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1 7 Aus dem Beispiel lässt sich ablesen (und auch beweisen, siehe Mathematikvorlesung): Folgerung: Drehmatrizen haben die Determinante. Folgerung: Drehmatrizen sind orthogonale Matrizen, das heißt D = D T. Folgerung: Folgerung: Die Einheitsvektoren des Koordinatensystems K sind die Zeilen der Drehmatrix D die K in K überführt. Die Einheitsvektoren des Koordinatensystems K sind die Spalten der Drehmatrix D die K in K überführt, (ˆ= die Zeilen der Drehmatrix D, die K in K überführt). Es gilt allgemein für eine Drehung D von K nach K : e e e e e e 3 D = e e e e e e 3 mit e i e j = D ij = cos ( e i, e j ) e 3 e e 3 e e 3 e 3 Insbesondere gilt dann: e i, e i sind Einheitsvektoren 3 Dki k= = (3 Bedingungen: i =,,3) e i bzw. e j orthogonal 3 k= Kompakt lassen sich diese sechs Bedingungen schreiben als: D ki D kj = (3 Bedingungen: (i,j) = (,),(,3),(,3)) D ki D kj = δ ij k= bzw. D ik D jk = δ ij k= Wegen dieser Bedingungen sind nur drei Elemente D ij einer beliebigen Drehmatrix im R 3 unabhängig (frei wählbar). Diese entsprechen anschaulich den Drehwinkeln.

2 7 (C) Spiegelung, Inversion, Drehspiegelung Diese Transformationen werden ebenfalls durch orthogonale Matrizen (s.o.) beschrieben, allerdings durch solche mit Determinante -. (a) Spiegelung an der x,x 3 -Ebene: S = S (b) Inversion (ˆ= Punktspiegelung): I = I DS = (c) Drehspiegelung: Drehung um x 3 -Achse und Spiegelung von x : } {{ } S cosα sinα sinα cosα } {{ } D = cosα sinα sinα cosα Bemerkung: Motivation zur Definition solcher Symmetrieoperatoren ist z.b. die Untersuchung von Molekülstrukturen bzw. deren physikalischen Eigenschaften.

3 Transformation von Vektoren Was bisher über orthogonale Transformationen gesagt wurde, lässt sich verallgemeinern: Sei u ein Vektor in einem 3-dim. Vektorraum V mit der Basis B = { v, v, v 3 }, dann gilt: u = u v +u v +u 3 v 3 = u j v j = (u, u, u 3 ) B j Bezüglich einer anderen Basis B = { v, v, v 3 } gilt die Darstellung: u = u v +u v +u 3 v 3 = i u i v i = (u, u, u 3) B Besteht nun zwischen den neuen und alten Basisvektoren der Zusammenhang (mit D ij = D ij ˆ= orthogonale Transformation): v i = j D ij v j so findet man: u = i u i v i = i u i ( ) D ij v j = j j }{{} v i ( ) D ij u i v j i }{{}! =u j Also: u j = i D ij u i u i = j D ij u j Transformation eines Vektors Die letzte Folgerung ergibt sich aus j D kj D ij u i = u k, dann umindizieren k i. D kj u j = i j }{{} δ ki

4 74 Sei B = { e, e, e 3 } = und B = { v, v, v 3 } =,,,, D = / / / / v v v 3 u e = D e = e 3 u u = D u = u 3 u 3 e e + e 3 e + e 3 u u + u 3 u + u 3 Sei u = e e +3 e 3 =. 3 B Dann folgt: u = B = + + = 3 Die Transformationsformel kann zurdefinition eines Vektors verwendet werden, das heißt ein Objekt ist genau dann ein Vektor, wenn seine Komponenten sich gemäß der Transformationsformel transformieren.

5 75 Bemerkung: Es gibt Vektoren, die der obigen Formel nicht für alle orthogonalen Transformationen genügen, siehe die Inversion I (s.o.): u u I u = u = u = u polare Vektoren u 3 u 3 Und es gilt: (I u) (I v) = ( u) ( v) = u v achsiale Vektoren das heißt, dass ein über das Vektorprodukt definierter Vektor seine Richtung bei Inversion (Punktspiegelung) nicht ändert. Physikalische Beispiele sind: Drehmoment M mit M = r F Drehimpuls L mit L = r p Winkelgeschwindigkeit ω mit v = ω r Dies sind achsiale Vektoren, die einen Drehsinn definieren. Der Drehsinn bleibt bei einer Inversion erhalten. Man spricht auch von Pseudovektoren. Bemerkung: Analog kann man zwei verschiedene Typen von Skalaren unterscheiden, nämlich solche, diebei einer Inversion unverändertbleiben (echte Skalare) bzw. ihr Vorzeichen ändern (Pseudoskalare). Ein Beispiel zu letzteren ist das Spatprodukt (s.o.) Transformation von Matrizen Analog zur Vektortransformation in ein neues Koordinatensystem ist die Transformation von Matrizen definiert: (A) il = j D jk D lk (A) jk k Transformation einer Matrix d.h. die Matrixelemente (A) jk transformieren sich bzgl. beider Indizes wie ein Vektor. Bemerkung: Die oben angegebene Transformation entspricht A = DAD T.

6 76 Die in 5.3. und 5.3. angegebenen Transformationen lassen sich auf Größen mit n Indizes verallgemeinern. Damit können dann allgemein Tensoren n-ter Stufe definiert werden (Bsp.: Levi-Civita-Symbol, s.o.). Für die Rotationsenergie eines starren Körpers in einem Koordinatensystem K gilt: E rot = I mn ω m ω n m= n= In einem relativ zu K gedrehten Koordinatensystem K gilt: E rot = k= I klω mω n! = E rot l= weil die Rotationsenergie in beiden Koordinatensystemen gleich sein muss. Unter Verwendung der Transformationsformeln aus 5.3. und 5.3. gilt hier: ω k = D ki ω i ; ω l = i= D lj ω j ; I kl = D km D ln I mn j= m= n= Damit hat man: E rot = = I klω mω n k= l= ( k= l= m= n=d km D ln I mn)( i= D ki ω i)( j= D lj ω j ) Beachtet man die Eigenschaften der Drehung: D km D ki = δ mi und k= D ln D lj = δ nj l= so folgt: E rot = m= n= ( i= ) I mn ω i ω j δ mi δ nj = j= m= n= I mn ω m ω n = E rot und damit die geforderte Gleichheit der Rotationsenergie in beiden Koordinatensystemen.

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