Mathe-Abitur ab 2004: Fundus für den Pflichtbereich

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1 Mhe-Abiur b : Fundus für den Pflichbereich Lösungen) Die Auoren übernehmen keine Grnie für die Richigkei der Lösungen. Auch wurde sicher nich immer der kürzese und elegnese Lösungsweg eingeschlgen. Einfche Berechnungen sind häufig nich usführlich drgesell, Lösungsideen ber in der Regel skizzier. Dmi können diese Lösungen sowohl den Weg weisen, wie die Aufgben zu lösen sind, ls uch zur Überprüfung eigener Berechnungen dienen. An wenigen Sellen werden uch lernive Lösungssregien drgesell. Dies geschh dnn, wenn sehr unerschiedliche Wege zur Lösung der Aufgbe führen. Geomerie:. I I I II Ib IcIb IIIc II II IIb IIcIIbIIIc III III III II IIIb IIIcIIIb-IIb I IIb I : Ic II Ib II IIc III IIIb III : IIIc d.h. ; ;.. I Ib II II II I IIb III III III I IIIb I Ib I IIb Ib II IIb II : -) IIb III IIIb III : IIIc d.h. Prmeer, frei wählbr); ; IIIcIIIb IIb b. Mi den drei Gleichungen des Gleichungssysems sind drei Ebenen vorgegeben. Diese drei Ebenene schneiden sich in einer Gerden g mi g:. Die Koordinen von E werden in die Gleichung von E eingesez: r s) r s) 8- r s) r s r s 8r s r s 8 r s r,s

2 Die Schnigerde g ergib sich, wenn mn r in E einsez und zusmmenfss): g: s s, ) bzw. g: s,,.. Aus der Ebenendrsellung ergib sich folgendes Gleichungssysem: r s r s s ) ) ) s ) ) in ): r d.h. r, ) ) u. ) in ):, ) und dmi E: b. Die Koordinen von g werden in die Koordinengleichung von E eingesez: ) ) in g eingesez liefer den Schnipunk S ). c. Der Aufhänger von g knn ls Aufhänger von F, der Richungsvekor von g ls ein Spnnvekor von F genommen werden. D F orhogonl zu E is, knn der Normlenvekor von E ls zweier Spnnvekor benuz werden. Wichig: Die zwei Spnnvekoren sind liner unbhängig!) lso: F: s s. z.b. zu zeigen: C lieg nich uf der Gerden durch A und B. b g AB : Orsvekor von C für einsezen: ;

3 d.h. D die -Were nich übereinsimmen, knn C nich uf g AB liegen... Durchsoßpunke der Achsen mi den Ebenen fessellen, einzeichnen und verbinden: Durchsoßpunke mi E: Durchsoßpunke mi F: E ); E ); E ) F ); F ) F is prllel zur -Achse! Deshlb Prllelen zur -Achse durch F und F zeichnen) Die Spurgerden von E in der -Ebene sowie in der -Ebene schneiden die Prllelen durch F und F. Die Gerde durch die beiden Schnipunke is die Schnigerde von E und F, d sie die gemeinsmen Punke von E und F enhäl... Die Gerden g und h schneiden sich im Mielpunk,) des Hlb - quders mi den Ecken OABC sowie M und N, d sie hier Rumdigonlen sind. b. Die Ebene DEF is prllel zur -Ebene und verläuf in der Höhe. Also: E DEF : 8.. E und F sind prllel, d ihre Normlenvekoren liner bhängig sind: 8 S müsse uf der rechen Seie der Gleichung von E sehen. b. Die Gleichung von G läss sich umformen in ). ) eingesez in F: ) ) in ): Mi is dnn und und somi die Schnigerde g: c. H is prllel zur -Achse.

4 .. is der Orsvekor des Aufhängers. u is Richungsvekor der Gerden g. p is ein Vekor, der in der Ebene E lieg. n is Normlenvekor von E, d.h. senkrech zu E. b. i) n u ii) n r u n und u lin.bh.).. Prllele k zu g durch P- ): gleicher Richungsvekor wie g!) k: Die Mie zwischen den Aufhängern von g und k muss uf der Mielprllelen von g und k liegen. Diese nimm mn ls Aufhänger von m; Richungsvekor wie von g oder k: m: ; Mie von g und k: ) b. g und h sind nich prllel, d ihre Richungsvekoren nich liner bhängig sind nich Vielfche voneinnder). Schni von g und h: s s s s s s ) ) ) s, ) ) in ):, ) ) u. ) in ):,,), Widerspruch!) d.h. g und h sind windschief.

5 . r s Prmeerumbenennung bechen!) s r s r s r in. Gl.: r 8 r r s r 8 in. Gl.: r r 8 r Widerspruch! Die beiden Gerden schneiden sich nich. D die Richungsvekoren nich liner bh. nich Vielfche voneinnder) sind, sind sie uch nich prllel, mihin windschief.. Die Richungsvekoren sind liner bh., lso sind die Gerden prllel. Punkprobe: Lieg Süzpunk P von g uch uf h dnn idenische Gerden)? - Widerspruch, Punk lieg nich uf g, - lso sind die Gerden ech prllel. Absndsbesimmung,. Lösungsweg dg; h) dp; h) Hilfsebene H: H is orh. zur Gerde h und P lieg in H. : H Punknormlenform) ergib durch Ausmuliplizieren: - Koordinenform) Durchsoßpunk F von h durch H: - ) ) -) f Durchsoßpunk: F- - )

6 Der gesuche Absnd ergib sich ls df; P) )² - )² - )² Absndsbesimmung,. Lösungsweg Besimmung des Absnds d von P zu einem llg. Gerdenpunk von h: d )² )² 8 )² ² 8 8 Diese Wurzel is zu minimieren. Sie is m kleinsen, wenn der Rdiknd Term uner der Wurzel) m kleinsen is Posiiviä vorusgesez, d sons Wurzel nich definier). Also is die Minimlselle der qudrischen Funkion f) ² - 8 zu besimmen. f ) f ) > Minimum Dmi is der gesuche Absnd ² d 8 ². Lösungsweg : g Zunächs Konsrukion einer Prllelebene F zu E im Absnd. Für sie wähl mn den Normlenvekor von E, ddier ber zum Süzpunk von E ds -fche des Normleneinheisvekors, d dieser orh. zu E is und die Länge h. So erhäl mn den Süzvekor q von F. A D F E n E 8 n E ² )² 8² 8 8 B Süzpk. P von E : p p p 8 Zshg. Punknormlenform Koordinenform) Vorgbe: p p p Süzpunk P )

7 Süzvekor von F: 8 q Somi: 8 : F Ausmuliplizieren liefer die Koordinenform F: 8 8 Der Schni von F und g liefer den ersen gesuchen Punk A. s - s) 8 s) 8 s,), A,, Sei D der Durchsoßpk. Von g durch E vgl. Skizze!). s - s) 8 s) s ) D d Der zweie Pk. B mi der geforderen Eigenschf ergib sich dnn so vgl. Skizze!): d AD d b,), B,,,,

8 Lösungsweg : P s - s s) sei einer der gesuchen Gerdenpunke. In die Absndsformel eingesez: s) s) 8 s) s s s - s : s d.h. s oder s s s s, s, und dmi P,,) und P,,). Zeichnung rivil Die Höhe ergib sich ls Absnd des Punkes D von der Ebene E ABC). c b s r E : Prmeerform) n n E * E : E Punknormlenform) E: - 8 Koordinenform) ² )² 8 ) B;E) d

9 . Ausmuliplizieren liefer die Koordinenform - 8 dq;e) Absndsformel us HNF).. Mn sell eine Hilfsebene H uf, die orh. zu g is und P enhäl. Sodnn besimm mn den Durchsoßpunk von g durch H. Er is der gesuche Punk. : H H: g H: - s) s) s f Der gesuche Punk is F - ). b. )² ² ² ) ) - oder - - oder Mn wähle oder.

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