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1 % 1.3 Funktionen Seien und Mengen nennt man Funktion oder Abbildung. Beachte: Zuordnung ist eindeutig. Bezeichnungen: : Definitionsbereich : Bildbereich (Zielmenge) von Der Graph einer Funktion: graph! " $&%' ( 21 Sei ) Für 0 %' : das Bild von ) unter der Funktion ist gegeben durch +,. )* ) nennt man 1 02 das Urbild von 0 unter der Funktion. Eine Funktion ist surjektiv, falls injektiv, falls 79 5 stets wenigstens eine Lösung hat, d.h. 6 stets höchstens eine Lösung hat, d.h. : 9;=< > 9 22

2 Eine Funktion ist bijektiv, falls gleichzeitig injektiv und surjektiv ist Injektive Funktionen besitzen eine Umkehrfunktion Ist bijektiv so gilt 1 ; 1 Bemerkung: Die Umkehrfunktion einer reellwertigen Funktion einer reellen Variablen erhält man durch Spiegelung an der Diagonalen 23 Komposition von Funktionen: Sei und. Definiere Eigenschaften der Komposition: a) assoziativ b) in der Regel nicht kommutativ c) Sei Menge eine Menge, setze +, nennt man symmetrische Gruppe von bijektiv 24

3 1 1 Die symmetrische Gruppe von Gruppenaxiome G1) G2) 1 1 G3) : : (Assoziativgesetz) (neutrales Element) (inverses Element) Dabei ist und 1 die Identität (als Funktion), d.h. die Umkehrfunktion von. 25 Elementare Funktionen: a) Affin lineare Funktion Der Graph ist eine Gerade in der euklidischen Ebene b) Polynome Dabei bezeichnet c) Exponentialfunktion den Grad des Polynoms Für die Exponentialfunktion gilt * reell. 26

4 % < + % c) Exponentialfunktion (Fortsetzung) Speziell: Exponentialfunktion, zum Beispiel definiert durch (Eulersche Zahl) d) Logarithmus 4 Umkehrfunktion der Exponentialfunktion (< nur definiert für positive ) Für den Logarithmus gilt ; Speziell: natürlicher Logarithmus (Basis ) mit! " > 27 e) Trigonometrische Funktionen Bogenmaß: $ &%' + Kreiszahl ( ',) '. y $ ( *) $ ( ϕ P 1 sin ϕ tan ϕ sin ϕ = cos ϕ x cos ϕ Bild: Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis 2

5 < < < + + Eigenschaften: Es gelten: (i) (ii) (iii) (iv) Wertetafel: (v) Additionstheoreme $ $ $ $ $ $ ( 3 $ $ $ ( ( % ( $ + $ + $ $ ( ( 29 Kapitel 2: Zahlenbereiche 2.1 Natürliche Zahlen Die Menge der natürlichen Zahlen wird abstrakt durch die Peano Axiome definiert: (A1) (A2) > (A3) (A4) % (A5) für eine Teilmenge ) gilt ) ) < 4) =< ) Die Nachfolgeabbildung ist eine injektive Abbildung 31

6 ) ) ) ) ) Das Vollständigkeitsaxiom (A5) ist Grundlage des Beweisprinzips der vollständigen Induktion Zu beweisen sei: Für alle gilt: die Aussage ) ist wahr, also Dabei ist ) eine Aussageform, die von abhängt. 32 Gelten nun und für beliebiges so ist die Aussage ) < ) für alle (Induktionsanfang) (Induktionsschluss) wahr. Wichtig: Induktionsschluss muss für ein beliebiges, festes Man nennt daher bewiesen werden die Induktionsannahme die Induktionsbehauptung 33

7 ) % Beispiel: Anzahl Finde eine Formel für für für Es gilt: 4 39 Teilmengen: ; es gibt ) der Teilmengen einer elementigen Menge 39, die für kleine Teilmengen Teilmengen: ; es gibt % Teilmengen Vermutung: Allgemein gilt 39 d.h. eine elementige Menge besitzt genau gilt: Teilmengen 34 Satz: Eine elementige Menge ) Beweis: (durch vollständige Induktion) : Wie gezeigt, gilt > besitzt Teilmengen : Sei beliebig, aber fest. Induktionsvoraussetzung: Eine elementige Menge hat Teilmengen Zu beweisen ist: ) hat Teilmengen. Setze ) mit Nach Induktionsvoraussetzung besitzt genau Elemente, denn die Elemente aus 6 39 sind gerade die Teilmengen von ). 35

8 + Jedes Element aus hat die Form wobei Also besitzt die Menge Elemente. 3 Nach Konstruktion gilt Daraus folgt aber, dass % wieder nach Induktionsvoraussetzung ebenfalls ) genau Elemente besitzt. 36 Beispiel: Wieviele Vertauschungen (Permutationen) des Tupels gibt es? Suche wiederum eine Formel für kleine + Es gilt: : (1) : 1 Permutation : (1,2), (2,1) : 2 Permutationen : (1,2,3), (1,3,2) (2,3,1), (2,1,3) : 6 Permutationen (3,1,2), (3,2,1) > Vermutung: Allgemein gilt d.h. ein Tupel besitzt genau Permutationen. : 37

9 Satz: + Es gibt (bzw.., Beweis: (durch vollständige Induktion) 4 : Wie gezeigt, gilt : Sei beliebig, aber fest Induktionsvoraussetzung: Zu beweisen ist: Das Permutationen des Tupels paarweise verschieden) Ein Tupel besitzt Permutationen Tupel besitzt Permutationen Betrachte spezielle Permutation wobei < Permutation der Menge paarweise disjunkte Klassen von Permutationen <. 3 Folgerung: Eine elementige Menge besitzt genau + elementige Teilmengen. Dies gilt für alle ganzen Zahlen, wobei zusätzlich gesetzt wird. Beweis: Vollständige Induktion unter Verwendung des nächsten Satzes Bezeichnung: Die natürlichen Zahlen nennt man Binomialkoeffizienten. 39

10 Satz: a) Für,, gilt die Rekursionsformel: b) Für reelle (und auch komplexe) a,b und 6+ gilt der. Binomische Lehrsatz: 40 Definition: Allgemeine Summen und Produkte (falls, leere Summe) (falls ) (falls ) (falls, leeres Produkt) 41

11 Definition: Potenzen für. 1 für Dann gelten die Potenzgesetze: 42 Satz: a) Für,, gilt die Rekursionsformel: b) Für reelle (und auch komplexe) a,b und 6+ gilt der. Binomische Lehrsatz: 43

12 Beweis zu a): 44 Beweis zu b): : : (vollständige Induktion)

13 ' ' denn 1 46 Berechnung der Binomialkoeffizienten mit Hilfe des Pascalsches Dreieck + + % %. Beispiel: Binomischer Lehrsatz ' ' ' ' 47

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