Technische Hochschule Köln Fakultät für Wirtschafts- und Rechtswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel

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1 Technische Hochschule Köln Fakultät für Wirtschafts- und Rechtswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel Übungen QM I (Wirtschaftsmathematik) Extremwerte ohne Nebenbedingungen Aufgabe 1.1 Bestimmen Sie die globale Minimalstelle der Funktion f(x,y) = x 2 +3y 2 2x 9y + ;x IR,y IR Aufgabe 1.2 Ein Monopolist biete zwei Produkte A und B an, für die folgende Preis-Absatz-Funktionen gelten: p A (x A ) = 48 4x A ;x A [;12] p B (x B ) = 44 2x B ;x B [;22] Die Herstellung beider Produkte erfolgt auf einer Produktionsanlage, deren fixe Kosten 1 Geldeinheiten (GE) betragen. An variablen Kosten verursacht A 8 GE/ME, B 12 GE/ME. Ermitteln Sie für beide Güter die Gewinn-maximale Preis-Mengenkombination sowie den Gewinn. 1

2 Aufgabe 1.3 Untersuchen Sie die Funktion f auf Extremwerte (notwendige und hinreichende Bedingungen)! f(x 1,x 2 ) = 1 4 x x3 2 +x 1 x 2 +x 1 x 2 ;D f = IR

3 Aufgabe 1.4 EinMonopolistverkauftzweiProdukteX 1,X 2 undhatdiefolgendenpreis-absatz-funktionen: p 1 (x 1,x 2 ) = 2x 1 ;x 1 [;2],x 2 [;2] p 2 (x 1,x 2 ) = 1 4x 2 ;x 1 [;2],x 2 [;2] Dabei bezeichnen p 1 den Preis für eine ME des Produkts X 1 und p 2 den Preis für eine ME des Produkts X 2, ferner x 1 die Absatzmenge des Produkts X 1 und x 2 die Absatzmenge des Produkts X 2. Die Gesamtkosten des Monopolisten betragen: K(x 1,x 2 ) = 1x 1 +1x 2 +2x 1 x 2 +1 ;x 1 [;2],x 2 [;2] Gesucht sind der Preis und die Menge für jedes Produkt, so dass ein maximaler Gewinn erreicht wird. Wie groß ist der Gewinn? Aufgabe 1. Ein Unternehmen stellt einen CD-Player her, den es in den USA und in Deutschland verkauft. Seien x und y die Zahlen der wöchentlich in den USA bzw. in Deutschland abgesetzten Geräte. Die Verkaufspreise werden in jedem Land wie folgt bestimmt: p USA = (1 x) Euro in den USA und p 2 D = (12 y ) Euro in Deutschland. 4 Für die Herstellung der CD-Player gilt: Die variablen Stückkosten sind konstant 2 Euro pro Stück und die Fixkosten betragen 2 Euro pro Woche. a) Stellen Sie die Gewinnfunktion G(x, y) unter der Annahme auf, daß alle produzierten Geräte verkauft werden. 3

4 b) Ermitteln Sie die kritischen Punkte (stationäre Stellen) von G. c) Zeigen Sie, daß es sich bei dem kritischen Punkt aus b) um ein Maximum handelt. d) Wie groß ist der maximale Gewinn? 4

5 Aufgabe 1.6 Zwei Produzenten A 1 und A 2 bieten je ein Gut an. Zwischen den Absatzvariablen x 1,x 2 und den Preisvariablen p 1,p 2 gelten die Beziehungen: x 1 = 1 2p 1 p 2 x 2 = 12 p 1 3p 2 Die Kosten sind gegeben durch: K 1 (x 1 ) = 12+2x 1 K 2 (x 2 ) = 12+2x 2 a) Ermitteln Sie die Gewinnfunktionen G 1,G 2 beider Produzenten sowie die gemeinsame Gewinnfunktion G = G 1 +G 2 jeweils in Abhängigkeit von p 1,p b) WiesinddiePreisezuwählen,sodassdergemeinsameGewinnGmaximalwird?Geben Sie den maximalen Gewinn an. c) Nach einem Streit setzt Produzent A 2 den Preis auf p 2 = 16. Wie hat dann A 1 den Preis p 1 zu wählen, damit G 1 maximal wird? d) Ist es für die Käufer des von A 1 angebotenen Gutes von Vorteil, wenn der Konflikt zwischen A 1 und A 2 beigelegt wird?

6 Lösung zu Aufgabe 1.1 f x (x,y) = 2x 2 f xx (x,y) = 2 f y (x,y) = 6y 9 f yy (x,y) = 6 f xy (x,y) = Notwendige Bedingung: I = 2x 2 x = 1 II = 6y 9 y = 1, D(x,y) = = 12 > immer f xx (x,y) = 2 > immer d.h. glob. Min in x = 1 und y = 1, Lösung zu Aufgabe 1.2 U(x A,x B ) = p A x A +p B x B = 48x A 4x 2 A +44x B 2x 2 B K(x A,x B ) = 8x A +12x B +1 G(x A,x B ) = 4x 2 A 2x2 B +4x A +32x B 1 G xa (x A,x B ) = 8x A +4 G xb (x A,x B ) = 4x B +32 G xa x A (x A,x B ) = 8 G xb,x B (x A,x B ) = 4 G xa x B (x A,x B ) = Notwendige Bedingung: I = 8x A +4 x A = II = 4x B +32 x B = 8 D(x A,x B ) = ( 8) ( 4) 2 = 32 > immer G xa x A (x A,x B ) = 8 < immer d.h. glob. Max in (;8) Gewinn-maximale Mengen x A = ME und x B = 8 ME Gewinn-maximale Preise p A = 28 GE und p B = 28 GE maximaler Gewinn G(;8) = 128 GE Lösung zu Aufgabe 1.3 f x1 (x 1,x 2 ) =,x 1 +x 2 +1 f x1 x 1 (x 1,x 2 ) =, f x2 (x 1,x 2 ) = x 2 2 +x 1 1 f x2 x 2 (x 1,x 2 ) = 2x 2 f x1 x 2 (x 1,x 2 ) = 1 Notwendige Bedingung: I =,x 1 +x 2 +1 II = x 1 +x II 2 I = x 2 2 2x 2 3 x 2 = 3 oder x 2 = 1 1. Fall: x 2 = 3 II = x x 1 = 8 2. Fall: x 2 = 1 II = x x 1 = 6

7 d.h. (; 1) und ( 8; 3) sind mögliche Extremstellen. D(; 1) = 2 < ; d.h. (; 1) Sattelstelle D( 8;3) = 2 > und f x1 x 1 ( 8;3) =, > d.h. lokales Minimum in ( 8; 3) Lösung zu Aufgabe 1.4 U(x 1,x 2 ) = x 1 p 1 +x 2 p 2 = (x 1 2x 2 1 )+(1x 2 4x 2 2 ) G(x 1,x 2 ) = U(x 1,x 2 ) K(x 1,x 2 ) = 2x 2 1 4x2 2 2x 1x 2 +4x 1 +9x 2 1 G x1 (x 1,x 2 ) = 4x 1 2x 2 +4 G x2 (x 1,x 2 ) = 8x 2 2x 1 +9 G x1 x 1 (x 1,x 2 ) = 4 G x2 x 2 (x 1,x 2 ) = 8 G x1,x 2 (x 1,x 2 ) = 2 Notwendige Bedingung: I = 4x 1 2x 2 +4 II = 2x 1 8x II I = 14x x 2 = 1 II = 4x x 1 = D(x 1,x 2 ) = ( 4) ( 8) ( 2) 2 = 28 > immer G x1 x 1 (x 1,x 2 ) = 4 < immer d.h. glob. Max in (;1) Gewinn-maximale Mengen x 1 = ME und x 2 = 1 ME Gewinn-maximale Preise p 1 = 4 GE und p 2 = 6 GE maximaler Gewinn G(;1) = 4 GE Lösung zu Aufgabe 1. a) K(x,y) = 2x+2y +2 ( U(x,y) = 1 x ) x+ 2 ( 12 y 4 )y = 1x x2 2 G(x,y) = 1 2 x2 1 4 y2 +8x+1y 2 +12y y2 4 b) Notwendige Bedingung: G x (x,y) = x+8 = x = 8 G y (x,y) =,y +1 y = 2 d.h. (8;2) stationärer Punkt c) G xx (x,y) = 1 G yy (x,y) =, G xy (x,y) = D(x,y) = ( 1) (,) 2 =, > immer 7

8 G xx (x,y) = 1 < immer d.h. glob. Max in (8;2) d) G(8;2) = 112 d.h. der maximale Gewinn beträgt 11 2 Euro. Lösung zu Aufgabe 1.6 a) Kosten von Produzent A 1 : K 1 (p 1,p 2 ) = 12+2(1 2p 1 p 2 ) = 32 4p 1 2p 2 Kosten von Produzent A 2 : K 2 (p 1,p 2 ) = 12+2(12 p 1 3p 2 ) = 36 2p 1 6p 2 Umsatz von Produzent A 1 : U 1 (p 1,p 2 ) = p 1 x 1 = p 1 (1 2p 1 p 2 ) = 1p 1 2p 2 1 p 1p 2 Umsatz von Produzent A 2 : U 2 (p 1,p 2 ) = p 2 x 2 = p 2 (12 p 1 3p 2 ) = 12p 2 p 1 p 2 3p 2 2 Gewinn von Produzent A 1 : G 1 (p 1,p 2 ) = U 1 (p 1,p 2 ) K 1 (p 1,p 2 ) = 2p 2 1 p 1p 2 +14p 1 +2p 2 32 Gewinn von Produzent A 2 : G 2 (p 1,p 2 ) = U 2 (p 1,p 2 ) K 2 (p 1,p 2 ) = 3p 2 2 p 1 p p 2 +2p 1 36 Gewinnsumme G = G 1 +G 2 : G(p 1,p 2 ) = 2p 2 1 2p 1p 2 +16p 1 3p p 2 68 b) G p1 (p 1,p 2 ) = 4p 1 2p G p1p1 (p 1,p 2 ) = 4 G p2 (p 1,p 2 ) = 2p 1 6p G p2 p 2 (p 1,p 2 ) = 6 G p1 p 2 (p 1,p 2 ) = 2 Notwendige Bedingung: I = 4p 1 2p II = 2p 1 6p I 2 II = 1p 2 1 p 2 = 1 I = 4p p 1 = 19 D(p 1,p 2 ) = 24 4 = 2 > immer G p1 p 1 (p 1,p 2 ) = 4 < immer d.h. (19;1) glob. Max G(19;1) = 1287 c) p 2 = 16 x 1 = 1 2p 1 16 = 84 2p 1 U 1 (p 1 ) = p 1 x 1 = p 1 (84 2p 1 ) = 84p 1 2p 2 1 K 1 (p 1 ) = 12+2(84 2p 1 ) = 288 4p 1 G 1 (p 1 ) = U 1 (p 1 ) K 1 (p 1 ) = 88p 1 2p G 1(p 1 ) = 88 4p 1 G 1 (p 1) = 4 8

9 Notwendige Bedingung: = 88 4p 1 p 1 = 22 G 1 (p 1) = 4 < immer d.h. glob. Max in p 1 = 22 d) ohne Konflikt: p 1 = 19, p 2 = 1 Mit Konflikt sind beide Preise höher und zwar: p 1 = 22, p 2 = 16 d.h. aus Sicht der Käufer sollte der Streit beigelegt werden 9

10 Extremstellen ohne Nebenbedingung Eigenschaft Überprüfung lok. Min in (x ;y ) f x (x ;y ) = f y (x ;y ) = f xx (x ;y ) f yy (x ;y ) (f xy (x ;y )) 2 > f xx (x ;y ) > lok. Max in (x ;y ) f x (x ;y ) = f y (x ;y ) = f xx (x ;y ) f yy (x ;y ) (f xy (x ;y )) 2 > f xx (x ;y ) < glob. Min in (x ;y ) f x (x ;y ) = f y (x ;y ) = f xx (x;y) f yy (x;y) (f xy (x;y)) 2 > für alle x,y D f f xx (x;y) > für alle x,y D f glob. Max in (x ;y ) f x (x ;y ) = f y (x ;y ) = f xx (x;y) f yy (x;y) (f xy (x;y)) 2 > für alle x,y D f f xx (x;y) < für alle x,y D f (x ;y ) Sattelstelle f x (x ;y ) = f y (x ;y ) = f xx (x ;y ) f yy (x ;y ) (f xy (x ;y )) 2 < 6

11 Technische Hochschule Köln Fakultät für Wirtschafts- und Rechtswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel Übungen QM I (Wirtschaftsmathematik) Was ist falsch? In den nachfolgenden alten Klausuraufgaben habe ich Lösungen mit typischen Fehlern aufgeschrieben. Versuchen Sie bitte, diese Fehler zu finden. Aufgabe 2 Ein Unternehmen produziert zwei ähnliche Produkte und setzt davon die Mengen x und y zu den Preisen p 1 (x,y) = 3 x y und p 2 (y) = 9 4y; x,y [;1] GE ab. Das Unternehmen möchte den Umsatz maximieren. c) Nehmen Sie an, das erste Produkt würde vom Markt genommen. Das Unternehmen setzt also nur noch y Einheiten vom zweiten Produkt ab. Für welche Menge y ist dann der Umsatz maximal? Falsche Lösung: c) Die Umsatzfunktion lautet U(y) = 9y 4y 2. Wird die Ableitung gleich null gesetzt, so ergibt sich 9 8y! = 8y = 9 y = 112,. Die zweite Ableitung beträgt U (112,) = 8 und ist damit immer kleiner als null ist, d.h. in y = 112, liegt ein globales Umsatzmaximum vor. 1