Kapitel II. Vektorräume. Inhalt: 7. Vektorräume 8. Basis und Dimension 9. Direkte Summen und Faktorräume
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- Curt Frei
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1 Kapitel II. Vektorräume Inhalt: 7. Vektorräume 8. Basis und Dimension 9. Direkte Summen und Faktorräume Die fundamentale Struktur in den meisten Untersuchungen der Linearen Algebra bildet der Vektorraum. In diesem Kapitel II werden die grundlegenden Eigenschaften und Begriffe erläutert, im Kapitel III wird der Zusammenhang zu Matrizen und linearen Gleichungssystemen hergestellt und die folgenden Kapitel befassen sich mit den Homomorphismen zwischen zwei Vektorräumen, also den linearen Abbildungen. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
2 Vektorräume Definition: Vektorraum 7 Vektorräume 7.1 Definition: Vektorraum Es sei K ein Körper. Ein Vektorraum über K (oder kurz K-Vektorraum) ist eine Menge V zusammen mit einer inneren und einer äußeren Verknüpfung + : V V V, (v,w) v +w, (Addition), : K V V, (α,v) α v, (Skalarmultiplikation), so dass die folgenden Axiome erfüllt sind: (V1) (V,+) ist eine abelsche Gruppe (0 = neutrales Element, v = negatives Element zu v V) (V2) Für alle v,w V und alle α,β K gelten die Distributivgesetze (a) (α+β) v = α v +β v, (b) α (v +w) = α v +α w, das Assoziativgesetz sowie die Eigenschaft für das Einselement 1 K (c) (αβ) v = α (β v), (d) 1 v = v. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
3 Vektorräume Definition: Vektorraum Ergänzung: Die Elemente von V nennt man Vektoren, 0 ist der Nullvektor. K heißt der Skalarkörper des Vektorraums V, seine Elemente heißen Skalare; im Fall K = R sprechen wir von reellen Vektorräumen und für K = C von komplexen Vektorräumen. Den Malpunkt bei der Skalarmultiplikation lässt man meistens weg: man schreibt αv statt α v. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
4 Vektorräume Bemerkung: 7.2 Bemerkung: Es sei V ein K-Vektorraum, 0 das neutrale Element von K sowie 0 der Nullvektor. Für die Skalarmultiplikation gelten die folgenden Rechenregeln (Beweise mit dem Distributivgesetz ähnlich zu 4.12): a) Für alle v V ist 0 v = 0. b) Für alle α K ist α 0 = 0. c) Umgekehrt folgt aus α v = 0, dass α = 0 oder v = 0 ist. d) Für alle v V ist ( 1) v = v. e) Allgemeiner: Für alle α K und v V ist ( α) v = (α v). Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
5 Vektorräume Definition: Teilraum, Untervektorraum 7.4 Definition: Teilraum, Untervektorraum Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum. Eine nichtleere Teilmenge U V heißt Untervektorraum (oder Teilraum) von V, falls gilt: (UV1) Für alle u,v U ist u +v U. (Abgeschlossenheit unter Addition) (UV2) Für alle α K, u U ist αu U. (Abgeschlossenheit unter Skalarmult.) Die beiden Bedingungen (UV1) und (UV2) können zusammengefasst werden zu (UV3) Für alle α,β K und u,v U gilt αu +βv U. Wir verwenden die Schreibweise U V für einen Teilraum U von V. Bemerkungen: a) Ein Teilraum U V ist mit der Addition und der Skalarmultiplikation von V selbst wieder ein Vektorraum: Aus (UV2) und 7.2(a) folgt, dass 0 U ist. Weiter folgt mit 7.2(d), dass mit jedem u U auch das Negative u U ist. Also ist (U,+) eine Untergruppe von (V,+) und dadurch selbst wieder eine abelsche Gruppe. Die Rechenregeln (V2) der Skalarmultiplikation werden von V auf U vererbt. b) Die Relation ist eine Ordnungsrelation auf der Menge aller Untervektorräume von V. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
6 Vektorräume Lemma 7.6 Lemma Es sei V ein Vektorraum sowie U 1,U 2 Untervektorräume von V. a) Dann ist U 1 U 2 ein Untervektorraum von V. b) Die Vereinigung U 1 U 2 ist genau dann ein Untervektorraum von V, wenn U 1 U 2 oder U 2 U 1 gilt. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
7 Definition: Linearkombination, lineare Hülle 8 Basis und Dimension Die Struktur von Vektorräumen wird hier genau dargestellt. 8.1 Definition: Linearkombination, lineare Hülle Es sei V ein K-Vektorraum und A V eine nichtleere Teilmenge. a) Jede endliche Summe n α j v j mit α j K, v j A, n N, j=1 heißt Linearkombination von Elementen aus A. Die Linearkombination heißt trivial, wenn α 1 = = α n = 0 ist. b) Die Menge n Span(A) := α j v j n N und α j K, v j A für 1 j n j=1 aller Linearkombinationen von Elementen aus A heißt die lineare Hülle von A. Die Menge A selbst heißt ein Erzeugendensystem von Span(A). Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
8 Definition: Linearkombination, lineare Hülle Ergänzungen: c) Die lineare Hülle Span(A) ist ein Untervektorraum von V, und zwar der kleinste Untervektorraum, der A enthält: aus A U und U V folgt Span(A) U. Wir nennen Span(A) den von A aufgespannten (oder erzeugten) Untervektorraum. d) Ein Vektorraum V heißt endlich erzeugt, wenn es eine endliche Teilmenge A V gibt mit Span(A) = V. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
9 Begriff: Familie Der Begriff der Menge von Vektoren A = {v 1,...,v n } V ist z.t. ungeeignet, da die Wiederholung eines Vektors nicht ins Gewicht fällt (also z.b. {v 1,v 2,v 3,v 2 } = {v 1,v 2,v 3 } gilt). Wir verwenden deshalb den folgenden Begriff. 8.3 Begriff: Familie Es sei V ein K-Vektorraum. a) Ein n-tupel (v 1,v 2,...,v n ) von Vektoren v i V heißt endliche Familie oder Familie der Länge n; wir schreiben kurz (v i ) i=1,...,n. Hierbei ist v i = v j für i j erlaubt. b) Es sei I eine unendliche Menge. Für jedes i I sei ein v i V gegeben. Dann heißt (v i ) i I unendliche Familie von Vektoren. Für jede endliche Teilmenge J I, J, heißt (v j ) j J endliche Teilfamilie von (v i ) i I. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
10 Begriff: Familie Bemerkung: Genauigkeitshalber sei folgendes angemerkt: Wir nennen v = n α i v i i=1 mit α i K für 1 i n eine Linearkombination der Familie (v 1,...,v n ), und zwar auch dann, wenn Vektoren mehrfach auftreten (also v i = v j für ein Paar i j gilt). Die Menge { n } Span(v 1,...,v n ) := α i v i α i K für 1 i n i=1 stimmt mit dem vorher definierten Untervektorraum Span({v 1,...,v n }) überein. Ebenso stimmt für eine unendliche Familie (v i ) i I die Menge Span((v i ) i I ) := α j v j J I endlich und α j K für alle j J j J mit dem Untervektorraum Span({v i i I}) überein. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
11 Definition: Erzeugendensystem Der Begriff des Erzeugendensystems wurde in 8.1 bereits eingeführt. Hier soll er für Familien noch einmal präzisiert werden. 8.4 Definition: Erzeugendensystem Es sei V ein K-Vektorraum. a) Eine endliche Familie (v 1,...,v n ) von Vektoren v i V heißt Erzeugendensystem von V, wenn sich jeder Vektor v V als Linearkombination n v = α i v i mit α i K schreiben lässt. i=1 b) Es sei I eine unendliche Menge. Die Familie (v i ) i I von Vektoren v i V heißt Erzeugendensystem von V, wenn zu jedem Vektor v V eine endliche Teilmenge J I existiert, so dass sich v als Linearkombination v = j J α j v j mit α j K schreiben lässt. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
12 Definition: Erzeugendensystem Bemerkung: (1) V ist genau dann endlich erzeugt (im Sinne von Definition 8.1), wenn es (mindestens) ein endliches Erzeugendensystem von V gibt. (2) Es gibt Erzeugendensysteme verschiedener Länge, vgl. Beispiel 8.2, (1) und (2). (3) Bei Erzeugendensystemen geht es nur um die Existenz einer Darstellung von v V als Linearkombination der Familie (v i ) i I, die den ganzen Vektorraum V aufspannt. Bei den meisten Überlegungen (zur Struktur eines Vektorraums oder bei der praktischen Verwendung von Vektoren des R n ) hat die Eindeutigkeit einer solchen Darstellung große Bedeutung. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
13 Definition: Lineare Unabhängigkeit Die folgende äußerst wichtige Definition liefert hierfür den Grundstein und wird in der gesamten Vorlesung immer wieder verwendet. 8.5 Definition: Lineare Unabhängigkeit Es sei V ein K-Vektorraum. a) Eine endliche Familie (v 1,...,v n ) von Vektoren aus V heißt linear unabhängig, wenn für alle α 1,α 2,...,α n K gilt: α 1 v 1 +α 2 v α n v n = 0 = α 1 = α 2 = = α n = 0. In Worten: Wenn eine Linearkombination der v i den Nullvektor ergibt, so müssen alle ihre Koeffizienten gleich Null sein. b) Es sei I eine unendliche Menge. Die Familie (v i ) i I heißt linear unabhängig, wenn jede endliche Teilfamilie (v j ) j J (mit endlicher Menge J I) linear unabhängig ist. c) Falls die Familie (v i ) i I (mit endlichem oder unendlichem I) nicht linear unabhängig ist, so heißt sie linear abhängig. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
14 Spezialfälle 8.7 Spezialfälle Bevor wir die lineare Unabhängigkeit weiter untersuchen, betrachten wir die Fälle von Familien mit nur einem Vektor (n = 1) und mit zwei Vektoren (n = 2): n = 1: Eine Familie (v 1 ) mit nur einem Vektor v 1 V ist genau dann linear unabhängig, wenn v 1 0 gilt: denn dann folgt aus αv 1 = 0 sofort α = 0. Umgekehrt: (v 1 ) ist genau dann linear abhängig, wenn v 1 = 0 ist. n = 2: Eine Familie (v 1,v 2 ) aus zwei Vektoren v 1,v 2 V ist genau dann linear unabhängig, wenn v 1 Kv 2 und v 2 Kv 1 gilt; mit anderen Worten: v 1 ist kein Vielfaches von v 2, und v 2 ist auch kein Vielfaches von v 1. Umgekehrt: (v 1,v 2 ) ist genau dann linear abhängig, wenn v 1 ein Vielfaches von v 2 oder v 2 ein Vielfaches von v 1 ist (bzgl. der Multiplikation mit Skalaren in K). Beispiele: In R 2 sind v 1 = (1,3) und v 2 = ( 2, 6) linear abhängig. In C 2 sind v 1 = (1 +2i,3 i) und v 2 = (2 i, 1 3i) linear abhängig. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
15 Satz 8.8 Satz Für eine endliche Familie (v 1,...,v n ) von Vektoren v i V sind die folgenden Aussagen äquivalent: a) (v 1,...,v n ) ist linear unabhängig. b) Für jedes 1 j n gilt v j Span(v 1,...,v j 1,v j+1,...,v n ). c) Für jeden Vektor w Span(v 1,...,v n ) existiert genau ein n-tupel (α 1,...,α n ) von Skalaren α i K mit w = α 1 v 1 + +α n v n ; d.h. die Darstellung von w als Linearkombination der v 1,...,v n ist eindeutig. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
16 Bemerkung: Wir können leicht weitere Spezialfälle betrachten und einfache Folgerungen ziehen. 8.9 Bemerkung: a) Wenn die Familie (v 1,...,v n ) linear unabhängig ist, dann ist jede Teilfamilie ebenfalls linear unabhängig. b) Wenn die Familie (v 1,...,v n ) linear abhängig ist, dann ist auch jede Familie, die diese Vektoren umfasst, linear abhängig. c) Die Eigenschaft der linearen Abhängigkeit oder linearen Unabhängigkeit bleibt erhalten, wenn man die Reihenfolge der Vektoren v i vertauscht. d) Wenn ein v j = 0 ist, so ist (v 1,...,v n ) linear abhängig. e) Wenn zwei v i übereinstimmen, also v i = v j mit i j, dann ist (v 1,...,v n ) linear abhängig. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
17 Definition: Basis 8.10 Definition: Basis Eine Familie (v i ) i I (mit endlicher oder unendlicher Indexmenge I ) von Vektoren v i V heißt Basis von V, wenn sie linear unabhängig ist und ein Erzeugendensystem von V ist. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
18 Satz Der folgende Satz fasst für eine endliche Basis zusammen, was wir nach den bisherigen Überlegungen bereits wissen Satz Eine Familie (v 1,...,v n ) von Vektoren v i V ist genau dann eine Basis von V, wenn für jedes Element v V eine Darstellung v = α 1 v 1 +α 2 v α n v n mit eindeutigen Skalaren α 1,α 2,...,α n K existiert. Die Koeffizienten α 1,...,α n heißen auch die Koordinaten von v bezüglich der Basis (v 1,...,v n ); wir kommen im Kapitel III (Lineare Abbildungen) auf diesen Begriff zurück. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
19 Lemma In einem endlich erzeugten Vektorraum existiert nach Definition 8.1(d) eine endliche Familie (v 1,...,v n ) mit V = Span(v 1,...,v n ). Die Idee zur Konstruktion einer Basis von V ist nun einfach: man lässt überflüssige Vektoren der Familie (v 1,...,v n ) einfach weg Lemma Es sei (v 1,v 2,...,v n ) eine Familie von Vektoren v i V und für ein 1 j n gelte v j Span(v 1,...,v j 1,v j+1,...,v n ). Dann folgt Span(v 1,...,v j 1,v j,v j+1,...,v n ) = Span(v 1,...,v j 1,v j+1,...,v n ). Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
20 Satz: Einfacher Existenzsatz für Basen Die Existenz einer Basis im endlich erzeugten Vektorraum ist nun leicht zu zeigen Satz: Einfacher Existenzsatz für Basen Jeder endlich erzeugte K-Vektorraum V {0} besitzt eine Basis. Beweis: Ausgehend von einer endlichen Erzeugenden-Familie (v 1,...,v n ) von V entsteht durch mehrmalige Anwendung des Lemmas 8.14 eine Teilfamilie (v i1,...,v ik ) mit 1 i 1 < i 2 < < i k n, die die Eigenschaft v ij Span(v i1,...,v ij 1,v ij+1,...,v ik ) für alle 1 j k erfüllt und für die V = Span(v i1,...,v ik ) gilt. Nach Satz 8.8 (b) ist diese Teilfamilie linear unabhängig, also eine Basis von V. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
21 Satz Wir kennen den Dimensionsbegriff aus unserer Anschauung: die Ebene R 2 hat die Dimension 2, der uns umgebende Raum R 3 die Dimension 3. Diese Zahlen geben an, dass es jeweils Erzeugendensysteme (sogar Basen) mit der entsprechenden Anzahl von Vektoren gibt. Um den Begriff der Dimension eines Vektorraums V zu fassen, muss aber zuerst die folgende Aussage zur Anzahl der Elemente in einer Basis bewiesen werden Satz Sei V ein endlich-erzeugter K-Vektorraum, V {0}. Dann haben alle Basen von V die gleiche (endliche) Anzahl von Vektoren; diese Anzahl nennen wir die Dimension von V, geschrieben dimv. Bemerkungen: a) Für V = {0} setzen wir dimv = 0. b) Falls V nicht endlich erzeugt ist, nennen wir V unendlich-dimensional und schreiben dimv =. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
22 Austauschlemma Zur Vorbereitung des Beweises von Satz 8.16 dienen zwei Aussagen zum Austausch von Elementen einer gegebenen Basis Austauschlemma Es sei V ein K-Vektorraum, V {0}. Weiter sei (v 1,...,v n ) eine Basis von V sowie w V {0}. Dann existiert ein Index k {1,...,n} derart, dass (v 1,...,v k 1,w,v k+1,...,v n ) ebenfalls eine Basis von V ist. Mit anderen Worten: Einer der Vektoren v 1,...,v n kann durch w ersetzt werden und die Basiseigenschaft bleibt erhalten. Zusatz: Ist w = γ 1 v 1 + +γ n v n, so kann jedes k {1,...,n} mit γ k 0 für den Austausch v k w ausgewählt werden. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
23 Steinitz scher Austauschsatz 8.18 Steinitz scher Austauschsatz Es sei V ein Vektorraum, V {0}. Weiter sei (v 1,...,v n ) eine Basis von V sowie (u 1,...,u r ) eine linear unabhängige Familie von Vektoren u j V. Dann gilt 1. r n, und 2. es gibt Indizes 1 i 1 < i 2 < < i n r n derart, dass die Familie (v i1,...,v in r,u 1,...,u r ) ebenfalls eine Basis von V ist; d.h. es können r der Vektoren v 1,...,v n durch die neuen Vektoren u 1,...,u r ersetzt werden, so dass wieder eine Basis entsteht. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
24 Basis-Ergänzungssatz Als Pendant zum Lemma 8.14 soll noch der folgende Satz erwähnt werden Basis-Ergänzungssatz Es sei V ein K-Vektorraum und (v 1,...,v r ) eine linear unabhängige Familie von Vektoren aus V. Seien w 1,...,w s V weitere Vektoren derart, dass Span(v 1,...,v r,w 1,...,w s ) = V gilt. Dann kann (v 1,...,v r ) durch Hinzunahme von geeigneten w j1,...,w jt (mit t s) zu einer Basis von V ergänzt werden. (Die Hinzunahme von 0 Vektoren ist als Möglichkeit eingeschlossen.) Bemerkung: Jede linear unabhängige Familie (v 1,...,v r ) in einem (endlich erzeugten) Vektorraum V kann zu einer Basis von V ergänzt werden. (Verwende im obigen Satz irgendein Erzeugendensystem (w 1,...,w s ) von V.) Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
25 Bemerkungen: 8.21 Bemerkungen: Einige nützliche Folgerungen lassen sich aus den bisherigen Ergebnissen ziehen. (1) Aus W V folgt dimw dimv. (2) Ist V endlich erzeugt, W V sowie dimw = dimv, so gilt W = V. ACHTUNG: Dieser Schluss ist für dimv = falsch. (3) Falls dimv = n und (v 1,...,v n ) linear unabhängig ist, so ist (v 1,...,v n ) eine Basis von V. (4) Falls dimv = n und (v 1,...,v n ) ein Erzeugendensystem von V ist, so ist (v 1,...,v n ) eine Basis von V. (5) Falls dimv = n ist, so ist jede Familie der Länge r > n linear abhängig. (6) Falls dimv = n ist, so ist jede Familie der Länge r < n kein Erzeugendensystem von V. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
26 Satz: Existenzsatz für Basen Am Ende dieses Abschnitts sollen noch Aussagen zu unendlich-dimensionalen Vektorräumen gemacht werden. Die Beweise benötigen ganz andere Hilfsmittel als unsere konstruktiven Methoden. Zentrales Hilfsmittel ist das Lemma von Zorn aus der Mengenlehre Satz: Existenzsatz für Basen a) Jeder K-Vektorraum V, V {0}, besitzt eine Basis. b) Jede linear unabhängige Familie (v i ) i I (mit endlicher oder unendlicher Indexmenge I) von Vektoren v i V kann zu einer Basis von V ergänzt werden. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
27 Beispiel: 8.24 Beispiel: Der Vektorraum R[t] aller reellen Polynome ist ein Beispiel eines Vektorraums, der nicht endlich erzeugt ist: dim R[t] =. Die Familie (e j ) j N0, e j = t j R[t] für j N 0, ist ein Erzeugendensystem von R[t]. (Beachte hierzu: Ein Polynom ist eine endliche Summe f = n j=0 α jt j.) Die lineare Unabhängigkeit der Familie (e j ) j N0 ist bereits in der Definition 4.23 enthalten: Eine beliebige Linearkombination der unendlichen Familie (e j ) j N0 ist ein Polynom f = n α j t j mit n N 0, α j R für 0 j n. j=0 Sobald ein Koeffizient α j 0 ist, ist auch f vom Nullpolynom verschieden. Also ist die Familie (e j ) j N0 eine Basis von R[t]. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
28 Beispiel: 8.25 Beispiel: Es ist äußerst schwierig, eine Basis des Vektorraums R N aller reellen Zahlenfolgen anzugeben; eine explizite Angabe einer Basis ist meines Wissens unmöglich. Zwar ist die Familie (e j ) j N mit e j = (0,...,0,1,0,0,...) mit dem Folgenglied 1 an der Stelle j aus Beispiel 8.2(6) linear unabhängig, aber bei weitem noch kein Erzeugendensystem: Nicht einmal die Nullfolge w = (1, 1 2, 1 3, 1,...) RN 4 ist Linearkombination der Familie (e j ) j N. (Was ist denn Span( (e j ) j N )?) Es gibt gar kein abzählbares Erzeugendensystem dieses Vektorraums. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
29 Bemerkung 8.26 Bemerkung In der Funktionalanalysis wird deshalb ein anderer Basis-Begriff eingeführt. Unser Basis-Begriff der Linearen Algebra (=linear unabh. Erzeugendensystem mittels endlicher Linearkombinationen) wird genauer als Hamel-Basis bezeichnet. Andere Begriffe, die die Konvergenz unendlicher Reihen von Vektoren verwenden, sind z.b. Schauder-Basen, Orthonormalbasen. Diese Begriffe sind für unendlich-dimensionale Vektorräume verschieden von unserem Basisbegriff! Sie sind aber für die Untersuchung solcher Vektorräume viel nützlicher. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
30 Direkte Summen und Faktorräume Definition: Summe und direkte Summe 9 Direkte Summen und Faktorräume Der Begriff der Basis liefert eine Zerlegung des Vektorraums V in eindimensionale Teilräume. Wir behandeln nun allgemeinere Zerlegungen. 9.1 Definition: Summe und direkte Summe Es sei V ein K-Vektorraum und U 1,U 2 zwei Untervektorräume. a) Die Menge U 1 +U 2 := {u 1 +u 2 u 1 U 1, u 2 U 2 } heißt Summe der Untervektorräume U 1 und U 2. b) Falls U 1 U 2 = {0} gilt, so heißt U 1 +U 2 direkte Summe von U 1 und U 2 ; sie wird geschrieben als U 1 U 2. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
31 Direkte Summen und Faktorräume Bemerkungen 9.2 Bemerkungen: (1) Die Summe U 1 +U 2 ist ein Untervektorraum von V: die Eigenschaft (UV3) ist leicht nachzuprüfen. Wir zeigen sogar etwas mehr: es gilt U 1 +U 2 = Span(U 1 U 2 ) V. (2) Die Summe U 1 +U 2 ist genau dann direkt, wenn jeder Vektor v U 1 +U 2 eine eindeutige Zerlegung v = u 1 +u 2 mit u 1 U 1, u 2 U 2 besitzt. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
32 Direkte Summen und Faktorräume Bemerkungen (3) Die Bildung der Summe von Teilräumen ist kommutativ und assoziativ: U 1 +U 2 = U 2 +U 1, (U 1 +U 2 )+U 3 = U 1 +(U 2 +U 3 ). Für n Teilräume U 1,...,U n V können wir also n i=1 U i schreiben; es gilt n U i = Span(U 1 U n ). i=1 (4) Die direkte Summe von Teilräumen U 1,U 2,...,U n ist immer dann sinnvoll erklärt, wenn n U j U i = {0} i=1,i j ist. In diesem Fall liegt auch Assoziativität vor, also können wir n i=1 U i schreiben. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
33 Direkte Summen und Faktorräume Bemerkungen (5) Diese Überlegungen führen zu folgenden Aussagen: Für v V sei Kv = {αv α K}; dieser Teilraum von V ist null- oder eindimensional, je nachdem, ob v = 0 oder v 0 gilt. (5a) Die Familie (v 1,...,v n ) ist genau dann ein Erzeugensystem des Vektorraums V, wenn n V = Kv i gilt. i=1 (5b) Die Familie (v 1,...,v n ) soll den Nullvektor nicht enthalten. Sie ist genau dann eine Basis von V, wenn V = n Kv i i=1 gilt. Insofern liefert eine Basis von V eine Zerlegung in eindimensionale Teilräume. Dies ist übrigens genau die Aussage von Satz 8.11, nur in etwas anderer Form geschrieben. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
34 Direkte Summen und Faktorräume Satz: Dimensionsformel für Summen 9.3 Satz: Dimensionsformel für Summen Für endlich-dimensionale Untervektorräume U 1,U 2 von V gilt dim(u 1 +U 2 )+dim(u 1 U 2 ) = dimu 1 +dimu 2. Die Summe ist genau dann direkt, wenn gilt. dim(u 1 +U 2 ) = dimu 1 +dimu Komplementierungs-Satz Es sei V ein K-Vektorraum und U V. Dann existiert ein Untervektorraum W V mit V = U W. Man nennt dann U,W komplementäre Unterräume von V. Es gilt dimv = dimu +dimw. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
35 Direkte Summen und Faktorräume Definition: Faktorraum Wir verwenden nun die Struktur der abelschen Gruppe (V,+) zur Faktorisierung modulo eines Untervektorraums von V. Man beachte, dass ein Untervektorraum U V auch eine Untergruppe von (V,+) ist. 9.6 Definition: Faktorraum Es sei V ein K-Vektorraum und U V. Dann nennen wir V/U = {[v] U v V} = {v +U v V} den Faktorraum V modulo U. Die Addition auf V/U ist die der Faktorgruppe, also + : V/U V/U V/U, (v +U,w +U) (v +w)+u. Die Skalarmultiplikation wird definiert durch : K V/U V/U, (α,v +U) (αv)+u. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
36 Direkte Summen und Faktorräume Satz 9.7 Satz Es sei V ein K-Vektorraum und U V. a) Der Faktorraum V/U ist ein K-Vektorraum. Sein Nullelement ist [0] U = 0+U, das Negative zu v +U ist ( v)+u. b) Ist W ein komplementärer Unterraum zu U in V, also V = U W, so ist W ein vollständiges Repräsentantensystem des Faktorraums V/U; d.h. [w 1 ] U [w 2 ] U für alle w 1,w 2 W, w 1 w 2, und V/U = {[w] U w W}. Bemerkung: Die Restklassen [v] U = v +U sind die Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation v w : v w U. Zur Übung prüfe man die Reflexivität, Symmetrie und Transitivität basierend auf den Axiomen (UV1) und (UV2) des Untervektorraums. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
37 Direkte Summen und Faktorräume Satz: Dimensionsformel für Faktorräume 9.8 Satz: Dimensionsformel für Faktorräume Es sei V ein K-Vektorraum und U V. Dann gilt dimv = dimu +dim(v/u). Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
38 Direkte Summen und Faktorräume Definition: Affiner Teilraum 9.9 Definition: Affiner Teilraum Es sei V ein K-Vektorraum und U V ein Untervektorraum. Das Element v +U = {v +u u U} der Faktorgruppe V/U heißt ein affiner Unterraum von V, der Untervektorraum U heißt sein Differenzenraum. Wir definieren die Dimension des affinen Unterraums v +U als die Dimension seines Differenzenraumes, also dim(v + U) := dim U. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
39 Direkte Summen und Faktorräume Satz 9.10 Satz Es sei V ein K-Vektorraum und A V eine Teilmenge. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: a) A ist ein affiner Unterraum von V. b) Die Menge ist ein Untervektorraum von V. Ũ := {v w v,w A} c) Für beliebiges n N, Vektoren v 1,...,v n A sowie λ 1,...,λ n K, die die Bedingung λ 1 + +λ n = 1 erfüllen, gilt λ 1 v 1 + λ n v n A. ( ) Bemerkung: Man nennt eine Linearkombination (*), deren Koeffizienten λ j K die Bedingung n j=1 λ j = 1 erfüllen, eine affine Kombination der Vektoren v 1,...,v n. Satz?? besagt, dass ein affiner Unterraum bzgl. der Bildung von affinen Kombinationen seiner Elemente abgeschlossen ist. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
40 Direkte Summen und Faktorräume Definition: Parallelität Ein kleiner Ausblick zur Geometrie Definition: Parallelität Es sei V ein K-Vektorraum sowie A 1,A 2 V affine Teilräume von V. Der Differenzenraum von A j sei U j, j = 1,2. Die affinen Teilräume heißen parallel, wenn U 1 U 2 oder U 2 U 1 gilt. Bemerkung: Der Faktorraum V/U ist eine Zerlegung von V in parallele affine Teilräume v + U; der Differenzenraum all dieser affinen Teilräume ist U. Lineare Algebra, Teil I 15. Dezember
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