Die Jensensche Ungleichung

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1 Die Jesesche Ugleichug Has-Gert Gräbe, Uiv Leipzig Februar Kovexe ud kokave Fuktioe Wir betrachte eie stetige Fuktio y = (x), die au eiem oee Itervall ]a, b[ deiiert sei möge Eie solche Fuktio köe wir i eiem x-y-koordiatesystem zeiche, wobei ma die Mege Γ := {(x, (x)) : x ]a, b[} als de Graphe vo bezeichet Wir ee eie solche Fuktio kovex oder ach ute gekrümmt, we jede Sekate, die zwei Fuktioswerte au dem Graphe vo verbidet, vollstädig oberhalb Γ verläut Wir ee eie solche Fuktio kokav oder ach obe gekrümmt, we jede Sekate, die zwei Fuktioswerte au dem Graphe vo verbidet, vollstädig uterhalb Γ verläut Beispiele ür derartige Fuktioe, dere Graph aus dem Schuluterricht gut bekat ist 1 (x) = log(x) Die Logarithmusuktio (zu eier Basis b > 1) ist i ihrem gesamte Deiitiosbereich x > 0 ach obe gekrümmt, also kokav (x) = x k Die Potezuktio (mit k > 1) ist ür x 0 ach ute gekrümmt, also kovex (x) = 1 x Diese Fuktio ist ür x > 0 ach ute gekrümmt, also kovex 4 (x) = si(x) Die Siusuktio ist im Bereich [0, π] ach obe gekrümmt, also kokav, im Bereich [π, π] dagege ach ute gekrümmt, also kovex 5 (x) = ta(x) Die Tagesuktio ist im Bereich ] π, 0] kokav ud im Bereich [0, π [ kovex Für geüged gute Fuktioe, dere Graph us icht so geläuig ist wie die Graphe der bisher augeührte Fuktioe, ka ma das Krümmugsverhalte auch mit Mittel der Dieretialrechug bestimme Oesichtlich tree die Wedepukte der Fuktio die Bereiche uterschiedliche Krümmugsverhaltes voeiader Ist eie Fuktio (glatt ud) This material belogs to the Public Domai KoSemNet data base It ca be reely used, distributed ad modiied, i properly attributed Details are regulated by the Creative Commos Attributio Licese, see For the KoSemNet project see 1

2 ach obe gekrümmt ud lege wir die Tagete a verschiedee Pukte des Graphe vo, so sehe wir, dass der Astieg dieser Tagete, also der Wert vo (x), ür wachsedes x immer kleier wird muss also eie mooto allede Fuktio sei Eie mooto allede Fuktio erkee wir aber dara, dass dere Ableitug, also hier (x), kleier als 0 ist Ählich verhält es sich mit kovexe Fuktioe Satz 1 Eie (geüged ot stetig dierezierbare) Fuktio ist geau da i eiem Itervall ]a, b[ kovex (kokav), we dort ihre erste Ableitug mooto wächst (ällt) Das gilt geau da, we ihre zweite Ableitug (x) im gesamte Itervall 0 ( 0) ist Beispiel: Betrachte wir die Fuktio (x) = si(x) + ta(x) im Itervall [0, π [ Als Summe eier ach obe gekrümmte ud eier ach ute gekrümmte Fuktio ist das Krümmugsverhalte icht au de erste Blick zu erkee Allerdigs gilt (x) = si(x) + ta(x) + ta(x) 0, da bekatlich si(x) ta(x) ist Die Fuktio ist also kovex Die Jesesche Ugleichug Sei y = (x) eie im Itervall ]a, b[ (streg) kovexe Fuktio, x 1, x ]a, b[ ud y 1 = (x 1 ), y = (x ) die zugehörige Fuktioswerte Da verläut die Sekate vo P 1 = (x 1, y 1 ) ach P = (x, y ) vollkomme oberhalb des Graphe vo Isbesodere liegt der Mittelpukt S = ( x 1+x, y 1+y ) der Sekate P 1 P oberhalb des Fuktioswerts ( x 1+x ) a der Stelle x 1+x Mithi gilt ür eie kovexe Fuktio stets ud aalog ür eie kokave Fuktio ( x 1 + x ) (x 1) + (x ) ( x 1 + x ) (x 1) + (x ) Mehr och, Gleichheit gilt i beide Fälle ur da, we die Sekate etartet, also ür x 1 = x Diese recht eiache Überleguge ührte zu zwei Ugleichuge, die i viele Aweduge ei wichtiges Hilsmittel sei köe Bevor wir im ächste Pukt derartige Aweduge betrachte, wolle wir diese Überleguge och verallgemeier Betrachte wir dazu verschiedee Argumete x 1, x,, x aus dem gegebee Itervall, dere Fuktioswerte y i = (x i ), i = 1,, ud die zugehörige Pukte P i = (x i, y i ) au dem Graphe der Fuktio Diese Pukte spae ei -Eck au, desse Schwerpukt S bekatlich die Koordiate ( x1 + x + + x S =, y ) 1 + y + + y hat Ist wiederum eie kovexe Fuktio, da liegt zusamme mit jeder der Sekate, die zwei der Pukte verbide, auch das gesamte -Eck oberhalb des Graphe vo Isbesodere liegt der Schwerpukt S oberhalb des Puktes au dem Graphe mit derselbe Abszisse Es gilt also

3 Satz (Jesesche Ugleichug) Ist eie im Itervall ]a, b[ kovexe Fuktio ud x 1,, x aus diesem Itervall, so gilt die Ugleichug x1 + x + + x (x 1) + (x ) + + (x ) Aalog gilt ür eie kokave Fuktio die Ugleichug x1 + x + + x (x 1) + (x ) + + (x ) Gleichheit gilt (ür streg kovexes bzw kokaves ) wiederum ur da, we alle Argumete x i übereistimme Aweduge Als erste Awedug wolle wir zeige, dass i jedem Dreieck ür die Iewikel si(α) + si(β) + si(γ) gilt Diese Ugleichug ergibt sich als eie eiache Folgerug aus der Jesesche Ugleichug, de si(x) ist im Itervall [0, π] kokav Also gilt si(α) + si(β) + si(γ) α + β + γ si = si(60 0 ) = Gleichheit gilt bei dieser Ugleichug ur ür das gleichseitige Dreieck Augabe 1 Zeige Sie, dass i eiem Dreieck ür die Iewikel stets gilt ta ( α ) + ta ( β ) + ta ( γ ) 1 I eiem Dreieck gilt ür die Iewikel stets auch si( α ) si(β ) si(γ ) 1 8 Hier betrachte wir die Fuktio (x) = log(si(x)) im Itervall ]0, π ] Aus der zweite Ableitug (x) = 1 (oder durch geauere Aalyse des Graphe) erkee wir, dass si(x) diese Fuktio im gaze Deiitiosbereich kokav ist, dh dass log(si( α )) + log(si(β )) + log(si(γ )) log(si(00 )) = log( ) gilt, woraus die Behauptug umittelbar olgt (de log(x) ist ja eie mootoe wachsede Fuktio)

4 Aus der Jesesche Ugleichug lasse sich auch viele adere wohlbekate Ugleichuge herleite Betrache wir zb die Fuktio (x) = log(x), die ja im gaze Deiitiosbereich x > 0 kokav ist, so ergibt sich ach de Logarithmegesetze x1 + x + + x log log(x 1) + log(x ) + + log(x ) = log( x 1 x x ), also die Ugleichug vom arithmetisch-geometrische Mittel Augabe Leite Sie uter Verwedug der Potezuktio als die Ugleichug vom quadratische Mittel ud vom harmoische Mittel her Auch kompliziertere Ugleichuge lasse sich au die Jesesche zurückühre Die Augabe 0614 der 6 Mathematikolympiade lautete etwa a 1,, a seie positive reelle Zahle ud s = i=1 a i dere Summe Beweise Sie die Ugleichug Σ := i=1 a i s a i Augabe Zeige Sie die Ugleichug ür =, dh 1 a 1 a + a + a a + a + a a 1 + a, ohe die Jesesche Ugleichug zu verwede Für de Beweis der Ugleichug ür eie beliebige atürliche Zahl betrachte wir die Fuktio (x) = x s x im Itervall 0 < x < s Da dere zweite Ableitug (x) = s überall (s x) positiv, also kovex ist, erhalte wir a1 + a + + a ( s = ) (x 1) + (x ) + + (x ) = Σ Daraus ergibt sich die Behauptug umittelbar 4 Eie weitere Verallgemeierug Betrachte wir och eimal das vo de Pukte P i = (x i, y i ) augespate -Eck Zum Beweis der Jesesche Ugleichug habe wir eizig die Tatsache verwedet, dass der Schwerpukt S ür eie kovexe Fuktio oberhalb des Graphe vo liegt Das ist aber ür jede Pukt aus dem Iere des -Ecks richtig Die x-y-koordiate eies solche Puktes ka ma aus seie baryzetrische Koordiate bzgl P 1,, P bestimme Dazu versehe wir die Eckpukte mit ichtegative Gewichte w 1,, w, die i der Summe gerade 1 ergebe Der Pukt P mit de Koordiate P = w 1 P w P = (w 1 x w x, w 1 y w y ) ist da ei Pukt im Iere des -Ecks ud liegt somit oberhalb des Pukts au dem Graphe vo mit derselbe Abszisse Wir erhalte als Verallgemeierug der obe bewiesee Ugleichug de olgede 4

5 Satz (Gewichtete Jesesche Ugleichug) Ist eie im Itervall ]a, b[ kovexe Fuktio, x 1,, x aus diesem Itervall ud w 1,, w ichtegative Gewichte mit w w = 1, so gilt die Ugleichug (w 1 x 1 + w x + + w x ) w 1 (x 1 ) + w (x ) + + w (x ) Aalog gilt ür eie kokave Fuktio die Ugleichug (w 1 x 1 + w x + + w x ) w 1 (x 1 ) + w (x ) + + w (x ) Gleichheit gilt (ür streg kovexes bzw kokaves ) wiederum ur da, we alle Argumete x i, dere Gewicht w i positiv ist, übereistimme 5