W09 p. 1. Prof. Dr. Christoph Kleinn Institut für Waldinventur und Waldwachstum Arbeitsbereich Waldinventur und Fernerkundung

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1 Der Verhältnisschätzer - Ratio estimator Beispiel: Schätzung der Anzahl Objekte (Bäume) in einem bestimmten Gebiet. Situation: Die Fläche ist unterteilt in Streifen / Transekte. Man wählt zufällig n = 10 transecte aus und zählt dann die Objekte pro Transect., Georg-August-Universität Göttingen Folie Nr. 1 Beispiel (aus DeVries 1986), Georg-August-Universität Göttingen Folie Nr. Problem: Die Transekte haben unterschiedliche Längen. Idee: Wir verwenden die Länge der Transekte als eine Zusatzinformation (ancillar variable). Ansatz: In jedem Transekt messen wir nicht nur die Zielvariable i (Anzahl Objekte), sondern auch den Wert einer Hilfsvariablen i (hier: Fläche des Transekts). Letzlich... sind wir daran interessiert, einen Quotienten (Verhältnis) R zu schätzen (hier: Objekte pro Fläche ), woraus wir dann die Gesamtzahl Objekte berechnen können. Der parametrische Wert geschätzt nach i r = = R = wird aus der Stichprobe Folien zur Vorlesung und ifernerkundung II. : Verhältnisschätzer, Georg-August-Universität Göttingen Folie Nr. (Nicht zu verwechseln mit r, dem Korrelationskoeffizienten! Hier steht r für ratio) W09 p. 1

2 Der wahre Mittel- (oder Gesamt-) Wert der Hilfsvariablen ( or τ ) muss bekannt sein. Hier: die Fläche (Gesamtfläche oder mittl. Fläche pro Transekt). Es ist nicht richtig den Mittelwert der Quotienten (mean of ratios) zu berechnen, es muss vielmehr der Quotient der Mittelwerten sein (ratio of means)! r (der geschätzte Quotient) hat näherungsweise die geschätzte N n 1 1 ( i ri ) Varianz vâr( r) =. N n n 1 τ = τ = τ r Mit r wird dann der geschätzte Gesamtwert ˆ, mit der geschätzten Varianz vâr( ˆ τ ) = vâr( r). τ, Georg-August-Universität Göttingen Folie Nr. 4 Mittelwertschätzung: mit Varianz = r r = vâr( ) = vâr( r) r, was sich umformen läßt in N n 1 var( ˆ ) = s + r s r s s N n { ˆ ρ } mit ρ = (wahrer) Korrelationskoeffizient von und. Zur Diskussion: Was ergibt sich aus obigem Varianzschätzer wenn alle i gleich sind (d.h. im Beispiel: Gleiche Transektgröße)? Dann macht es offenbar keinen Sinn die Hilfsvariable i zu messen, denn sie gibt uns keinerlei Zusatzinformation. Formal: s = 0; ˆ ρ = 0, und var ˆ ( ) = var ˆ ( ) ratio simple random, Georg-August-Universität Göttingen Folie Nr. 5 Folgerung: Die Leistung des Verhältnisschätzers hängt von der Korrelation zwischen den Variablen und ab. Vereinfachte Formulierung: bei positiver Korrelation ist der Verhältnis-Schätzer dem der einfachen Zufallsauswahl überlegen, für negative Korrelationen unterlegen. Spezifischer (und korrekt): Der Verhältnisschätzer ist dann genauer wenn folgende Ungleichung für die parametrischen Werte gilt: Rσ cv( ) ρ σ cv( ) Mit cv = coefficient of variation = Variationskoeffizient., Georg-August-Universität Göttingen Folie Nr. 6 W09 p.

3 Mit dem Verhältnisschätzer wird im Grunde eine Regression definiert, die durch den Nullpunkt geht:. = r Geht die Regression zwischen und nicht durch den Nullpunkt, dann sind die o.a. Schätzer verzerrt. Die hier gegebenen Schätzer sind daher nur näherungsweise tendenzfrei für große n. Ausgedrückt in Regressions-Terminologie: Angenommen wir erstellen eine einfache lineare Regression zwischen und. Diese hat die Form = β 0 + β 1. Bias des Verhältnisschätzers n klein n groß β 0 = 0 kein bias kein bias β 0 0 Bias Näherungsweise kein bias, Georg-August-Universität Göttingen Folie Nr. 7 Beispiel (aus DeVries 1986), Georg-August-Universität Göttingen Folie Nr. 8 No. i Area Units Verhältnisschätzer: Population τ = 4185 Flächeneinheiten τ = 1 m = 19.5 Fläche/Streifen = m σ σ, Georg-August-Universität Göttingen Folie Nr. 9 = Hier berechnet mit den Formeln für die parametrischen Werte. Nicht korrekt angegeben in der Referenz! = N N = = i i = i= 1 i= 1 R ρ = W09 p.

4 Berechnung des Standardfehlers für n = 10: Parametrische Varianz für Mittel- und Gesamtwert: N n 1 var( ˆ ) = { s ˆ + r s rρ ss} = N n var( ˆ ˆ τ ) = var( ) *0 = Zum Vergleich: SRS (simple random sampling) parametrische Werte der Varianz für Mittel- und Gesamtwert (n=10): var( ) = = σ / fpc n var( ˆ τ ) = N *var( ) = 900* = 44.48, Georg-August-Universität Göttingen Folie Nr. 10 Eine (Zufalls)-Stichprobe n=10: Area No. i Units = 19.5 Fläche/Streifen = 7.1m, ˆ τ = 1m s = s = var( ˆ ) = SRS: var( ˆ ) = , var( ˆ ˆ τ ) = 419. Rˆ = = ˆ ρ = 0.98 ˆ τ 17.6 ˆ = = Rτ = 0.050* 4185 var( ˆ ) = ˆ ˆ τ = N ˆ = var( ) *var( ) Institut (aus: DeVries für 1986) und Waldwachstum, Georg-August-Universität Göttingen Folie Nr. 11 Ist der Verhältnisschätzer hier genauer? Die entsprechende Berechnung muss mit den parametrischen Werten gemacht werden (Warum nicht mit den geschätzten Werten im vorliegenden Beispiel??): Wir überprüfen die bekannte Ungleichung: σ cv( ) Rσ cv( ) ρ cv( ) = = 0.75, cv( ) = = ?? * = *.67 *0.778 Folgerung?, Georg-August-Universität Göttingen Folie Nr. 1 W09 p. 4

5 Oder: wir berechnen die relative Effizienz (hier: parametrische Werte) var( ˆ τ SimpleR ) RE = = = 4.48 var( ˆ τ ) 98.7 die geschätzt wird aus einer einzigen Stichprobe (s.o.) nach var( ˆ ˆ τ ) SimpleR RE = = = 7.47 var( ˆ ˆ τ ) Folgerung: Der Verhältnisschätzer ist effizienter. Aus der Stichprobe überschätzen wir allerdings seine Überlegenheit., Georg-August-Universität Göttingen Folie Nr. 1 Weitere Option: Der Regressions-Schätzer Geht die Regression zwischen und nicht durch den Ursprung, dann kann man für die Schätzung eine einfache lineare Regression statt des Quotienten verwenden. L = + b( ) b = Koeffizient der einfachen linearen Regression = muss bekannt sein. Die Varianz des Mittelwertes wird dann geschätzt nach N n 1 1 vâr( L ) = ( i ) b ( i ) N n n (Der unterstrichene Teil ist der MS Error der Regression). { }, Georg-August-Universität Göttingen Folie Nr. 14 W09 p. 5