KAPITEL 11. Ungleichungen. g(x) g(x 0 ) + K 0 (x x 0 ).

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1 KAPITEL 11 Ugleichuge 111 Jese-Ugleichug Defiitio 1111 Eie Fuktio g : R R heißt kovex, we ma für jedes x R ei K = K (x ) R fide ka, so dass für alle x R gilt: g(x) g(x ) + K (x x ) Bemerkug 111 Eie Fuktio g(x) ist also geau da kovex, we der Graph vo g die folgede Eigeschaft besitzt: zu jedem x köe wir eie Gerade fide, die durch de Pukt (x, f(x )) geht ud die Eigeschaft hat, dass der Graph vo g komplett oberhalb dieser Gerade liegt Die Zahl K heißt das Subdifferetial vo g a der Stelle x ud ist icht immer eideutig bestimmt Falls g differezierbar ist, da ka K durch K = g (x ) festgelegt werde Satz 1113 (Jese-Ugleichug) Sei g eie kovexe Fuktio ud X eie Zufallsvariable mit X L 1, g(x) L 1 Da gilt: (1111) g(ex) E[g(X)] Beispiel 1114 Wir betrachte eie Zufallsvariable X, die Werte x 1, x,, x mit eier Wahrscheilichkeit vo jeweils 1/ aimmt Der Erwartugswert ist da das arithmetische Mittel der x i, also EX = x x Da besagt die Jese-Ugleichug für diese Spezialfall, dass für jede kovexe Fuktio g gilt ( ) x1 + + x g g(x 1) + + g(x ) Beweis vo Satz 1113 Wir setze i die Defiitio der Kovexität x = EX, x = X ei Da existiert laut Defiitio ei K R mit der Eigeschaft, dass Nu bilde wir de Erwartugswert: g(x) g(ex) + K (X EX) E[g(X)] E[g(EX)] + K E[X EX] = g(ex) + K (EX EX) = g(ex) 1

2 11 Ljapuow-Ugleichug Ei Spezialfall der Jese-Ugleichug ist die Ljapuow-Ugleichug Satz 111 (Ljapuow-Ugleichug) Seie < s < t ud sei X eie Zufallsvariable Da gilt (E[ X s ] s ( E[ X t ] t Defiitio 11 Sei p Die L p -Norm eier Zufallsvariable X ist defiiert durch X p = (E[ X p ]/p Bemerkug 113 Mit dieser Notatio besagt die Ljapuow-Ugleichug, dass X s X t, < s < t Beispiel 114 Wir betrachte eie Zufallsvariable X, die Werte x 1, x,, x > mit Wahrscheilichkeit vo jeweils 1/ aimmt Da besagt die Ljapuow-Ugleichug, dass ( x s x s s ( ) x t x t 1 t, < s < t Dies ist die klassische Ugleichug der verallgemeierte Mittel Setze wir u s = 1 ud t =, so erhalte wir die Ugleichug zwische dem arithmetischem ud dem uadratischem Mittel: x x x x Beispiel 115 Wir betrachte de Wahrscheilichkeitsraum [, 1] mit der Borel-σ-Algebra ud dem Lebesgue-Maß Sei f : [, 1] R eie messbare Fuktio Da besagt die Ugleichug vo Ljapuow, dass f(z) s s dz f(z) t t dz, < s < t Beweis vo Satz 111 Wir führe de Beweis mit Hilfe der Jese-Ugleichug Sei g(y) = y t s Da ist g kovex, de t > 1 Setze wir u Y = s X s ud utze die Jese-Ugleichug, so erhalte wir g (EY ) E[g(Y )] Da g(y ) = ( X s ) t s = X t, ist dies ist äuivalet zu (E[ X s ]) t s E[ X t ] Daraus ergibt sich die Ljapuow-Ugleichug, we ma die 1/t-te Potez der beide Seite betrachtet

3 113 Youg-Ugleichug Satz 1131 (Youg-Ugleichug) Seie p, > 1 mit der Eigeschaft, dass 1/p + 1/ = 1 Da gilt für alle a, b > : ab ap p + b Beispiel 113 Seie p = = Da erhalte wir die Ugleichug ab a +b Diese Ugleichug ka ma schell beweise, idem ma alle Terme auf die rechte Seite brigt: 1 (a b) Beweis Wir betrachte die Fuktio y = x p 1, x > Dabei hadelt es sich, da p > 1 ist, um eie mooto wachsede Fuktio Die Umkehrfuktio lautet x = y 1 p 1 = y 1 Also hat die Umkehrfuktio eie ähliche Form wie die Ausgagsfuktio Graphisch ergibt sich ab a Daraus ergibt sich die Youg-Ugleichug x p 1 dx + b y 1 dy 114 Hölder-Ugleichug Satz 1141 (Hölder-Ugleichug) Seie p, > 1 mit 1/p + 1/ = 1 Seie X L p ud Y L Zufallsvariable Da gilt E[ XY ] (E[ X p ] p (E[ Y ] Bemerkug 114 Äuivalete Schreibweise: XY 1 X p Y Isbesodere folgt aus X L p ud Y L, dass X Y L 1 Bemerkug 1143 Mit p = = erhalte wir die Cauchy-Schwarzsche Ugleichug (1141) XY 1 X Y Beweis vo Satz 1141 Falls X p =, so gilt E[ X p ] = Da ist X = fast sicher ud daher auch X Y = fast sicher I diesem Fall gilt die Hölder-Ugleichug, da Falls Y =, so gilt die Hölder-Ugleichug, aalog zu vorherigem Fall, ebeso Seie u also X p ud Y Wir führe die folgede Zufallsvariable a ud b ei: a = X, b = Y X p Y Da gilt: E[a p ] = 1, E[b ] = 1 Mit der Youg-Ugleichug erhalte wir [ ] [ ] a p b E[ab] E + E = 1 p p + 1 = 1 3

4 Durch Eisetze vo a ud b folgt [ ] X Y E 1 X p Y Da X p Y eie Kostate ist, darf ma de Term aus dem Erwartugswert herausziehe, was zu userer Behauptug führt: E X Y X p Y Beispiel 1144 Sei Ω = {1,, } ei diskreter Wahrscheilichkeitsraum mit P[{ω}] = 1/ für alle ω Ω Betrachte zwei Zufallsvariable X, Y : Ω R mit X(k) = x k, Y (k) = y k, x k, y k R Idem wir X ud Y i die Hölder-Ugleichug eisetze, erhalte wir ( ( p x i y i x i p y i Dies ist die klassische Form der Hölder-Ugleichug für Summe Beispiel 1145 Betrachte de Wahrscheilichkeitsraum Ω = [, 1] mit der Borel-σ-Algebra ud dem Lebesgue-Maß Seie f, g : [, 1] R zwei messbare Fuktioe Idem wir X = f ud Y = g i die Hölder-Ugleichug eisetze, erhalte wir 1 ( f(z)g(z) dz f(z) p p 1 dz g(z) dz Dies ist die klassische Form der Hölder-Ugleichug für Itegrale 115 Mikowski-Ugleichug Satz 1151 (Mikowski-Ugleichug) Sei p 1 ud seie X, Y L p Zufallsvariable Da gilt (E [ X + Y p ] p (E [ X p ] p + (E[ Y p ] p Bemerkug 115 Äuivalete Schreibweise: X + Y p X p + Y p Die Mikowski-Ugleichug ist also eie Dreiecksugleichug für die L p -Norm Beispiel 1153 Sei Ω = {1,, } ei diskreter Wahrscheilichkeitsraum mit P[{ω}] = 1/ für alle ω Ω Betrachte zwei Zufallsvariable X, Y : Ω R mit X(k) = x k, Y (k) = y k, x k, y k R Idem wir X ud Y i die Mikowski-Ugleichug eisetze, erhalte wir ( ( p ( p p x i + y i p x i p + y i p 4

5 Dies ist die klassische Mikowski-Ugleichug für Summe Für p = ist dies geau die klassische Dreiecksugleichug, die besagt, dass die Läge eier Summe vo zwei Vektore icht größer sei ka, als die Summe der Läge der beide Vektore: ( ( (x i + y i ) x i + ( Beispiel 1154 Betrachte de Wahrscheilichkeitsraum Ω = [, 1] mit der Borel-σ-Algebra ud dem Lebesgue-Maß Seie f, g : [, 1] R zwei messbare Fuktioe Idem wir X = f ud Y = g i die Mikowski-Ugleichug eisetze, erhalte wir 1/p ) f(z) + g(z) dz ( p f(z) p p 1 dz + g(z) p p dz y i Dies ist die klassische Form der Mikowski-Ugleichug für Itegrale Beweis vo Satz 1151 Sei zuächst p = 1, da gilt mit der Ugleichug X + Y X + Y : E X + Y E( X + Y ) = E X + E Y Also gilt die Mikowski-Ugleichug Nu betrachte wir de Fall p > 1 Wir defiiere = p > 1 Mit dieser Wahl vo gilt p 1 die Relatio = 1 Wir wede u die Ugleichug X + Y X + Y ud daach p die Hölder-Ugleichug a: Mit 1 1 = 1 p E[ X + Y p ] = E[ X + Y p 1 X + Y ] erhalte wir E[ X + Y p 1 X ] + E[ X + Y p 1 Y ] ( E[ X + Y (p 1) ] X p + ( E[ X + Y (p 1) ] Y p = (E[ X + Y p ] ( X p + Y p ) (E[ X + Y p ] p X p + Y p 116 L p -Räume ud L p -Kovergez Defiitio 1161 Sei p > Sei X eie Zufallsvariable Wir schreibe X L p, we E [ X p ] < Die L p -Norm vo X L p ist defiiert durch X p = (E[ X p ] p Bemerkug 116 Die Ljapuow-Ugleichug beasgt, dass X s X t, we < s < t Somit sid die L p -Räume ieiader geschachtelt: L s L t, we s < t Isbesodere gilt L 1 L L 3 5

6 Wir habe früher bereits gezeigt ud sehr oft beutzt, dass L 1 L (We eie Zufallsvariable eie Variaz besitzt, da besitzt sie auch eie Erwartugswert) Bemerkug 1163 Für p 1 ist L p ei Vektorraum, de (1) Für X L p ud λ R ist auch λx L p () Für X L p ud Y L p ist auch X + Y L p Die zweite Eigeschaft folgt aus der Mikowski-Ugleichug, de X + Y p X p + Y p < Für p < 1 ist L p im Allgemeie kei Vektorraum Defiitio 1164 Sei p > 1 Der L p -Abstad zwische zwei Zufallsvariable X L p ud Y L p ist d p (X, Y ) = X Y p = (E[ X Y p ] p Bemerkug 1165 Für X, Y L p ist der L p -Abstad X Y p edlich Das folgt aus der Mikowski-Ugleichug: X Y p X p + Y p = X p + Y p < Bemerkug 1166 Für p 1 ist der L p -Abstad eie Metrik, de es gilt (1) d p (X, Y ) = geau da, we X = Y fast sicher () d p (X, Y ) = d p (Y, X) (3) d p (X, Z) d p (X, Y ) + d p (Y, Z) Die letzte Eigeschaft folgt aus der Mikowski-Ugleichug, wobei hier p 1 beutzt wird Somit erfüllt der L p -Raum die drei Axiome eies metrische Raumes bis auf eie Kleiigkeit: Es ka sei, dass d p (X, Y ) = ud deoch X Y Deshalb macht ma eie Kovetio: ma betrachtet zwei Zufallsvariable als idetisch, we sie fast überall gleich sid Da gelte alle drei Eigeschafte eies metrische Raumes Ist aber p < 1, so gilt die Dreiecksugleichug icht Defiitio 1167 Eie Folge X 1, X, vo Zufallsvariable kovergiert i L p gege eie Zufallsvariable X, we X, X 1, X, L p ud lim X X p = Bemerkug 1168 Äuivalete Schreibweise: lim E[ X X p ] = Bezeichug X L p X Bemerkug 1169 Aus der Ljapuow-Ugleichug folgt, dass L X t X X L s X, we s < t Daher gelte folgede Implikatioe zwische de L p -Kovergeze: L 1 L L 3 We ma die Kovergez i Wahrscheilichkeit als L -Kovergez ud die gleichmäßige Kovergez als L -Kovergez betrachtet, da ka ma dieses Schema vervollstädige: L L 1 L L 3 L 6

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