WS 2010/11. Arbeitsgruppe Pharmazeutische Bioinformatik. Seminar Mathematik für PharmazeutInnen. Jun.-Prof. Dr. Stefan Günther. Zahlen.

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1 systeme Arbeitsgruppe Pharmazeutische Bioinformatik WS 2010/11

2 systeme Natürliche (N) N = {1, 2, 3, 4, 5,...} N 0 = {0} + N Ganze (Z) Z = {..., 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,..} Rationale (Q) Brüche Verhältnis (lateinisch ratio) zweier ganzer ( m n ) Irrationale Algebraische Lassen sich nicht als als Bruch zweier ganzer darstellen (z.b. 2) Transzendentale Beispiele: e, π

3 systeme Reelle (R) R = rationale + irrationale Imaginäre Zahl, deren Quadrat eine negative reelle Zahl ist. Bsp. x 2 = 1 Komplexe (C) C = {reele + imaginäre }

4 systeme systeme Dezimalsystem Binärsystem 1 oder 0 Hexadezimalsystem 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

5 systeme systeme Dezimalzahl im Dualzahlsystem 18/2 = 9 Rest 0 9/2 = 4 Rest 1 4/2 = 2 Rest 0 2/2 = 1 Rest 0 1/2 = 0 Rest 1 Dualzahl: Dualzahl im Dezimalsystem = = 25

6 Runden von Dezimalzahlen systeme Runden auf k Stellen nach dem Komma absoluter maximaler Rundungsfehler: z = 0, 5 10 k

7 Runden von Dezimalzahlen systeme Runden auf k Stellen nach dem Komma absoluter maximaler Rundungsfehler: z = 0, 5 10 k Runden auf k signifikante Ziffern signifikante Ziffern: angegebene Ziffern ohne führende Nullen z.b. 0, 0030 zwei signifikante Ziffern

8 Signifikante Stellen systeme Ganze sind exakt, wenn sie als natürliche angesehen werden. Bei physikalischen Größen sind sie als gerundet anzusehen. Beispiel: Anzahl der Studierenden: 213, Inhalt der Ampulle 42 ml

9 Signifikante Stellen systeme Ganze sind exakt, wenn sie als natürliche angesehen werden. Bei physikalischen Größen sind sie als gerundet anzusehen. Beispiel: Anzahl der Studierenden: 213, Inhalt der Ampulle 42 ml Endende Nullen bei ganzen sind nicht immer eindeutig in der Angabe der Genauigkeit. Für die eindeutige Kennzeichnung sollten Zehnerpotenzen angegeben werden Beispiel: Erdumfang ( km) besser 4, km statt km

10 systeme Fehler Betrag des absoluten Fehlers y = y w y f y w : wahrer Wert; y f : fehlerbehafteter Wert Der wahre Wert ist normalerweise nicht bekannt, daher ist der gemessenene Wert die Annäherung an den wahren Wert Der fehlerbehaftete Wert ist der Messwert + Messfehler Betrag des relativen Fehlers y r = y y w

11 systeme Fehler Betrag des absoluten Fehlers y = y w y f y w : wahrer Wert; y f : fehlerbehafteter Wert Der wahre Wert ist normalerweise nicht bekannt, daher ist der gemessenene Wert die Annäherung an den wahren Wert Der fehlerbehaftete Wert ist der Messwert + Messfehler Betrag des relativen Fehlers y r = y y w Beispielrechnung: Gemessener Wert: y w = 40, 0 Wert + maximaler Messfehler: y f = 40, 0 ± 0, 2 Betrag des absoluten Fehlers: y = 0, 2 Betrag des relativen Fehlers: y r = 0,2 40,0 = 0, 005 Wert + relativer Messfehler: y f = 40, 0 ± 0, 5%

12 Fehler systeme Aufgabe 100 g Cortisonsalbe soll hergestellt Rezeptur: 100 g Salbe + 0,02 g Hydrocortison Ihre Digitalwaage hat eine Gramm-Skala und zwei Nachkommastellen (letzte Stelle ist Schätzer). Wie groß ist der maximale relative Fehler?

13 Fehler systeme Aufgabe 100 g Cortisonsalbe soll hergestellt Rezeptur: 100 g Salbe + 0,02 g Hydrocortison Ihre Digitalwaage hat eine Gramm-Skala und zwei Nachkommastellen (letzte Stelle ist Schätzer). Wie groß ist der maximale relative Fehler? Lösung Rezeptur: 100 g Salbe + 0,02 g Hydrocortison Minimum: 0,02g 0,015g 0,02g = 0, 25 Maximum: 0,02g 0,0249g 0,02g = 0, 25 Maximaler relativer Fehler: ±25%

14 Fehler systeme Faustregel 1: Ist n die Anzahl der signifikanten Stellen, so beträgt der relative Fehler höchstens 5 10 n oder n %

15 Fehler systeme Faustregel 1: Ist n die Anzahl der signifikanten Stellen, so beträgt der relative Fehler höchstens 5 10 n oder n % Faustregel 2: Beträgt der relative Fehler 10 n %, so ist die Zahl höchstens mit n+3 signifikanten Stellen anzugeben

16 systeme Rechenregeln Addition und Subtraktion Das Ergebnis bekommt genauso Nachkommastellen, wie die Eingangsgröße mit der geringsten Anzahl von Nachkommastellen Beispiele:

17 systeme Rechenregeln Addition und Subtraktion Das Ergebnis bekommt genauso Nachkommastellen, wie die Eingangsgröße mit der geringsten Anzahl von Nachkommastellen Beispiele: 5, , = 5, , = 5,

18 systeme Rechenregeln Addition und Subtraktion Das Ergebnis bekommt genauso Nachkommastellen, wie die Eingangsgröße mit der geringsten Anzahl von Nachkommastellen Beispiele: 5, , = 5, , = 5, , , = 5, , = 5,

19 Rechenregeln systeme Multiplikation Division Das Ergebnis bekommt genauso viele signifikante Stellen wie die Eingangsgröße mit den wenigsten signifikanten Stellen Beispiele:

20 Rechenregeln systeme Multiplikation Division Das Ergebnis bekommt genauso viele signifikante Stellen wie die Eingangsgröße mit den wenigsten signifikanten Stellen Beispiele: 5, , = (5, 372 3, 12) 10 (4+2) = 16,

21 Rechenregeln systeme Multiplikation Division Das Ergebnis bekommt genauso viele signifikante Stellen wie die Eingangsgröße mit den wenigsten signifikanten Stellen Beispiele: 5, , = (5, 372 3, 12) 10 (4+2) = 16, g 6,0ml = 0, 8 g ml 5,0g 6,0ml = 0, 83 g ml

22 systeme Vorsilbe Kürzel Größe In Worten 10 0 Eins Deka da 10 1 Zehn Hekto h 10 2 Hundert Kilo k 10 3 Tausend Mega M 10 6 Million Giga G 10 9 Milliarde Tera T Billion Peta P Billiarde

23 systeme Vorsilbe Kürzel Größe In Worten 10 0 Eins Dezi d 10 1 Zehntel Zenti c 10 2 Hundertstel Milli m 10 3 Tausendstel Mikro µ 10 6 Millionstel Nano n 10 9 Milliardstel Pico p Billionstel Femto f Billiardstel