lineare Funktion: Graph: Gerade mit der Steigung a und dem y-achsenabschnitt b. quadratische Funktion: Graph: Parabel, sofern a 0

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1 1 7. Der Graph einer quadratischen Funktion lineare Funktion: Graph: Gerade mit der Steigung a und dem y-achsenabschnitt b. quadratische Funktion: Graph: Parabel, sofern a 0 Es wird im Folgenden untersucht, wie die Parameter a, b, c interpretiert werden können. 1. Spezialfälle: a) : Skizze: 1, 2,, Der Graph der Funktion : 0 (Die Kurve mit der Gleichung ) ist eine quadratische Parabel. Die y-achse ist Symmetrieachse, der Nullpunkt Scheitelpunkt der Parabel. Die Parabel ist für a > 0 nach oben, für a < 0 nach unten geöffnet. Der Parameter a bewirkt eine Dehnung oder Pressung der Normalparabel in y-richtung im Verhältnis 1 (so genannte normale Affinität zur x-achse). Hinweis: Eine Ellipse ist das normalaffine Bild eines Kreises. Für welchen Wert des Parameters a geht die Parabel mit der Gleichung durch den Punkt Q(-3, 6)? Die Koordinaten des Punktes Q erfüllen die Kurvengleichung: Wegen 3 6 gilt 6 9 oder also b) :,, 0 Skizze: 0, 3, 2 Der Graph der Funktion : ist eine zur y-achse symmetrische Parabel mit dem Scheitel 0,. Sie entsteht aus der Parabel durch Translation um den Vektor 0.

2 2 Eine zur y-achse symmetrische Parabel geht durch die Punkte P(, 2) und Q(2, -1). Wie heisst ihre Gleichung. Ansatz: : Die Parameter a und c sind so zu bestimmen, dass die Koordinaten von P und Q die Funktionsgleichung erfüllen: Addiert man das (-1)-fache der zweiten Gleichung zur ersten so erhält man: und nach Einsetzen in eine der beiden Gleichungen 2 Die Gleichung der Parabel lautet damit 2. c) :,, 0 In diesem Fall können die Schnittpunkte der Parabel mit der x-achse unmittelbar angegeben werden: 0 und! " Aus Symmetriegründen liegt der Scheitel folglich in der Mitte an der Stelle #! Koordinate v des Scheitels ergibt sich dann aus der Funktionsgleichung zu $ #. Skizze :, 2 Scheitel 2, 2 denn #! & 2 und $ 2 2. " Verallgemeinerung : Liegt die Gleichung in der Form vor, so ergeben sich daraus die x-koordinaten der beiden Schnittpunkte zu x1 und x2. Aus Symmetriegründen ist dann die x- Koordinate des Scheitels #. Eine quadratische Funktion hat die beiden Nullstelle -2 und 6. Der Graph schneidet die y-achse im Punkt P(0,) Ansatz: : 2 6 a ist bestimmt durch die Bedingung und damit Die gesuchte Funktionsgleichung ist damit : 2 6 ". Die y-

3 3 d) Mit c) ist die x-koordinate u des Scheitels auch im allgemeinen Fall bekannt, denn der zusätzliche Summand c verändert nur die y- Koordinate des Scheitels. Beispiel: , 2, 3 Die Parabel entsteht aus der Parabel von Beispiel c) durch eine Translation um 3 in y-richtung. Die Funktionsgleichung kann durch quadratische Ergänzung folgendermassen umgeformt werden: In dieser Form sind die Scheitelkoordinaten 2, 1 direkt zu erkennen. Vorgehen im allgemeinen Fall: Wegen c) kann die x-koordinate des Scheitels angegeben werden #!. Die y- " Koordinate erhält man, indem man u in die Parabelgleichung einsetzt: $ #. Illustration an einem Beispiel x-koordinate des Scheitels: # 1 $ 1 ( & ( Es handelt sich also um eine Parabel mit dem Scheitel 1,. Sie geht durch eine Parallelverschiebung aus der Ursprungsparabel mit der Gleichung hervor. Umformen mit quadratischer Ergänzung ergibt 2 1 ( 1 (. In dieser Form sind die Koordinaten des Scheitels unmittelbar zu erkennen. Allgemein gilt Der Graph der Funktion : ist eine Parabel mit dem Scheitel )!,! *. Sie geht aus der Ursprungsparabel mit der Gleichung " " durch eine Translation hervor. Für a > 0 ist sie nach oben, für a < 0 nach unten geöffnet. Bemerkung: Die Form der Parabel wird also allein durch den Wert des Parameters a bestimmt. b bzw. c bestimmen die Lage der Parabel im Koordinatensystem.

4 Die Scheitelkoordinaten können auch bestimmt werden, indem man den Funktionsterm mit quadratischer Ergänzung auf die Form # $ bringt. Beispiel: Die Parabel entsteht aus der Parabel mit der Gleichung durch eine Parallelverschiebung um 3 Einheiten in positiver x-richtung und um Einheiten in negativer y-richtung hervor. Lösung im allgemeinen Fall : ) + 2 ) ) ), ) ) - Für die Scheitelkoordinaten gilt damit: #! ", $! ". ". Der Graph der Funktion : # $ ist eine Parabel mit dem Scheitel #, $. Sie geht aus der Parabel mit der Gleichung durch eine Translation um den Vektor # $ hervor. Bemerkung: Schreibt man dieses Ergebnis in der Form $ #, dann ist ausserdem eine Aussage zu erkennen, die allgemein gültig ist: Ersetzt man in einer Gleichung durch # und durch $, so bedeutet dies eine Verschiebung des Graphen um den Vektor # $. Beispiel: Gleichung des Kreises mit Mittelpunkt M(0, 0) und Radius 0 5: 5 Gleichung des Kreises mit Mittelpunkt M(2, -3) und Radius Übungsaufgaben: Gesucht ist der Scheitel der Parabel a) 2

5 5 b) Lösungen: a) 1 2 Scheitel 1, 2 b) Scheitel 2, 2 8. Parabelgleichung gesucht Wie lautet die Gleichung der Parabel mit den angegebenen Eigenschaften: a) wenn der Scheitel S(3, ) und der Parabelpunkt A(-1, 0) gegeben sind. b) wenn die Parabelpunkte A(2, 5), B(, ) und C(-2, 1) gegeben sind. a) Ansatz: : 3 Die Koordinaten von A erfüllen die Gleichung oder a ( 1+ 3) 2 + = 0 führt auf Gesuchte Funktionsgleichung: : 3 b) Ansatz: Die Koordinaten der drei Parabelpunkte erfüllen die Parabelgleichung: f Mit Einsetzen ergibt sich wegen 1 zunächst und schliesslich Gesuchte Funktionsgleichung:

6 6 Gemäss einer Faustformel gilt für die Anhaltestrecke eines Autos bei nasser Strasse $ $ 5$ $bezeichnet die Anhaltestrecke in Meter, v die Geschwindigkeit in km/h, c, d sind Konstanten. Man weiss, dass und gilt. Welche Anhaltestrecke ist gemäss der Faustformel bei 130 km/h zu erwarten? (ohne Gewähr!) Das Gleichungssystem Hat die Lösungen und Die gesuchte Anhaltestrecke beträgt :