AUFGABENSAMMLUNG ZU VEKTORRECHNUNG FÜR USW

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1 AUFGABENSAMMLUNG ZU VEKTORRECHNUNG FÜR USW Lineare Gleichungssysteme Lösen Sie folgende Gleichungssysteme über R: a) x + x + x = 6x + x + x = 4 x x x = x 7x x = 7 x x = b) x + x 4x + x 4 = 9 x + 9x x x 4 = x + 6x x 4x 4 = x 6x x + 4x 4 = Berechnen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichungssysteme über R: a) x x + x + 5x 4 x 5 = x + x x 4 5x 5 = x + 5x x + x 4 + 5x 5 = b) x 4y + z = x 6y z = 4x + y z = Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem über C: iz + ( + i)z = z iz + z = i z + ( + i)z + ( + i)z = i 4 Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem über C: ( + i)z + z z = i z iz = ( + i)z + ( i)z z = i 5 Lösen Sie folgende Gleichungssysteme über R: a) y + y 4 = y + y = y + y 5 = y y 4 = b) y + y = y + y = y y = y y = c) y + y = y y = y y = y + y =

2 6 Berechnen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems mit der erweiterten Koeffizientenmatrix a), b) 4 5 5, c) Berechnen Sie die Lösungsmenge des nichtlinearen Gleichungssystems für die Variablen α, β, γ, wobei α < π, β < π, γ < π: sin α cos β + tan γ = 4 sin α + cos β tan γ = 6 sin α cos β + tan γ = 9 8 Berechnen Sie die Lösungsmenge des nichtlinearen Gleichungssystems 4x + y + z = 4 x z = x y + z = 9 Untersuchen Sie das vom Parameter a R abhängige Gleichungssystem auf Lösbarkeit und berechnen Sie sämtliche Lösungen: x + x + ax = x + (a + )x + (a )x = ax + (a )x + ax = Bestimmen Sie die Lösbarkeit des folgenden Gleichungssystems in Abhängigkeit von den reellen Parametern α und β: Gegeben ist die Matrix a) Bestimmen Sie den Rang von A αx + x = β x + (α )x + αx = β + x + x αx = 7 9 A = b) Wieviele Lösungen hat ein homogenes Gleichungssystem mit A als Koeffizientenmatrix? c) Wieviele Lösungen kann ein inhomogenes Gleichungssystem mit A als Koeffizientenmatrix haben?

3 Wie Aufgabe für 7 9 A = Untersuchen Sie die Lösbarkeit des folgenden linearen Gleichungssystems und geben Sie im Fall der Lösbarkeit alle Lösungen an: mit a) b = 7, b = 5, b =, b 4 =, b 5 = b) b = 6, b = 5, b =, b 4 =, b 5 = x + x + x 5 + x 6 = b x + 4x 4 = b x x 4x 4 + x 5 + x 6 = b x x + x + x 4 + 4x 5 = b 4 x + x x 4 + 5x 5 + x 6 = b 5 4 Sind die beiden Mengen { { L = +s +t }, s, t R L = gleich? Vektorräume 5 Bildet die Teilmenge M des Vektorraums R n einen Unterraum von R n? a) M = {(x,, x n ) R n n i= x i = } b) M = {(x,, x n ) R n n i= x i = } c) M = {(x,, x n ) R n x x x n = } 4 } +s +t s, t R 6 Stellen Sie den Vektor z = (, 4, ) dar als Linearkombination der Vektoren a =, b =, c = 7 Bilden die jeweils gegebenen Vektoren ein Erzeugendensystem des R? 5 5 a) v = 4, v =, v =, v 4 = 7, v 5 = 9 b) a =, b =, c = 4, d = 4

4 6 c) u = 5, v = 4, w = 5 d) x = 5, y =, z = 9 8 Bilden die jeweils gegebenen Vektoren aus der vorigen Aufgabe eine Basis des R? 9 Ist die Menge eine Basis des C über C? { i, i, i i } v, v, v, v 4, v 5 seien die Vektoren aus Aufgabe 7a a) Zeigen Sie, daß der Vektor x = (,, ) in L({v, v, v, v 4, v 5 }) liegt b) Zeigen Sie, daß der Vektor x = (,, ) nicht in L({v, v, v, v 4, v 5 }) liegt z sei der Vektor aus Aufgabe 6 a) Stellen Sie z als Linearkombination von u, v, w aus Aufgabe 7c dar b) Geben Sie sämtliche Möglichkeiten an, wie z als Linearkombination der Vektoren aus Aufgabe 7b dargestellt werden kann Gegeben sind die vier Vektoren a = (6,, 5), b = ( 4,, ), c = (, 4, 5), d = (,, ) a) Gilt a L({b, c, d})? b) Gilt d L({a, b, c})? a) Sind die Vektoren v = (,,,, ), v = (,, 5,, ), v = (4,, 9, 5, ) des R 5 linear unabhängig? b) Sind die Vektoren u, v, w aus Aufgabe 7c linear unabhängig? c) Sind die Vektoren x, y, z aus Aufgabe 7d linear abhängig? 4 Überprüfen Sie die Behauptungen aus Satz anhand der Matrix A aus Aufgabe 5 a) Für welchen Wert (welche Werte) des Parameters α sind die Vektoren (, 4, ), (6,, α), (5,, ) des R linear abhängig? b) Für welchen Wert (welche Werte) des Parameters β sind die Vektoren (5,, ), (, β, ), (, 6, ), (, 4, ) des R linear unabhängig? 6 Gegeben ist der Unterraum U = L(, 9 6, 6 4, 5, 8 5 ) des R 4 über R Bestimmen Sie die Dimension von U und geben Sie zwei verschiedene Basen von U an 4

5 7 Gegeben sind für R die beiden geordneten Basen ( ) ( ) B =,,, B =,, (,, 5) sei der Koordinatenvektor eines Vektors x bezüglich B Berechnen Sie [x] B 8 Gegeben sind für R die beiden geordneten Basen B, B aus Aufgabe 7 (, 7, 4) sei der Koordinatenvektor eines Vektors x bezüglich B Berechnen Sie [x] B 9 a) Zeigen Sie, daß die Vektoren v =, v =, v = eine Basis des R bilden b) Berechnen Sie die Koordinatenvektoren [e ] B, [e ] B, [e ] B für die Einheitsvektoren e, e, e des R bezüglich der geordneten Basis B = (v, v, v ) c) Geben Sie [v ] B, [v ] B, [v ] B und [v v ] B an Berechnen Sie das Interpolationspolynom dritten Grades zu den Punkten (x i, y i ) = (, 6), (, ), (, 4), (, 6) Gegeben sind die Stützstellen x =, x =, x =, x 4 = a) Bestimmen Sie die zugehörigen Lagrange-Polynome ψ, ψ, ψ, ψ 4 b) Stellen Sie das Interpolationspolynom aus Aufgabe als Linearkombination der Lagrange-Polynome aus a) dar Lineare Abbildungen und Matrizen Welche der folgenden Abbildungen sind linear? a) f : R n R n, f(v) = v b) g : R 4 R 4, g(v) = v + (,,, ) x ( ) c) h : R R, h( x + x x ) = + x x x x x x x + x d) q : R R, q( x ) = x x + x x + x x Welche der folgenden Abbildungen sind linear? a) f : C C, f(z) = z ( z = a bi konjugiert komplexe Zahl zu z = a + bi) ( ) iz + z b) g : C C z, g( ) = z + ( i)z c) h : C 4 C 4, h( z z ) = z z 4 z 4 z z z z z

6 4 Welche der folgenden Abbildungen sind linear? a) ϕ : C([a, b]; R) R, ϕ(f) = b) φ : C([a, b]; R) R, φ(f) = b a b a x f(x)dx xf(x) dx c) D : C ((a, b); R) C((a, b); R), (Df)(x) = f (x) für alle x (a, b) d) D : C ((a, b); R) C((a, b); R), (D f)(x) = f (x) für alle x (a, b) 5 Überprüfen Sie die Behauptung aus Satz 5 anhand der Abbildung f : R R, ( ) ( ) x x + x f( ) = x x x 6 Überprüfen Sie die Behauptung aus Satz 6 anhand der Abbildung f aus Aufgabe 5 und der Abbildung g : R R, x ( ) g( x x ) = x x + x + x 7 Bestimmen Sie Kern und Bild der linearen Abbildungen aus Aufgabe 8 Bestimmen Sie Kern und Bild der linearen Abbildungen aus Aufgabe 9 Sind die linearen Abbildungen aus Aufgabe injektiv bzw surjektiv bzw bijektiv? 4 Sind die linearen Abbildungen aus Aufgabe injektiv bzw surjektiv bzw bijektiv? 4 Gegeben ist die lineare Abbildung f : R 4 R, x f( x x + 6x + 9x x 4 x ) = 8x 4x 6x + 5x 4 4x x + x + x x 4 4 Bestimmen Sie eine Basis für Kern(f) und eine Basis für Bild(f) Ist f injektiv? Ist f surjektiv? 4 Gegeben sind die Matrizen 4 A = 5, B = ( ), C = 6 ( ) Berechnen Sie, falls möglich, A + B, A + C, B B, C C 4 Weisen Sie nach, daß B = (( ), ( ), eine geordnete Basis des Vektorraums R ist ( ), ( )) 6

7 44 Berechnen Sie den Koordinatenvektor der Matrix A = B aus Aufgabe 4 ( ) bezüglich der Basis 5 45 Berechnen Sie, falls möglich, AB, BA, CC, C C, A, B mit den Matrizen A, B, C aus Aufgabe 4 46 Gegeben sind die Matrizen A =, B = Berechnen Sie (A + B), A + AB + B und A + AB + BA + B 47 Verifizieren Sie das passende Distributivgesetz aus Satz 4 für die Matrizen ( ) 5 ( ) 4 X =, Y =, Z = 48 Verifizieren Sie das Assoziativgesetz aus Satz 4 für die Matrizen 5 ( ) X =, Y =, Z = 49 Berechnen Sie die Inversen aller invertierbaren Matrizen aus Aufgabe 45 5 Verifizieren Sie die Behauptung aus Satz 5 für die Matrix A = 5 Verifizieren Sie die Behauptung aus Satz 5 für die Matrizen A =, B = 5 Es sei A R eine vorgegebene Matrix und die Abbildung f : R R sei definiert durch ( ) x x f(x) = AX für alle X = R x x a) Zeigen Sie, daß f linear ist b) Berechnen Sie Kern(f) und Bild(f) wenn A = ( ) 6 5 Überprüfen Sie die Behauptungen 5 aus Satz 6 anhand der Matrix A aus Aufgabe 5 7

8 54 Die Werte einer linearen Abbildung ψ : R 4 R 4 sind auf einer Basis des R 4 gegeben durch 6 ψ( ) =, ψ( ) =, ψ( ) =, ψ( ) = 4 Bestimmen Sie die Matrix A, sodaß ψ(x) = Ax für alle x R 4 gilt 55 Wie Aufgabe 54 für die lineare Abbildung f : R R 4, ( ) ( ) f( ) = 4 ), f( ) = ) 56 Bestimmen Sie die Matrix der linearen Abbildung f : R 4 R 4, x x + x 4 f( x x ) = x + x + x x + x 4, x 4 x + x 4 weisen Sie nach, daß f bijektiv ist, berechnen Sie die Matrix von f und geben Sie f explizit an 57 Gegeben ist die lineare Abbildung g : R 4 R 4, x g( x x ) = x 4 x 4 x x x + x a) Weisen Sie nach, daß g bijektiv ist und berechnen Sie die Matrix von g b) Geben Sie die Umkehrabbildung von f g explizit an, wobei f die Abbildung aus Aufgabe 56 ist 58 Gegeben ist die lineare Abbildung f : R R, f( x x x ) = ( x + x + x x x x Berechnen Sie [f] B,C mit den geordneten Basen B =,,, C = ) (( ), ( )) 8

9 59 Gegeben ist die lineare Abbildung f : R R, ( ) x + x x f( ) = x x x Berechnen Sie [f] B,C mit den geordneten Basen (( ) ( )) B =,, C =,, 6 Gegeben sind die Basen B und B aus Aufgabe 7 a) Berechnen Sie [id] B,B b) Lösen Sie Aufgabe 7 mithilfe von a) c) Berechnen Sie die Basiswechselmatrix zum Basiswechsel von B zu B 6 B =,, 4 ist eine Basis des R und E, E sind die Standardbasen von R bzw R Die Matrix der linearen Abbildung f : R R bezüglich B und E ist durch ( ) [f] B,E = gegeben Berechnen Sie die Matrix von f bezüglich E und E 6 Welche der folgenden Matrizen sind zueinander ähnlich: ( ) ( ) ( ) A =, B =, C =? 6 Lösen Sie die Matrixgleichung AX + B = mit ( ) 5 A =, B = 64 Zeigen Sie, daß die Matrixgleichung AX + B = mit ( ) 6 A =, B = nicht lösbar ist 65 Lösen Sie die Matrixgleichung AX + B = mit ( ) 6 A =, B = ( 4 ( 4 ( 4 ) ) )

10 4 Determinanten 66 Berechnen Sie a) durch Transformation auf obere Dreiecksgestalt, b) durch Transformation auf untere Dreiecksgestalt, c) mit dem Entwicklungssatz 67 Berechnen Sie mit der Regel von Sarrus 4 a) 4 4 b) c) 5 68 Für welchen Wert (welche Werte) des reellen Parameters β gilt det(a) =? 6 a) A = β b) A = β β β 6 β 6 c) A = 6 6 d) A = β 6 β β 69 Berechnen Sie det(b) für B = (b ij ) R 6 6 mit { für j = i +, i =,, 5 b ij = für j = i, i =,, 6 sonst 7 Für zwei Matrizen A, B gelte det(ab) = 4, det(a B) =, det(b) > Berechnen Sie det(a) 7 Für eine Matrix A gelte det(a) = 6 und det( A) = 64 9 Wieviele Zeilen hat A? 7 Es sei bekannt, daß a b c d det e f g h i j k l = 7 m n p q Bestimmen Sie (nur unter Verwendung von Satz 4) m n p q det a b c d e f g h i j k l

11 5 Das Eigenwertproblem 7 Bestimmen Sie die Zerlegung des Polynoms p(x) = x 4 + 7x 4x + in p(x) = s(x)q(x) + r(x) mit q(x) = x + x und Grad r < 74 Bestimmen Sie die Zerlegung des Polynoms p(x) = x 5 + x 4 + 7x 8x in p(x) = s(x)q(x) + r(x) mit a) q(x) = x + x 6x, Grad r <, b) q(x) = (x + ), Grad r < 75 Bestimmen Sie jenes normierte Polynom kleinsten Grad, das genau die Nullstellen x = i, x = i, x = 5 besitzt 76 Das Polynom p(λ) = λ 4 λ 6λ + 4λ hat die Nullstellen λ = und λ = Finden Sie die restlichen Nullstellen von p 77 Das Polynom p(λ) = λ 5 λ 4 9λ + λ + 4λ 4 hat in λ = eine Nullstelle der Vielfachheit Berechnen Sie die restlichen Nullstellen von p 78 Bearbeiten Sie folgende Aufgabe ohne das Eigenwertproblem zu lösen: Welche der Vektoren v =, v =, v =, v 4 =, v 5 = sind Eigenvektoren der Matrix A = und wie lauten die zugehörigen Eigenwerte? 79 Berechnen Sie die Eigenräume der Matrizen ( ) 6 a) A = 8 ( ) 5 b) B = 8 Berechnen Sie die Eigenräume der Matrizen 4 a) A = b) B = 4 8 Berechnen Sie die Eigenräume der Matrix A =

12 8 Begründen Sie, warum die Matrix B aus Aufgabe 8 diagonalisierbar ist und geben Sie zwei verschiedene Diagonalmatrizen D, D an, die zu B ähnlich sind 8 Geben Sie zu Ihrer Matrix D aus Aufgabe 8 zwei verschiedene Transformationsmatrizen S und T an, für die S BS = D und T BT = D gilt und verifizieren diese Beziehungen 84 Begründen Sie, warum die Matrix A aus Aufgabe 8 nicht diagonalisierbar ist 85 Gegeben sind die linearen Abbildungen f, g : R R, x x f( x ) = 8x x + 4x, g( x ) = 8x x + 4x x 6x x + 4x x 8x x + 4x Gibt es Basen des R aus Eigenvektoren von f bzw g? Falls ja, geben Sie welche an 86 Bestimmen Sie jene Matrix, deren Eigenwerte λ = 4 und λ = sind und die folgende Eigenvektoren besitzt: ( ) ( ) zu λ, zu λ 87 Berechnen Sie A 675 und A 756 für 4 A = 4 88 Berechnen Sie durch Diagonalisierung A n für A = ( ) und beliebiges n N 89 Die Folge y(k), k =,,,, wird rekursiv definiert durch y(k) = y(k ) y(k ), k =,, 4,, wobei die Startwerte y(), y() gegeben sind Geben Sie die ersten sieben Folgenglieder an für die Fälle a) y() = 4, y() = b) y() =, y() = 9 Die Differenzengleichung zweiter Ordnung aus Aufgabe 89 läßt sich durch ( ) ( y(k) = ) ( ) ( ) y(k ) y(), k =,,, mit gegebenem, y(k ) y(k ) y() ( ) y(k) als System von Differenzengleichungen erster Ordnung in x(k) = schreiben y(k ) Benützen Sie Aufgabe 88 um das Verhalten von y(k) für k zu ermitteln 6 Euklidische Vektorräume 9 Verifizieren Sie die Beziehungen (a), (b), (c) sowie (a ), (b ) aus Definition 66 mit dem Standardskalarprodukt in R für x = 4, y =, z =, λ = 5

13 9 Berechnen Sie mit x, y, z, λ aus Aufgabe 9 die Normen x, y z und z + λx 9 Gegeben sind die Punkte A(5,, ), B(,, 6), C(6,, γ) Für welchen Wert (welche Werte?) von γ sind A, B, C die Eckpunkte eines rechtwinkeligen Dreiecks? 94 R 4 sei versehen mit dem Standardskalarprodukt Berechnen Sie U für 5 U = L( 5,, 4, ) Berechnen Sie U in R 5, versehen mit dem Standardskalarprodukt, wenn U die lineare Hülle folgender Vektoren ist: v =, v =, v =, v 4 = 96 R 4 sei versehen mit dem Standardskalarprodukt Schreiben Sie den Vektor x = (4,, 5, 6) R 4 als Summe x = u+w mit u U = L({(,,, ), (,,, ) }) und w U 97 a) Berechnen Sie die Matrix der orthogonalen Projektion π U : R 4 U auf den Unterraum U aus Aufgabe 96 b) Berechnen Sie π U (x) mit dem Vektor x aus Aufgabe 96 c) Berechnen Sie π U (u) mit dem Vektor u aus Aufgabe 96 d) Berechnen Sie π U (w) mit dem Vektor w aus Aufgabe a) Berechnen Sie U zum Unterraum U aus Aufgabe 96 b) Berechnen Sie die Matrix der orthogonalen Projektion π U : R 4 U auf den Unterraum U aus a) c) Berechnen Sie π U (x) mit dem Vektor x aus Aufgabe 96 d) Berechnen Sie π U (u) mit dem Vektor u aus Aufgabe Berechnen Sie [π U ] + [π U ], [π U ] [π U ] und [π U ] [π U ] mit den Matrizen [π U ], [π U ] aus den Aufgaben 97a) bzw 98b) Berechnen Sie die Näherungslösung ˆx des nicht lösbaren Gleichungssystems Ax = b und die Orthogonalprojektion von b auf Bild(A) für 7 A =, b = 7 Die viermalige Durchführung eines Experiments lieferte die Meßdaten x i - 4 y i 4 Bestimmen Sie die Gleichung der Regressionsgerade

14 LÖSUNGEN Lineare Gleichungssysteme 5 a) x = b) x = + s + t, 4 s, t R { a) L = s + t } s, t R b) L = z z = z i 4 z z = z + t i, t C a) y = + t, t R b) nicht lösbar c) y = ( ) { 5 { a) L =, b) L = t 5 }, t R 4 c) L = +s +t }, s, t R L = L =, π π π,, π π, 4

15 9 Falls a R \ {, }: Genau eine Lösung x = a +, Falls a = : Lösungsschar mit freien Parametern x = + s + t, s, t R, Falls a = : Nicht lösbar Falls α = und β = : Lösungsschar mit einem freien Parameter, Falls α = und β : Nicht lösbar, Falls α : Genau eine Lösung a) Rg(A) = b) unendlich viele c) falls Rg(A, b) = unendlich viele, falls Rg(A, b) = 4 keine Lösung a) Rg(A) = 4 b) genau die triviale Lösung c) genau eine Lösung Das Gleichungssystem ist lösbar genau dann, wenn b folgendes Gleichungssystem erfüllt: a) 4 ja b) nicht lösbar b + b 4 b 5 = b b b = 5 x = r + s + t, r, s, t R 5 a) nein b) ja c) nein 6 z = a + b c 7 a) nein b) ja c) ja d) nein 8 a) nein b) nein c) ja d) nein 9 ja Vektorräume 5

16 a) Das lineare Gleichungssystem λ v + + λ 5 v 5 = x ist lösbar b) Das lineare Gleichungssystem λ v + + λ 5 v 5 = y ist nicht lösbar a) z = 5 u 64 5 v w b) z = t 8 a 4t 8 b + ( + t 8 )c + td, t R a) ja b) nein a) nein b) ja c) ja 4 5 a) für α = b) für keinen 6 dim U =, Basen von U sind zb B =, 5, B =, [x] B = (, 7, 4) 8 [x] B = (,, 5) 9 a) b) [e ] B =, [e ] B =, [e ] B = 6 c) [v ] B = e, [v ] B = e, [v ] B = e, [v v ] B = e e p(x) = x x + 4x + a) ψ (x) = 6 (x x + x), ψ (x) = (x x x + ), ψ (x) = (x x x), ψ 4 (x) = 6 (x x) b) 6ψ (x) + ψ (x) + 4ψ (x) + 6ψ 4 (x) = x x + 4x + Lineare Abbildungen und Matrizen a) f linear b) g nicht linear c) h linear d) q nicht linear a) f nicht linear b) g linear c) h linear 4 a) ϕ linear b) φ nicht linear c) D linear d) D linear 5 6

17 6 7 Kern(f) = {o}, Bild(f) = R n, Kern(h) = L({(,, 6) }), Bild(h) = R i 8 Kern(g) = {o}, Bild(g) = L({, i }), Kern(h) = {o}, Bild(h) = C 4 9 f ist bijektiv, h ist surjektiv und nicht injektiv 4 g ist injektiv und nicht surjektiv, h ist bijektiv 4 B Kern(f) = 4 }, {, B Bild(f) = { f ist weder injektiv noch surjektiv 8, 4 } 5, 4 A + B und C C sind nicht definiert, 4 44 [A] B = (, 5,, ) A + C = ( ) 4, 6 5 B B = ( 45 BA und A sind nicht definiert, 8 ( ) 5 AB = 9, CC 5 =, C C =, B = 6 9 ) ( ) (A + B) = 4 8, A + AB + B = 9 9 A + AB + BA + B = (A + B) 9 9 6, Hinweis: (X + Z)Y = XY + ZY 48 Hinweis: Y (ZX) = (Y Z)X 49 (CC ) = 54 ( ), (B ) = 5 6 ( )

18 5 a) f(x + Y ) = A(X + Y ) = AX + AY = f(x) + f(y ) für alle X, Y R, f(λx) = A(λX) = λ(ax) = λf(x) für alle λ R, für alle X R b) 5 {( ) {( ) s t s t Kern(f) = s, t R}, Bild(f) = s, t R} s t s t A = 4 A = [f] =, [f] ist invertierbar, x [f] = [f ] = 4, f ( x x ) = x 4 x + x x 4 x + x + x x 4 4x x x + x 4 x + x + x x 4 57 a) [g] ist invertierbar, [g ] = x 4x + x + x x 4 b) (f g) ( x x ) = x + x + x x 4 x x x + x 4 x 4 x x + x 4 ( ) [f] B,C = [f] B,C = 8

19 6 a) [id] B,B =, b) [x] B = [id] B,B [x] B, c) [id] B,B = 6 [f] E,E = [f] B,E [id] E,B = ( 4 5 ) A ist nicht ähnlich zu B, A ist nicht ähnlich zu C, B ist ähnlich zu C 6 X = A B = ( 4 ) 7 64 Hinweis: Rg(AX) < = Rg(B) 65 X = ( ) + r + s + t, r, s, t R r s t 4 Determinanten a) b) c) a) für β = b) für keinen c) für jeden d) für β = und β = 4 69 det(b) = 8 7 det(a) = 7 A hat 4 Zeilen Das Eigenwertproblem 7 s(x) = x + 9x, r(x) = 6x 8 74 a) s(x) = x 9x 7, r(x) = 9x 4x b) s(x) = x + x + x 8, r(x) = 75 p(x) = x 5x + 4x 76 λ = + i, λ 4 = i 77 λ 4 =, λ 5 = 78 v zu λ =, v zu λ =, v 5 zu λ = 9

20 {( ) } {( ) } a) Kern(E A) = t t R, Kern(5E A) = t t R {( ) } {( ) } + i b) Kern(iE B) = t i t C, Kern( ie B) = t t C { { a) Kern(E A) = t }, t R Kern(E A) = t }, t R { } Kern( E A) = t t R { { b) Kern(E B) = s + t }, } s, t R Kern( E B) = t t R { } { Kern(E A) = t t R, Kern(E A) = s + } t s, t R 8 Geometrische und algebraische Vielfachheit stimmen sowohl für den Eigenwert λ = als auch für den Eigenwert λ = überein Zu B ähnliche Diagonalmatrizen sind zb D =, D = 8 ZB S =, T = 84 Die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes λ = ist, die geometrische Vielfachheit aber nur 85 Für f nein, für g zb ( ) B = 4,,

21 A 675 = A, A 756 = A = ( A n n + = n n+ + n+ ), n N 89 a) (4,,, 5 4, 8, 9 6, 6, ) b) (,,,,,,, ) 9 Die Folge (y(k)) k konvergiert für alle Startwerte y(), y() und lim y(k) = y() y() k 9 6 Euklidische Vektorräume 9 x = 4, y z =, z + λx = 8 9 Für γ = 7, γ =, γ = 6 und γ = 94 U = L({(4,, 5, ) }) 95 { U = L(, } ) 96 u = (9,,, ), w = (,, 4, 8) 9 97 a) [π U ] = b) π U(x) = 9 c) π U (u) = d) π U(w) = o { } 98 a) U = L(, ) b) [π U ] = c) π U (x) = 4 d) π U (u) = o 8 99 [π U ] + [π U ] = E, [π U ] [π U ] =, [π U ] [π U ] =

22 ˆx = ( 5 ), π Bild(A) (b) = 9 8 y = x +