen (unter Linux) Octave als Taschenrechner Beispiele:
Mehr1 Konsole öffnen. 2 matlab & und return eingeben. 3 Konsole dauerhaft geöffnet lassen. 1 Menüpunkt File - Exit MATLAB oder. 2 quit (und return) oder
Grundleges Einführung in Matlab Christof Eck, Monika Schulz und Jan Mayer Matlab starten: 1 Konsole öffnen 2 matlab & und return eingeben 3 Konsole dauerhaft geöffnet lassen Matlab been: 1 Menüpunkt File
MehrProgrammiervorkurs für die Numerik Teil 2/4
line 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4 Programmiervorkurs für die Numerik Teil 2/4 Christian Power Mathematisches Institut Universität Tübingen -8-6 -4-2 0 05.10.2016 2 4 6 8-8 -6-4 -2 0 2 4 6 8 Wiederholung
MehrStichworte zu Octave
Stichworte zu Octave Markus Grasmair 21. Oktober 2012 1 Einleitung Was ist Octave Octave ist ein freier und quelloffener Klon der kommerziellen Software Matlab. Matlab = Matrix laboratory. Programmiersprache
MehrEinführung in Matlab Was ist MATLAB? Hilfe Variablen
Einführung in Matlab Was ist MATLAB? MATLAB (Matrix Laboratory) ist eine interaktive Interpreter-Sprache, die einen einfachen Zugang zu grundlegenden numerischen Verfahren - wie beispielsweise der Lösung
MehrMathematik am Computer 6. Vorlesung: Matlab, Teil I
Mathematik am Computer 6. Vorlesung: Matlab, Teil I Helmut Harbrecht Universität Stuttgart 13. Januar 2011 Übersicht 1 Grundlegendes Matrizen Bedienung von Matlab 2 Matlab als Taschenrechner Operationen
MehrLektion 3. 1 Theorie. NTS1-P Natur, Technik und Systeme 1 Praktikum Herbstsemester 2012
NTS1-P Natur, Technik und Systeme 1 Praktikum Herbstsemester 2012 Dr Christoph Kirsch ZHAW Winterthur Lektion 3 In dieser Lektion werden Sie in MATLAB mit Vektoren und Matrizen rechnen 1 Theorie Wie Sie
MehrMarkus Grasmair. 8. März 2010
Computational Science Center, Universität Wien 8. März 2010 Übersicht 1 Einleitung 2 Rechnen Variablen Einfache Berechnungen Plots 3 Programmieren Allgemeines Mittelwert Varianz 4 Troubleshooting Einleitung
MehrMATLAB-Tutorium WS18 Nathalie Marion Frieß
MATLAB-Tutorium WS18 Nathalie Marion Frieß nathalie.friess@uni-graz.at Zugang UNI-IT Arbeitsplätzen lokal vorinstalliert Von zu Hause: Zugriff über Terminalserver Installation des Citrix Receiver Clients:
MehrMathematik am Computer 4. Vorlesung Matlab: Teil 1
4. Vorlesung Matlab: Teil 1 4. Dez. 2008 Übersicht 1 Grundlegendes Matrizen Bedienung von Matlab 2 Matlab als Taschenrechner Operationen auf Matrizen Operationen der Linearen Algebra 3 Matlab als Programmiersprache
MehrLineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 9. Aufgabe 9.1. Herbstsemester Dr. V. Gradinaru D. Devaud A.
Dr V Gradinaru D Devaud A Hiltebrand Herbstsemester 2014 Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 9 Aufgabe 91 91a) Sei A eine n n-matrix Das Gleichungssystem Ax
MehrMatlab - eine kurze Einführung
Matlab - eine kurze Einführung Helke Karen Hesse, Thomas Dunne helke.hesse@iwr.uni-heidelberg.de, thomas.dunne@iwr.uni-heidelberg.de 13.11.2006 1 / Gliederung Überblick Grundlegende Syntax Variablen Vektoren
MehrMatlab: eine kurze Einführung
Matlab: eine kurze Einführung Marcus J. Grote Christoph Kirsch Mathematisches Institut Universität Basel 4. April 2 In dieser Einführung zu Matlab sind die im Praktikum I erworbenen Kenntnisse zusammengefasst.
Mehr2 Matrizen und Vektoren
1 Hilfe in Matlab 1 Hilfe in Matlab 2 help Befehl Textorientierte Hilfe, die im Kommando-Fenster erscheint. doc Befehl Html-orienterte Hilfe, die in einem Web-Browser erscheint. Beispiel: help plot und
MehrEine kurze Einführung in MATLAB
Eine kurze Einführung in MATLAB 1 Grundleges Im Folgen wollen wir annehmen, dass wir bereits wissen wie wir MATLAB starten, d.h., unter LINUX eine Shell-Konsole öffnen ( > System > Konsole oder über Icon)
MehrMathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010
Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010 Lektion 9 20. Mai 2010 Kapitel 9. Matrizen und Determinanten Der Begriff der Matrix Die transponierte Matrix Definition 84. Unter einer (reellen) m n-matrix
MehrVektoren und Matrizen
Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Vektoren und Matrizen Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Vektoren (a) Einführung (b) Linearkombinationen (c) Länge eines Vektors (d) Skalarprodukt (e) Geraden
Mehr1 Matrizenrechnung zweiter Teil
MLAN1 1 Literatur: K. Nipp/D. Stoffer, Lineare Algebra, Eine Einführung für Ingenieure, VDF der ETHZ, 4. Auflage, 1998, oder neuer. 1 Matrizenrechnung zweiter Teil 1.1 Transponieren einer Matrix Wir betrachten
MehrMatrix. Unter einer (m n)-matrix (m, n N) über einem Körper K versteht man ein Rechteckschema. a m,1 a m,2 a m,n. A = (a i,j ) = Matrix 1-1
Matrix Unter einer (m n)-matrix (m, n N) über einem Körper K versteht man ein Rechteckschema a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A = (a i,j ) =.... a m,1 a m,2 a m,n Matrix 1-1 Matrix Unter einer (m n)-matrix
Mehra ij i - te Gleichung (Zeile), i = 1,2,3,..., m
I) MATRIZEN Der Start: Lineare Gleichungen y ax+ a2x2 + a3x3 y2 a2x+ a22x2 + a23x3... Koeffizienten a ij i - te Gleichung (Zeile), i,2,3,..., m j - te Variable (Spalte), j,2,3,..., n Definition m x n Matrix
MehrAnwendungssoftware III (MATLAB)
Anwendungssoftware III (MATLAB) III und Michael Liedlgruber Fachbereich Computerwissenschaften Universität Salzburg Sommersemester 2014 M. Liedlgruber Anwendungssoftware III (MATLAB) SS 2014 1 / 64 in
MehrInhalt. Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra. Vorlesung im Sommersemester Kurt Frischmuth. Rostock, April Juli 2015
Inhalt Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra Vorlesung im Sommersemester 5 Rostock, April Juli 5 Vektoren und Matrizen Abbildungen 3 Gleichungssysteme 4 Eigenwerte 5 Funktionen mehrerer Variabler
MehrLineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte
: und Eigenwerte 16. Dezember 2011 der Ordnung 2 I Im Folgenden: quadratische Matrizen Sei ( a b A = c d eine 2 2-Matrix. Die Determinante D(A (bzw. det(a oder Det(A von A ist gleich ad bc. Det(A = a b
MehrEinführung in MATLAB Blockkurs DLR:
Einführung in MATLAB Blockkurs DLR: 19.4-22.4.24 Tag 1, 2.Teil Vektoren und Matrizen 19.4.24 Dr. Gerd Rapin grapin@math.uni-goettingen.de Gerd Rapin Einführung in MATLAB p.1/2 Matrizen und Vektoren Erzeugen
MehrDipl.-Volksw. Markus Pullen Wintersemester 2012/13
Statistische Auswertungen mit R Universität Kassel, FB 07 Wirtschaftswissenschaften Dipl.-Volksw. Markus Pullen Wintersemester 2012/13 Beispiele 1. Sitzung Einstieg, Berechnungen und Funktionen, Zuweisungen
MehrErwin Grüner 10.11.2005
FB Psychologie Uni Marburg 10.11.2005 Themenübersicht in R Arithmetische Operator Wirkung + Addition - Subtraktion * Multiplikation / Division ˆ Exponentiation %/% Integerdivision %% Modulo Vergleichsoperatoren
MehrKapitel 2. Matrixalgebra. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 2 Matrixalgebra 1 / 49
Kapitel 2 Matrixalgebra Josef Leydold Mathematik für VW WS 207/8 2 Matrixalgebra / 49 Ein sehr einfaches Leontief-Modell Eine Stadt betreibt die Unternehmen ÖFFENTLICHER VERKEHR, ELEKTRIZITÄT und GAS.
MehrMatrixalgebra. Kapitel 2. Ein sehr einfaches Leontief-Modell. Matrix. Ein sehr einfaches Leontief-Modell. Vektor. Spezielle Matrizen I
Ein sehr einfaches Leontief-Modell Eine Stadt betreibt die Unternehmen ÖFFENTLICHER VERKEHR, ELEKTRIZITÄT und GAS Kapitel 2 Matrixalgebra Technologiematrix und wöchentliche Nachfrage (in Werteinheiten):
MehrEinführung in das rechnergestützte Arbeiten
Karlsruher Institut für Technologie WS / Institut für theoretische Festkörperphysik Dr. Andreas Poenicke und Dipl.-Phys. Patrick Mack.. http://comp.physik.uni-karlsruhe.de/lehre/era/ era@physik.uni-karlsruhe.de
MehrOctave/Matlab-Übungen
Aufgabe 1a Werten Sie die folgenden Ausdrücke mit Octave/Matlab aus: (i) 2 + 3(5 11) (ii) sin π 3 (iii) 2 2 + 3 2 (iv) cos 2e (v) ln π log 10 3,5 Aufgabe 1b Betrachten Sie (i) a = 0.59 + 10.06 + 4.06,
MehrEine kurze Einführung in Matlab
Eine kurze Einführung in Matlab Bärbel Janssen und Thomas Wick AG Numerik Universität Heidelberg Numerik 0 Matlab-Einführung 30. April 2010 1 Übersicht 1. Woche: Zuweisung von Werten an Variablen. Anlegen
MehrGrundlagen der Optimierung. Übung 1
Technische Universität Chemnitz Chemnitz, 9. Oktober 2012 Prof. Dr. R. Herzog, T. Etling, F. Schmidt Grundlagen der Optimierung Übung 1 Aufgabe 1: Einführung in Matlab Interpretieren Sie die Bildschirm-Ausgaben
MehrBesteht eine Matrix nur aus einer Spalte (Zeile), so spricht man auch von einem Spaltenvektor (Zeilenvektor)
Matrizenrechnung. Matrizen Matrizen sind bereits im Kapitel Lineare Gleichungssysteme aufgetreten. Unter einer (m n) -Matrix A verstehen wir ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten. Der.
MehrMatlab: eine kurze Einführung
Matlab: eine kurze Einführung Marcus J. Grote, Christoph Kirsch, Imbo Sim Department of Mathematics, University of Basel, INRIA 26. März 27 In dieser Einführung zu Matlab sind die im Praktikum I erworbenen
MehrKapitel 2. Matrixalgebra. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 2 Matrixalgebra 1 / 49
Kapitel 2 Matrixalgebra Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 2 Matrixalgebra 1 / 49 Ein sehr einfaches Leontief-Modell Eine Stadt betreibt die Unternehmen ÖFFENTLICHER VERKEHR, ELEKTRIZITÄT und GAS.
MehrLösungen Serie 2. D-MAVT Lineare Algebra II FS 2018 Prof. Dr. N. Hungerbühler 1 0 1? 0 1 1
D-MAVT Lineare Algebra II FS 8 Prof. Dr. N. Hungerbühler Lösungen Serie. Welche der folgenden Vektoren sind Eigenvektoren der Matrix? (a) (,, ). Ein Vektor v ist Eigenvektor von A :=, falls Av ein skalares
MehrMATRIZEN. Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen, als ein Schema betrachtet. a 11 a a 1n a 21. a a 2n A = a m1 a m2...
MATRIZEN Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen, als ein Schema betrachtet A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn A ist eine m n Matrix, dh: A hat m Zeilen und n Spalten A besitzt
MehrHerbstsemester ist es.
Dr V Gradinaru K Imeri Herbstsemester 8 Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 4 Aufgabe 4 Multiple Choice: Online abzugeben 4a) Gegeben seien: Dann gilt: (i)
Mehr3 Invertierbare Matrizen Die Inverse einer (2 2)-Matrix Eigenschaften invertierbarer Matrizen... 18
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik 2 Dr. Thomas Zehrt Vektoren und Matrizen Inhaltsverzeichnis Vektoren(Wiederholung bzw. Selbststudium 2. Linearkombinationen..............................
MehrMATLAB Einführung. Numerische Methoden für ITET und MATL Dr. S. May, D. Devaud. ETH Zürich, Seminar for Applied Mathematics
Numerische Methoden für ITET und MATL 2016 ETH Zürich, Seminar for Applied Mathematics Dr. S. May, D. Devaud Frame 2 MATLAB Auf ETH Computer vorinstalliert Auf Heim PC: von www.ides.ethz.ch herunterladen
MehrSchriftlicher Test (120 Minuten) VU Einführung ins Programmieren für TM. 23. Januar 2017
Familienname: Vorname: Matrikelnummer: Aufgabe 1 (3 Punkte): Aufgabe 2 (1 Punkt): Aufgabe 3 (2 Punkte): Aufgabe 4 (4 Punkte): Aufgabe 5 (2 Punkte): Aufgabe 6 (2 Punkte): Aufgabe 7 (4 Punkte): Aufgabe 8
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
R. Käppeli L. Herrmann W. Wu Herbstsemester 2016 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 6 Aufgabe 6.1 Berechnen Sie die Determinanten der beiden
MehrLineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 12. Aufgabe Herbstsemester Dr. V. Gradinaru D. Devaud.
Dr. V. Gradinaru D. Devaud Herbstsemester 15 Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 1 Aufgabe 1.1 1.1a) Sei A eine n n-matrix. Das Gleichungssystem Ax = b sei
MehrD-INFK Lineare Algebra HS 2018 Özlem Imamoglu Olga Sorkine-Hornung. Serie 11
D-INFK Lineare Algebra HS 2018 Özlem Imamoglu Olga Sorkine-Hornung Serie 11 1. In dieser Aufgabe wollen wir die Parameter einer gewissen Modellfunktion aus ein paar gemessenen Werten bestimmen. Das Modell
MehrMatrizen. Jörn Loviscach. Versionsstand: 14. April 2009, 00:25
Matrizen Jörn Loviscach Versionsstand: 14. April 2009, 00:25 1 Matrix Ein rechteckige Anordnung von mathematischen Objekten (typischerweise Zahlen) heißt Matrix (Mehrzahl: Matrizen) [matrix, matrices].
MehrLineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 10. Aufgabe ETH Zürich D-MATH. Herbstsemester Dr. V. Gradinaru D.
Dr. V. Gradinaru D. Devaud Herbstsemester 5 Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe..a Bezüglich des euklidischen Skalarprodukts in R ist die Orthogonalprojektion
Mehr2. Einführung in das Ingenieurtool MATLAB
2. Einführung in das Ingenieurtool MATLAB MATLAB ist eine numerische Berechnungsumgebung wurde vorrangig zum Rechnen mit Vektoren und Matrizen entworfen ist interaktiv benutzbar, vergleichbar mit einem
MehrProf. Dr. Stefan Funken, Dipl.-Ing. Christoph Erath 11. Mai WiMa-Praktikum (Matlab 1/9) Einführung in LATEXund Matlab
Prof. Dr. Stefan Funken, Dipl.-Ing. Christoph Erath 11. Mai 2009 WiMa-Praktikum (Matlab 1/9) Einführung in LATEXund Matlab Page 2 WiMa-Praktikum (Matlab 1/9) 11. Mai 2009 Funken / Erath Matlab 1/9 Warum
MehrMatrizen. Jörn Loviscach. Versionsstand: 12. April 2010, 19:00 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung.
Matrizen Jörn Loviscach Versionsstand: 12. April 2010, 19:00 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung. 1 Matrix Ein rechteckige Anordnung von mathematischen Objekten
MehrMatrizen. Jörn Loviscach
Matrizen Jörn Loviscach Versionsstand: 7. April 2010, 14:27 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung. Videos dazu: http://www.youtube.com/joernloviscach 1 Matrix Ein
MehrKapitel 6: Matrixrechnung (Kurzeinführung in die Lineare Algebra)
Kapitel 6: Matrixrechnung (Kurzeinführung in die Lineare Algebra) Matrix: (Plural: Matrizen) Vielfältige Anwendungen in der Physik: - Lösung von linearen Gleichungsystemen - Beschreibung von Drehungen
MehrLineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 11. Aufgabe ETH Zürich D-MATH. Dr. V. Gradinaru D. Devaud. Herbstsemester 2015
Dr. V. Gradinaru D. Devaud Herbstsemester 015 Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 11 Aufgabe 11.1 11.1a) Sei die QR-Zerlegung der m n Matrix A (m > n) gegeben
MehrWiMa-Praktikum 1. Woche 8
WiMa-Praktikum 1 Universität Ulm, Sommersemester 2017 Woche 8 Lernziele In diesem Praktikum sollen Sie üben und lernen: Besonderheiten der For-Schleife in Matlab Wiederholung des Umgangs mit Matrizen und
MehrSerie a) Welche der folgenden Vektoren sind Eigenvektoren der Matrix 1 0 1? 0 1 1
Prof. Norbert Hungerbühler Serie Lineare Algebra II ETH Zürich - D-MAVT. a Welche der folgenden Vektoren sind Eigenvektoren der Matrix? i (,,. ii (,,. iii (,,. iv (, 3,. v (,,. Ein Vektor v ist Eigenvektor
MehrMatrizen. a12 a1. a11. a1n a 21. a 2 j. a 22. a 2n. A = (a i j ) (m, n) = i te Zeile. a i 1. a i 2. a i n. a i j. a m1 a m 2 a m j a m n] j te Spalte
Mathematik I Matrizen In diesem Kapitel werden wir lernen was Matrizen sind und wie man mit Matrizen rechnet. Matrizen ermöglichen eine kompakte Darstellungsform vieler mathematischer Strukturen. Zum Darstellung
MehrLineare Algebra. 5. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching
Lineare Algebra. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching October 2, 207 Erinnerung Definition. Ein Skalarprodukt ist eine Abbildung, : E n E n E, v, w v, w = n k= v
MehrÖkonometrische Analyse
Institut für Statistik und Ökonometrie, Freie Universität Berlin Ökonometrische Analyse Dieter Nautz, Gunda-Alexandra Detmers Rechenregeln für Matrizen Notation und Matrixeigenschaften: Eine Matrix A der
MehrComputerorientiertes Problemlösen
1 / 30 Computerorientiertes Problemlösen 23. 27. September 2013 Dr. Robert Strehl WS 2013-2014 2 / 30 Überblick 1. Vorlesung integriertes Hilfesystem Variablen, Vektoren und Matrizen mathematische Operationen
MehrSerie 8: Online-Test
D-MAVT Lineare Algebra I HS 017 Prof Dr N Hungerbühler Serie 8: Online-Test Einsendeschluss: Freitag, der 4 November um 14:00 Uhr Diese Serie besteht nur aus Multiple-Choice-Aufgaben und wird nicht vorbesprochen
Mehr2. Dezember Lineare Algebra II. Christian Ebert & Fritz Hamm. Skalarprodukt, Norm, Metrik. Matrizen. Lineare Abbildungen
Algebra und Algebra 2. Dezember 2011 Übersicht Algebra und Algebra I Gruppen & Körper Vektorräume, Basis & Dimension Algebra Norm & Metrik Abbildung & Algebra I Eigenwerte, Eigenwertzerlegung Singulärwertzerlegung
MehrLR Zerlegung. Michael Sagraloff
LR Zerlegung Michael Sagraloff Beispiel eines linearen Gleichungssystems in der Ökonomie (Input-Output Analyse Wir nehmen an, dass es 3 Güter G, G, und G 3 gibt Dann entspricht der Eintrag a i,j der sogenannten
MehrMatrizen und Determinanten, Aufgaben
Matrizen und Determinanten, Aufgaben Inhaltsverzeichnis 1 Multiplikation von Matrizen 1 11 Lösungen 3 2 Determinanten 6 21 Lösungen 7 3 Inverse Matrix 8 31 Lösungen 9 4 Matrizengleichungen 11 41 Lösungen
Mehr1 Lineare Unabhängigkeit Äquivalente Definition Geometrische Interpretation Vektorräume und Basen 6
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik Dr. Thomas Zehrt Vektorräume und Rang einer Matrix Inhaltsverzeichnis Lineare Unabhängigkeit. Äquivalente Definition.............................
MehrVektorräume und Rang einer Matrix
Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Vektorräume und Rang einer Matrix Dr. Thomas Zehrt Inhalt:. Lineare Unabhängigkeit 2. Vektorräume und Basen 3. Basen von R n 4. Der Rang und Rangbestimmung
MehrMatrizen. Stefan Keppeler. 28. November Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen
Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen Matrizen 28. November 2007 Summe & Produkt Beispiel: Einwohnerzahlen Beispiel Addition Multiplikation Inverse Addition & Multiplikation Anwendung
MehrEinführung in. Pierre Bayerl
Einführung in Pierre Bayerl 19. November 21 Matlab Numerische Manipulation von Matrizen und Vektoren und deren Visualisierung. Verwendung: Interaktive Eingabe von Befehlen Skriptprogramme ( Batch-Dateien
MehrSchriftlicher Test (120 Minuten) VU Einführung ins Programmieren für TM. 25. Jänner 2016
Familienname: Vorname: Matrikelnummer: Aufgabe 1 (3 Punkte): Aufgabe 2 (4 Punkte): Aufgabe 3 (2 Punkte): Aufgabe 4 (2 Punkte): Aufgabe 5 (2 Punkte): Aufgabe 6 (1 Punkte): Aufgabe 7 (3 Punkte): Aufgabe
MehrIn den USA verwendet man statt dessen eckige Klammern, was sich in der Software niederschlägt (mit Ausnahmen wie Wolfram Alpha):
3 Matrizen Jörn Loviscach Versionsstand: 20. März 2012, 16:02 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung. Videos dazu: http://www.j3l7h.de/videos.html This work is licensed
Mehra 11 a 12 a 1(m 1) a 1m a n1 a n2 a n(m 1) a nm Matrizen Betrachten wir das nachfolgende Rechteckschema:
Matrizen Betrachten wir das nachfolgende Rechteckschema: a 12 a 1(m 1 a 1m a n1 a n2 a n(m 1 a nm Ein solches Schema nennt man (n m-matrix, da es aus n Zeilen und m Spalten besteht Jeder einzelne Eintrag
Mehr47 Singulärwertzerlegung
47 Singulärwertzerlegung 47.1 Motivation Wir haben gesehen, dass symmetrische Matrizen vollständig mithilfe ihrer Eigenwerte und Eigenvektoren beschrieben werden können. Diese Darstellung kann unmittelbar
MehrMathematik II Frühlingsemester 2015 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.3 Ergänzungen
Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kapitel 8: Lineare Algebra 83 Ergänzungen wwwmathethzch/education/bachelor/lectures/fs2015/other/mathematik2 biol Prof Dr Erich Walter Farkas http://wwwmathethzch/ farkas
MehrEinstieg in die Informatik mit Java
1 / 21 Einstieg in die Informatik mit Java Felder, eindimensional Gerd Bohlender Institut für Angewandte und Numerische Mathematik Gliederung 2 / 21 1 Überblick: Was sind Felder? 2 Vereinbarung von Feldern
MehrGrundsätzliches Rechnen mit Matrizen Anwendungen. Matrizenrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015
Matrizenrechnung Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Übersicht Grundsätzliches 1 Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen 2 Matrizenrechnung Determinanten
Mehr2 Die Algebra der Matrizen
Die Algebra der Matrizen Ein Hauptziel der Vorlesung zur Linearen Algebra besteht darin, Aussagen über die Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme zu machen Etwa ob das Gleichungssystem x y + z 1 x + y
MehrSerie 10: Inverse Matrix und Determinante
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr Ana Cannas Serie 0: Inverse Matrix und Determinante Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom und 5 November Gegeben sind die
MehrEinführung in Matlab
Einführung in Matlab Carsten Rezny Institut für angewandte Mathematik Universität Bonn 3. 6.4.2018 Matlab Matlab: Mathematiksoftware mit Schwerpunkten auf Numerik und linearer Algebra Dialogsystem Programmiersprache
MehrMATLAB Sommersemester 2018 Dr. Ulf Mäder
MATLAB Sommersemester 2018 Dr. Ulf Mäder Dr. Ulf Mäder - IMPS Folie 1 MATLAB - Befehle Allgemeine Form Zuweisungen Zwei Arten von Befehlen Anweisungen >> = Einfache Spezialform
Mehr8. Elemente der linearen Algebra 8.5 Quadratische Matrizen und Determinanten
Einheitsmatrix Die quadratische Einheitsmatrix I n M n,n ist definiert durch I n = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 (Auf der Hauptdiagonalen stehen Einsen, außerhalb Nullen Durch Ausmultiplizieren sieht man I n A = A
MehrInformationsverarbeitung im Bauwesen
V14 1 / 30 Informationsverarbeitung im Bauwesen Markus Uhlmann Institut für Hydromechanik WS 2009/2010 Bemerkung: Verweise auf zusätzliche Information zum Download erscheinen in dieser Farbe V14 2 / 30
MehrVortrag 20: Kurze Vektoren in Gittern
Seminar: Wie genau ist ungefähr Vortrag 20: Kurze Vektoren in Gittern Kerstin Bauer Sommerakademie Görlitz, 2007 Definition und Problembeschreibung Definition: Gitter Seien b 1,,b k Q n. Dann heißt die
MehrGrundsätzliches. Computermathematik. Was ist MATLAB? Verfügbarkeit. Toolboxen. Features. Einführung in MATLAB. Winfried Auzinger.
Computermathematik Einführung in MATLAB Winfried Auzinger Dirk Praetorius Grundsätzliches Starten, Beenden von MATLAB MATLAB Online-Hilfe m-files help Di. 13:15-14:45, FH HS 8 (Nöbauer Hörsaal) Institut
MehrMusterlösungen Blatt Mathematischer Vorkurs. Sommersemester Dr. O. Zobay. Matrizen
Musterlösungen Blatt 8 34007 Mathematischer Vorkurs Sommersemester 007 Dr O Zobay Matrizen Welche Matrixprodukte können mit den folgenden Matrizen gebildet werden? ( 4 5 A, B ( 0 9 7, C 8 0 5 4 Wir können
MehrEinstieg in die Informatik mit Java
1 / 26 Einstieg in die Informatik mit Java Felder Gerd Bohlender Institut für Angewandte und Numerische Mathematik Gliederung 2 / 26 1 Was sind Felder? 2 Vereinbarung von Feldern 3 Erzeugen von Feldern
MehrMATLAB Sommersemester 2018 Dr. Ulf Mäder
MATLAB Sommersemester 2018 Dr. Ulf Mäder Dr. Ulf Mäder - IMPS Folie 1 Organisatorisches Nächste Vorlesungen: 03.05. (17.05) (07.06.) Drei Bonuspunkte ab 80% im Testat Feedback Vorlesungsaufgaben (zum Knobeln,
Mehra ij i - te Gleichung (Zeile), i = 1, 2,3,..., m I) MATRIZEN Motivation: 1) Speichern geometrischer Daten: Punkte, Vektoren. 2) Lineare Gleichungen
I) MATRIZEN Motivation: 1) Speichern geometrischer Daten: Punkte, Vektoren. 2) Lineare Gleichungen y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x3 y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x3... Koeffizienten a ij i - te Gleichung
Mehr6. Vorlesung. Rechnen mit Matrizen.
6. Vorlesung. Rechnen mit Matrizen. In dieser Vorlesung betrachten wir lineare Gleichungs System. Wir betrachten lineare Gleichungs Systeme wieder von zwei Gesichtspunkten her: dem angewandten Gesichtspunkt
Mehrtäglich einmal Scilab!
Mathematik 1 - Übungsblatt 7 täglich einmal Scilab! Aufgabe 1 (Definitionsformel für Determinanten) Determinanten quadratischer Matrizen sind skalare Größen (=einfache Zahlen im Gegensatz zu vektoriellen
Mehr