A = α α 0 2α α

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1 Aufgabe 8. Berechnen Sie abhängig von α R die Dimension dim(f(r 4 )) und die Dimension dim(kern(f)) sowie je eine Basis von f(r 4 ) und Kern(f) der linearen Abbildung f : R 4 R 4, x Ax mit der Matrix A := α α 2α α R α Bestimmung von Kern(A) = {x R 4 Ax = } Mittels elementarer Zeilentransformationen gelangt man auf Zeilenstufenform von: A = α α 2α α α α 2α + 4 α 2 2 α 2 V 2 α 4 α α 2α 2 α 2V 4 α α 2α =: B. Fall α = : Zur Bestimmung von Kern(A) bleiben 2 (wesentliche) Gleichungen für 4 Unbekannte von x R 4 übrig, d.h. der Zeilenrang ist 2 (= Spaltenrang) also rg(a) = rg(b) = 2 und wir können o.e. x und als freie Parameter wählen: x Kern(A) = Kern(B) = {x R 4 Bx = } = x R 4 4 x = = {x R 4 x = λ, = µ, λ, µ R = x = λ} = x R 4 x = λ + µ λ, µ R {, } ist eine Basis von Kern(A) und dim(kern(a)) = 2. Beachte: dim(kern(a)) + dim(a(r 4 )) = dim(r 4 ) dim(a(r 4 )) = rg(a) = 2 und die beiden ersten Spalten von A bilden eine Basis von A(R 4 ). Beachte: Ax = ist eine Linearkombination des Nullvektors mit den Spaltenvektoren von A. Wählt man x = =, so erhält man eine Linearkombination der ersten beiden Spaltenvektoren und aus der Berechnung des Kerns, dass diese linear unabhängig sind. Fall α : Zur Bestimmung von Kern(A) bleiben (wesentliche) Gleichungen für 4 Unbekannte von x R 4 übrig, d.h. der Zeilenrang ist (= Spaltenrang) also rg(a) = rg(b) = und wir können o.e. als freien Parameter wählen: x Kern(A) = Kern(B) = {x R 4 Bx = } = x R 4 4 α α 2α x = = { x R 4 x4 = λ R x = 2λ = 4 αx = λ α 2 x = x = λ( α 2 2)}

2 = x R 4 α 2 2 x = λ α 2 2 λ R = x R 4 α 4 α 4 x = λ α 4 λ R { α ist eine Basis von Kern(A) und dim(kern(a)) =. Beachte: dim(kern(a)) + dim(a(r 4 )) = dim(r 4 ) dim(a(r 4 )) = rg(a) = und die ersten drei Spalten von A bilden eine Basis von A(R 4 ); Begründung anlaog zum obigem Fall. } Aufgabe 84. Gegeben seien die linearen Gleichungssysteme x a) 2 x x = i i 5, b) y ( y i 2 = ) y x 5 mit x,..., x 5 R und y,..., y C. Geben Sie die Lösungsmengen der obigen Gleichungssysteme an. Zu gegebenem linearen Gleichungssystem der Gestalt A x = b mit A K n m und b K n finden wir alle Lösungen x K m z.b. durch elementare Zeilenumformungen der zusamengesetzten Matrix (A b) auf Zeilenstufenform. a) Wir geben alternativ zwei Lösungswege an: Der erste Lösungsweg entspricht dem üblichen Weg, eine Matrix auf Zeilenstufenform (und zusätzlich in echte Diagonalform) zu bringen. Dazu werden 9 Matrizenumformungen benötigt. Dass dies auch mit weniger Umformungen möglich ist, zeigt der zweite Lösungsweg. Da aber der kürzeste (was heißt das überhaupt?) Lösungsweg alles andere als offensichtlich ist,, haben wir an dieser Stelle beide Lösungswege aufgeführt. Bemerkung: m ersten Lösungsweg schreiben wir die Angabe der vorgenommenen Umformung jeweils hinter die Zeile, in der sie tatsächlich vorgenommen wird. m zweiten Lösungsweg schreiben wir die im nächsten Schritt vorzunehmende Umformung bereits hinter die aktuelle Matrix. Beides sind Möglichkeiten zur Kennzeichnung von Matrizenumformungen. Entscheiden Sie, welche hnen besser gefällt, aber bitte kennzeichnen Sie hre Umformungen jeweils in hrem eigenen nteresse.. Weg: Es ist K = R, A R 4 5. Vorwärtsschritt: (A b) = V 2 V + 2

3 V 2 V 5 V V + Rückwärtsschritt 4 V V + V + V V V + V x = x x x 5 = λ, λ R. 2. Weg: Es ist K = R, A R 4 5 und (A b) = V + V + 2 V 2 V

4 V 2 2 V Vertauschen wir in letzter Matrix die Zeilen zyklisch, so erhalten wir die Zeilenstufenform, und daraus x =, =, x = λ R, = und x 5 =, also x x = λ = + λ, λ R. x 5 Beachte: Die Zeilenstufenform liefert 4 (wesentliche) Gleichungen für 5 Unbekannte. Daher ist Rg(A) = 4 und Dim(R 5 ) Rg(A) = also eine Unbekannte (hier x ) als freier Parameter wählbar. 2 + i i b) Hier ist K = C, A C 2 und (A b) = i Wegen a 2 = ist es sinnvoll (und zulässig!), die beiden Zeilen zu vertauschen: i (A b) 2 + i i (2 + i) i i 2i + i ( i) i 2 + i Daraus lesen wir x + ( i) x = und + 2 x = + i, also x = + ix und = + i 2x mit frei wählbarem Parameter x = µ C ab. Die Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b lautet dann x = x x = + iµ + i 2µ µ = + i + µ i 2, µ C. Beachte: Die Zeilenstufenform liefert 2 (wesentliche) Gleichungen für Unbekannte. Daher ist Rg(A) = 2 und Dim(C ) Rg(A) = also eine Unbekannte (hier x ) als freier Parameter wählbar. 4

5 Aufgabe 85. Matrizenrechnung. Es seien A, B, C R drei reelle ( )-Matrizen. Es gelte A B = C. Ersetzen Sie in der folgenden Gleichung die Variablen durch Zahlen: a 2 a 2 a 2 2 b 2 b 22 2 b 2 2 = 2 c 4 c 2 c. Gegeben ist die Matrixgleichung A B = C mit A = a 2 2 a 2, B = 2 b 2 b 22 2, C = 2 c 4 c 2. () a 2 b 2 2 c Wir multiplizieren das Matrixprodukt A B aus und erhalten die zu () äquivalente Gleichung 2a a b 2 + 2b 22 + b 2 + a 2a 2 a 2 b 2 + b 22 + b a 2 = 2 c 4 c 2. 2a a b 2 b 22 2b a c Koeffizientenvergleich liefert das zu () äquivalente, nicht-lineare Gleichungssystem () 2a = 2, () 2a 2 = 4, () 2a =, (V) a b 2 + 2b 22 + b 2 =, (V) a 2 b 2 + b 22 + b 2 =, (V) a b 2 b 22 2b 2 =, (V) + a = c, (V) 8 + a 2 = c 2, (X) 6 + a = c, in den 9 Unbekannten a, a 2, a, b 2, b 22, b 2, c, c 2, c. Aus (), () und () erhält man unmittelbar a =, a 2 = 2 und a =. Einsetzen in (V), (V) und (X) liefert c =, c 2 = und c = 6. Setzt man a =, a 2 = 2, a = wiederum in (V), (V) und (X) ein, erhält man folgendes lineares Gleichungssystem in b 2, b 22, b 2 (V) b 2 + 2b 22 + b 2 =, (V) b 2 + 2b 22 + b 2 =, (V) 2b 2 + b 22 + b 2 =, 2 (V) + (V) = (V) b 22 b 2 =, (V) b 22 2b 2 =, (V) = (V) b b 2 =, (V) b 2 + 2b 22 + b 2 =, (V) = (V) b 22 + b 2 =, b 2 =, b 22 = 2 und b 2 = 2 (V) + (V) = (V) b 2 =, n Matrixschreibweise mit den selben Zeilenumformungen: b 2 = 2, 2 b 22 = 2, 2 2 b 2 =. Die Lösungen der Matrixgleichung () lauten also A = 2 2 2, B = , C =