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1 Kapitel 3 Nichtlineare Systeme 3. Logistische Gleichung Wir betrachten die zeitliche Entwicklung einer Population N (z.b. die Zahl der Fische in einem Teich). Es gilt dn dt wobei die Symbole bedeuten: N Größe der Population a Wachstumsparameter k Carrying Capacity (max. Population). Mit folgt aus Gl. (3.) deren normierte Version dy dt = an(k N) k y := N k Diese Gleichung besitzt die analytische Lösung y(t) = (3.) = ay( y) (3.2) ( ) (3.3) + y 0 e at welche in Abb.3. skizziert ist. Man erhält also am Ende eine konstante Population, deren Größe der maximal möglichen entspricht, d.h. y =. In Analogie zur Differentialgleichung (3.3) definieren wir eine diskrete Version, die sog. Logistische Abbildung mit der vom Parameter r abhängigen Funktion x n+ = f r (x n ) = r x n ( x n ) (3.4) f r (x) = rx( x) (3.5) Die Gleichung (3.4) beschreibt eine iterierte Abbildung, wobei man mit einem Startwert x 0 anfängt und dann sukzessive eine Folge von Werten x n+ = f r (x n ) berechnet mit n =, 2,...,. Mögliche Zeitreihen (x 0, x, x 2,...) solcher Iterationen werden im Online- Material für verschiedene Startwerte x 0 und unterschiedliche Parameter r dargestellt.

2 2 KAPITEL 3. NICHTLINEARE SYSTEME y(t) y(t) t Abbildung 3.: Lösung der logistischen Gleichung (3.3) für y 0 = 0. und a = Fixpunkt Wir stellen fest, dass auch in der diskreten Form der logistischen Abbildung eine Konvergenz auf einen konstanten Wert x erfolgen kann. Diesen Punkt nennt man dann einen Fixpunkt (der iterierten Abbildung 3.4). Es gilt also oder mit der Bezeichnung x f für den Fixpunkt der Iteration. Aus folgt die quadratische Gleichung x n+ = f r (x n ) = x n (3.6) x f = f r (x f ) (3.7) x f = rx f ( x f ) rx 2 f + ( r)x f = 0 mit den zwei Lösung x f = 0 und x f2 = r (3.8) r Es gibt also 2 Fixpunkte. Bei den Iterationen wird (für r < 3) jeweils nur einer dieser beiden Werte angenommen. Speziell: r < x f = 0 < r < 3 x f = (r )/r Die Begründung für dieses Verhalten kann durch eine Stabilitätsuntersuchung der Fixpunkte (folgt weiter unten) gefunden werden er Zyklus Oberhalb der Wertes r = 3 zeigen die Zeitreihen ein neues Verhalten. Anstatt auf einen festen Wert x f zu konvergieren, beginnen die Werte zwischen zwei Werten hin- und her

3 3.. LOGISTISCHE GLEICHUNG 3 zu oszillieren, man spricht von einem 2er Zyklus. Für diesen muss also gelten, dass jede zweite Iteration wieder den Ausgangswert liefert. Die zweite Iteration lautet Die 4 Fixpunkte von g r (x) werden gegeben durch und es folgt g r (x) = f r (f r (x)) := fr 2 (x) (3.9) = f r (rx( x)) (3.0) = rrx( x)( rx( x))) (3.) g r (x f ) = x f (3.2) x f = 0 (3.3) x f2 = r (3.4) r x f3 = r + + r 2 2r 3 (3.5) 2r x f4 = r + r 2 2r 3 (3.6) 2r Man sieht, dass die ersten beiden Fixpunkte identisch zu den vorherigen (von f r (x)) waren, weil diese natürlich auch Fixpunkte von g r (x) sein müssen aufgrund der Definition. Oberhalb des Wertes r = 3 ergibt sich dieser 2er Zyklus Stabilität von Fixpunkten Das unterschiedliche Verhalten der Iterationen bei einer Variation des Parameters r kann mit Hilfe einer Stabilitätsanalyse der Fixpunkte geklärt werden. Für r < hatten wir nur den stabilen Fixpunkt x f = 0. Für < r < 3 wurde dieser instabil, und x f2 = (r )/r stabil. Bei einem instabilen Fixpunkt wächst der Abstand zweier Iterationen, bei einem stabilen sinkt dieser. Ein stabiler Fixpunkt heißt auch Senke, bzw. Attraktor der zugehörigen Iteration. Die Menge aller Anfangspunkte x 0, die (für n ) auf einen stabilen Fixpunkt x f abgebildet werden, heißt Einflussbereich oder Basin des Attraktors. Ein Fixpunkt ist nun stabil, wenn die Bildpunkte der Abb. näher zusammen liegen als die Ursprungspunkte, also f(x + ɛ) f(x) < (x + ɛ) ɛ = ɛ (3.7) Umgeformt f(x + ɛ) f(x) ɛ df dx < (3.8) Der Betrag der Steigung der Funktion am gesuchten Punkt muss also kleiner als sein, für eine stabile Iteration. In unserem Fall muss für Stabiltät gelten df dx = r 2rx < mit x [0, ] (3.9) Diese Ungleichung ist für r > nicht erfüllt für den Fixpunkt x f = 0. Aber der zweite Fixpunkt x f = (r )/r erfüllt das Kriterium (3.9) für < r < 3. Für r = 3 wird aber auch die Steigung an diesem zweiten Fixpunkt x f2 größer als und auch er wird instabil. Es folgt eine Bifurkation und Auftreten eines 2er Zyklus (siehe Sect. 3..2).

4 4 KAPITEL 3. NICHTLINEARE SYSTEME 3..4 Bifurkation Wie gesehen, wird der er Zyklus instabil für r = 3 und es ergab sich ein 2er Zyklus durch eine sog. Bifurkation aus dem er Zyklus. Hier oszilliert die Lösung quasi zwischen 2 Attraktoren. Diese Eigenschaft der logistischen Abb. lässt sich sehr schön an dem sog. Bifurkationsdiagramm oder auch Feigenbaumdiagramm (Online, Fig. 20) darstellen in dem die Gleichgewichtspunkte dargestellt werden. Dieses Diagramm wird berechnet und erzeugt durch die folgende Vorschrift:. Wähle r innerhalb [, 4] 2. Wähle beliebigen Startwert x 0 in [0, ] 3. Berechne Orbit unter f r (x) 4. Ignoriere ersten 000 Iterationen, plotte nächsten 200 Def.: k-zyklus: x f heißt periodischer Punkt mit der Periode k (k-zyklus) falls f k (x f ) = x f und k die kleinste solcher Zahlen ist. Die Charakteristika des Bifurkationsdiagramms sind Periodenverdopplung irreguläre Struktur periodische Fenster selbstähnlich bei r = 4 vollständig irregulär (Linienstruktur) Für die Abstände der Periodenverdopplungen gilt δ k = r k+ r k (3.20) Diese werden immer kleiner und das Verhältnis zweier Abstande strebt zu einem Grenzwert mit δ k lim = δ (3.2) k δ k wobei δ = Feigenbaum-Kontante (975). Umgeschrieben r n = r const. δ n für n >> (3.22) Der Grenzwert von r, gegen den die Reihe r k konvergiert, ist r = lim k r k = (3.23) Innerhalb des chaotischen Bereichs, welcher bei r beginnt, gibt es mehrere reguläre, periodische Fenster in denen z.b. auch ungerade Perioden mögliche sind, wie 3er- oder 5er-Zyklen.

5 3.. LOGISTISCHE GLEICHUNG Lyapunov Exponent Der Lyapunov Exponent ist eine dimensionslose Zahl, welche ein gewisses Maß des chaotischen Verhaltens ermöglicht. Bei einer Abbildung werden (zumindest innerhalb des chaotischen Bereichs) benachbarte Punkte getrennt Das Intervall [x 0, x 0 + ɛ] geht nach N Iterationen über in [f(x N 0 ), f (x N 0 +ɛ) ]. Die Länge des gestreckten Ursprungintervalls nach N Iteration sei definiert durch ɛ e Nλ(x0) := f N (x0 +ɛ) f(x N 0 ) (3.24) Also gibt e λ die mittlere Entfernungsrate zweier Punkte pro Iteration an. Für ɛ 0 und N wird λ(x 0 ) = lim lim f N N ɛ 0 N log (x 0 +ɛ) f (x N 0 ) = lim ɛ N N log df N (x 0 ) dx 0 (3.25) Unter Verwendung der Kettenregel folgt ( N ) λ(x 0 ) = lim N N log f (x i ) i=0 (3.26) wobei gilt f = df/dx (man vergleiche hierzu g = f(f(x)) und g = f (f(x)) f (x) ). Der Logarithmus des Produkts lässt sich weiter vereinfachen zu N λ(x 0 ) = lim log f (x i ) (3.27) N N Die Bezeichnung log steht hier immer für den natürlichen Logarithmus. Diese letzte Form der Gleichung für den Lyapunov Exponenten Gl. (3.27) ist besonders günstig für numerische Rechnungen (Vermeidung von Overflow/Underflows). Für die logistische Abbildung ist λ also Funktion des Parameters r (auf Seite 28 im Online-Material angegeben). Für den Lyapunov-Exponenten gilt bei der logistischen Abbildung: = 0 bei Perdiodenverdopplungen r i = bei Superzyklen (d.h. mit x i = /2 als Element) wegen f (/2) = 0 > 0 für r < r < 4 mit Ausnahme der Fenster = ln(2) bei r = Definition von chaotischem Verhalten Um eine Abbildung als chaotisch zu bezeichnen, bedarf es im wesentlichen 3 Bedingungen i=0. Sensitive Abhängigkeit von Anfangsbedingungen Hier sind alternative Formulierungen möglich (a) Ein kleines Intervall wird durch Iterationen vergrößert Dies impliziert, dass der Lyapunov-Exponent größer als Null ist, λ(x 0 ) > 0. Dies allein ist aber noch nicht unbedingt chaotisch, wie das Bspl. f c (x) = cx mit c > zeigt. Diese Funktion ist linear und hängt sensitiv von Anfangsbed. ab wegen λ c (x 0 ) = lim N ist aber eindeutig nicht chaotisch. N N i=0 log c = log c > 0,

6 6 KAPITEL 3. NICHTLINEARE SYSTEME (b) Bei chaotischen Systemen wird Fehler so groß wie Bezugssignal (Lorentz) Vgl. obige lineare Abb. f c. Hier gilt für den relativen Fehler weil beide linear verstärkt werden. ɛ i x i = const. = ɛ x 0 2. Transitivität (Mischungseigenschaft) Für je zwei Intervalle I, J (die beliebig klein sein können) kann man mit Anfangswerten in I nach J gelangen. 3. Periodische Orbits müssen dicht liegen im Parameterraum (hier r) (vgl. Q in R) zu jedem r mit chaotischem Orbit gibt es eine benachbartes r mit periodischem Orbit (Maß 0). (Vgl. Strecken und Falten, wie beim Kneten von Teig, ausrollen auf doppelte Länge und zusammenklenben (Zeltfunktion)) Beschattungslemma Frage: Macht es Sinn, Bahnen chaotischer Systems mit Hilfe des Computers zu berechnen? (alle werden schließlich irgendwann einmal beliebig falsch). Hier hilft das sog. Beschattungslemma (shadowing lemma) weiter: Die Berechnete Bahn approximiert eine wahre Bahn für alle Zeiten beliebig genau. D.h. die berechnete Bahn bleibt immer im Schatten einer wahren Bahn (mit leicht modifiziertem Anfangspunkt x 0 ), wie der Schatten eines Wanderers. Numerische Rechungen machen Sinn!! 3.2 Das chaotische Pendel 3.2. Harmonisches Pendel die Lösung lautet φ + ω 2 φ = 0 (3.28) φ(t) = A cos(ωt + φ 0 ) (3.29) Offensichtlich nicht chaotisch. Jede Lösung, die analytisch angegeben werden kann, kann nicht chaotisch sein Getriebenes harmon. Pendel Hier ist r Reibungskoeffizient F 0 Amplitude der äußeren Kraft Ω Frequenz der äußeren Kraft ω Grundfreqenz des Pendels (ohne forcing ) φ + ω 2 φ + r φ = F 0 cos(ωt) (3.30)

7 3.2. DAS CHAOTISCHE PENDEL 7 Die allg.lösung lautet φ(t) = A cos(ωt + φ 0 ) + φ hom (t) (3.3) Die homogene Lösung φ hom (t), welche eine Lösung von Gl. (3.30) mit F 0 = 0 ist, beschreibt eine exponentiell abklingende Lösung und somit bleibt nur die erste Lösung, eine Oszillation mit Ω übrig. Die Amplitude A und Phase φ 0 sind gegeben durch A = F 0 (ω2 Ω 2 ) 2 + r 2 Ω 2 (3.32) ( ) ω 2 Ω 2 φ 0 = arctan Ωr (3.33) Getriebenes physikalisches Pendel φ + ω 2 sin φ + r φ = F 0 cos(ωt) (3.34) Hier ist nur eine numerische Lösung möglich. Dazu wird die Gleichung als System von Gleichungen. Ordnung geschrieben. Die Variablen seien Die Bewegungsgleichungen lauten damit y = φ (3.35) y 2 = φ (3.36) y 3 = Ωt (3.37) ẏ = y 2 (3.38) ẏ 2 = ω 2 sin y ry 2 + F 0 cos y 3 (3.39) ẏ 3 = Ω (3.40) Die Integration dieser Gleichungen erfolgt z.b. unter Verwendung eines Runge-Kutta Verfahrens 4. Ordnung (siehe Numerical Recipes von Press et al., online verfügbar). Wähle Startwerte y i (0), i =, 2, 3 und integriere y n+ = f(y n, t) für hinreichend kleine Zeitschritte t, die viel kleiner als die relevanten Perioden sind Analyse der Bewegung Die Analyse und Interpretation einer periodischen, zeitabhängigen Bewegung kann auf unterschiedliche Arten erfolgen a) Phasenraum durch geeignete generalisierte Orte und Impulse (q, p). Für den harmonische Oszillator gilt q = φ und p = φ

8 8 KAPITEL 3. NICHTLINEARE SYSTEME wegen ṗ = ω 2 q und q = p und mit ω = folgt P = Q und Q = P und H = 2 (P 2 + Q 2 ) Die Bahnen im Phasenraum sind also Kreise (online seite 3), deren Radius proportional zur Amplitude ist. Für die Energie gilt Bemerkungen: E = H = 2 ω2 A 2 Der Orbit (Bahn) heißt Phasentrajektorie. Es gibt keine Überschneidungen, d.h. die Bahn ist deterministisch (kein Chaos). Es gilt Flächenerhaltung. Bei jedem Radius A i rotiert Punkt mit gleicher Winkelgeschwindigkeit (Energieerhaltung) konservative Systeme allgemein: Flächenerhaltung (Lionvillescher Satz) dissipative Systeme: Fläche schrumpft (logistische Abbildung, gedämpftes Pendel) d.h. es gibt einen Attraktor b) Poincare Schnitte Vereinfachung von komplexen Phasenraumdiagrammen i) Stroboskopische Schnitte zu konstanten t ii) Check, wann Teilchen eine gegeben Ebene durchstößt (z.b. φ = 0 Achse von oben nach unten). Hier beim getriebenen Pendel, Schnitte bei festen Zeiten t n = n 2π Ω + φ 0 Ω dies ist ein Vielfaches der Periode P = 2π Ω und ein Shift. c) Spektrale Analyse (Fourier) Hier kann z.b. ein Leistungsspektrum (Powerspectrum) berechnet werden Werde die Funktion f(t) approximiert durch f(t) = n a k cos(ω k t) + b k sin(ω k t) + 2 a 0 (3.4) k= dann gilt z.b. a k = π 2π 0 f(t) cos(ω k t)dt (3.42)

9 3.2. DAS CHAOTISCHE PENDEL 9 und für diskrete Werte der Funktion gilt (Approximation des Integrals durch Summe, Trapezregel) a k = 2 N f(t j ) cos(ω k t j ) (3.43) N Das Powerspectrum S f ist dann b k = 2 N j=0 N f(t j ) sin(ω k t j ) (3.44) j=0 S f (ω k ) a 2 k + b 2 k Summer der Amplidutenquadrate (Numerical Recipes) Visualisierung der Pendeldynamik Integriere Gleichung mit RK4 und verwende im 3D Parameterraum (r, F 0, Ω) a) Ohne Dämpfung ohne Antrieb i) Harm. Pendel (s.o.) Kreise ω 2 = und E = 2 φ 2 cos φ ii) Phys. Pendel (r = 0, F 0 = 0) Schwingungen, Rotationen, Separatrix,... b) Mit Dämpfung ohne Antrieb (r > 0, F 0 = 0) Stabiler Fixpunkt φ = 0 φ = 0 Ruhelage (Ursprung im Phasenraumdiagramm) c) Reiner Antrieb (ohne Dämpfung) Poincare Schnitte Dynamik des chaotischen Pendels Fixiere Ω = 2 und r = Variiere F 0 : Beispiele für F 0 = 0.95,.07,.5 Zeige jeweils Phasendiagramme, Poincareschnitte, Powerspectren Für die gegebene Parameter gilt für die Antriebsfrequenz Analyse durch P = Ω 2π = 3π 0.

10 0 KAPITEL 3. NICHTLINEARE SYSTEME a) Bifurkationsdiagramm - Fixpunkte - Periodenverdopplung - chaotischer Bereich - Periodische Fenster - Feigenbaum-Konstante 4 Bem.: Bei dieser Abbildung gilt y n+ = F(y n ) und zur Berechnung muss DGL gelöst werden, zu jedem Schritt. Also kompliziertere Analyse als vorher bei logistischer Abbildung. b) Lyapunov-Exponent Misst Entfernungsrate der Punkte λ N N log [ (x k x k ) 2] k= Reskalierung notwendig, um Pkt. wieder nah zusammen zu bringen. In mehreren Dimensionen möglicherweise richtungsabhängige λ i, hier i =, 2, 3. Für Chaos muss ein λ i > 0 sein. Andere können kleiner sein. 3.3 Satz von Lionville Bei Hamiltonschen Systemen können sich Trajektorien im Phasenraum nicht schneiden. Betrachte Umgebung eines Punktes x. Volumen bleibt erhalten, da keine Trajektorien eindringen können. Anders formuliert: Phasenraumdichte bleibt erhalten ρ = N V (3.45) mit N: Punkte im Phasenraum, z.b. Verschiedene Anfangsbedingungen, und V = q... q f p... p f, Phasenraumvolumen. Der Satz von Lionville lautet Die Dichte der Punkte im Phasenraum in der Umgebung eines mitbewegten Punktes ist erhalten. Wobei mitbewegt hier heißt: durch Hamiltonsche Gleichungen bewegt. Beweis: (siehe Greiner, oder Müther-Skript) 3.4 Literatur. Peitgen, H.-O. et al. Chaos: Bausteine der Ordnung 2. Schuster, H.-G. : Deterministisches Chaos 3. Greiner, W.: Theoretische Physik: Klassische Mechanik II

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