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1 Aufgabe ud Lösuge. Rude 0 Über Kommetare ud Ergäzuge zu dese Lösugsbespele freue wr us!» KORREKTURKOMMISSION VORSITZENDER KARL FEGERT» BUNDESWETTBEWERB MATHEMATIK Kortrjer Straße, 577 Bo Postfach 0 0 0, 5 Bo Tel.: (0 8) , Fax: (0 8) fo@budeswettbewerb-mathemat.de, Stad: Otobber 0

2 BWM 0 II Lösugsbespele Edgültge Fassug ( ) Aufgabe : Zege, dass für alle postve gaze Zahle de Zahl + durch telbar st. +. Bewes (vollst. Iduto ach ): Idutosafag: De Aussage st rchtg für, da Idutosaahme: De Aussage se rchtg für e bestmmtes. Idutosschluss: Da st de Aussage rchtg für + : 9 durch + 9 telbar st. Für alle reelle glt de Idettät x + (x + )(x x + ); hermt erhalte wr + ( ) ( ) + ( ) + + ; desem Produt ethält der erste Fator ach Idutosaahme de Fator +. Be der Utersuchug des zwete Fators beütze wr de lecht m Kopf verfzerbare Aussage, dass mod für alle gerade st, ud mod für alle ugerade. Also st ( ) ( ) + ( + ) 0 mod, d.h. der zwete Fator st durch telbar. Isgesamt st das Produt also durch + (+)+ telbar; des war zu bewese. Varate des Idutosschlusses: Es st + ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) ; ach Idutosaahme st der erste Summad telbar durch (+), der zwete durch (+)+, der drtte durch (+)+, de letzte bede hebe sch gegesetg auf. Isgesamt st de le Sete also telbar durch dejege deser dre Dreerpoteze, de de leste Expoete hat, des st offeschtlch (+)+ ud des war zu zege.. Bewes (dret): Wr beütze ee Hlfssatz: HS: Für mod ud mod, < glt (Bewes am Ede). Umformug des betrachtete Ausdrucs mt bomschem Lehrsatz ergbt (es st stets ugerade!) ( ) + 0. ( + ) + ( ) + ( ) Es geügt u zu zege, dass deser Summe jeder der offeschtlch gazzahlge Summade durch + telbar st. Für Summade S mt mod ud mod, < st ach dem Hlfssatz S durch + ud damt auch durch + telbar. Für alle adere Summade, d.h. für alle S mt 0 mod glt Folgedes: Se s de maxmale Dreerpotez, de ethalte st, d.h. es st s p für e geegetes, cht durch dre telbares p. Da st S ( ) ( ) p Wel mod, st der erste Fator durch telbar. Weter st offeschtlch s <, also s ud somt der drtte Fator mdestes durch telbar. Dese Teler blebe ach dem Kürze mt p erhalte, wel p cht durch telbar st. Somt st S auch desem Fall durch + telbar. s.

3 BWM 0 II Lösugsbespele Edgültge Fassug Bewes des HS (mttels vollstädger Iduto ach, beschrät auf de Werte < ): De Aussage st rchtg für, wel offeschtlch durch telbar st. Se u de Aussage rchtg für e mod, <. Da st + ( ) ( ) +. Der erste Bruch st vollstädg ürzbar ud ethält ach Voraussetzug de Fator. Bem zwete Bruch ethalte de Fatore ( ) ud (+) wege mod ee Fator, d.h. bem vollstädge Kürze blebt der Fator erhalte ud de Aussage st somt auch rchtg für + ; es se bemert, dass + mod. Weter glt + ( ) ( ) ( ) Weder st der erste Bruch vollstädg ürzbar ud ethält ach Voraussetzug de Fator, weder ethalte de Fatore ( ) ud (+) wege mod ee Fator. Des glt aber auch für de bede Fatore ( (+)) ud ( + ). Für de restlche bede Fatore ( (+)) ud (+ ) glt: Ist r de maxmale Dreerpotez +, d.h. st + r q ud e Teler vo q, da st ( (+)) r ( r q), also st solage + < de Zahl r ebefalls de maxmale Dreerpotez ( (+)). Bem Kürze verschwdet dese also ud der Fator des erste Bruches blebt erhalte. De Aussage st demach auch rchtg für +. Idutv folgt de Rchtget der Aussage u für,, 5, 7,...,... Bewes: Wr verwede de Eulersche ϕ Futo, d.h. ϕ () se de Azahl der zu telerfremde postve gaze Zahle, de cht größer als sd. Ma ermttelt lecht, das ϕ ( + ) + ; des folgt aus der Tatsache, dass geau / aller Zahle,,..., + ee Fator ethalte, de Zahl + aber mdestes ee ud ee adere als. Es st ggt(; + ), also glt mt Satz vo Euler ( ) ϕ + mod ( + ), d.h. + st Teler vo ( ) ( ) ( + ). Jede Zweerpotez mt ugeradem Expoete lässt be Dvso durch de Rest, also st der le Fator ( ) cht durch telbar. Heraus folgt wederum, dass der rechte Fator de Teler + vollstädg ethält; des war zu zege. ( ) Bemerug: Be der abstrate Behadlug der Aufgabe vergsst ma lecht, dass de Zahl + mt wachsedem sehr schell groß wrd. Für 5 hat hre Darstellug m Dezmalsystem berets 7 Zffer (Berechug mt DERIVE). Aders als Addere ud Multplzere st Potezere cht assozatv, d.h. es st m Allgemee c ( b ) c c b ( b ) a. Üblcherwese deutet ma a a ; um Verwechsluge zu vermede, wurde b ( a ) c gelegetlch redudate Klammer gesetzt.

4 BWM 0 II Lösugsbespele Edgültge Fassug Aufgabe : Für alle postve gaze Zahle m ud mt m se a m, : m m. Bestmme alle Folge reeller Zahle (x, x, x,... ), de für alle postve gaze Zahle de Glechug a, x + a, x a, x 0 erfülle. Ergebs: Jede Folge (x, x, x,... ) mt x c mt reellem c ud,,,... erfüllt de Bedguge der Aufgabestellug, alle adere Folge erfülle de Bedguge cht. Bezechug: Ee Folge, de de der Aufgabestellug geforderte Bedguge erfüllt, ee wr zulässg. De Glechug a, x + a, x a, x 0 oder urz. Bewes: Wr betrachte zuächst : Es st a, ( ) a, x 0 st für jede reelle Zahl x erfüllt. Für alle > st a, a x 0 bezeche wr mt G()., 0; ud de Glechug G(), d.h. 0 ud damt de Glechug G(), d.h. a, x + a, x a, x 0, edeutg ach x auflösbar. We es also Zahle x, x,..., x gbt, de de Glechuge G(), G(),..., G( ) erfülle, da gbt es ee edeutg bestmmte Zahl x derart, dass de Zahle x, x,..., x de Glechuge G(), G(),..., G() erfülle. Idutv folgt heraus, dass jede zulässge Folge durch das erste Gled x edeutg bestmmt st, ud dass jede reelle Zahl x edeutg ee zulässge Folge bestmmt., 0 Weter st a ( cx ) c a x 0, a x 0 oder c 0;, also st für jede belebge reelle Zahl c ud jede zulässge Folge (x ) auch de Folge (cx ) zulässg. Es geügt also, achzuwese, dass de Folge (x ) mt x (,,,...) zulässg st, d.h dass für alle postve gaze Zahle de Idettät a, 0 a, 0 glt. Tatsächlch st ( 0 ), ud dass dese Glechug glt, a auf verschedee Wese achgewese werde: Varate : De le Sete verefacht sch zu das st der gleche Wert, zu dem sch de rechte Sete verefacht: ( + ) + +, 0 +. Varate : Wr bestmme auf zwe Arte de Azahl vo Möglchete, mt de Zahle,,,..., ummererte Perle so auf dre Schachtel A, B ud C zu vertele, dass Schachtel A mdestes ee Perle ethält. Ee erste Art, alle Verteluge ud dabe jede geau emal zu erhalte, st de folgede: Wr wähle e mt, wähle da Perle aus ud etschede be jeder deser Perle, ob se

5 BWM 0 II Lösugsbespele Edgültge Fassug Schachtel B oder C ommt; de restlche Perle (also mdestes ee!) omme Schachtel A. Efache Kombator ergbt als Azahl der Möglchete. Ee zwete Art st de folgede: Wr wähle e mt ud lege fest: Perle mt Nummer (also mdestes ee!) ommt Schachtel A, de Perle mt eer Nummer leer als omme ee der Schachtel B oder C; de Perle mt eer Nummer größer als omme ee der Schachtel A, B oder C. Efache Kombator ergbt her als Azahl der Möglchete. Da be bede Arte de gleche Mege gezählt wurde, ergbt sch äquvalet zu ( ) st., was 5

6 BWM 0 II Lösugsbespele Edgültge Fassug Aufgabe : I eer Ebee legt ee Gerade g; auf hr werde paarwese verschedee Pute belebg gewählt ( ); über de Verbdugsstrece je zweer deser Pute werde Halbrese gezechet, de alle auf derselbe Sete vo g lege. Bestmme Abhägget vo de maxmale Azahl vo cht auf g legede Schttpute solcher Halbrese. Ergebs: De maxmal möglche Azahl vo solche Schttpute se mt M() bezechet, es st M() (d.h. M() M() 0). Bewes: Zu belebge ver paarwese verschedee Pute auf der Gerade gbt geau sechs solche Halbrese (vgl. Fg. mt Pute A, A, A, A ); es st offeschtlch, dass geau zwe davo ee Schttput habe, der cht auf g legt. De maxmale Azahl M() st also höchstes so groß we de Azahl Möglchete, ver Pute aus de Pute auszuwähle, also st M(). Glechhet glt, we ee zwe der betrachtete Schttpute zusammefalle. Es blebt also och zu zege, dass de Pute auf g so lege öe, dass des der Fall st. Des zege wr dutv über de Azahl der auf g befdlche Pute: Für bzw. Pute gbt es chts zu zege; für Pute A, A, A ud A, de deser Rehefolge auf g lege, legt A erhalb des Kreses mt Durchmesser A A ud A außerhalb deses Kreses, d.h. de bede Halbrese über A A ud über A A habe. mmer geau ee Schttput, d.h. M() Nu ehme wr a, es gebe für e bestmmtes ( ) ee Kofgurato mt Pute A, A,..., A auf der Gerade g, für de ee zwe Schttpute vo Halbrese zusammefalle ( der Fgur mt de Pute A bs A 5 dargestellt). De Halbrese über AAj see mt j bezechet, de Schttpute der Halbrese j ud rs mt P jrs (dabe st, j, r, s,,...,, < j, r < s, < s). E weterer Put A + darf u cht so gewählt werde, dass e Halbres über eer der Strece A m A + (m,,..., ) durch ee der Pute P jrs geht. Jeder Put A m auf g bestmmt mt jedem der Pute P jrs geau ee evtl. zur Gerade etartete Halbres mt Mttelput auf g ud somt höchstes ee wetere Put Q mjrs mt der Egeschaft, dass der Halbres über der Strece A m Q mjrs durch de Put P jrs geht. Da de Kostruto der Pute Q mjrs ur edlch vele Schrtte ud edlch vele Objete umfasst, gbt es auch ur edlch vele solcher Pute. Es gbt also auf g och davo verschedee Pute, ee davo wähle wr als A +.. Bewes (vollstädge Iduto ach der Azahl der Pute): Idutosafag: Es st offeschtlch uabhägg vo der Lage der Pute auf der Gerade ; d.h. de Aussage st rchtg für,,. M() M() 0 ( ) ud M() Idutosaahme: Se de Aussage rchtg für e bestmmtes d.h. für jede Lage vo paarwese verschedee Pute auf der Gerade gelte M() ( ) ; ud es gebe ee Lage vo paarwese verschedee Pute, für de es geau ( ) solche Schttpute gebe. 6

7 BWM 0 II Lösugsbespele Edgültge Fassug Idutosschluss: Wr betrachte + belebge, paarwese verschedee Pute auf g, wr bezeche se der Rehe ach mt A, A,..., A +. Zu Halbrese über zwe Strece A r A s mt r, s (d.h. über zwe Strece, vo dee ee ee Edput A + hat) gbt es ach Idutosaahme höchstes M() ( ) solche Schttpute. Zu Halbrese über zwe Strece, de bede A + als Edput habe, gbt es offeschtlch ee solche Schttput. Zu Halbrese über zwe Strece A r A s ud A A + (r < s ; < +; d.h. über zwe Strece, vo dee geau ee ee Edput A + hat) gbt es geau da geau ee solche Schttput, we r < < s ; es gbt geau ( ) solche Zahletrpel (r,,s) ud damt ebeso vele Schttpute. Heraus folgt sofort, dass M(+) ( ) + ( ) + ( ). Nu zege wr och, dass M(+) + ( ) ; d.h. dass es ee Lage vo + Pute auf g gbt, be der ee zwe solcher Schttpute zusammefalle: Wr wähle zuächst ee Lage vo Pute, für de es ( ) solche Schttpute gbt; ach Idutosaahme st des möglch. Nu lege wr e Achsereuz so auf de Gesamtfgur, dass de x Achse auf g zu lege ommt ud de betrachtete Pute postve y Werte habe. De Pute see so der Rehe ach mt A, A,..., A bezechet, dass hre x Koordate ee wachsede Folge (a ) mt blde; de Koordate der betrachtete Schttpute see (x j y j ) mt j ( ). Uter alle postve Werte / (x j a ) gbt es ee leste, de wr mt δ bezeche; uter alle Werte y j gbt es ee größte, de wr mt h bezeche, uter alle Werte x j gbt es ee größte, h de wr mt m bezeche. Schleßlch defere wr a + : + m ud damt de Lage vo A +. δ Hat u e Halbres über eer Strece A t A + mt eem Halbres über eer Strece A r A s (r,s,t ) de Put ( x y ) gemesam, so bldet deser mt de Pute A t ud A + e rechtwlges Dreec ud es glt ach Höhesatz (x a t ) (a + x) y. Wäre u ( x y ) (x j y j ) für rged e j, so wäre etweder 0 < x j a t δ oder x j a t > δ ud damt y j (x j a t )(a + x j ) > δ h + m x j δ > h, was bede Fälle ee Wderspruch darstellt. Bemerug: Wählt ma sechs Pute auf der Gerade äqudstat, so falle ege Schttpute zusamme. 7

8 BWM 0 II Lösugsbespele Edgültge Fassug Aufgabe : I der Ebee sd dre cht auf eer Gerade legede Pute A, A, A gegebe; für, 5, 6,... se A der Schwerput des Dreecs A A A. a) Zege, dass es geau ee Put S gbt, der für alle m Ier des Dreecs A A A legt. b) Es se T der Schttput der Gerade SA mt der Gerade A A. Bestmme de bede Streceverhältsse A T : TA ud TS : SA. Bezechuge: Mt se das Dreec A A + A + bezechet; mt s de Setehalberede m Dreec, de vo der Ece A ausgeht. Ergebs zu Telaufgabe b): Es st AT : TA : ud TS : SA : ;. Bewes: (elemetargeometrsch mt Beschrebug des Putes S): Mt M j se der Mttelput der Strece A A j bezechet, mt T derjege Put auf der Strece A A +, der dese Strece m Verhälts : telt. Schleßlch se S der Mttelput der Strece A + T. S st damt edeutg bestmmt. Bemert se, dass T T. Wr werde zege, dass alle Pute S zusammefalle ud detsch mt dem gesuchte Put S sd. Wr zege zuächst, dass S S : We ma schell achrechet, telt T de Strece A M m Verhälts / : ( / / ) :, ebeso telt A wel Schwerput m Dreec de Strece A M m gleche Verhälts :. Heraus folgt sofort mt Strahlesatz mt Zetrum A bzw. M ud der Defto vo T, dass T T M A ud A T A A. Isbesodere st A T T A e Parallelogramm; ud da sch beatlch m Parallelogramm de Dagoale gegesetg halbere, geht de Dagoale A T durch S ; ferer st S hr Mttelput. Somt erfüllt S de Deftosbedgug vo S, es st also S S. De Argumetato m vorge Absatz blebt gültg, we ma jede vorommede Idex um erhöht; mt vollstädger Iduto glt also S S : S für alle. Da A + T Trasversale m Dreec A st, legt für alle der Put S m Ier des Dreecs ; des glt da auch für de Put S. Da de Defto vo S de m Ergebs zu Telaufgabe b) agegebee Telverhältsse etsprcht (es st T T ), st der Nachwes für Telaufgabe b) geführt. Es blebt och achzuwese, dass S der ezge Put mt deser Egeschaft st: E Kres um A durch M schedet (bzw. berührt) de Strece A A. Damt legt mdestes eer der bede Pute A ud A außerhalb deses Kreses, d.h. de Strece A M st ürzer als de lägere der bede Strece A A ud A A, ud somt glt (es se mt m de Läge der lägste Sete bezechet) AA A M < m ; dutv folgt A A < m Wel <, blde de Läge der Sete der Dreece ee Nullfolge, ebeso de maxmale Etferug zweer Pute m Ier der Dreece. Damt a es höchstes ee Put S gebe, der alle Dreece legt. Varate: Der Put S a auch folgedermaße beschrebe werde: Für,,,... se der Mttelput der Strece A A + mt B bezechet, ud der Schwerput des Dreecs B A + A + mt S. Dass alle S zusammefalle a ma da folgedermaße zege: Der Put A + st Schwerput m Dreec A A + A +, legt also auf der Strece B A + ud telt dese m Verhälts :. Der Put 8

9 BWM 0 II Lösugsbespele Edgültge Fassug B + legt da ebefalls auf der Strece B A + ud telt dese m Verhälts :. Also habe de Strece B A + ud B + A + de gleche Mttelput, folglch sd de Setehalberede vo A + de Dreece B A + A + ud B + A + A + detsch ud damt auch hre Schwerpute; dese lege atürlch m Ier der Dreece.. Bewes (vetorell, mt Herletug der Lage vo S): Zuächst zege wr, dass es mdestes ee Put S gbt, der alle Dreece legt: Das Dreec hat ee postve Flächehalt ud se Schwerput legt m Iere. Nu hat zwe Ece mt gemesam ud de drtte Ece legt m Ier vo ; somt hat auch ee postve Flächehalt ud eer seer Pute legt außerhalb vo. Idutv folgt, dass für alle postve gaze Zahle das Dreec ee postve Flächehalt hat ud dass das Dreec vo jedem Dreec mt < umschlosse wrd. Wr öe sogar schärfer schleße: De Dreece ud + habe de Sete A + A + gemesam; de Ece A + legt auf s. Also legt m Dreec + de Setehalberede vo der Ece A + aus auf s. Somt lege A + ud A + bede auf s ud bede sd m Ier vo. Mt aaloger Begrüdug sd A + ud A +5 bede Pute m Ier vo +, also auch ere Pute vo. Damt glt sogar für alle, dass alle Pute vo (eschleßlch des Rades) ere Pute aller Dreece sd. Also gbt es mdestes ee Put, der m Ier aller Dreece legt. Zwschebemerug: De her verwedete Argumetato beützt folgede Satz aus der höhere Mathemat: Jede Folge vo abstegede beschräte ud abgeschlossee Mege bestzt ee cht leere Durchschtt. Des geht wet über de Schulstoff haus ud st eeswegs so trval, we es m erste Momet erschet. (Vgl. Bemeruge am Schluss.) Nu zege wr och, dass es höchstes ee Put S gbt, der alle Dreece legt. Dabe beütze wr folgede Hlfssätze ohe Bewes): HS : I jedem Dreec st jede Setehalberede ürzer als de lägste Sete. HS : Der Schwerput ees Dreecs st der Schttput seer Setehalberede; er telt dese m Verhälts :. We obe gezegt, lege A + ud A + bede auf s ; es glt damt A A + + s s m, 9 9 wobe m für de maxmale Seteläge m Dreec steht. Nu folgt dutv, dass für alle de Bezehug A+ A + m glt. Weter folgt aus <, 9 9 dass de Folge der Läge der Sete A A + ee Nullfolge blde. Da führt aber de Aahme, es gäbe zwe verschedee Pute S ud S* mt postvem Abstad SS* > 0, de bede alle Dreece lege, zum Wderspruch. Nu zu Tel b): We der Schule üblch detfzere wr Pute mt hre Ortsvetore. Als Ursprug wähle wr de Put A. Da de Pute A, A ud A cht auf eer Gerade lege, blde de Vetore a : AA ud b : AA ee Bass, bezüglch derer der Ortsvetor jedes Putes A ee edeutge Darstellug der Form A a a + b b mt geegete reelle Zahle a ud b bestzt. Offeschtlch st a 0, a, a 0, b b 0, b. Nach beate Formel st der Schwerput des Dreecs ud damt der Put A + durch de Ortsvetor A + ( A + A + + A + ) ( a + a+ + a+ ) a + ( b + b + + b + ) b gegebe. 9

10 BWM 0 II Lösugsbespele Edgültge Fassug Heraus lete wr ee reursve Defto der Koordate (a,b ) der Pute A bezüglch der Bass ( a, b ) ud des Ursprugs A ab: a 0, a, a 0, a + ( a + a + a ) + + b 0, b 0, b, b + b + b + b. + + Nach Telaufgabe a) gbt es geau ee Put S, der alle Dreece legt. Da ferer de maxmale Läge der Dreecsete ee Nullfolge st, st auch de Etferug der Pute A vo S ee Nullfolge; deswege wrd der Ortsvetor des Putes S durch Koordate (a,b) dargestellt, de glechzetg Grezwerte der bede Folge (a ) ud (b ) sd. Dese Grezwerte lete wr mt m Iteret fdbare Lösugsstratege für leare Reursoe. Grades her (her sehr app ausgeführt): Wr betrachte alle Folge omplexer Zahle, dere Gleder de Reurso x + (x + x + + x + ) erfülle. Jede deser Folge st durch de dre Afagsgleder x, x, ud x edeutg bestmmt, a also durch de Vetor x [x,x,x ] beschrebe werde. Sd u zwe solche Folge (x ) ud (y ) gegebe, so a ma lecht achreche, dass ach Vorgabe zweer (sogar omplexer) Zahle a ud b de Folge der Zahle (ax + by ) ebefalls de Reurso erfüllt ud durch de Vetor ax + by [ax +by,ax +by,ax +by ] gegebe st. Dese Folge blde also ee Vetorraum über de omplexe Zahle. Hat ma ee Bass für dese Vetorraum, so öe de Gleder jeder belebge Folge als Learombato der Gleder deser Bassfolge berechet werde. Ka ma u de Gleder deser Bassfolge uter Umgehug der Reurso explzt bestmme, so glt des auch für de Gleder jeder belebge Folge. Geegete solche Bassfolge sd geometrsche Folge der Form (x ), für de x x. Esetze de Reurso lefert de otwedge Bedgug x + x + x + + x + oder ach Ausschede der uteressate Lösug x 0 äquvalet x x + x +. Dese Glechug lefert mt gägge Lösugsverfahre de Lösuge x, x, x, also de Bassfolge ( ), ud. Der Nachwes, dass de dre zugehörge Vetore lear uabhägg sd, also tatsächlch ee Bass blde, wrd her cht ausgeführt. Heraus schleße wr: Zu jeder Folge (a ), de de obge Reurso erfüllt, gbt es dre omplexe Zahle r, s ud t, sodass für alle atürlche Zahle glt: a r + s + t (*) Es st u < ; d.h. lm ( a ) t. Für usere Zwece geügt es also, de Varable t zu bereche; herzu betrachte wr das leare Glechugssystem mt de Varable r, s ud t, das sch aus de Bedguge a 0, a, a 0 ergbt; ach eger Rechug erhält ma heraus lm ( a ) t lm b. ; de etsprechede Rechug für de Folge (b ) ergbt Heraus lete wr de gesuchte Telverhältsse ab: De Gerade A S lässt sch durch de Vetore x( λ) b + λ b + a + b λ b + λa mt reellem λ beschrebe; für λ erhält ma de Vetor a, also ee Put auf der Gerade A A ud damt de Schttput der Gerade A S 0

11 BWM 0 II Lösugsbespele Edgültge Fassug mt A A, also T. Aus dem Wert λ lest ma TS : SA : ab, aus dem Koeffzete lest ma AT : TA : ab.. Bewes (vetorell; letztlch ee Kope des. Beweses): Wr lege us zuächst Hlfsmttel zurecht, mt dee wr de Lage ees Putes P relatv zum Dreec beschrebe öe. Herzu defere wr b : A A + ud c : A A + (,,,...). Damt wrd jedes Dreec ausgehed vo der Ece A durch de Vetore b ud c aufgespat. Der Schwerput vo st beatlch durch A + ( b + c ) beschrebe, sodass zusamme mt der Reursosvorschrft für de Pute A folgt b + A+ A+ A A + + A+ A c b ud c + A+ A+ A+ A + A A + b + ( b + c ) c b. Zuerst schätze wr de Läge der Sete vo ab: Mt m se de Läge der lägste Sete vo bezechet. Da ergbt mehrfaches Awede der Reursosvorschrft: b + heraus folgt b + c + b + c + b + ( c + b + ) ( c b ) + ( c ) ( + ). b c b 9 ( c + b ) 9 9 m. Idutv erhält ma sofort b + 9 m ; es folgt, dass de Läge der b ud damt de Läge der Dreecsete der Dreece ee Nullfolge blde; des glt auch für de maxmale Etferug zweer Pute m Ier der Dreece. Damt a es höchstes ee Put S gebe, der alle Dreece legt. Mt vollstädger Iduto zege wr u, dass { b, c } für alle lear uabhägg st: Für st des rchtg, wel A, A ud A cht auf eer Gerade lege; ud aus der Aahme, de Aussage se rchtg st für e bestmmtes, folgt aus 0 β b + + γ c + β( c b ) + γ ( c b ) (β + γ) b + (β + γ ) c + zusamme mt der leare Uabhägget vo { b, c } sofort β + γ β + γ 0, also β γ 0, also de leare Uabhägget vo { b +, c + }. Damt stelle alle { b, c } ee Bass useres Vetorraumes dar; d.h. jeder Put P der Ebee bestzt ee Darstellug der Form P A + β b + γ c, wobe de Koeffzete (β γ ) edeutg bestmmt sd. Übrges sd dese glechzetg Koordate des Putes P bez. des Achsereuzes, das durch das Dreec mt Ursprug A ud de Achse A A + ud A A + vorgegebe st. Nu habe wr e efaches Krterum für de Lage des Putes P relatv zum Dreec : P legt m Ier des Dreecs 0 < β ud 0 < γ, ud β + γ <. (*) Wr suche u ee Put S, der alle Dreece legt, d.h. ee Put, desse Koordate (β γ ) de Bedgug (*) für alle erfülle. Wr vermute, dass für dese Put zusätzlch (β γ ) (β + γ + ) für alle glt (ee hrechede, aber wohl cht otwedge Bedgug, de

12 BWM 0 II Lösugsbespele Edgültge Fassug de Suche efacher macht). Der Zusammehag zwsche de Koordate (β γ ) ud (β + γ + ) st folgeder: S A + + β + b + + γ + c + A + b + β +( c b ) + γ + ( c b ) A + ( β + γ + ) b + ( β + + γ + ) c A + β + γ. b c Aus der Edeutget der Darstelluge folgt u β β + γ + ud γ β + + γ +. Fordert ma β : β β + ud γ : γ γ +, erhält ma 6β γ ud β γ, was sch auflöst zu γ ud β. Als Zwscheergebs habe wr so de Behauptug vo Telaufgabe a) bewese: Es gbt ee Put S, der alle Dreece ethalte st, ämlch S A + AA + AA, ud des st auch der ezge Put mt deser Egeschaft. Weter öe wr aus de Koordate vo S schell de Telaufgabe b) gesuchte Telverhältsse ablese: Wel T auf der Gerade A A legt, lefert de zwete Koordate zusamme mt Strahlesatz mt Zetrum A de Wert TS : TA ; heraus folgt TS : SA : ; ud bede Koordate zusamme lefer mt Strahlesatz mt Zetrum A de Wert AT : AA ( : ) : ; heraus folgt AT : TA :. Bemerug: Um achzuwese, dass es ur ee Put S m Iere aller Dreece gbt, st der Nachwes, dass der Flächehalt der Dreece ee Nullfolge bldet, cht ausreched. (Gegebespel: De Folge der Dreece mt de Ecpute (0 / ), (0 / ), (0 ). De Folge hrer Flächehalte hat de Grezwert 0, aber jedes Dreec ethält vele Pute des Itervalls [0;] auf der x Achse.) Ausreched st dagege der Nachwes, dass de Läge der jewels lägste Sete der Dreece ee Nullfolge bldet. Um achzuwese, dass es ee Put gbt, der m Ier aller Dreece legt, geügt es cht zu argumetere, dass jedes Dreec + vom Dreec umschlosse st. (Gegebespel: Es gbt ee Put, der m Ier aller Dreece mt de Ecpute (0 0), (0 / ), ( / 0) legt). Übersehe wrd be deser Argumetato, dass de Dreece gemesame Radstrece bestze. Ausreched wrd der Nachwes, we ma zusätzlch achwest, dass jedes Dreece + vollstädg m Ier des Dreecs legt.