Aufgaben Brealey/Myers [2003], Kapitel 21

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1 Quiz: 1, 2, 4, 6, 7, 10 Practice Questions: 1, 3, 5, 6, 7, 10, 12, 13 Folie 0

2 Lösung Quiz 7: a. Das Optionsdelta ergibt sich wie folgt: Spanne der möglichen Optionspreise Spanne der möglichen Aktienkurs (S (C u -S - C d ) ) u d = 100,-EUR - 0,- EUR 200,-EUR - 50,- EUR = 0,66667 b. Die Duplikationsstrategie muss das gleiche Zahlungsprofil aufweisen wie die Optionsstrategie: Die Anzahl der erforderlichen Aktien erhalten wir über die hedge ratio (=Optionsdelta) = 0,66667 Der Betrag der Kreditaufnahme ergibt sich aus dem Barwert der Differenz aus dem Basispreis der Option und der Zahlung für 0,66667 Aktien: 100,-EUR - 0,66667*100,- 1,10 = 30,30 EUR Folie 1

3 Heutige Zahlung Mögliche zukünftige Zahlungen Aktienkurs 200,00 Aktienkurs 50,00 Kauf Call -36, ,00 0 Kauf 0,66667 Aktien -66, ,33 +33,33 Kreditaufnahme +30,30 => - 36,36-33,33 => +100,00-33,33 => 0 Folie 2

4 c. Erwartete Rendite der Aktie = [p*1,0 + (1-p) *(-0,50)] = 0,1 mit p= Wahrscheinlichkeit für den Kursanstieg aufgelöst nach p ergibt sich: 40 %. d. Für den Wert des Calls ergibt sich in einer risikoneutralen Welt: C = 0,4*100, + 0,6*0 1,10 = 36,36 e. Nein, denn wir nehmen den Fall der risikoneutralen Welt an. Wir wissen, dass die richtige Wahrscheinlichkeit für einen Kursanstieg höher ist als die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit. Hier rechnen wir aber mit dem risikofreien Zins und nehmen daher einen Sicherheitsabschlag bei dem zukünftigen Wert der Option vor (=> durch geringere Wahrscheinlichkeit für Kursanstieg). Folie 3

5 Lösung Quiz 10: a. Kann sinnvoll sein: Wenn die Aktien einen niedrigen Wert aufweisen (im Extremfall Null), sollte der Optionshalter ausüben. Es ist kaum noch bzw. nicht möglich, mit der Option weiteren Gewinn zu erwirtschaften, der Basispreis, den der Putinhaber erhält, sollte besser zinsbringend angelegt werden. b. Keine vorzeitige Ausübung: Bei Ausübung muss der Basispreis sofort gezahlt werden. Der Betrag kann nicht zu 10% p.a. angelegt werden. Somit verzichtet der Anleger auf 100,- pesos Zinsen (bzw. bei Kreditfinanzierung: Anleger zahlt 100,- Zinsen), während die Dividendenzahlung nur 50,- pesos beträgt. c. Wenn der Aktienkurs und die Dividende ausreichend hoch sind, kann es sinnvoll sein, die Option vorher auszuüben (Aktienkurs sollte den Basispreis um das Doppelte übersteigen, dann stimmen Zinszahlungen und Dividendenzahlung überein). Folie 4

6 Lösung Practice Question 1: Relation zwischen up und down- Veränderungen des Aktienkurses und Standardabweichung / Volatilität des Aktienkurses: 1 + upside change = u = e σ h. a. Kursänderung nach 6 Monaten bei Standardabweichung von 24%: u = e = ; d = 1/ u = $63.19 $45 $53.33 $37.98 $45.01 $45.01 $32.06 Folie 5

7 Kursänderung nach 3 Monaten bei Standardabweichung von 24%: u = e = ; d = 1/ u = $72.60 $64.41 $57.14 $45 $50.72 $39.92 $57.16 $44.98 $50.70 $39.91 $57.14 $44.97 $44.97 $35.41 $35.40 $31.41 $35.40 $27.86 Folie 6

8 b. Kursänderung nach 6 Monaten bei Standardabweichung von 30%: u = e = 1.236, d = 1/ u = $68.75 $45 $55.62 $36.41 $45.00 $45.00 $29.46 Folie 7

9 Kursänderung nach 3 Monaten bei Standardabweichung von 30%: u = e = ; d = 1 / u = $82.04 $70.60 $60.79 $45 $52.29 $38.75 $60.76 $45.02 $52.32 $38.77 $60.79 $45.05 $45.05 $33.36 $33.38 $28.72 $33.38 $24.73 Folie 8

10 Lösung Practice Question 3: If there is an increase in: Stock price (P) Exercise price (EX) Interest rate (r f ) Time to expiration (t) Volatility of stock price (σ) The change in the put option price is: Negative Positive Negative Positive Positive Beispiel: Aktienkurs: $100,- ; Basispreis: $100,- r f = 5 % ; t = 1 ; σ = 50 % Nach dem Black-Scholes Modell ergibt sich für die Verkaufsoption ein Wert von $16,98. Folie 9

11 Bei Erhöhung der einzelnen Einflussgrößen c.p. ergibt sich der Wert der Verkaufsoption wie folgt: Black-Scholes put value: Base case 16,98 P = ,04 EX = ,03 r f = 10% 14,63 t = 2 21,94 σ = 100% 35,04 Folie 10

12 Lösung Practice Question 5: a. Die möglichen Aktienkurse und die sich daraus ergebenden Werte der Kaufoption sind dem nachfolgenden Binomialbaum zu entnehmen: $110 (?) $220 (?) $440 (?) $55 ($0) $220 ($55) $880 ($715) Risikoneutrale Bewertung: Wahrscheinlichkeit für Kursanstieg: p (1,00) + (1 - p)(-0,50) = 0,10 => p = 0,40 Ermittlung der Optionspreise: nach 6 Monaten: [(0,4 * $55,-) + (0,6 * 0,-)]/1,10 = $20,- [(0,4 * $715,-) + (0,6 * $55,-)]/1,10 = $290,- zum Zeitpunkt t = 0: [(0,4 * $290,-) + (0,6 * $20,-)]/1,10 = $116,36 Folie 11

13 b. Ermittlung des Optionsdeltas: $715,- $ 55,- (i) Delta = = 1,0 $880,- $ 220,- $55,- $0, (ii) Delta = = 0,33 $220,- $ 55,- c. Das Optionsdelta beträgt 1, wenn die Kaufoption tief im Geld ist, d.h. wenn der Aktienkurs den Basispreis weit übersteigt, so dass die Wahrscheinlichkeit der Ausübung der Option sehr hoch (sicher) ist. Dies ist gleichzusetzen mit dem Kauf einer Aktie unter verzögerter Zahlung. Ein Optionsdelta von 1 bedeutet, dass eine Änderung des Aktienkurses um $1,- auch eine Änderung des Optionspreises um $1,- nach sich zieht. Wenn die Option weit aus dem Geld ist, d.h. der Aktienkurs weit unter dem Basispreis liegt, besteht eine sehr große Wahrscheinlichkeit (Sicherheit), dass die Option nicht ausgeübt wird. Das Optionsdelta beträgt dann Null. Die Option ist wertlos, unabhängig von der Änderung des Aktienkurses (unterhalb des Basispreises). Folie 12

14 d. Nachbildung der Aktie durch eine Kombination aus Kaufoptionen und Geldanlage: Bei einem Aktienkurs von $110,- nach sechs Monaten beträgt das Optionsdelta 0,33, d.h. zur Duplikation einer Aktie müssen 3 Kaufoptionen zu $20,- gekauft werden: Aktienkurs = $55,- Aktienkurs = $220,- Kauf 3 Kaufoptionen -$60,- $0,- $165,- Geldanlage Barwert ($55,-) -$50 +$55,- +$55,- -$110,- +$55,- +$220,- Duplikation von Aktienkauf -$110,- +$55,- +$220,- Folie 13

15 Lösung Practice Question 6: a. Es kann sinnvoll sein, eine amerikanische Verkaufsoption vorzeitig auszuüben, da dann der Basispreis zum Zinssatz auf risikofreie Anlagen angelegt werden kann. b. Die möglichen Aktienkurse und die sich daraus ergebenden Werte der Verkaufsoption sind dem nachfolgenden Binomialbaum zu entnehmen: $110 (?) $220 (?) $440 (?) $55 ($165) $220 ($0) $880 ($0) Risikoneutrale Bewertung: Wahrscheinlichkeit für Kursanstieg: p (1,00) + (1 - p)(-0,50) = 0,10 => p = 0,40 Folie 14

16 Ermittlung der Optionspreise: nach 6 Monaten: [(0,4 * $0,-) + (0,6 * $165,-)]/1,10 = $90,- Da die Option einen Basispreis von $220,- aufweist, sollte die Option nach sechs Monaten ausgeübt werden, da sich ein Optionswert von $110,- bei Ausübung ergibt. Dieser übersteigt den Wert der Option bei Nichtausübung. [(0,4 * $0,-) + (0,6 * $0,-)]/1,10 = $0,- zum Zeitpunkt t = 0: [(0,4 * $0,-) + (0,6 * $110,-)]/1,10 = $60,- c. Der Unterschied einer europäischen Option zu einer amerikanischen Option liegt darin, dass keine vorzeitige Ausübung möglich ist. In Aufgabenteil b) wurde davon ausgegangen, dass die Option nach dem sechsten Monat bei einem Aktienkurs von $110,- ausgeübt wird, da der Optionswert bei Ausübung höher ist als bei Nichtausübung. Dies ist bei einer europäischen Option nicht möglich. Daher ergibt sich der Wert des Put wie folgt: [(0,4 * $0,-) + (0,6 * $90,-)]/1,10 = $49,09 Folie 15

17 Lösung Practice Question 7: Die möglichen Aktienkurse und die sich daraus ergebenden Werte der Kaufoption sind dem nachfolgenden Binomialbaum zu entnehmen: $220 (?) mit Dividende ex Dividende $110 $85 (?) $440 $415 (?) $42,5 ($0) $170 ($5) $207,5 ($42,5) $830 ($665) Folie 16

18 Ermittlung der Optionspreise: nach 6 Monaten: [(0,4 * $5,-) + (0,6 * $0,-)]/1,10 = $1,82 [(0,4 * $665,-) + (0,6 * $42,50)]/1,10 = $265,- Da die Option einen Basispreis von $165,- aufweist, sollte die Option nach sechs Monaten ausgeübt werden, da sich ein Optionswert von $275,- bei Ausübung ergibt ($440,- - $165,-). Dieser übersteigt den Wert der Option bei Nichtausübung. zum Zeitpunkt t = 0: [(0,4 * $275,-) + (0,6 * $1,82)]/1,10 = $100,99 Wenn es sich um eine europäische Option handelt, ist eine vorzeitige Ausübung nicht möglich. Daher beträgt der Optionswert nach sechs Monaten $265,- anstatt $275,-. Der Wert der europäischen Verkaufsoption zum Zeitpunkt t = 0 ergibt sich wie folgt: [(0,4 * $265,-) + (0,6 * $1,82)]/1,10 = $97,36 Folie 17

19 Lösung Practice Question 12: a. Ausübung der Kaufoption, um die hohe Dividende zu erhalten. Die Ausübung der Verkaufsoption würde erst nach der Dividendenzahlung erfolgen, wenn der Aktienkurs gefallen ist. b. Ausübung der Verkaufsoption, da die Aktie zu einem höheren Kurs (Basispreis) als dem aktuellen Aktienkurs verkauft werden kann. Eine Kaufoption wird niemals bei einem Aktienkurs unter dem Basispreis ausgeübt. c. Ausübung der Verkaufsoption, wenn die Zinsen hoch sind (Investition des Basispreises). Folie 18

20 Lösung Practice Question 13: Ausübung einer Kaufoption am with-dividend date, da der Aktienkurs höher ist als am ex-dividend date => Investor kauft die Aktie zum Basispreis und erhält die Differenz zwischen aktuellem Aktienkurs und Basispreis. Ausübung einer Verkaufsoption am ex-dividend date, da der Aktienkurs geringer ist als am with-dividend date => Investor verkauft die Aktie zum Basispreis und erhält die Differenz zwischen Basispreis und aktuellem Aktienkurs. Folie 19

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