3 Zahlentheoretische Funktionen

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1 42 3 Zahlentheoretische Funktionen 3.1 Definitionen Im 1. Kapitel haben wir schon zwei Funktionen kennengelernt, die Teileranzahlfunktion τ(n), die jeder natürlichen Zahl n die Anzahl ihrer natürlichen Teiler zuweist, und die Teilersummenfunktion σ(n), die jeder natürlichen Zahl n die Summe ihrer natürlichen Teiler zuweist. Grundsätzlich beschränkt man sich in der Zahlentheorie auf Funktionen, die auf IN oder IN 0 definiert sind: Definition Eine Funktion f : IN IR heißt zahlentheoretische Funktion. Allgemein kennt man eine Funktion f : M 1 M 2 dann vollständig, wenn man alle Paare (x,f(x)) mit x M 1 kennt. In der grafischen Darstellung entspricht jedem solchen Paar ein Punkt in der Zeichenebene, und man versucht diese Punkte zu verbinden und erhält den Graph von f. Oder man stellt diese Paare in einer Wertetabelle zusammen. Allerdings ist diese Methode bei unendlich vielen solcher Paare etwas aufwendig. Hat eine Funktion besondere Eigenschaften, dann ergibt sich oft die Möglichkeit, die Wertetabelle zu reduzieren, da man aus relativ wenigen Funktionswerten die restlichen berechnen kann. Bei einer symmetrischen Funktion (mit f( x) = f(x)) reicht es zum Beispiel aus, die Funktion für alle x 0 anzugeben. Bei einer linearen Funktion (deren Graph eine Gerade ist,) reichen schon zwei Paare, aus denen man alle anderen berechnen kann. Hier betrachten wir im besonderen solche Funktionen, bei denen zur Berechnung der Funktionswerte der multiplikative Aufbau von IN (aus den Primfaktoren) ausgenutzt werden kann: Definition Eine zahlentheoretische Funktion f heißt (a) multiplikativ, wenn für alle teilerfremden n 1,n 2 IN gilt f(n 1 n 2 ) = f(n 1 ) f(n 2 ), (b) streng multiplikativ, wenn für alle n 1,n 2 IN gilt f(n 1 n 2 ) = f(n 1 ) f(n 2 ).

2 3. Zahlentheoretische Funktionen 43 Beispiele (1) Die Nullfunktion ist streng multiplikativ. (2) Die Funktion ist streng multiplikativ. (3) Die Funktion o : IN IN mit o(n) := 0 für alle n IN f : IN IN mit f(1) := 1, f(n) := 0 für alle n > 1 f : IN IN mit f(n) := 1 für alle n IN ist streng multiplikativ. Sie ist außer der Nullfunktion die einzige multiplikative konstante Funktion. (4) Die identische Funktion f : IN IN mit f(n) := n für alle n IN ist streng multiplikativ. (5) Die k-te Potenz-Funktion f : IN IN mit f(n) := n k für alle n IN ist streng multiplikativ. (6) Ordnet man jedem n IN das Produkt seiner positiven Teiler zu, dann erhält man die Teilerproduktfunktion p(n). Die Teiler von 6 sind 1,2,3,6, die Teiler von 2 sind 1,2 und die Teiler von 3 sind 1,3, d.h. p(n) ist wegen nicht multiplikativ. 36 = p(6) = p(2 3), p(2) p(3) = 2 3 = 6 Satz (a) Sei f eine multiplikative zahlentheoretische Funktion, die nicht die Nullfunktion ist. Dann gilt f(1) = 1. (b) Sind f, g multiplikative zahlentheoretische Funktionen, dann ist die Produktfunktion f g mit (f g)(n) := f(n) g(n) für alle n IN multiplikativ. Den Zusammenhang der Multiplikativität mit der eindeutigen Primfaktorzerlegung in IN stellt der nächste Satz her:

3 3. Zahlentheoretische Funktionen 44 Satz Sei f eine zahlentheoretische Funktion, aber nicht die Nullfunktion. Dann gilt: f ist multiplikativ genau dann, wenn f(1) = 1 und für jedes n IN, n > 1 mit Primfaktorzerlegung n = p m p mr r gilt f(n) = f(p m 1 1 )... f(pmr r ). Wenn also für eine multiplikative zahlentheoretische Funktion die Funktionswerte der Primzahlpotenzen bekannt sind, kann man alle anderen Funktionswerte daraus berechnen. Zum Beispiel folgt daraus Korollar (a) Sind f 1, f 2 zwei multiplikative zahlentheoretische Funktionen und gilt für jede Primzahl p und jedes m IN f 1 (p m ) = f 2 (p m ), dann gilt f 1 (n) = f 2 (n) für jedes n IN, d.h. die beiden Funktionen sind identisch. (b) Die Teileranzahlfunktion τ(n) und die Teilersummenfunktion σ(n) sind multiplikative zahlentheoretische Funktionen. Bemerkung τ(n) und σ(n) sind nicht streng multiplikativ. 3.2 Die Eulersche ϕ-funktion Nach Satz gilt: Ist a,m Z, m > 1 und a zu m teilerfremd, dann auch alle übrigen Vertreter der Restklasse modulo m a = {b Z; b = a+k m, k Z}. Die primen Restklassen sind für die Rechnungen modulo m interessant, da es zu jeder primen Restklasse eine bezüglich der Multiplikation in Z/m inverse Restklasse gibt. Wir betrachten die Multiplikationstafeln von Z/4, Z/8 und Z/12, aber jeweils nur die primen Restklassen. Zur besseren Lesbarkeit stellen wir die Restklassen durch ihren kleinsten positiven Vertreter dar: Es gilt m = m = m = Satz Seien a,b,m Z,m > 1. Die Menge der primen Restklassen modulo m bildet bezüglich der Multiplikation in Z/m eine kommutative Gruppe.

4 3. Zahlentheoretische Funktionen 45 Wir wollen die Zahl der primen Restklassen modulo m bzw. der zu m teilerfremden Zahlen aus {1,2,3,...,m} bestimmen. Definition Sei m IN, m > 1. Dann sei ϕ(m) die Anzahl der zu m primen Restklassen. Die Funktion ϕ : IN IN ist eine zahlentheoretische Funktion und heißt Eulersche ϕ-funktion. Beispiel Für kleine m kann man ϕ(m) mehr oder weniger leicht ausrechnen. Die folgende Tabelle gibt die Funktionswerte für 1 m 12 an: Wir betrachten zuerst reine Primzahlpotenzen: m ϕ(m) Satz Ist p eine Primzahl und n IN, dann gilt ϕ(p n ) = p n p n 1 = p n 1 (p 1) = p n (1 1 p ). Wir haben bisher oft das kleinste nichtnegative Restsystem 0,1,2,...,m 1 modulo m betrachtet, aber natürlich kann man jede dieser Zahlen durch eine kongruente Zahl ersetzen und erhält damit ein anderes vollständiges Restsystem modulo m. Sind m und n zwei teilerfremde natürliche Zahlen größer 1, dann kann man ein vollständiges Restsystem modulo m n konstruieren: Satz Seien m,n IN, m,n 1, mit ggt(m,n) = 1. Ist {a 1,...,a m } ein vollständiges Restsystem modulo m, {b 1,...,b n } ein vollständiges Restsystem modulo n, dann ist ein vollständiges Restsystem modulo m n. Daraus folgt {a i n+b j m, 1 i m, 1 j n} Satz (a) Seien a,b,m,n IN, m,n 1, ggt(m,n) = 1.Dann gilt ggt(a,m) = 1 = ggt(b,n) ggt(a n+b m,m n) = 1. (b) ϕ ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion, d.h. für m,n IN mit ggt(m,n) = 1 gilt ϕ(m n) = ϕ(m) ϕ(n). (c) Hat m IN, m > 1, die kanonische Primfaktorzerlegung m = p k pkr r, dann gilt ϕ(m) = p k (p 1 1) p k (p 2 1)... p kr 1 r (p r 1) = m (1 1 p 1 ) ( 1 1 p 2 )... ( 1 1 p r ).

5 3. Zahlentheoretische Funktionen 46 Für die nächste Aussage über ϕ betrachten wir zunächst für ein festes m IN, m > 1, und einen positiven Teiler d von m alle Zahlen x {1,2,3,...,m} mit ggt(x,m) = d. Sei C d die Menge dieser Zahlen. Beispiel Für m = 24 ergibt sich C 1 = {1,5,7,11,13,17,19,23}, C 2 = {2,10,14,22}, C 3 = {3,9,15,21}, C 4 = {4,20}, C 6 = {6,18}, C 8 = {8,16}, C 12 = {12}, C 24 = {24}. Offensichtlich tritt jede der Zahlen 1,2,3,...,24 in genau einer dieser Mengen auf, d.h. die Vereinigung dieser Mengen hat genau m = 24 Elemente. In C 1 sind nach Definition ϕ(24) Elemente. a C 2 genau dann, wenn ggt(a,24) = 2, d.h. wenn ggt( a 2, 24 2 ) = 1. Das gilt für ϕ(24 2 ) Elemente. Analog hat C 3 ϕ(8) Elemente, C 4 ϕ(6 Elemente, C 6 ϕ(4) Elemente, C 8 ϕ(3) Elemente, C 12 ϕ(2) Elemente und C 24 ϕ(1) Elemente. Allgemein gilt Satz Sei m IN, m > 1. Dann gilt ϕ(d) = n. d n,d>0 Beispiel Wir betrachten einen Stapel mit 12 Karten, die von unten nach oben durchnummeriert sind. Wir teilen den Stapel in zwei gleich große, nehmen abwechselnd von jedem der Stapel von unten eine Karte und legen sie auf einen neuen Stapel, und zwar die Karte 7 zuerst, dann die 1, die 8, die 2 usw. Die neue Reihenfolge ergibt sich aus Nummer Neue Pos. von unten Offensichtlich kann man die neue Position a 1 einer Karte aus der alten Position a durch berechnen. a 1 2a mod 13 Gesucht ist jetzt eine Zahl n, so dass nach n-maligem Umsortieren jede Karte wieder auf ihrer ursprünglichen Stelle liegt, d.h. dass gilt a n a mod 13 bzw. 2 n a a mod 13.

6 3. Zahlentheoretische Funktionen 47 Gesucht ist also eine Zahl n IN mit 2 n 1 mod 13. Im neuen Stapel kommen alle Platzzahlen zwischen 1 und 12 vor, d.h. Multiplikation der Platzzahlen vorher und nachher ergibt modulo 13 dieselbe Zahl, und es gilt (2 1) (2 2)... (2 12) 12! mod ! und 13 sind teilerfremd, d.h mod 13. Sortiert man den Stapel 12-mal um, dann liegt die Karte mit ursprünglicher Position a an der Stelle a 12 mit a a 1 a = a mod 13, also wieder an der ursprünglichen Position. Ist p eine beliebige Primzahl, dann kann man dieses Spiel mit p 1 Karten durchführen: Satz (Fermat) Sei p eine Primzahl, a Z nicht Vielfaches von p. Dann gilt: a p 1 1 mod p. Korollar Sei p eine Primzahl, a Z. Dann gilt: Wir können Korollar ergänzen: a p a mod p. Korollar (a) Sei p eine Primzahl. Die quadratische Kongruenz ist genau dann lösbar, wenn p 3 mod 4. (b) Insbesondere hat die Kongruenz x 2 1 mod p (i) für p = 2 die (modulo 2) eindeutige Lösung x 1 mod 2 und (ii) für p 1 mod 4 die (modulo p) verschiedenen Lösungen x ( p 1 2 ) (p 1)! und x!. 2 Für den Beweis des Satzes von Fermat ist es nicht wesentlich, dass der Modul eine Primzahl ist, sondern dass alle zum Modul teilerfremden Reste multipliziert werden. Damit folgt als Verallgemeinerung Satz (Euler) Sei m IN, m > 1, a Z mit ggt(a,m) = 1. Dann gilt a ϕ(m) 1 mod m.

7 3. Zahlentheoretische Funktionen 48 Korollar Sei m IN. Gibt es ein a Z mit dann ist m zusammengesetzt. a m a mod m, Bemerkung (1) Es gibt zusammengesetzte natürliche Zahlen m > 1 mit a m a mod m für alle a Z, die sogenannten Carmichael-Zahlen. Z.B. sind 561 = und 1729 = Carmichael-Zahlen. Seit 1994 weiß man, dass es unendlich viele Carmichael-Zahlen gibt. (2) Die Sätze von Euler-Fermat bilden die Grundlage für Algorithmen, die untersuchen, ob ein m IN prim oder zusammengesetzt ist. 3.3 Summenfunktion, Möbiussche Umkehrformel Wir betrachten in diesem Abschnitt die Summenfunktion F : IN IR mit F(n) := f(d) d n einer zahlentheoretischen Funktion f. F ist natürlich wieder eine zahlentheoretische Funktion. Zuerst betrachten wir die Teiler eines Produktes aus zueinander teilerfremden Zahlen. Beispiel m = 4 hat die Teiler {1,2,4}, n = 15 hat die Teiler {1,3,5,15} und m n = 60 hat die Teiler 1 = 1 1, 2 = 2 1, 3 = 1 3, 4 = 4 1, 5 = 1 5, 6 = 2 3, 10 = 2 5, 12 = 4 3, 15 = 1 15, 20 = 4 5, 30 = 2 15, 60 = Satz Seien m,n IN teilerfremde natürliche Zahlen, dann ist d Teiler von m n genau dann, wenn es Teiler d 1 von m und d 2 von n gibt mit d = d 1 d 2. Die Faktoren d 1,d 2 sind jeweils zueinander teilerfremd, und alle diese Produkte sind verschieden.

8 3. Zahlentheoretische Funktionen 49 Beispiel Sei f eine zahlentheoretische Funktion. Für die zugehörige Summenfunktion F erhält man F(60) = d 60f(d) = f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(10)+f(12)+f(15)+f(20)+f(30)+f(60) = f(1 1)+f(2 1)+f(4 1)+f(1 3)+f(2 3)+f(4 3) +f(1 5)+f(2 5)+f(4 5)+f(1 15)+f(2 15)+f(4 15) = f(1) f(1)+f(2) f(1)+f(4) f(1)+f(1) f(3)+f(2) f(3)+f(4) f(3) +f(1) f(5)+f(2) f(5)+f(4) f(5)+f(1) f(15)+f(2) f(15)+f(4) f(15) ( ) ( ) = f(1)+f(2)+f(4) f(1)+ f(1)+f(2)+f(4) f(3) ( ) ( ) + f(1)+f(2)+f(4) f(5)+ f(1)+f(2)+f(4) f(15) ( ) ( ) = f(1)+f(2)+f(4) f(1)+f(3)+f(5)+f(15) ( ) ( ) = f(d) f(d) = F(4) F(15). d 4 d 15 Damit erhält man für die Summenfunktion einer multiplikativen zahlentheoretischen Funktion Satz Ist f eine multiplikative zahlentheoretische Funktion, dann ist die zugehörige Summenfunktion F auch multiplikativ. Da die konstante Funktion und die Identität f(n) := 1 id(n) := n für alle nıin für alle n IN multiplikativ sind, erhält man als sofortige Folgerung die schon früher bewiesene Feststellung: Korollar (a) Die Teileranzahlfunktion τ und die Teilersummenfunktion σ sind multiplikativ. (b) Sei k IN {0}. Die allgemeine Teilerfunktion σ k (n) := d n d k ist multiplikativ. Wir betrachten eine weitere multiplikative Funktion: Definition Die Funktion µ : IN IN 0 mit 1 falls n = 1, µ(n) := 0 falls es eine Primzahl p gibt mit (p 2 ) n, ( 1) r falls n genau r verschiedene Primteiler besitzt, aber kein Primzahlquadrat als Teiler. heißt Möbiussche µ-funktion.

9 3. Zahlentheoretische Funktionen 50 Beispiel Die folgende Tabelle gibt die Funktionswerte für 1 m 12 an: m µ(m) Satz Die Möbiussche µ-funktion ist multiplikativ. Damit ist die zugehörige Summenfunktion F ebenfalls multiplikativ. Wir berechnen zuerst einige Funktionswerte von F: Beispiele (1) Funktionswerte für 1 m 12 an: (2) Für eine Primzahl p und k IN gilt F(p k ) = 0. Mit der Multiplikativität von F erhält man Satz Für beliebiges n IN gilt m F(m) F(n) = d n µ(d) = { 1 für n = 1, 0 für n > 1. Die zu f gehörende Summenfunktion F ist mit Hilfe von f definiert worden. Man kann nun aber auch f mit Hilfe von F ausdrücken. Dazu ein Hilfssatz: Satz Seien c,d,n IN beliebig. Dann gilt d n und c n d c n und d n c. Satz (Möbiussche Umkehrformel) Sei f eine zahlentheoretische Funktion, F die zugehörige Summenfunktion. Dann gilt f(n) = d n µ(d)f( n d ) = d n µ( n d )F(d). Ist f multiplikativ, dann auch F. Es gilt aber auch die Umkehrung Satz Sei f eine zahlentheoretische Funktion, F die zugehörige Summenfunktion. Ist F multiplikativ, dann ist auch f multiplikativ. Bemerkung Mit Satz erhält man damit einen weiteren Beweis für die Multiplikativität der Eulerschen ϕ-funktion.

10 3. Zahlentheoretische Funktionen Asymmetrische Kryptosysteme Bei früheren Systemen zur Ver- und Entschlüsselung von geheimen Nachrichten mußten Sender und Empfänger einen gemeinsamen geheimen Schlüssel austauschen. Mit diesem Schlüssel wurde eine Botschaft (genant Klartext) von dem Sender in einen Geheimtext verschlüsselt, an den Empfänger gesandt und dort wieder mit Hilfe des Schlüssels in den Klartext übersetzt. Diese Systeme sind insofern symmetrisch, als auch der Empfänger Botschaften verschlüsseln und der Sender diese entschlüsseln kann. Wir betrachten dagegen z.b. unser Postsystem: Wenn Sender A einem Empfänger B eine Botschaft zusenden will, schreibt er die (jedem zugängliche) Adresse auf einen Umschlag und wirft diesen in den Briefkasten des Empfängers (oder läßt das von Postzustellern machen). Wenn die Nachricht im Briefkasten liegt, ist sie für niemanden zugänglich außer für den Empfänger, der als einziger einen Schlüssel für diesen Briefkasten hat. Auch der Sender kommt nicht mehr an die Nachricht heran. Ein solches asymmetrisches System beruht also auf einem Paar von Schlüsseln für jeden Empfänger, nämlich einem öffentlichen Schlüssel zur Verschlüsselung, der im Prinzip jedem zugänglich ist (bei unserem Beispiel ist das die Adresse des Empfängers), und einem geheimen Schlüssel zum Entschlüsseln, der nur dem Empfänger zugänglich ist (in unserem Beispiel ist das der Postfachschlüssel). Wir wollen den öffentlichen Schlüssels des Empfängers B mit E B und den geheimen Schlüssel mit D B bezeichnen. Dieselben Bezeichnungen verwenden wir auch für die Ver- bzw. Entschlüsselung, d.h. ein Klartext m wird durch Verschlüsselung zu E B (m) und ein Geheimtext M durch Entschlüsselung zu D B (M). Sind die öffentlichen und privaten Schlüssel für jeden Teilnehmer des Systems bereitgestellt, dann ergibt sich folgendes Verfahren: (a) A sendet an B eine Nachricht m, indem er den öffentlichen Schlüssel E B von B heraussucht, die Nachricht m mittels E B verschlüsselt und die verschlüsselte Nachricht E B (m) an B sendet. (b) B kann den Geheimtext E B (m) entschlüsseln, da nur er den privaten Schlüssel D B kennt: D B ( EB (m) ) = m. (c) Kein anderer Teilnehmer kann E B (m) entschlüsseln, da man aus der Kenntnis von öffentlichem Schlüssel und Geheimtext nicht auf den privaten Schlüssel schließen kann. Hier seien die wesentlichen Vor- und Nachteile eines solchen Systems aufgeführt: Ein Schlüsselaustausch ist nicht notwendig: Man kann jedem Teilnehmer des Systems ohne vorherige Verabredung eine geheime Nachricht senden. Ein solches Verfahren ist ideal für eine offene Kommunikation.

11 3. Zahlentheoretische Funktionen 52 Man braucht nur sehr wenige Schlüssel: Bei symmetrischen ( ) Verfahren brauchen je zwei Teilnehmer einen Schlüssel. n Teilnehmer brauchen also = n (n 1) Schlüssel, z.b. bei 1000 n 2 2 Teilnehmern ca Schlüssel. Bei einem asymmetrischen Verfahren braucht man aber nur zwei Schlüssel für jeden Teilnehmer, d.h. bei n Teilnehmern 2n Schlüssel, also z.b. bei 1000 Teilnehmern 2000 Schlüssel. Kommt bei einem symmetrischen Verfahren ein neuer Teilnehmer dazu, dann muß er mit allen bisherigen Teilnehmern je einen Schlüssel tauschen. Bei einem asymmetrischen Verfahren muß nur das Verzeichnis der öffentlichen Schlüssel um einen Eintrag erweitert werden, nämlich um den öffentlichen Schlüssel des neuen Teilnehmers. Es ist bislang kein asymmetrisches Verfahren bekannt, das sowohl als sicher gilt als auch schnell ist. Auch bei einem asymmetrischen System braucht man ein Schlüsselmanagement. Es muß z.b. unterbunden werden, daß ein Teilnehmer C einen Briefkasten mit der Adresse von B aufstellt und damit die für B bestimmten Nachrichten abfängt. Für über das Internet abgeschlossene Geschäfte braucht man zur Rechtsverbindlichkeit eine elektronische Unterschrift. Auch hier kann ein asymmetrisches Verfahren angewendet werden. Um eine Nachricht m zu signieren, verschlüsselt sie der Sender A mit seinem geheimen Schlüssel D A und veröffentlicht die signierte Nachricht D A (m) zusammen mit m. Dann kann jeder andere Teilnehmer diese Signatur verifizieren: Er wendet auf die verschlüsselte Nachricht den öffentlichen Schlüssel E A von A an und überprüft die Gleichung E A ( DA (m) ) = m. Der RSA-Algorithmus nutzt die unregelmäßige Verteilung der Primzahlen aus und verwendet zur Ver- und Entschlüsselung von Nachrichten mittels eines asymmetrischen Systems die Aussage des Satzes von Euler-Fermat: Vergabe der Schlüssel: Eine Schlüsselvergabestelle wählt für jeden Teilnehmer ein Paar p und q von großen Primzahlen aus und bildet das Produkt n = p q. Dann berechnet sie ϕ(n) = (p 1) (q 1) und sucht zwei Zahlen e und d heraus mit der Eigenschaft e d 1 mod ϕ(n). Zum Beispiel wählt sie für e eine Primzahl, die größer ist als max(p,q) und damit auch teilerfremd zu ϕ(n). Mit dem euklidischen Algorithmus erhält man leicht die zugehörige Inverse d. Dann werden dem Teilnehmer das Paar (e,n) als öffentlicher und die Zahl d als geheimer Schlüssel zugeteilt. Es ist nicht sinnvoll, dem Teilnehmer die Parameter p und q mitzuteilen, damit die anderen Teilnehmer nicht diese Zahlen erfahren. Sie könnten dann d bestimmen. Verschlüsselung: Um eine Nachricht an B zu schicken, wandelt man den Text in eine Folge von Zahlen um (z.b. mit der ASCII-Kodierung). Man kann also den Klartext auffassen als Zahl m. Weiter

12 3. Zahlentheoretische Funktionen 53 könnenwirannehmen,daßm ngilt.sonstzerlegt mandenklartext inblöcke mitvorherfestgelegter Länge, so dass immer m < n gilt. Dann sucht man den öffentlichen Schlüssel von B heraus und ermittelt den Rest c mit Dann ist c der zu übermittelnde Geheimtext. c m e mod n. Entschlüsselung: Der Empfänger wendet seinen geheimen Schlüssel d auf den Geheimtext c an, indem er f(m) mit 1 f(m) m und f(m) c d mod n bestimmt. Das Verfahren arbeitet dann korrekt, wenn immer f(m) = m gilt: Satz Seien p,q,n,e,d wie oben definiert. Für jede natürliche Zahl m n gilt f(m) = m. Sicherheit des Verfahrens: Wenn ein Angreifer die Zahl ϕ(n) bestimmen könnte, dann würde er d als Inverses von e modulo ϕ(n) berechnen können. Wegen ϕ(p q) = (p 1) (q 1) ist die Bestimmung von ϕ(n) gleichbedeutend mit der Bestimmung der Primfaktoren von n.

13 54 4 Approximation von Irrationalzahlen durch rationale Aus der Analysis ist bekannt, daß sich jede Irrationalzahl durch Folgen rationaler Zahlen approximieren läßt. Dabei können verschiedene Folgen gewählt werden, z.b. die Dezimalbruchentwicklung der Irrationalzahl. Allen diesen Folgen ist gemeinsam, daß die Folge der zugehörigen Nenner nicht beschränkt ist. Im folgenden wird untersucht, welche rationale Zahlen mit möglichst kleinem Nenner für eine möglichst gute Approximation zu wählen sind. Weiter geben wir quantitative Aussagen über die Güte der Approximation einer Irrationalzahl an. 4.1 Kettenbrüche Zwei beliebige rationale Zahlen a b und c 1 kann man als ganzzahlige Vielfache z.b. von d bd darstellen, d.h. die Streckenlängen vom Nullpunkt zu den Punkten, die den beiden Zahlen entsprechen, sind ganzzahlige Vielfache einer festen Streckenlänge, die man als gemeinsame Maßeinheit betrachten kann. Die beiden Strecken sind also kommensurabel. Umgekehrt erhält man zu zwei kommensurablen Strecken durch das Verfahren der Wechselwegnahme das größte gemeinsame Maß der beiden Strecken. Die Wechselwegnahme bei Strecken entspricht dem euklidischen Algorithmus für natürliche Zahlen, bei dem ebenfalls ein gemeinsames Maß, nämlich der größte gemeinsame Teiler, gefunden wird. Wir wenden diesen Algorithmus auf irrationale Zahlen a, b an: a = q 1 b+r 1 (q 1 IN;0 r 1 < b) b = q 2 r 1 +r 2 (q 2 IN;0 r 2 < r 1 ) r 1 = q 3 r 2 +r 3 (q 3 IN;0 r 3 < r 2 ) usw. Für das Beispiel a = 2, b = 1 erhält man: 2 = 1 1+( 2 1) 1 = 2 ( 2 1)+(3 2 2) = 2 ( 2 1)+( 2 1) = 2 ( 2 1) 2 +( 2 1) (3 2 2) = 2 ( 2 1) 2 +( 2 1) 3. Jede weitere Zeile entsteht nun durch Multiplikation der aktuellen Zeile mit 2 1. Der Algorithmus bricht also nie ab und ergibt daher kein gemeinsames Maß der Zahlen 2 und 1.

14 4. Approximation von Irrationalzahlen durch rationale 55 Wir führen den euklidischen Algorithmus nochmals für die natürlichen Zahlen 105 und 24 aus und geben die entsprechenden Gleichungen in einer Bruchdarstellung dar: übliche Schreibweise 105 = = = = 2 3 Bruchschreibweise = = = = 2 Die rechte Seite liefert schrittweise = = = Für a = 2 und b = 1 erhält man analog übliche Schreibweise Bruchschreibweise = 1 1+( 2 1) 1 = = 2 ( 2 1)+( 2 1) 2 1 = 2+( 2 1) = 2 ( 2 1) 2 +( 2 1) = 2+( 2 1) ( 2 1) 2 = 2 ( 2 1) 3 +( 2 1) = 2+( 2 1) Wieder liefert die rechte Seite schrittweise eine jetzt nicht abbrechende Kettenbruchdarstellung von 2, nämlich 1 2 = Definition Sei α 0 IR beliebig. Weiter sei a i := [α i ] := max{n Z; n α i } und α i+1 := (α i a i ) 1, i 0, falls α i a i 0. [a 0 ;a 1,a 2,...] heißt endliche oder unendliche (regelmäßige) Kettenbruchentwicklung von α 0.

15 4. Approximation von Irrationalzahlen durch rationale 56 Bemerkungen (1) In den bisher betrachteten Beispielen ist der Zähler einheitlich 1. Diese Kettenbrüche heißen regulär. (2) Für unsere Beispiele erhalten wir = [4;2,1,2], 2 = [1;2,2,2,2,...] =: [1;2]. (3) Zu jeder reellen Zahl α 0 erhält man eine eindeutige Kettenbruchdarstellung. Ist α 0 irrational, dann auch alle anderen α i, und man erhält eine unendliche Folge (a i ) i IN0 ganzer Zahlen mit a i IN für i IN. (4) Kettenbrüche stellen also wie Dezimalbrüche sowohl rationale als auch irrationale Zahlen dar. Während aber zu einer rationalen Zahl auch ein unendlicher(periodischer) Dezimalbruch gehören kann, gilt: Die Kettenbruchdarstellung einer Zahl α 0 ist genau dann endlich, wenn α 0 IQ. (5) Weitere Beispiele: 41 hat die Kettenbruchentwicklung [4;1,1,4] = 6, hat die Kettenbruchentwicklung [6;2,2,12,2,2,12,2,2,..] = [6;2,2,12]. e = 2, hatdiekettenbruchentwicklung[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1,...]. Die Kettenbruchentwicklung von π ist unregelmäßig. Sei nun a 0 Z und (a i ) i IN eine Folge in IN. Wir wollen zeigen, daß die Folge der endlichen Kettenbrüche([a 0 ;a 1,..,a i ]) i IN gegen diezahlαmit dem unendlichenkettenbruch[a 0 ;a 1,a 2,...] konvergiert. Definition Sei (a 0,a 1,...,a j (,...)) eine endliche Folge (mit k+1 Elementen) oder eine unendliche Folge ganzer Zahlen mit a i IN,i 1. (a) A i := [a 0 ;a 1,..,a i ],i 0, heißt i-ter Näherungsbruch von [a 0 ;a 1,a 2,...]. Ist die Folge endlich und i > k, dann sei A i := A k. (b) Für 0 i k (endliche Folge) bzw. i 0 sei p 2 := 0, p 1 := 1, p i := a i p i 1 +p i 2, q 2 := 1, q 1 := 0, q i := a i q i 1 +q i 2. Bemerkungen (1) Aus der Definition folgt p i Z,q i IN für alle i 0. (2) Ist die Folge (a i ) unendlich, dann ist (q i ) unbeschränkt. Satz Sei (a 0,a 1,...,a j (,...)) eine endliche Folge (mit k + 1 Elementen) oder eine unendliche Folge ganzer Zahlen mit a i IN,i 1. Weiter seien (A i ) i 0, (p i ) i 2, (q i ) i 2 wie in Definition und x > 1. Dann gilt: (a) [a 0 ;a 1,a 2,...,a i,x] = [a 0 ;a 1,a 2,...,a i 1,a i + 1 x ] = p ix+p i 1 q i x+q i 1 für alle i 0.

16 4. Approximation von Irrationalzahlen durch rationale 57 (b) A i = p i q i, i 0. (c) p i 1 q i p i q i 1 = ( 1) i für i 1. Insbesondere sind p i,q i teilerfremd für alle i 2. (d) A i 1 A i = ( 1)i q i 1 q i für alle i 1. (e) p i 2 q i p i q i 2 = ( 1) i 1 a i für alle i 0. (f) A i A i 2 = ( 1)i a i q i 2 q i für alle i 2. (g) A 0 < A 2 < A 4 <... < A 5 < A 3 < A 1, d.h. ([A 2i,A 2i+1 ]) i 0 bildet eine Intervallschachtelung. Damit erhält man folgenden Konvergenzsatz: Satz Ist a 0 Z, (a i ) i IN eine unendliche Folge in IN, und A i der i-te Näherungsbruch des unendlichen Kettenbruchs [a 0 ;a 1,a 2,...]. Dann konvergiert (A i ) i IN. ist irrational, und es gilt α := lim i A i A 0 < A 2 <... < α <... < A 3 < A 1. DerGrenzwertαistdurchdenunendlichenKettenbruch[a 0 ;a 1,a 2,...]eindeutigfestgelegt. Dernächste Satz zeigt, daß auch die Umkehrung gilt, d.h., daß zwei verschiedene Kettenbrüche nicht denselben Grenzwert haben können, und er zeigt, daß der Grenzwert gerade die Zahl ist, aus der mit Hilfe der Verallgemeinerung des euklidischen Algorithmus der Kettenbruch gewonnen werden kann. Satz (a) Zwei Kettenbrüche [a 0 ;a 1,a 2,...,a k ], [a 0 ;a 1,a 2,...,a l ] mit a k 1 a l und k l oder a k a l stellen zwei verschiedene (rationale) Zahlen dar, d.h. zu jedem α IQ gibt es genau einen (endlichen) Kettenbruch mit letzter Ziffer ungleich 1. (b) Jedes irrationale α ist Grenzwert genau eines unendlichen Kettenbruchs. Man erhält ihn mit dem in Definition beschriebenen Verfahren. (c) Ist α irrational, und sind zu der zugehörigen Kettenbruchentwicklung A i,i 0, und p i, q i,i 2, wie in Definition 4.1.3, dann gilt α A i = α p i < 1 < 1 q i q i q i+1 qi 2. Wir identifizieren in Zukunft einen unendlichen Kettenbruch mit seinem Grenzwert, d.h. wir schreiben α = [a 0 ;a 1,a 2,...]. Kettenbrüche eignen sich nicht nur(besser als Dezimalbrüche) zur Charakterisierung rationaler Zahlen, sondern auch zur Charakterisierung von quadratischen Irrationalzahlen:

17 4. Approximation von Irrationalzahlen durch rationale 58 Definition Sei α = [a 0 ;a 1,a 2,...] ein unendlicher Kettenbruch, α i,i 0, wie in Definition 4.1.1, (d.h. α i = [a i ;a i+1,...]). Gibt es k,n Z mit k 0, n > 0, und α i+n = α i für alle i > k, dann heißt der Kettenbruch periodisch (mit Vorperiode a 0,...,a k und Periode a k+1,...,a k+n ). Ist k = 0, dann heißt der Kettenbruch reinperiodisch. Schreibweise: [a 0 ;a 1,..,a k,a k+1,...,a k+n ]. Satz Die Kettenbruchentwicklung von α IR ist periodisch genau dann, wenn α eine irrationale Quadratwurzel, also algebraisch vom Grad 2 ist. Bemerkung Ein periodischer Kettenbruch α = [a 0 ;a 1,..,a k,a k+1,...,a k+n ] läßt sich wegen leicht berechnen. α k+1 = [a k+1 ;a k+2,...,a k+n,α k+1 ] = α k+1p k+n 1 +p k+n 2 α k+1 q k+n 1 +q k+n 2 Beispiel [1;1] = 1 2 ( 5+1), [2;2] = 1+ 2, [x;2x] = 1+x 2. Bemerkung α IR ist also algebraisch vom Grad 1 (rational) genau dann, wenn die zugehörige Kettenbruchentwicklung endlich ist, und algebraisch vom Grad 2 (irrationale Quadratwurzel) genau dann, wenn sie periodisch ist. Man kennt keine entsprechende Charakterisierung algebraischer Zahlen vom Grad 3. Insbesondere weiß man nicht, ob für solche Zahlen die Glieder der Kettenbruchentwicklung beschränkt sind. 4.2 Beste Approximationen Sei q IN ein fester maximaler Nenner. Wir untersuchen, welche Brüche mit nichtgrößerem Nenner eine reelle Zahl α IR möglichst gut approximieren, und zeigen, dass dies die entsprechenden Näherungsbrüche von α sind. Beispiel Die Kettenbruchentwicklung von π beginnt mit[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1,...]. Die Näherungsbrüche sind [3] = 3 1, [3;7] = , [3;7,15] =, [3;7,15,1] = , [3;7,15,1,292] = , [3;7,15,1,292,1] = ,... 3 ist unter allen Brüchen mit Nenner 1 die beste Approximation von π, 22 unter allen Brüchen mit Nenner 7, unter allen Brüchen mit Nenner 106 und unter allen Brüchen mit Nenner

18 4. Approximation von Irrationalzahlen durch rationale 59 Definition Sei α IR, q IN, A = p q mit p,q Z, 1 q q. A heißt beste Approximation von α bezüglich q, wenn für alle a b mit a,b Z, 1 b q, gilt α p q < α a b. Satz Sei α irrational, p i q i der i-te Näherungsbruch von α, i > 1. Dann gilt: (a) Für alle a,b Z mit 1 b q i und a b p i q i ist q i α p i < bα a. (b) p i q i ist die beste Approximation von α bezüglich q i. Bemerkung Die Näherungsbrüche sind nicht die einzigen besten Approximationen bezüglich des Nenners. Seien nämlich durch c p i +p i 1 c q i +q i 1, 0 < c < a i+1, die sogenannten Nebennäherungsbrüche definiert. Die Nebennäherungsbrüche sind streng monoton in c, und zwar wachsend für ungerades i und fallend für gerades i. Außerdem liegen sie zwischen p i 1 (c = 0) und p i+1 (c = a n+1 ), also auf der bezüglich q i 1 q i+1 α entgegengesetzten Seite von p i. q i Man kann zeigen, daß p q nur dann beste Approximation bezüglich q ist, wenn p Näherungsbruch oder q Nebennäherungsbruch ist. Damit läßt sich (b) folgendermaßen verschärfen: Sei i > 1,q IN beliebig mit q < { q i+1, falls a i+1 = 1, q i a i+1q i, falls a i+1 > 1. Dann ist p i q i die beste Approximation von α bezüglich q. Beispiel Die Nebennäherungsbrüche zu π sind 3c 0 +1 c 0, 1 c 0 6, 22c c 1 +1, 1 c 1 14, Diese sind beste Approximationen bezüglich ihres Nenners für c 0 > 3, c 1 > 7, c 3 > 145. Die Fehler bei Approximation durch die Näherungsbrüche sind 10 1, 10 3, , , c c , 1 c 3 291,...

19 4. Approximation von Irrationalzahlen durch rationale 60 Satz (Hurwitz) Sei α irrational. Dann gibt es eine Folge rationaler Zahlen p q mit q qα p < 1 5, und die Konstante 5 ist bestmöglich (d.h. sie kann nicht durch ein c > 5 ersetzt werden). Bemerkung Zwei irrationale Zahlen α, β heißen zueinander äquivalent, wenn es Zahlen r,s,t,u Z gibt mit rβ +s α = und ru st = ±1. tβ +u Das gilt genau dann, wenn die Kettenbruchentwicklungen von α und β bis auf jeweils endlich viele Glieder übereinstimmen, d.h. wenn es gibt mit k,l IN, a 0, b 0 Z, a i,b j IN, 1 i k, 1 j l und ein irrationales γ α = [a 0 ;a 1,...,a k,γ], β = [b 0 ;b 1,...,b l,γ]. Für die Aussage des Satzes von Hurwitz ist nur γ wesentlich. Schließt man nun bei den Überlegungen zu diesem Satz [1; 1] und die dazu äquivalenten Zahlen aus, dann kann man die Konstante 5 durch die Konstante 8 ersetzen. Schließt man weiter [2; 2] und die dazu äquivalenten Zahlen aus, dann erhält man als neue bestmögliche 221 Konstante usw. 5

20 61 Inhaltsverzeichnis 0 Vorwort 1 1 Teilbarkeitslehre Teilbarkeit, Division mit Rest Teiler, Primzahlen Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie Teilermenge, Teileranzahl Größter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches, euklidischer Algorithmus 19 2 Kongruenzen Definition, Rechenregeln Restklassen Teilbarkeitsregeln Lineare Kongruenzen Simultane lineare Kongruenzen, der chinesische Restsatz Zahlentheoretische Funktionen Definitionen Die Eulersche ϕ-funktion Summenfunktion, Möbiussche Umkehrformel Asymmetrische Kryptosysteme Approximation von Irrationalzahlen durch rationale Kettenbrüche Beste Approximationen Inhalt, Literatur, Stichwortverzeichnis 61

21 Index b a, 5 T a, 7 IN, 1 IQ, 1 Z/m, 29 Z, 1 ggt, 20 kgv, 23 µ(m), 49 a, 29 σ(n), 16 τ(n), 16 ϕ(m), 45 Äquivalenz klasse, 29 Äquivalenzrelation, 2 Beweis direkter, 2 durch Widerspruch, 2 indirekter, 2 mit vollständiger Induktion, 2 Diophant, 35 diophantische Gleichung, 35 Division mit Rest, 6 Einheit, 8 Eratosthenes Sieb des, 8 euklidischer Algorithmus, 22 Euler -sche ϕ-funktion, 45 Fakultät, 12 Fermat-Zahlen, 27 Hasse-Diagramm, 18 Hauptnenner, 23 Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie, 14 inkongruent, 26 Integritätsbereich, 31 Kürzungsregel, 28 Kettenbruch, 56 Komplementärteiler, 4 kongruent, 26 Kongruenz eindeutige Lösung einer linearen, 35 Lösung einer linearen, 34 Lösungsanzahl einer linearen, 35 lineare, 34 simultane, 39 Linearkombination, 6 Möbiussche µ-funktion, 49 Umkehrformel, 50 Mersenne sche Primzahl, 17 sche Zahl, 11 Modul, 26 multiplikativ, 42 streng, 42 natürliche Zahl, 1 nullteilerfrei, 31 Ordnungsrelation, 2 Peano-Axiome, 1 Polynomdivision, 7 Primfaktorzerlegung, 14 kanonische, 14 Primteiler, 8 Primzahl, 8 -drillinge, 11 -vierlinge, 11 -zwillinge, 11 Quersumme, 25, 33 alternierende, 33, 34 Relation, 2 Repräsentant, 29 Rest, 6 Restklasse, 29 prime, 31 Restsystem, 29 kleinstes nichtnegatives, 29 62

22 INDEX 63 vollständiges, 29 Ring kommutativer mit Einselement, 31 Summenfunktion, 48 Teilbarkeitsrelation, 5 Teiler, 4 echter, 8 größter gemeinsamer, 20 trivialer, 8 Teileranzahlfunktion, 16 teilerfremd, 20 paarweise, 20 Teilermenge, 7 Teilersummenfunktion, 16 Vertreter, 29 Vielfaches, 4 echtes, 8 kleinstes gemeinsames, 23 triviales, 8 vollkommene Zahl, 17 Wechselwegnahme, 21 Wohlordnungssatz, 2 zusammengesetzte Zahl, 8