1. Algebra 1.1. Gleichungssysteme Quadratische Gleichungen Bruchgleichungen Quadratische und lineare Funktionen...

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1 Inhalt der Lösungen: Algebra Gleichungssysteme Quadratische Gleichungen 6 Bruchgleichungen 6 4 Quadratische und lineare Funktionen 8 Stereometrie Kegel und Zylinder Quadratische Pyramide 5 Mehrseitige Pyramiden 0 Trigonometrie Dreiecke 9 Vierecke Vielecke 6 4 Sachrechnen 4 Zinseszins, Ratensparen 9 4 Zinsrechnen 4 4 Erhöhter und verringerter Grundwert Prozentrechnen 47 5 Daten erheben 49 6 Wahrscheinlichkeitsrechnung 56

2 Algebra: Gleichungssysteme Lösungen zum Übungsteil: Algebra Gleichungssysteme: a) (Ia) y + 7 = 5x 5x 7 b) (Ia) 4y = 5x 5x (IIa) x + y = 7 (IIa) y = x x (Ib) 5x + y = 7 (Ib) 5x + 4y = (IIb) x + y = 7 5 (IIb) x y = 4 (Ic) 5x + y = 7 (Ic) 5x + 4y = (IIc) 5x + 5y = 5 (IIc) x 4y = 48 (Ic) + (IIc): 7y = 8 :7 (Ic) + (IIc): 7x = 5 :( 7) y = 4 Einsetzen in (IIa): x + y = 7 ergibt: x + 4 = 7 4 x = Einsetzen in (Ia): 4y = 5x ergibt: 4y = : 4 x = Somit ist die Lösungsmenge: IL = { ( ; 4) } y = Somit ist die Lösungsmenge: IL = { ( ; ) } c) (Ia) y = 4x 9 4x d) (Ia) x + 5y = 05 (IIa) 6x 0 = y y + 0 (IIa) 0,5y = x,5 x (Ib) 4x + y = 9 (Ib) x + 5y = 05 (IIb) 6x y = 0 (IIb) x + 0,5y =,5 (Ic) 8x + y = 8 (Ic) x + 5y = 05 (IIc) 6x y = 0 (IIc) x + y = (Ic) + (IIc): x = 8 :( ) (Ic) + (IIc): 6y = 0 : 6 x = 4 Einsetzen in (Ia): y = 4x 9 ergibt: y = 7 Somit ist die Lösungsmenge: IL = { (4 ; 7) } y = 7 Einsetzen in (Ia): x + 5y = 05 ergibt: x + 85 = x = 0 : x = 0 Somit ist die Lösungsmenge: IL = { (0 ; 7) } Copyright 0 Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom

3 Algebra: Gleichungssysteme Lösungen zum Übungsteil: Algebra e) (Ia) (IIa) 0(x + y) = 77 x y (5x ) + y = 0y + x (Ib) 0x + 0y = 77 x y +x + y (IIb) 0x + y = 0y + x + 0y x (Ic) x + y = 77 : (IIc) 8x 9y = (Id) x + y = 7 ( 8) (IId) 8x 9y = (Ie) 8x 8y = 56 (IIe) 8x 9y = (Ie) + (IIe): 7y = 54 :( 7) y = Einsetzen in (Id) x + y = 7 ergibt: x + = 7 x = 5 Somit ist die Lösungsmenge: IL = { (5 ; ) } f) (Ia) 4 (y ) 6 (x ) = 0 (IIa) 5 (y + ) 6 (x + ) = 0 (Ib) 4y 8 6x + 6 = (IIb) 5y + 5 6x = (Ic) 6x + 4y = ( ) (IIc) 6x + 5y = 7 (Id) 6x 4y = (IId) 6x + 5y = 7 (Id) + (IId) ergibt: y = 5 Einsetzen in (Id) 6x 4y = ergibt: 6x 0 = +0 6x = 8 :6 x = Somit ist die Lösungsmenge: IL = { ( ; 5) } g) h) (Ia) 9 y = x (Ia) x = 7 y + 4 (IIa) y = 5 x 6 (Ib) y 9 = x x + 9 (IIb) 6y = 0x +0x (Ic) x + y = 9 5 (IIc) 0x + 6y = (Id) 0x + 5y = 45 (IId) 0x + 6y = (Id) + (IId): y = 4 : Einsetzen in (Ia) y = 9 y = x ergibt: 9 = x x =,5 Somit ist die Lösungsmenge: IL = { (,5; ) } (IIa) 7 + y = x 4 4 (Ib) 4x = 7y + 8 7y (IIb) 8 + y = 4x 4x 8 (Ic) 4x 7y = 8 (IIc) 4x + y = 8 (Ic) + (IIc): 4y = 0 y = 0 Einsetzen in (Ia) x = :( 4) x = 4 : x = 7 7 y + 4 ergibt: Somit ist die Lösungsmenge: IL = { (7 ; 0) } Copyright 0 Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom

4 Algebra: Gleichungssysteme Lösungen zum Übungsteil: Algebra i) (Ia) x + y x + = 4 6 x y 5y x (IIa) = 6 (Ib) (x + y) + (x ) = 4 (IIb) (x y) (5y x) = 6 (Ic) x + y + x = 4 (IIc) 6x 9y 0y + x = 6 (Id) 5x + y = 4 + (IId) 8x 9y = 6 (Ie) 5x + y = 6 8 (IIe) 8x 9y = 6 ( 5) (If) 40x + 4y = 08 (IIf) 40x + 95y = 0 (If) + (IIf): 9y = 8 :9 y = Einsetzen in (Ie) 5x + y = 6 ergibt: 5x + 6 = 6 6 5x = 0 :5 x = 4 Somit ist die Lösungsmenge: IL = { (4 ; ) } j) (Ia) 4 x + y = 5 5 (IIa) y + = x (Ib) 4x + 0y = 0 (IIb) 5y + 0 = x x 0 (Ic) 4x + 0y = 0 (IIc) x + 5y = 0 4 (Id) 4x + 0y = 0 (IId) 4x + 60y = 80 4 (Id) + (IId): 70y = 70 :70 y = Einsetzen in (Ib) 4x + 0y = 0 ergibt: 4x 0 = x = 0 :4 x = 5 Somit ist die Lösungsmenge: IL = { (5 ; ) } Copyright 0 Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 4

5 Algebra: Gleichungssysteme Lösungen zum Übungsteil: Algebra k) (Ia) 4x y = 5x y 4 (IIa) y x = 4y (Ib) 4 (4x y) = (5x y) (IIb) y x 4 = 8y (Ic) 6x 4y = 5x 6y 5x + 6y (IIc) y x 4 = 8y +4 8y (Id) x + y = 0 (IId) x 6y = 4 (Id) + (IId): 4y = 4 :( 4) y = Einsetzen in (Id) x + y = 0 ergibt: x = 0 + x = Somit ist die Lösungsmenge: IL = { ( ; ) } l) (Ia) 5 y x = 7 (IIa) y + x = (Ib) y 5x = 4 ( ) (IIb) y + x = 8 (Ic) y + 60x = 408 (IIc) y + x = 8 (Ic) + (IIc): 7x = 46 :7 x = 6 Einsetzen in (Ib) y 5x = 4 ergibt: y 0 = 4 +0 y = 4 Somit ist die Lösungsmenge: IL = { (6 ; 4) } Copyright 0 Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 5

6 Algebra: Quadratische Gleichungen Lösungen zum Übungsteil: Algebra Quadratische Gleichungen: Aufgabe : a) x =, x = b) x = 5, x = 5 c) x = 4, x = 4 d) x =, x = e) x = 8, x = 8 f) x = 4, x = 4 g) x = 0, x = 5 Aufgabe : h) x = 0, x = 4 i) x = 0, x = a) x = 5, x = b) x =, x = 4 c) x =, x = 5 d) x =, x = e) x = 7, x = f) x = 6, x = g) x =, x = h) x =, x = 8 i) x =, x = 7 4 Bruchgleichungen: a) HN = 8x, ID = IR \ { 0 } 4 + = x x 8 x + = 8x 8x 8x 8x + = x Die Lösung dieser Gleichung ist x = 4 Da 4 ID ist, ist die Lösungsmenge: IL = { 4 } b) HN = 5x, ID = IR \ { 0 } = 5x x = 5x 5x 5x 5x 6 0x = 5 Die Lösung dieser Gleichung ist x = 0,9 Da 0,9 ID ist, ist die Lösungsmenge: IL = { 0,9 } c) HN = x, ID = IR \ { 0 } x 5 + = x x ( x) 6x 5 + = x x x x ( x) + 6x = 5 Die Lösung dieser Gleichung ist x = 4 Da 4 ID ist, ist die Lösungsmenge: IL = { 4 } d) HN = 6x, ID = IR \ { 0 } x + 8 = x 6x (x + ) 8 = 6x 6x 6x 8 x (x + ) = 8 Die Lösung dieser Gleichung ist x = Da ID ist, ist die Lösungsmenge: IL = { } e) HN = x(x ), ID = IR \ { 0 ; } = x x x x 5(x ) 7x + = x(x ) x(x ) x(x ) x + 5(x ) = 7x x = 5 Da 5 ID ist, ist die Lösungsmenge: IL = { 5 } f) HN = (x + ) (x ), ID = IR \ { ; } x = x + x (x ) x(x + ) (x + )(x ) = (x + )(x ) (x + )(x ) (x + )(x ) (x ) x(x + ) = (x + ) (x ) x = 7 Da 7 ID ist, ist die Lösungsmenge: IL = { 7 } Copyright 0 Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 6

7 Algebra: Bruchgleichungen Lösungen zum Übungsteil: Algebra g) HN = 0x(x 5), ID = IR \ { 0 ; 5 } = 0x x 5 x (x 5) 0x 5(x 5) = 0x(x 5) 0x(x 5) 0x(x 5) (x 5) 0x = 5(x 5) x = 0 = 5 6 h) HN = (x + ) (x ), ID = IR \ {,5 ; } x + + = x + x x (x + )(x + ) (x + )(x ) + = (x + )(x ) (x + )(x ) (x + )(x ) x + (x +)(x + ) = (x + ) (x ) x = Da ID ist, ist die Lösungsmenge: IL = { } Da 6 5 ID ist, ist die Lösungsmenge: IL = { 6 5 } i) HN = x(x + ), ID = IR \ { ; 0 } 4 x + x + = x(x + ) x (x + ) 8 (x + )(x + ) x(x ) + = x(x + ) x(x + ) x(x + ) 8 + (x + )(x + ) = x (x ) x = Da ID ist, ist die Lösungsmenge: IL = { } j) HN = x(x + 5), ID = IR \ { 5 ; 0 } x 6 = x + 5 x(x + 5) 6x 6x(x + 5) 6 = x(x + 5) x(x + 5) x(x + 5) 6x 6x(x + 5) = 6 x = 5 Da 5 ID ist, ist die Lösungsmenge: IL = { 5 } k) ID = IR \ { } Lösung durch Überkreuz-Multiplizieren: 6 = 4x = (4x + 6) x = Da ID ist, ist die Lösungsmenge: IL = { } l) ID = IR \ { 5 ; } Lösung durch Überkreuz-Multiplizieren: 4 = 5(x ) 5 + x (5 + x) = 0 (x ) x = 5 9 Da 5 9 ID ist, ist die Lösungsmenge: IL = { 5 9 } m) HN = (x 5)(x + 5), ID = IR \ { 5 ; 5 } 8 = x 5 x + 5 (x 5)(x + 5) x + 5 (x 5) 8 = HN HN HN x + 5 (x 5) = 8 x = 6 Da 6 ID ist, ist die Lösungsmenge: IL = { 6 } n) HN = (x )(x ), ID = IR \ {,5 } 8 4x + = (x )(x ) x 8 4x(x ) (x ) + = HN HN HN 8 4x(x ) = (x ) x = 5 6 Da 5 6 ID ist, ist die Lösungsmenge: IL = { 5 6 } Copyright 0 Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 7

8 Algebra: Quadratische und lineare Funktionen Lösungen zum Übungsteil: Algebra 4 Quadratische und lineare Funktionen: Aufgabe : a) S( ) b) S( 5 ) c) S( 7) d) S(0 4,5) e) S(,5 0) f) S( 0,5 0,5) Aufgabe : a) y = (x + ) + ; S( ) b) y = (x 4) ; S(4 ) c) y = (x +,5) 9,5 ; S(,5 9,5) d) y = (x +,5) 7,75 ; S(,5 7,75) e) y = (x + ) + 4 ; S( 4) f) y = (x 5) 0 ; S(5 0) g) y = (x + 4) 8 ; S( 4 8) h) y = (x,5),5 ; S(,5,5) i) y = (x,5) + 5,75 ; S(,5 5,75) Aufgabe : a) Schnitt mit der x-achse: N ( 4 0), N ( 0) Schnitt mit der y-achse: S y (0 4) c) Schnitt mit der x-achse: N ( 0,5 0), N (5 0) Schnitt mit der y-achse: S y (0 5) b) Schnitt mit der x-achse: N ( 0), N (4 0) Schnitt mit der y-achse: S y (0 8) d) Schnitt mit der x-achse: N ( 0), N (7 0) Schnitt mit der y-achse: S y (0 7) e) Schnitt mit der x-achse: N ( 0), N (,5 0) Schnitt mit der y-achse: S y (0 0) f) Schnitt mit der x-achse: keine Schnittpunkte Schnitt mit der y-achse: S y (0 ) Aufgabe 4: a) y = (x ) + 5 = x 4x + 9 b) y = (x + ) + = x + x + 4 c) y = (x + 6) + 0 = x + x + 6 d) y = (x 0) 4 = x 4 e) y = (x + ) = x + 4x +,5 f) y = (x 5 ) 4 = x 5x + 5,5 Aufgabe 5: a) Einsetzen von A ( ) in y = x + px + q ergibt: = 9 + p + q (I) Einsetzen von B ( 6) in y = x + px + q ergibt: 6 = 4 p + q (II) (I) (II) ist: 5 = 5 + 5p p = Einsetzen von p = in Gleichung (I) ergibt: = q q = Ergebnis: y = x x Copyright 0 Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 8

9 Algebra: Quadratische und lineare Funktionen Lösungen zum Übungsteil: Algebra b) Einsetzen von A ( 8) in y = x + px + q ergibt: 8 = 4 + p + q (I) Einsetzen von B ( 7) in y = x + px + q ergibt: 7 = p + q (II) (I) (II) ist: 5 = + p p = 4 Einsetzen von p = 4 in Gleichung (I) ergibt: Ergebnis: y = x + 4x 4 8 = q q = 4 c) Einsetzen von A (0 5) in y = x + px + q ergibt: 5 = q (I) Einsetzen von B (6 5) in y = x + px + q ergibt: 5 = 6 + 6p + q (II) Einsetzen von q = 5 in Gleichung (II) ergibt: Ergebnis: y = x 6x = 6 + 6p + 5 p = 6 Aufgabe 6: a) S (5 97), S ( 0) b) Es gibt nur einen Schnittpunkt: S( 6) c) S (4 9), S ( ) d) Es gibt nur einen Schnittpunkt: S( 7) e) S ( 8), S ( 4 ) 5 5 f) S (,5), S (,5) Aufgabe 7: a) y = x b) y = x c) y =,5x + 5 d) y = x,5 e) y = 5x f) y = x 9 Aufgabe 8: 7 a) y = x 4 b) y = 9 x c) y = x Copyright 0 Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 9

10 Algebra: Quadratische und lineare Funktionen Lösungen zum Übungsteil: Algebra Aufgabe 9: a) Schaubild zu y = 5 x : y b) Schaubild zu y = 7 4 x + : y x x c) Schaubild zu y = x +,5 : y d) Schaubild zu y = 0,75x +,5: y x x Copyright 0 Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 0

11 Stereometrie: Kegel und Zylinder Lösungen zum Übungsteil: Stereometrie Kegel und Zylinder: Aufgabe : Radius und Volumen des Kegels: Mit M = 54 cm, s =,4 cm und der Formel M = π r s erhält man: r = 4, cm Für das Volumen gilt: V = π r h Die Höhe h berechnet man mit dem Satz des Pythagoras Man erhält: h = s r Und mit s =,4 cm und r = 4, cm: h = 0,56 cm Damit folgt für das Volumen: V = 04,47 cm h s Radius der Halbkugel: r Es soll gelten: V HK = 04,47 cm Mit der Formel V HK = π rhk erhält man: r HK = 4,6 cm Aufgabe : Mantellinie s: Mit dem Satz des Pythagoras erhält man: s = h + r Und mit r = 4,8 cm und h = 6, cm folgt: Oberfläche O: s = 7,84 cm h s Für die Kegeloberfläche gilt: O = π r (r + s) Mit den obigen Werten folgt: O = 90,6 cm r Aufgabe : Höhe h des Kegels: Die Höhe h berechnet man mit den Werten V = 5 Liter = 5000 cm, r = 0 cm und der Formel V = Man erhält: h = 47,75 cm π r h Mantellinie s: Die Mantellinie s berechnet man mit dem Satz des Pythagoras Es gilt: s = h + r Und mit den obigen Werten: s = 48,8 cm Copyright 0 Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom

12 Stereometrie: Kegel und Zylinder Lösungen zum Übungsteil: Stereometrie Aufgabe 4: Das Volumen des Kegels: Für das Kegelvolumen gilt: V = π r h Für den Radius r gilt: cos 8 = r r = 7,5 cm 8,5 Für die Höhe h gilt: sin 8 = h h = 4,0 cm 8,5 h 8,5 cm 8 r Damit ergibt sich: V = 6,5 cm Aufgabe 5: Berechnung der Mantellinie s: Aus u = π r folgt mit u = 45,8 cm: r = 7,9 cm Aus O = π r (r + s) folgt mit O = 46 cm und r = 7,9 cm: s = 7,8 cm Berechnung des Volumens V: Für das Kegelvolumen gilt: V = π r h Für die Höhe h gilt: h = s r Mit den obigen Werten erhält man: h =,8 cm Damit ergibt sich für das Volumen: V = 57,50 cm Aufgabe 6: Für den Mantel gilt die Formel: M = π r s Berechnung des Radius r in Abhängigkeit von e: Es gilt: tan 60 = 6e 6e r = r tan 60 6e s Und mit tan 60 = erhält man: r = 6e = 6e = e 60 r Berechnung der Mantellinie s in Abhängigkeit von e: Es gilt: sin 60 = 6e 6e s = s sin 60 Copyright 0 Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom

13 Stereometrie: Kegel und Zylinder Lösungen zum Übungsteil: Stereometrie Und mit sin 60 = erhält man: s = s = 6e e s = 4e Durch Einsetzen von r = e und s = 4e in die Formel M = π r s erhält man: M = π e 4e M = 4 π e Was zu beweisen war Aufgabe 7: Für die Oberfläche der Halbkugel O HK gilt: O HK = π r Ku, mit dem Kugelradius r Ku Berechnung des Kugelradius r Ku : Den Kugelradius kann man mit der Vorgabe berechnen, dass die Halbkugel das gleiche Volumen wie der Kegel haben soll: V Kugel = V Kegel Mit den entsprechenden Formel folgt: (mit dem Kegelradius r Ke und der Kegelhöhe h) π r Ku = π rke h : π r Ku = rke h r Ku = rke h Da die Kegelhöhe h gegeben ist (h = 5 cm), muss man noch den Kegelradius r Ke berechnen Berechnung des Kegelradius r Ke : Der Kegelradius kann mit der Tangensfunktion berechnet werden Im markierten Dreieck gilt: tan 68 = 5 r Ke r Ke h = 5 cm r Ke tan 68 = 5 : tan 68 r Ke = 6,06 cm 68 r Ke Mit h = 5 cm und r Ke = 6,06 cm folgt für den Kugelradius r Ku = rke h : r Ku = 6,5 cm Und damit ergibt sich durch Einsetzen in O HK = π r Ku für die Oberfläche der Halbkugel: O HK = 99,4 cm Copyright 0 Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom

14 Stereometrie: Kegel und Zylinder Lösungen zum Übungsteil: Stereometrie Aufgabe 8: Für das Volumen eines Zylinders gilt: V Z = π r h Z Da der Radius r = 6 cm bekannt ist, benötigt man zur Berechnung von h Z noch das Volumen V Z Da V Z gleich groß sein soll wie das Kegelvolumen, benötigt man also das Kegelvolumen (Hinweis: Weil der Kegel und der Zylinder die gleiche Grundfläche haben, haben sie auch den gleichen Radius) Berechnung des Kegel- bzw Zylindervolumens: Für das Kegelvolumen V K gilt: V K = π r h K Mit r = 6 cm: V K = π 6 h K h K ist die Höhe des Kegels, die man mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnen kann Im Dreieck ABC gilt: h K = s r h K = s 6 h K = s 6 Die Größe von s muss man schließlich über die vorgegebene Mantelfläche M = 5 cm berechnen h K r s Berechnung der Seitenlinie s: Mit der Formel M = π r s erhält man durch Einsetzen der bekannten Werte: 5 = π 6 s :(π 6),94 = s bzw s =,94 cm Damit folgt für h K = s 6 : h K = 0, cm Mit h K = 0, cm erhält man nun auch das Kegel- bzw Zylindervolumen: V K = π 6 0, = 89,05 cm bzw V Z = 89,05 cm Die gesuchte Zylinderhöhe h z kann man schließlich durch Einsetzen von r = 6 cm und V Z = 89,05 cm Formel V Z = π r h Z berechnen: in die 89,05 = π 6 h Z :(π 6),44 = h Z bzw h Z =,44 cm Copyright 0 Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 4

15 Stereometrie: Quadratische Pyramide Lösungen zum Übungsteil: Stereometrie Quadratische Pyramide: Aufgabe : Berechnung der Grundkante a: Mit der Seitenhöhe h s = 7,5 cm und der Formel M = a h s folgt: a = 6,9 cm Berechnung des Volumens V: Es gilt: V = a h Die Höhe h kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden h h s Es gilt: h = hs (0,5a) Mit h s = 7,5 cm und a = 6,9 cm erhält man: h = 6,79 cm Damit folgt für das Volumen: V = 9,4 cm 0,5a a Aufgabe : Berechnung des Volumens V: Es gilt: V = a h Die Höhe h kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden Es gilt: h = s (0,5d) Für die Diagonale d gilt: d = a a h s 0,5d a Mit a =,8 cm folgt: d =,8 = 8, cm Mit s = 5,9 cm erhält man somit: h =,07 cm Damit folgt für das Volumen: V = 7,80 cm Berechnung der Oberfläche O: Es gilt: O = a + a h s Die Seitenhöhe h s kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden h h s Es gilt: h s = h + (0,5a) Mit h =,07 cm und a =,8 cm erhält man: h s = 4,55 cm Damit ergibt sich für die Oberfläche: O = 56, cm 0,5a a Ende der Musterseiten zu den Lösungen zum Übungsteil (Die Original-Datei umfasst 6 Seiten) Copyright 0 Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 5