Vorkurs Mathematik. Vektoren, lineare Gleichungssysteme und Matrizen

Transkript

1 Dorfmeister, Boiger, Langwallner, Pfister, Schmid, Wurtz Vorkurs Mathematik TU München WS / Blatt Vektoren, lineare Gleichungssysteme und Matrizen. In einem kartesischen Koordinatensystem des R sei eine Gerade gegeben, die durch die Punkte x = (x, x und y = (y, y geht. (a Skizzieren Sie die Gerade und beschreibe die Gerade in Parameter und Normalenform. (b Wechseln Sie nun in ein kartesisches Koordinatensystem des R, skizziere und beschreibe analog die Gerade, die durch die Punkte x = (x, x, und ŷ = (y, y, geht. (c überlegen Sie sich, wie man Geraden und Ebenen im R in Parameter- bzw. Normalenform darstellen und umformen kann. Probiere das aus für die Ebene die z.b. durch die Punkte p = (, 4,, q = ( 4, 5, und r = (6,, geht.. Gegeben seien die vier Vektoren x =, x =, x =, x 4 = (a Entscheiden Sie für die folgenden Mengen jeweils, ob sie linear abhängig sind: i. {x, x, x } ii. {x, x, x 4 } iii. {x, x, x, x 4 } iv. {x, x, x 4 } v. {x + x, x 4 } (b Für welche der Mengen aus Aufgabe (a kann man y = (,, 5 T als Linearkombination schreiben? Wann ist diese Darstellung eindeutig? (c Sei E R die Ebene durch die Punkte x, x, x 4. Bestimmen Sie die Parameterform und die Normalform von E. Welchen Abstand hat der Punkt P = (5, 5, 5 T von E? (d Sei E R die Ebene durch die Punkte x, x +x 4, x. Bestimmen Sie den Durchschnitt E E in Parameterdarstellung. Liegt der Punkt P = (7,, T in E E?. Sei G die Gerade durch den Punkt (,, T mit Richtungsvektor r = (,, T. Sei G die Gerade durch (,, T mit Richtungsvektor r = (,, T. Bestimmen Sie diejenigen Punkte y G und y G, für die der Abstand d(y, y minimal ist. (Tip: Das Vektorprodukt r r ist nützlich 4. Bestimmen Sie die Schnittmenge von jeweils zwei der drei Geraden: G : x = (,, T + λ (,, T G : x = (,, 4 T + σ (, 5, T G : x = (,, T + ρ (4,, T 5. Bestimmen Sie die Schnittmenge der zwei Ebenen: E : x = (,, T + λ (,, T + σ (,, T E : 5 = 6x + x + 4x

2 6. Gegeben seien die Gerade G und die Ebene E : G : x = (,, T + λ ( 4,, T E : = x x + x (a Geben Sie die Normalengleichung der Ebene E an, die durch G verläuft und auf der x x -Ebene senkrecht steht. (b Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von E und E. (c Zeigen Sie, dass G parallel zu E ist. (d Geben Sie die Gleichung der Geraden h an, die durch Spiegelung von G an E entsteht. 7. Die Gerade g : x = 6 + λ ; λ R sowie der Punkt S = (,, liegen in der Ebene E. E schneidet die x -Achse in S und die x -Achse in S. (a Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E. (b Zeichnen Sie eine Skizze der Geraden g und des Dreiecks S S S. (c Eine Kugel hat ihren Mittelpunkt im Ursprung und berührt E. Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Kugel. Die Gerade g schneidet die Strecke S S im Punkt P. In welchem Verhältnis teilt P diese Strecke? Diskutieren Sie die folgenden 4 Aufgaben mit Ihrem Nachbarn: 8. Die Metrik d(x, y := x y bezeichne den Abstand zwischen den Punkten x und y im R bzw. R. d(x, G := inf{(d(x, y; y G} bezeichne den minimalen Abstand des Punktes x zur Geraden G und entsprechend d(x, E := inf{(d(x, y; y E} den minimalen Abstand zur Ebenen E. Seien G, G R zwei nichtparallele Geraden. Begründen Sie, warum die Menge { x R d(x, G = d(x, G } aus den Winkelhalbierenden von G und G besteht. (Tip: Zeichnen Sie eine Skizze 9. Folgern Sie aus der letzten Aufgabe: Sind G, G R zwei nichtparallele Geraden mit Normalenvektoren n bzw. n jeweils der Länge x = y =, so sind Normalenvektoren der Winkelhalbierenden durch n n und n + n gegeben.. Zeigen Sie unter Verwendung von Vektorrechnung: Ein Parallelogramm ist ein Rechteck genau dann, wenn seine beiden Diagonalen gleich lang sind.. Zeigen Sie unter Verwendung von Vektorrechnung: Die Seiten eines Parallelogramms sind gleich lang, genau dann, wenn seine beiden Diagonalen zueinander orthogonal sind.

3 Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Norm Seien x, y R mit x = (x, x, x T bzw. y = (y, y, y T. (a Das Skalarprodukt < x, y > wird definiert durch: < x x, y y > = x i y i = x y + x y + x y x y i= (b Das Kreuzprodukt x y liefert einen Vektor, der senkrecht zu x und y ist und dessen Länge gleich dem Flächeninhalt des Parallelogramms ist, das von x und y aufgespannt wird. Es gilt: x x x y y y = x y x y x y x y x y x y (c Die Norm x eines Vektors x gibt den Betrag seiner Länge an. Es gilt: x = < x, x > = (x + (x + (x. Es seien die Vektoren v,..., v 8 R gegeben durch: v = v 5 = ( ( ( v = ( 8 v 6 = ( 5 v = ( v 7 = ( v 4 = 4 ( v 8 = (a Berechnen Sie das Skalarprodukt von den folgenden Vektoren: (i {v, v } (iii {v 5, v 6 } (ii {v, v 4 } (iv {v 7, v 8 } (b Welche der Vektoren v,..., v 8 sind senkrecht zueinander? (c Berechnen Sie die Winkel zwischen den Vektoren aus Teilaufgabe (a. (d Berechnen Sie von v,..., v 4 jeweils die Norm und normiere die Vektoren anschließend.. Es seien die Vektoren v,..., v 8 R gegeben durch: v = v 5 = v = v 6 = 8 7 v = 5 v 7 = v 4 = 4 6 v 8 = (a Berechnen Sie das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt von den folgenden Vektoren: (i {v, v } (iii {v 5, v 6 } (ii {v, v 4 } (iv {v 7, v 8 } (b Welche der Vektoren v,..., v 8 sind senkrecht zueinander? (c Berechnen Sie die Winkel zwischen den Vektoren aus Teilaufgabe (a. (d Berechnen Sie von v,..., v 4 jeweils die Norm und normiere die Vektoren anschließend.

4 Gleichungssysteme und Matrizen 4. Lösen Sie folgendes Gleichungssystem durch Elimination der Variablen: 5. Lösen Sie folgendes Gleichungssystem: x + y = x + y = a b c 9d = a + b 5c + d = 6. Gegeben sei die folgende Koeffizientenmatrix: a + 5b + 8c + d = 4a b + 5c d = 4 b a b b a und es seien x, y R mit x = (x, x, x T und y = (,, T. (a Berechnen Sie eine Parameterdarstellung der Lösungsmenge von Ax=y für a= und b=. (b Berechnen Sie die Lösungsmenge von Ax=y für a=, b=. (c Berechnen Sie die Lösungsmenge von Ax=y für a=, b=. 7. Es sei folgende Matrix gegeben: 4 (a Berechnen Sie die Lösung von Ax=b mit b = (,,, T. (b Berechnen Sie die Lösung von Ax=b mit b = (,,, T. 8. Es sei folgende Matrix gegeben: ( 4 (a Berechnen Sie die Lösung von Ax=b mit b = (, T. (b Berechnen Sie die Lösung von Ax=b mit b = (, T. 9. Ein Vater ist a Jahre älter als sein Sohn. In b Jahren wird er c Jahre älter als d-mal so alt sein wie sein Sohn. Wie alt sind Vater und Sohn gegenwärtig? Führen alle Parameterwerte a, b, c, d zu einer Lösung, und ist diese dann eine sinnvolle Lösung?. Der Chinese Xu Yue stellt gegen 9 n. Chr. das folgende Problem: Wieviele Hähne, Hennen und Kücken kann man für Münzen kaufen, wenn man insgesamt Tiere haben will und ein Hahn 5 Münzen, eine Henne 4 Münzen und 4 Kücken eine Münze kosten? Die Münzen sollen hierbei vollständig verbraucht werden. 4

5 Matrizenmultiplikation Zwei Matrizen werden miteinander multipliziert, indem man jeweils das Skalarprodukt von einem Zeilenvektor der linken Matrix mit einem Spaltenvektor der rechten Matrix bildet. Bei Matrizen sieht dieses folgendermaßen aus: ( ( a a b b = a a b b ( a b + a b a b + a b a b + a b a b + a b Zu beachten ist, dass die Matrizenmultiplikation in den meisten Fällen nicht kommutativ ist, d.h. AB = BA gilt meistens nicht.. Bilden Sie das Produkt der folgenden zwei Matrizen: ( ( 4. Bilden Sie das Produkt der folgenden zwei Matrizen: 4. Bilden Sie das Produkt der folgenden zwei Matrizen: ( Was gilt für das Produkt einer m n Matrix mit einer n o Matrix? 4. Zeigen Sie, dass im Allgemeinen AB BA gilt. 5. Es seien A, B R. Welche Beziehungen müssen die Koeffizienten von A und B erfüllen, damit AB = BA gilt? Sind diese Beziehungen für die folgenden beiden Matrizen erfüllt? ( 4 ( 4, 6. Es bezeichnet I n die n n Einheitsmatrix. Bei dieser sind alle Einträge, ausgenommen die der Hauptdiagonalen, Null. Alle Einträge der Hauptdiagonalen sind gleich. Im R hat diese folgende Gestalt: I = Es seien die Matrizen A und B gegeben mit: ( 4 ( ( a b, B = c d Finden Sie eine Matrix, die mit A bzw. B multipliziert die Einheitsmatrix ergibt. 5