2.3 Schätzeigenschaften der OLS-Methode

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1 .3 Schäzeigechafe der OLS-Mehode Jede Schäzmehode wei beimme Güeeigechafe auf, die vo der Erfüllug beimmer Vorauezuge abhäge. Wa die gewöhliche Mehode der kleie Quadrae (OLS-Mehode) beriff, id beimme Schäzeigechafe beka, ofer die Sadardaahme de muliple egreiomodell erfüll id. I die Sörvariable im Miel gleich 0 ud i ihre Variaz koa, o i der OLS-Schäzer der egreiokoeffiziee ach dem Gau-Markov-Theorem bei fehleder Auokorrelaio die bee lieare uverzerre Schäzfukio (be liear ubiaed (blu) eimaor). Uverzerr bedeue dabei erwarugreu. Im Miel imme die OLS-gechäze egreiokoeffiziee mi de ubekae egreiokoeffiziee der Grudgeamhei überei. Beer Schäzer bezieh ich auf die Geauigkei der Schäzug ud bedeue Effiziez. Uer de Sadardaahme i der OLS- Schäzer im lieare egreiomodell alo erwarugreu ud effizie. E gib da keie adere lieare ud erwarugreue Schäzer der egreiokoeffiziee, der zu eier gerigere Variaz führ. Darüber hiau i die OLS-Mehode koie. Koiez heiß, da ich die gechäze egreiokoeffiziee mi wachedem Sichprobeumfag imbeer de ubekae egreiokoeffiziee der Grudgeamhei aäher.

2 Erwarugreue Ei Schäzer i erwarugreu, we ei Erwarugwer mi dem Parameer der Grudgeamhei übereiimm. Um die Erwarugreue de OLS-Schäzer βˆ zu zeige, eze wir zuäch da egreiomodell (.5) i (.15) ei: ˆ 1 1 β ( XX ' ) Xy ' ( XX ' ) Nach Aumulipliziere erhäl ma o da (.33) folg. ˆ 1 1 β ( XX ' ) ˆ 1 β β ( XX ' ) XXβ ' ( XX ' ) Xu ' Nu ka der Erwarugwer vo E(ˆ) β E X'( Xβ + u) Xu ' βˆ beimm werde: 1 1 β ( XX ' ) Xu ' ) E( β) E ( XX ' ) Xu ' β E ( X' X) 1 X' u

3 Mi E(u) = 0 erhäl ma chließlich (.34) E(ˆ) β β gezeig. Au der au- Dami i die Erwarugreue de OLS-Schäzer führliche Schreibweie vo (.34) βˆ E(ˆ E(ˆ E(ˆ 1 k ) ) ) 1 k, i erichlich, da die Erwarugwere der OLS-Schäzer ˆ 1, ˆ,..., ˆ k mi de ubekae egreiokoeffiziee de ökoomeriche Modell übereiimme.

4 Effiziez Ei erwarugreuer Schäzer, der im Vergleich zu alle aleraive uverzerre Schäzer die kleie Variaz ha, heiß effizie. Ma bezeiche eie olche Schäzfukio al bee uverzerre Schäzer. Der OLS- Schäzer βˆ i i der Klae der lieare Schäzfukioe effizie. E ei βˆ ~ j der OLS-Schäzer für de ubekae egreiokoeffiziee βj ud β j ei beliebiger aderer liearer Schäzer. Effiziez bedeue da, da Die Variaz de OLS-Schäzer βˆ j am gerige i: ~ (.35) Var( βˆ j ) Var( β j ), j=1,,,k. Koiez We ei Schäzer mi zuehmedem Sichprobeumfag eie Parameervekor immer geauer reffe oll, da i ibeodere ei Grezverhale für -> vo Ieree, alo eie Eigechaf bei große Sichprobe. Bei der Koiez geh e um die Frage, ob ei Schäzer bei eiem über alle Greze wachede Sichprobeumfag chließlich mi dem Parameervekor β zuammefäll: lim E(ˆ) β β ud lim Cov(ˆ) β 0

5 .4 Beimmheimaß ud mulipler Korrelaiokoeffizie Beimmheimaß (Deermiaiokoeffizie) - Beureilug der globale Güe der Apaug de egreiomodell - Quaifizierug de Erkläruggehal der exogee Variable i eiem ökoomeriche Modell Varíaz der abhägige Variable Y: (.36) y (y y) y y y' y y Variazzerlegug: (.37) y ŷ û mi (.38) ŷ (ŷ y) ŷ y yˆ'ˆ y y wege ŷ y (.39) û 1 1 û uˆ' uˆ wege û 0

6 Beimmheimaß (Deermiaiokoeffizie): ŷ (.40a) oder (.40b) 1 y û y Werebereich: 0 1 echeformel: (.41a) yˆ'ˆ y y' y y y ˆ' y yˆ - y' y y y oder (.41b) βˆ' X' y y y' y y ˆ' β X' y y' y y y

7 Beipiel: Geuch i der Aeil der Variaz de Privae Verbrauch, der auf die Sreuug de verfügbare Eikomme zurückgeführ werde ka. Um hierüber eie Auage mache zu köe, wird da Beimmheimaß für die makroökoomiche Koumfukio für de Süzbereich vo 1994 bi 01 uer Verwedug der Berechugformel (.41b) ermiel. Uer Verwedug vo ˆβ ' 38, 5 0, 93354, y 4034,68 X'y xy ,83 bereche wir Mi =19 ud y 164, 98 y'y ˆˆβ'X'y ˆ _ y'y y ergib ich dami ei Beimmheimaß vo , , ,

8 Eifacher ud mulipler Korrelaiokoeffizie - Eifache egreio: (.4) r yx Aufgrud der Liearraformaio ŷ βˆ 1 βˆ x gil ŷ ˆ x womi (.4) eifach gezeig werde ka: ŷ y ˆ x y x xy y x xy x y r xy Die Wurzel de Beimmheimaße gib bei der eifache egreio daher de abolue Wer de Korrelaiokoeffiziee zwiche dem egreade y ud dem egreor x wieder: (.43) r yx

9 - Muliple egreio: Da Beimmheimaß i da da Quadra de muliple Korrelaiokoeffiziee r yŷ, der die Korrelaio zwiche der abhägige Variable y ud alle uabhägige Variable x 1,x,...,x k (=Korrelaio zwiche der abhägige Variable y ud de egreiowere ŷ) wiedergib: (.44) r yŷ r yx 1,,...k Da Vorzeiche de muliple Korrelaiokoeffiziee r yx 1,,...k bleib ubeimm, da poiive ud egaive Eiflüe der egreore gleichzeiig aufree köe: (.45) ryŷ ryx 1,,...k

10 Korrigiere Beimmheimaß Obwohl da Beimmheimaß gu ierpreierbar i, eige ich ur eigechräk für eie Vergleich vo egreiomodelle mi eier uerchiedliche Azahl vo uabhägige Variable. We zuäzliche egreore i ei egreiomodell aufgeomme werde, erhöh ich ² auch we diee keie ökoomiche elevaz beize. Ma ka die vermeide, idem ma die Zahl der Freiheigrade bei der Berechug der Deermiaio berückichig. Da korrigiere Beimmheimaß 1 uˆ' uˆ (.46) 1 k 1 y' y y 1 ka im Gegeaz zu ² im Falle eier Eibeziehug irrelevaer egreore ike. Eie Berechug de korrigiere Beimmheimaße ka über ² erfolge: (.47) k