Mikroökonomik. Unsicherheit. Harald Wiese. Universität Leipzig. Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 1 / 46

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1 Mikroökonomik Unsicherheit Harald Wiese Universität Leipzig Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 1 / 46

2 Gliederung Einführung Haushaltstheorie Das Budget Präferenzen, Indi erenzkurven und Nutzenfunktionen Das Haushaltsoptimum Komparative Statik Entscheidungen über Arbeitsangebot und Sparen Unsicherheit Marktnachfrage und Erlöse Unternehmenstheorie Vollkommene Konkurrenz und Wohlfahrtstheorie Marktformenlehre Externe E ekte und ö entliche Güter Pareto-optimaler Rückblick Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 2 / 46

3 Beschreibung der Ausgangssituation Entscheidungen bei Unsicherheit Sicherheit: Vollkommene Information über alle entscheidungsrelevanten Parameter Unsicherheit: Das Ergebnis hängt auch von einem Umweltzustand ab. Risiko: Wahrscheinlichkeitsverteilung bekannt Ungewissheit: Wahrscheinlichkeitsverteilung unbekannt Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 3 / 46

4 Beschreibung der Ausgangssituation Auszahlung (Geldbetrag oder Nutzenwert) hängt ab von der gewählten Aktion und einem Umweltzustand. Aktion Regenschirmproduktion Sonnenschirmproduktion schlechtes Wetter Umweltzustand gutes Wetter Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 4 / 46

5 Überblick Beschreibung der Ausgangssituation Entscheidungen bei Ungewissheit Entscheidungen bei Risiko Bayes-Regel und Bernoulli-Prinzip Das St. Petersburger Paradoxon (Exkurs) Begründung des Bernoulli-Prinzips Risikoaversion, Risikoneutralität und Risikofreude Die Nachfrage nach Versicherung Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 5 / 46

6 Entscheidungen bei Ungewissheit Maximin-Regel Maximax-Regel Hurwicz-Regel Regel des minimalen Bedauerns Laplace-Regel Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 6 / 46

7 Entscheidungen bei Ungewissheit Maximin-Regel Bestimme für jede Alternative das schlechteste Ergebnis (Zeilenminimum)! Wähle die Alternative mit dem höchsten Zeilenminimum! Problem Welches Produkt (Regen- oder Sonnenschirm) wird bei Anwendung der Maximin-Regel ausgewählt? Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 7 / 46

8 Entscheidungen bei Ungewissheit Maximax-Regel Bestimme für jede Alternative das beste Ergebnis (Zeilenmaximum)! Wähle die Alternative mit dem höchsten Zeilenmaximum! Problem Welches Produkt (Regen- oder Sonnenschirm) wird bei Anwendung der Maximax-Regel ausgewählt? Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 8 / 46

9 Entscheidungen bei Ungewissheit Hurwicz-Regel Zeilenmaximum wird mit dem Faktor γ und das Zeilenminimum mit dem Faktor 1 γ mit 0 γ 1 gewichtet. Es wird die Alternative mit dem höchsten gewogenen Durchschnitt gewählt. Problem Für γ = 1 geht die Hurwicz-Regel in die... -Regel und für γ = 0 in die... -Regel über. Problem Welches Produkt (Regen- oder Sonnenschirm) wird bei Anwendung der Hurwicz-Regel ausgewählt, wenn der Optimismusparameter 3 4 beträgt? Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 9 / 46

10 Entscheidungen bei Ungewissheit Regel des minimalen Bedauerns Die Ergebnismatrix wird in die Bedauernsmatrix überführt. Die Elemente der Bedauernsmatrix messen den Nachteil, der aus einer Fehleinschätzung des Umweltzustandes resultiert: Jedes Element einer Spalte wird durch seine betragsmäßige Di erenz zum Spaltenmaximum ersetzt. Wähle die Alternative, die das maximale Bedauern minimiert! Problem Welches Produkt (Regen- oder Sonnenschirm) wird bei Anwendung der Regel des minimalen Bedauerns ausgewählt? Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 10 / 46

11 Entscheidungen bei Ungewissheit Laplace-Regel Die Ungewissheit wird wie eine Risikosituation behandelt; alle Umweltzustände werden als gleichwahrscheinlich erachtet. Wähle die Alternative mit dem maximalen Erwartungswert! Problem Welches Produkt (Regen- oder Sonnenschirm) wird bei Anwendung der Laplace-Regel ausgewählt? Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 11 / 46

12 Entscheidungen bei Risiko Lotterien Bei Wahrscheinlichkeit 3 4 für gutes Wetter führt Regenschirmproduktion zur Wahrscheinlichkeitsverteilung für Auszahlungen = Lotterie L Regenschirm = 100, 81; 1 4, 3. 4 Und Sonnenschirmproduktion? Allgemeine Schreibweise für Lotterien: wobei p i 0 und p p n = 1 gelten. L = [x 1,..., x n ; p 1,..., p n ]. Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 12 / 46

13 Entscheidungen bei Risiko Lotterien Wahrscheinlichkeitsverteilungen können selbst wieder Wahrscheinlichkeitsverteilungen als Auszahlung enthalten. Zusammengesetzte Verteilung: [L 1, L 2 ; p 1, p 2 ] Problem L 1 = 0, 10; 1 2, 1 2 und L2 = 5, 10; 1 4, 3 4. Zusammengesetzte Verteilung L 3 = L 1, L 2 ; 1 2, 1 2 als einfache Verteilung? Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 13 / 46

14 Entscheidungen bei Risiko Bayes-Regel Erwartungswert für eine Verteilung L = [x 1,..., x n ; p 1,..., p n ]: E (L) = p 1 x p n x n. Bayes-Regel: Wähle unter den möglichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen diejenige mit dem höchsten Erwartungswert. Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 14 / 46

15 Entscheidungen bei Risiko Bayes-Regel Problem Welches Produktionsgut wählt der Unternehmer, der die Bayes-Regel befolgt und annimmt, dass die Wahrscheinlichkeit für gutes Wetter 3 4 beträgt? Problem Hätten Sie lieber L 1 = 100, 0; 1 2, 1 2 oder L2 = [50; 1]? Problem Ziehen Sie L 1 der Lotterie L 3 = [40; 1] vor? Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 15 / 46

16 Entscheidungen bei Risiko Bayes-Regel Positiv: relativ einfache Handhabbarkeit Negativ: keine Vereinbarkeit mit typischen Verhaltensmustern ) Anwendung des Bernoulli-Prinzips Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 16 / 46

17 Entscheidungen bei Risiko Bernoulli-Prinzip Erwartungsnutzen bei gegebener vnm-nutzenfunktion u (x) für eine Verteilung L = [x 1,..., x n ; p 1,..., p n ]: E u (L) = p 1 u (x 1 ) p n u (x n ) Bernoulli-Prinzip: Wähle diejenige Wahrscheinlichkeitsverteilung mit dem höchsten erwarteten Nutzen. Problem Welches Gut wird bei vnm-nutzenfunktion u (x) = p x und Wahrscheinlichkeit für gutes Wetter 3 4 produziert? Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 17 / 46

18 Entscheidungen bei Risiko Das St. Petersburger Paradoxon (Exkurs) Peter wirft eine faire Münze solange, bis Kopf zum ersten Mal erscheint. Waren n Würfe erforderlich, zahlt er an Paul einen Betrag der Höhe 2 n. stochastische Unabhängigkeit gegeben, also Wahrscheinlichkeit für Kopf beim n-ten Wurf ist ( 1 2 )n Problem Schreiben Sie die St. Petersburger Lotterie auf! Addieren sich die Wahrscheinlichkeiten zu Eins? Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 18 / 46

19 Entscheidungen bei Risiko Das St. Petersburger Paradoxon (Exkurs) Man erhält für den erwarteten Gewinn der Lotterie L: 1 n E (L) = 2 n = n= n = =. n=1 2 Bayes-Kriterium: Paul müsste jeden Preis akzeptieren, den Peter für die Durchführung dieses Spiels verlangt. Befragungen ergeben, dass nur sehr wenige Menschen einen Betrag von 10 oder 20 zu bieten bereit sind. Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 19 / 46

20 Entscheidungen bei Risiko Das St. Petersburger Paradoxon (Exkurs) Lösung: Bernoulli-Prinzip unter Verwendung des natürlichen Logarithmus als Nutzenfunktion: E ln (L) = ln (2 n ) n=1 1 n = ln 2 2 n=1 n 1 n = 2 2 ln 2 schwierig Dann hat die St. Petersburger Lotterie einen Wert CE, der... (siehe weiter hinten) Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 20 / 46

21 Begründung des Bernoulli-Prinzips Annahme: Das Individuum verfügt über eine Präferenzrelation für Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Im Folgenden: Beschränkung der Präferenzen durch Axiome =) Herleitung des Bernoulli-Prinzips Problem Was besagen die Axiome der Vollständigkeit und der Transitivität in der Präferenztheorie für Güterbündel? Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 21 / 46

22 Präferenzaxiome Vollständigkeitsaxiom: Zwei Lotterien L 1, L 2. ) L 1 % L 2 or L 2 % L 1 Transitivitätsaxiom: Annahme L 1 % L 2 und L 2 % L 3. ) L 1 % L 3 Stetigkeitsaxiom: Annahme L 1 % L 2 % L 3. ) Es gibt ein p 2 [0, 1] so, dass L 2 [L 1, L 3 ; p, 1 p] Unabhängigkeitsaxiom: Annahme L 1, L 2,L 3 und p > 0. ) [L 1, L 3 ; p, 1 p] - [L 2, L 3 ; p, 1 p], L 1 - L 2. Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 22 / 46

23 Präferenzaxiome Ist das Stetigkeitsaxiom plausibel? Annahme: L 1 Auszahlung von 10 e L 2 Auszahlung von 0 e L 3 sicherer Tod L 1 L 2 L 3 Bestimmen Sie p, sodass L 2 s [L 1, L 3 ; p, 1 p] p = 1 ) [L 1, L 3 ; 1, 0] = L 1 L 2. Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 23 / 46

24 Präferenzaxiome Kritik am Unabhängigkeitsaxiom Betrachten Sie die Lotterien L 1 = , 0; , L 2 = , 0; , Lieber L 1 oder L 2? Lieber L 3 oder L 4? L 3 = ; 1 L 4 = , , 0; , , siehe Skript Advanced Microeconomics Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 24 / 46

25 Eine Nutzenfunktion für Lotterien vnm-nutzenfunktion Theorem Präferenzen zwischen Lotterien gehorchen den vier Axiomen genau dann, falls es eine vnm-nutzenfunktion u : R +! R so gibt, dass L 1 % L 2, E u (L 1 ) E u (L 2 ) für alle Lottterien L 1 und L 2 gilt. u repräsentiert Präferenzen % auf der Menge der Lotterien; u vnm-nutzenfunktion mit De nitionsbereich: Auszahlungen E u erwarteter Nutzen mit De nitionsbereich: Lotterien Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 25 / 46

26 Eine Nutzenfunktion für Lotterien Transformationen De nition u vnm-nutzenfunktion. v wird eine a ne Transformation von u genannt, falls v (x) = a + bu (x) for a 2 R und b > 0 gilt. Lemma Falls u Präferenzen % für Lotterien repräsentiert, gilt dies auch für jede a ne Transformation von u. Problem Möglichst einfache a ne Transformation von u (x) = x + 9x 2? Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 26 / 46

27 Risikoaversion, Risikoneutralität und Risikofreude risikoneutral bei L [E (L) ; 1] oder E u (L) = u (E (L)) risikoavers bei L - [E (L) ; 1] oder E u (L) u (E (L)) risikofreudig bei L % [E (L) ; 1] oder E u (L) u (E (L)) Problem Ist die Bayes-Regel ein Spezialfall des Bernoulli-Prinzips? Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 27 / 46

28 Risikoaversion Nutzen u( 105) u( 100) E u ( L) 1 1 E u ( L) = u( 95) u( 105) u( 95) Gewinn Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 28 / 46

29 Risikofreude Nutzen 1 1 E u ( L) = u( 95) u( 105) u( 105) E u ( L) u( 100) u( 95) Gewinn Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 29 / 46

30 Die Nachfrage nach Versicherung Ein Haushalt verfügt über ein Anfangsvermögen von A. Mit der Wahrscheinlichkeit p verliert der Haushalt einen Betrag D mit D A. Eine Versicherung zahlt im Schadensfall K D. Die Versicherungsprämie beträgt P = γk mit 0 < γ < 1. Welchen Versicherungsbetrag K soll der Haushalt wählen? Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 30 / 46

31 Die Nachfrage nach Versicherung Die Budgetgerade x 1 = Vermögen bei Eintritt des Schadens: x 1 = A D + K P = A D + (1 γ) K x 2 = Vermögen ohne Schadenseintritt: x 2 = A P = A γk Nach Umformungen erhält man die Budgetgleichung γ 1 γ x 1 + x 2 = γ (A D) + A. 1 γ Problem Bestimmen Sie die Steigung der Budgetgeraden! Wie lässt sie sich ökonomisch interpretieren? Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 31 / 46

32 Die Nachfrage nach Versicherung Die Budgetgerade x 2 A A γd keine Versicherung Vollversicherung 45 A D A γd dx2 γ = dx 1 γ 1 x 1 Problem Interpretieren Sie die dünn gezeichneten Teile der Budgetgeraden! Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 32 / 46

33 Die Nachfrage nach Versicherung Erwarteter Nutzen und Indi erenzkurven U (x 1, x 2 ) = E u ([x 1, x 2 ; p, 1 p]) = pu (x 1 ) + (1 p) u (x 2 ) MRS = MU 1 MU 2 = Problem Risikoscheu ) konvexe Präferenzen? Problem MRS entlang der 45 -Linie? p u 0 (x 1 ) 1 p u 0 (x 2 ). Problem Je höher p, desto... die Indi erenzkurven. Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 33 / 46

34 Die Nachfrage nach Versicherung Haushaltsoptimum x 2 Im Optimum gilt:! ( x1) γ = ( x ) γ p u 1 p u 1 2 A 45 A D dx2 γ = dx 1 γ 1 x 1 Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 34 / 46

35 Die Nachfrage nach Versicherung Haushaltsoptimum Im Hauhaltsoptimum muss gelten: p u 0 (x 1 ) 1 p u 0 (x 2 ) Durch Umformungen erhält man u 0 (A D + (1 γ) K) u 0 (A γk)! = γ 1 γ. = γ 1 p 1 γ p. Problem Benjamin besitzt eine Yacht im Wert von e , 00. p = 0, 01 γ = 0, 02 vnm-nutzenfunktion u (x) = ln (x) Optimale Versicherungssumme? Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 35 / 46

36 Die Nachfrage nach Versicherung Faire Versicherung: Erwartete Leistungen des Versicherers entsprechen genau der Versicherungsprämie: pk = P. Also γ =? Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 36 / 46

37 Die Kurve konstanten Erwartungswerts x 2 px ( p) x = konstant A B 45 dx2 p = dx 1 p 1 B x 1 x 1 E (Lotterie A) = px1 B + (1 p) x2 B = px1 B + (1 p) x1 B = x1 B. Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 37 / 46

38 Die Nachfrage nach Versicherung Vollversicherung bei fairer Versicherung x 2 45 A B dx2 p γ = = dx 1 p 1 γ 1 Faire Versicherung: γ = p, d.h. Kurve konstanten Erwartungswertes = Budgetgerade Risikoaversion heißt: Lieber Erwartungswert der Lotterie als die Lotterie selbst x 1 Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 38 / 46

39 Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie Lotterie L Sicherheitsäquivalent CE (L) : oder L [CE (L) ; 1] E u (L) = u (CE (L)). Sicherheitsäquivalent: Welcher sicherer Betrag ist dem Individuum so viel wert wie die Lotterie? Risikoprämie RP (L): RP (L) = E (L) CE (L) Risikoprämie: Wie viel ist das Individuum bereit zu zahlen dafür, dass ihm das Risiko abgenommen wird? Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 39 / 46

40 Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie x 2 [ x x p, p] L = 1, 1; 1 C B dx dx 2 1 p = 1 p 45 CE( L)E { RP L ( ) ( L) x 1 Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 40 / 46

41 Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie u( x) 1 2 L = 10,100;, 3 3 u( x) Problem Erwartungswert? Erwarteter Nutzen? Nutzen des Erwartungswertes? Sicherheitsäquivalent? Risikoprämie? Vermögen x Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 41 / 46

42 Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie Das St. Petersburger Paradoxon (Exkurs) Unter Verwendung des natürlichen Logarithmus als Nutzenfunktion erhält man erwarteten Nutzen der St. Petersburger Lotterie (siehe vorne) als E ln (L) = (ln 2) 2 Dann hat die St. Petersburger Lotterie einen Wert CE, der implizit durch 1 ln (CE) = E ln ([CE; 1])! = (ln 2) 2 gegeben und daher explizit durch CE = e ln(ce )! = e (ln 2)2 = e (ln 2) 2 = 2 2 = 4. Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 42 / 46

43 Zentrale Hörsaalübungen I Aufgabe G.9.1. Aktion Umweltzustand links rechts oben 10 8 unten 4 12 Welche Aktion wird der Entscheider wählen, wenn er a) der Maximin-Regel folgt? b) der Maximax-Regel folgt? c) die Hurwicz-Regel mit γ = 3 4 (Optimismusparameter) anwendet? d) die Regel des minimalen Bedauerns nutzt? e) die Laplace-Regel nutzt? Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 43 / 46

44 Zentrale Hörsaalübungen II Aufgabe G.9.2. Zwei Lotterien L 1 = L 2 = 100, 0; 3 5, , 25; 2 5, 3. 5 L 3 = L 1, L 2 ; 1 2, 1 2 als einfache Lotterie? Aufgabe G.9.3. Risikoaversion? a) u(x) = x 2 für x > 0; b) u(x) = 2x + 3; c) u(x) = ln(x) für x > 0; d) u(x) = e x. Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 44 / 46

45 Zentrale Hörsaalübungen III a) Welche Lotterie ist besser? b) Sicherheitsäquivalent der zweiten Lotterie? Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 45 / 46 Aufgabe G.9.4. vnm-nutzenfunktion u(x) = x 1 2 mit Vermögen x Einkommen 10 Gewinn/Verlust von 6 mit Wahrscheinlichkeiten 1 2 Stellen Sie die Situation als Lotterie dar! Erwartungswert der Lotterie? Sicherheitsäquivalent? Aufgabe G.9.5. vnm-nutzenfunktion u(x) = x 1 2 Zwei Lotterien L 1 = 100, 0; 3 5, 2, L 2 = 100, 25; 2 5 5, 3. 5

46 Zentrale Hörsaalübungen IV Aufgabe G.9.6. vnm-nutzenfunktion u(x) = x 1 2 Anfangsvermögen e 144 Drohender Vermögensschaden in Höhe von e 108 Wahrscheinlichkeit für Schaden 1 3 Erwarteter Nutzen? Risikoprämie? Harald Wiese (Universität Leipzig) Unsicherheit 46 / 46