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1 1 "MATHEMATISCHES MODELLIEREN THEORETISCHE HINTERGRÜNDE, AUFGABENENTWICKLUNG, ANALYSEN UND ANSÄTZE ZUM EINFÜHREN UND UNTERRICHTEN" Dr. des. Katja Eilerts 2 Fragen von Lehrenden in der Praxis: Mathematisches Modellieren in der Grundschule? Ist das nicht zu früh? Wie sollen Kinder, die kaum rechnen können, offene, realistische Probleme lösen? 1

2 3 Bundesweite Bildungsstandards fordern: die Integration von mathematischem Modellieren bereits für die Grundschule. SuS sollen Sachtexten und anderen Darstellungen der Lebenswirklichkeit die relevanten Informationen entnehmen, Sachprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen, innermathematisch lösen und diese Lösungen auf die Ausgangssituation beziehen. 4 Das Mathematiklernen in der Grundschule darf nicht auf die Aneignung von Kenntnissen und Fertigkeiten reduziert werden. Das Ziel ist die Entwicklung eines gesicherten Verständnisses mathematischer Inhalte. Die Entwicklung hängt nicht nur davon ab, welche Inhalte unterrichtet wurden, sondern in mindestens gleichem Maße davon, wie sie unterrichtet wurden, d. h. in welchem Maße den Kindern Gelegenheit gegeben wurde, selbst Probleme zu lösen, über Mathematik zu kommunizieren usw. In einem Mathematikunterricht, der diese Kompetenzen in den Mittelpunkt des unterrichtlichen Geschehens rückt, wird es besser gelingen, die Freude an der Mathematik und die Entdeckerhaltung der Kinder zu fördern und weiter auszubauen. (KMK 2005) 2

3 5 Lehrplan Mathematik Grundschule 6 Lehrplan Mathematik Grundschule Modellieren Die SuS wenden Mathematik auf konkrete Aufgabenstellungen aus ihrer Erfahrungswelt an. Dabei erfassen sie Sachsituationen, übertragen sie in ein mathematisches Modell und bearbeiten sie mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten. Ihre Lösungen beziehen sie anschließend wieder auf die Sachsituation. 3

4 7 - Was genau steckt hinter dieser Forderung nach dem Modellieren? - Ist diese Forderung wirklich neu? - Entspricht sie nicht dem Sachrechnen, das in der Grundschule traditionell einen hohen Stellenwert hat? Modellieren setzt bei offenen, realistischen Problemen an. Probleme im wahren Leben haben meistens keine eindeutige Lösung, und es gibt auch meistens kein eindeutiges Verfahren, um sie zu lösen. 8 Wie viel Wasser kann ich beim Zähneputzen sparen, wenn ich zwischendurch das Wasser abdrehe? Ich habe 20 dabei und möchte etwas zum Abendessen besorgen. Was kaufe ich? Viele Menschen meinen, dass diese Aufgaben nicht ihren Vorstellungen von Mathematikaufgaben entsprechen und zwar aus den Gründen, dass es kein eindeutiges Lösungsverfahren und keine eindeutige Lösung gibt. 4

5 9 Bild von Mathematik: Für viele Menschen scheint festzustehen, dass in der Mathematik gerechnet wird, und zwar mit unveränderten Regeln. Diese Regeln müssen zunächst erklärt werden, anschließend wird die Anwendung der Regel geübt. auch SuS haben dieses Bild zum Teil schon verinnerlicht: 1. Klasse: Mathe bedeutet Rechenaufgaben rechnen, nichts weiter. Dieses Bild setzt sich auch in höheren h Klassen fort mit Konsequenzen, wie die folgende Aufgabe zeigt: Die letzten Weihnachtsferien begannen am , das war der erste Ferientag. Die Weihnachtsferien endeten am , das war der letzte Ferientag. Wie viele Tage dauerten die Weihnachtsferien? (Winter 2003) 10 Schülerlösungen: 65 der untersuchten Schüler rechneten oder die folgende Kapitänsaufgabe: Auf einem Boot sind 14 Schafe und 18 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän? (Leselektüre: Selter&Spiegel Kinder und Mathematik 5

6 11 Von Klasse 1 an wird häufig ein Bild einer fertigen, eindeutigen und zu reproduzierenden Wissenschaft vermittelt, welches ausschließlich auf den Mathematikunterricht, nicht aber auf die Realität passt. Realitätsbezüge und Modellieren sind jedoch der Schlüssel dazu, um dieses Bild aufzubrechen. Modellierungsaufgaben können zeigen, wo Mathematik im Leben gebraucht wird und wie man Mathematik anwenden kann. Das bedeutet auch, selbständig nach Lösungswegen zu suchen und mehrere Lösungswegemiteinander zu vergleichen. Modellierungsaufgaben müssen damit natürlich immer an die Fähigkeiten und Erfahrungsbereiche der Kinder angepasst werden! 12 Sachrechnen versus Modellieren 6

7 13 Sachrechnen versus Modellieren: Beim Sachrechnen werden Aufgaben gelöst, die neben der Anwendung von Mathematik meistens dem Ausführen einer Rechnung auch die Verarbeitung von Sachinformationen verlangen. Sachaufgaben können Modellierungsaufgaben sein, müssen es aber nicht!!! Bsp. Sachaufgabe: Jana hat 2 Bonbons. Tabea hat 5 Bonbons mehr. Wie viele hat Tabea? 14 Sachrechnen versus Modellieren: Das Behandeln von Sachaufgaben im Unterricht ist wichtig, sollte aber nicht auf diese Art von Aufgaben beschränkt werden: Hier wird lediglich eine Mathematikaufgabe in einen Satz eingekleidet. Der Sachkontext ist austauschbar und wird nicht weiter diskutiert. Es ist egal ob Jana Bonbons oder Tobias Autos hat. Diese Aufgabe hat allein das wichtige Ziel, eine mathematische Operation zu veranschaulichen. Beim Modellieren geht es jedoch um mehr 7

8 15 Sachrechnen versus Modellieren: Schokoküsse Max will an seinem 8. Geburtstag mit seinen Gästen Schokoküsse essen. Wie viele Schachteln muss er mit seiner Mutter kaufen? 16 Sachrechnen versus Modellieren: Schokoküsse Diese Aufgabelässt sich nicht lösen ohneden Sachkontext zu berücksichtigen. Aber es ein Problem, das sich im Alltag der Kinder wirklich stellt. Viele Kinder helfen ihren Eltern: - Wie viele Gäste werden wohl kommen? - Essen alle Mohrenköpfe? - Wie viele isst ein Kind? - Wie viele il Mohrenköpfesind din einer Packung enthalten? etc. Alles Anlässe zum Zählen, Schätzen und Rechnen!!! 8

9 17 Typische Charakteristika für eine Modellierungsaufgabe: offen komplex realistisch authentisch problemhaltig lösbar durch Ausführen eines Modellierungspozesses 18 Der Modellierungsprozess Realistische Sachverhalte und Problemstellungen sind vielfach komplex. In der Regel kann durch Vereinfachen ein passendes Modell entwickelt werden, in dem mathematisch gearbeitet werden kann. Def. Modell : vereinfachende Darstellung des realen Sachverhalts, h dir nur gewisse, für die jeweilige Fragestellung relevante Teilaspekte der Situation berücksichtigt. 9

10 19 Der Modellierungsprozess Wie gelangt man nun von einem Problem in der Realität zu einem Modell und von dem Modell zu einer Lösung des Problems? Der komplexe Vorgang des Modellierens kann vereinfachend als Kreislauf beschrieben werden: vereinfachen Reale Situation validieren Realmodell Interpretierte Lösung mathematisieren interpretieren Mathematisches Modell bearbeitenb Mathematische Lösung 20 Der Modellierungsprozess Die Kreislaufdarstellung des Modellierend ist ein vereinfachendes Schema, welches nur in den seltensten Fällen wir ein Algorithmus durchlaufen wird. In der Regel wird man zum Beispiel schon bei der Bildung des mathematischen Modelles überlegen, inwieweit man überhaupt über die nötigen mathematischen Kompetenzen zur Bearbeitung der Modells verfügt. Oder man bemerkt ktdirekt bi beim Berechnen, dass das Modell nicht ihtgeeignet tit ist, und sucht nach neuen Möglichkeiten. Insgesamt ist Modellieren ein komplexer Prozess, bei dem immer wieder zwischen verschiedenen Schritten gewechselt wird. 10

11 21 Modellierungsaufgabe: Annika möchte mit ihren Eltern In die Sommerferien fahren. Doch leider geht es nicht vorwärts. STAU! Seit Stunden stehen sie auf der Autobahn fest. Im Radio hört Annika, dass der Stau 20 km lang ist. Annika ist durstig, doch endlich kommt Jemand vom roten Kreuz und bi bringt Wasser. Wie viele Menschen müssen in so einem Stau eigentlich versorgt werden? 11

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