Lösungen zum Arbeitsblatt: y = mx + b Alles klar???

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1 I. Zeichnen von Funktionen a) Wertetabelle x y =,5x -10-7,5-5 -,5 0,5 5 7,5 10 y = - x,7 1,3 0,7 0-0,7-1,3 - -,7 3 y = x 1,5-9,5-7,5-5,5-3,5-1,5 0,5,5 4,5 6,5 y = - 1 x + 4 3,5 3,5 1,5 1 0,5 0 y = y = b) Schaubild mit Steigungsdreieck und y Achsenabschnitt y Funktion b 1/ x

2 c) m > 1 steil steigende Gerade 0 < m < 1 flach steigende Gerade m = 0 Parallele zur x Achse -1 < m < 0 flach fallende Gerade m < -1 steil fallende Gerade b > 0 Gerade nach oben verschoben, d.h. der y Achsenabschnitt liegt oberhalb der x Achse b < 0 Gerade nach unten verschoben, d.h. der y Achsenabschnitt liegt unterhalb der x - Achse

3 II. Ablesen der Funktionsgleichungen a) m = y x b) m = y x c) m = y x d) m = y x m = 1 1 m = 3 m = 1 m = 1 4 b = 5 b = -3 b = -4 b = y = -x + 5 y = 3 x 3 y = -x 4 y = 1 4 x + e) m = y x f) m = y x m = 5 m = 3 b kann nicht abgelesen werden, b = -6 deshalb brauchen wir die Koordinaten eines Punktes, wie z.b. P (6 -) y = 3 x 6 y = mx + b = b = 15 + b -15 b = 17 y = 5 x 17

4 III. Punktprobe - x Koordinate des Punktes in die Funktionsgleichung einsetzen und die zugehörige y Koordinate berechnen - stimmt die berechnete y Koordinate mit der des Punktes überein liegt der Punkt auf der Geraden A( 6) y = 3x B(-1, -3,6) y = 3x y = 3 y = 3 (-1,) y = 6 w y = -3,6 w A(-1 -) y = -x B(3-6) y = -x y = - (-1) y = - 3 y = f y = -6 w A(3, 4,8) y = 3 x B(-5-7,5) y = 3 x y = 3 3, y = 3 (-5) y = -4,8 f y = 7,5 f A(-4,5 3) y = 3 x B(6,5-4) y = 3 x y = 3 (-4,5) y = 3 6,5 y = 3 w y = f

5 IV. Zeichnerische und rechnerische Herleitung der Funktionsgleichung a) Zeichnerische Herleitung y x - Punkt A 1 einzeichnen - Punkt A einzeichnen - von Punkt A 1 das Steigungsdreieck einzeichnen - Steigungsdreieck - den y-achsenabschnitt b = 3 ablesen - b = -,5 ablesen - Steigung m und y-achsenabschnitt in die - m und b einsetzen allgemeine Funktionsgleichung einsetzen y = -x + 3 y = 5 x,5 - Punkt A 3 einzeichnen - Punkt A 4 einzeichnen - b = 7 einzeichnen - b = -4 einzeichnen - Punkte zur Geraden verbinden - Punkte verbinden - Steigungsdreieck einzeichnen und Steigung ablesen - Steigungsdreieck - Steigung m und y-achsenabschnitt in die - m und b einsetzen allgemeine Funktionsgleichung einsetzen y = -x + 7 y = - 7 x 4

6 a) Herleitung durch Berechnung + - Steigung m und Punkt A(x y) in die allgemeine Funktionsgleichung y = mx + b einsetzen und Gleichung nach b umformen - anschließend m und b in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen y = mx + b y = mx + b 1 = -1 + b 5 =,5 3 + b 1 = - + b + 5 = 7,5 + b -7,5 b = 3 b = -,5 y = -x + 3 y =,5x,5 Punktprobe mit Punkt B B(5 -) y = -x + 3 B(- -7) y =,5x,5 y = y =,5 (-),5 y = - w y = -7,5 f + - y Achsenabschnitt b und Punkt A(x y) in die allgemeine Funktionsgleichung y = mx + b einsetzen und Gleichung nach m umformen - anschließend m und b in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen y = mx + b y = mx + b -3 = m = m = 5m :5 7 = m : m = - m = y = -x + 7 y = 7 x 4 7 Punktprobe mit Punkt B B(-1 9) y = -x + 7 B(1-1) y = x 4 7 y = - (-1) + 7 y = 1 4 y = 9 w y = -0,5 f 7

7 b) Herleitung der Funktionsgleichung durch Berechnung + - Steigung m und Punkt A(x y) in die allgemeine Funktionsgleichung y = mx + b einsetzen und Gleichung nach b umformen - anschließend m und b in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen y = mx + b y = mx + b 0 = -0,8 3 + b -5 = 0,5 4 + b 0 = -,4 + b +,4-5 = 1 + b -1 b =,4 b = -6 y = -0,8x +,4 y = 0,5x 6 Berechnung der fehlenden Koordinate von Punkt B - gegebene Koordinate in die Funktionsgleichung einsetzen und fehlende Koordinate berechnen B(- y B ) y = -0,8x +,4 B(x B -6,5) y = 0,5x 6 y = -0,8 (-) +,4-6,5 = 0,5x 6 +6 y = 4-0,5 = 0,5x :0,5 B(- 4) x = - B(- -6,5) + - y - Achsenabschnitt b und Punkt A(x y) in die allgemeine Funktionsgleichung y = mx + b einsetzen und Gleichung nach b umformen - anschließend m und b in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen y = mx + b y = mx + b,5 = m = m ,5 = 6m :6-3 = 3m m = -0,5 (= - 1 ) = 3m :3 4 m = 3 y = x + 4 y = 3 x 5 3 Berechnung der fehlenden Koordinate von Punkt B - gegebene Koordinate in die Funktionsgleichung einsetzen und fehlende Koordinate berechnen B(x B 8) y = x + 4 B(7 y B) y = 3 x = - 1 x y = = -x y = 3 16 = -x ( 1) B(7 3) x = -16 B(-16 8)

8 V. Nullstellen Berechnung der Nullstellen - die y Koordinate am Schnittpunkt mit der x Achse immer 0 (daher der Name Nullstelle) - y Koordinate der Nullstelle (also 0) in die Funktionsgleichung einsetzen und die zugehörige x Koordinate berechnen y = 3x - 9 y = - 3 x = 3x = - 3 x = 3x :3 0 = - 3x x = 3-1 = - 3x :(-3) N(3 0) x = 4 N(4 0) y = x 3,5 0 = - 1 x 3, = -x 4,5 +x x = -4,5 N(-4,5 0) - die Funktionsgleichung muss zuerst in die Form y = mx + b umgeformt werden, bevor die Nullstelle berechnet werden kann 3x + 6 y 1,5 = 0-6y 7 5y = - 1 x y = 3x 1,5 = 6y : y = - x x 0,5 10y = - x - 14 :(-10) 0 = x 0,5 y = - 1 x 1, = x 0,5 +0,5 0 = - 1 x 1, x = 0,5 :3 0 = - x x N(0,5 0) x = -14 N(-14 0)

9 Bestimmen der Nullstellen durch Zeichnung - Schaubild der Geraden mit Hilfe des y Achsenabschnitts und Steigungsdreiecks zeichnen und die Koordinaten des Schnittpunkts mit der x Achse ablesen - evtl. die Funktionsgleichung zuerst in die allgemeine Form y = mx + b umformen ( + ) y Gerade4 x Gerade5 Gerade3 N 1 (3 0) N (4 0) zeichnerisch kaum zu ermitteln, da das Koordinatensystem sehr groß sein müsste (genaue Ermittlung nur durch Berechnung möglich) N 4 (0,5 0) zeichnerisch kaum zu ermitteln, da das Koordinatensystem sehr groß sein müsste (genaue Ermittlung nur durch Berechnung möglich)

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