1. Funktionen, Ziele und Inhalte des Sachrechnens im Mathematikunterricht der Grundschule

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1 1. Funktionen, Ziele und Inhalte des Sachrechnens im Mathematikunterricht der Grundschule 1.1 Einstieg: - Testaufgaben aus der Langzeitstudie LAU 13 - Eine Sachaufgabe von Bender 1.2 Funktionen des Sachrechnens 1.3 Ziele und Inhalte des Sachrechnens 1.4 Überblick über aktuelle Lehrplanziele und -inhalte 1.5 Themen und Fächer verbindender Charakter des Sachrechnens R. Courant (1974) Kurz gesagt, die Mathematik muss ihre Motivation aus konkreter, spezifischer Substanz beziehen und bestrebt sein, wieder zu irgendeiner Schicht von Realität zurückzukehren. H. Freudenthal (1973)... das Problem sollte aus der Situation erwachsen, und das Kind sollte auch lernen, das Problem in der Situation zu sehen. Sich ein Problem stellen, ist auch Mathematik. 1

2 Eine Sachaufgabe von Bender: Auf einem Bahnhof fahren zur gleichen Zeit zwei Züge ab. Sie fahren in entgegengesetzte Richtungen. Der eine fährt pro Stunde 80 km, der andere fährt pro Stunde 60 km. Wie weit sind die beiden Züge nach 1½ Stunden Fahrzeit voneinander entfernt? Erprobung der Aufgabe an Viertklässlern am Ende des 4. Schuljahrs im Jahre % der Schüler lösten die Aufgabe richtig. 53% der Schüler errechneten ein falsches Ergebnis. 9% der Schüler gaben keine Lösung an. 2

3 Hauptfehler von Schülern: Schüler hatten als Ergebnis 30km, die Differenz aus 120 km und 90 km, möglicherweise hatte sie der Begriff voneinander entfernt zu einer Subtraktion verführt, oder sie haben die Frage umgedeutet in: Um wie viel km ist der schnelle Zug weiter vom Bahnhof entfernt als der langsame? - 67 Schüler fanden 20km als Ergebnis: 80km-60km=20km. Sie ignorierten oder missverstanden offensichtlich die Fahrzeit von 1½ Stunden Schüler gaben einfach eine der beiden Fahrstrecken, also 120km oder 90km als Ergebnis an. - Nicht weniger als 77 Schüler hatten 140km, 1 800km, km, 4 800km u. Ä. Resultate, die auf den ersten Blick den Eindruck erwecken, als ob die Schüler auf gut Glück irgendeine Zahlenmanipulation versucht hätten. - Es gab auch Rechenfehler: 1 ½ 80 = 96 und Fehler beim Umwandeln von Größenangaben, wie z.b. 1½ h = 130 min. Aber: Die überwältigende Zahl der Fehler beruhte auf einem Missverstehen oder Andersverstehen der Aufgabe. 3

4 Analyse notwendiger Kompetenzen zum erfolgreichen Lösen der Aufgaben Allgemeines, unspezifisches Alltagswissen Wissen und Verstehen von Begriffen, z.b. Bahnhof, Zug,..., 80km pro Stunde, zur gleichen Zeit, Fahrzeit, voneinander entfernt, entgegengesetzte Richtung Spezielle mathematische Kenntnisse und Fähigkeiten Wissen, dass 1½h = 90min u. 80km und 60km Längenangaben sind Fähigkeiten im Addieren und Teilen durch 2 Verstehen und Analysieren der beschriebenen Situation, Problemlösestrategien entwickeln die Situation in das vorhandene Netz des Wissens einordnen, richtiges Verstehen und Analysieren der Zusammenhänge zw. Zahlen- u. Größenangaben, zwischen gegebenen Daten und gesuchten Angaben Entscheidender Punkt! Fazit: Das Verstehen, das Analysieren der gegebenen Aufgabensituation, dann das Verarbeiten der gegebenen Daten in Richtung auf die Fragestellung, das Erinnern und Nutzen von Gesetzen, schließlich das Überprüfen einer ermittelten Lösung anhand des vorgegebenen Aufgabentextes zeigen, wie anspruchsvoll das Lösen von SA ist. Insbesondere ist beachtenswert, wie viele verschiedene Wissensvoraussetzungen und Verständnisse im Spiel sind, die normalerweise im Unterricht gar nicht angesprochen werden, die aber sehr wohl das Denken der einzelnen Kinder bestimmen. Es ist Winter zuzustimmen, wenn er sagt, dass es sehr oberflächlich wäre, würde man den Schwierigkeitsgrad einer SA nur nach der Anzahl und der Art der rechnerischen Lösungsschritte bestimmen wollen. 4

5 1.2 Funktionen des Sachrechnens (nach H. Winter, 1985) 1. Sachrechnen als Lernstoff 2. Sachrechnen als Lernprinzip 3. Sachrechnen als Lernziel: Befähigung zur Erschließung der Umwelt zu 1. Sachrechnen als Lernstoff Zum Lernstoff des Sachrechnens gehören das Analysieren, Bearbeiten und Interpretieren von Texten, Tabellen, Schemata u. Ä. m. mit Zahlenoder Größenangaben, der Umgang mit häufig gebrauchten Größen, das Anwenden elementarer Verfahren und Begriffe der Statistik. Im Vordergrund der Größenlehre und der Statistik stehen das Gewinnen von Daten (Zählen, Messen, Schätzen), das Kennenlernen der Maßsysteme, Stützpunktwissen über Größen (Ausbildung realistischer Vorstellungen über Größen), das Darstellen von Daten (Anfertigen von Veranschaulichungen, z. B. von Schaubildern oder Streifendiagrammen) das Verarbeiten von Daten (Ordnen von Daten, Finden der Maxima, Durchschnittsberechnungen) 5

6 zu 2. Sachrechnen als Lernprinzip Bezüge zur Realität werden für das Lernen mathematischer Begriffe und Verfahren ausgenutzt, um - die Lernenden zu motivieren, - bei ihnen Verständnis zu fördern, - mathematische und allgemeine Kompetenzen zu entwickeln. Der Bezug auf die reale Umwelt und auf den praktischen Erfahrungsbereich der Kinder kann auf dreifache Weise geschehen: Sachsituationen als Ausgangspunkte für das Lernen von Mathematik, Sachsituationen als Veranschaulichung (Verlebendigung) von Mathematik, Sachaufgaben als Feld der Einübung mathematischen Könnens. zu 3. Sachrechnen als Beitrag zur Umwelterschließung Das ist die umfassendste Funktion des Sachrechnens. Sie ist am wichtigsten, aber auch am schwierigsten zu realisieren. Im Sinne des Primats der Sache ist hier die Sache selbst Stoff. Die überzeugendste Organisationsform für die Realisierung dieser Funktion ist die Projektarbeit. 6

7 Kriterien für Sachsituationen im Sinne der Umwelterschließung: Authentizität, Zugänglichkeit, Reichhaltigkeit für Problemstellungen, Praxisnähe der Problemstellung, angemessene Schwierigkeit bei der Modellbildung Ziele des Sachrechnens (nach Radatz, Schipper 1983) Aufzeigen der Beziehungshaltigkeit der Mathematik, Mathematisieren realer Situationen, Beitrag zur Schulung des komplexen und kreativen Denkens, Sicherung des mathematischen Könnens durch Anwendung, Aufbau von Größenvorstellungen, 7

8 Im Mittelpunkt des Sachrechnens steht das Mathematisieren von umweltlichen Situationen. Zu diesem komplexen Vorgang gehören nach Winter: Erfassen, von welchen Gegenständen die Rede ist, Erfassen, welche Merkmale möglicherweise über die Gegenstände mitgeteilt werden, Erfassen, welche Beziehungen zwischen den Gegenständen bestehen können, Auffinden von möglichen sachgemäßen Fragestellungen, Ordnen von Informationen im Hinblick auf diese Fragestellungen, Bearbeiten und Lösen von Fragestellungen, Vergleich der Lösungen mit den gegebenen Informationen, Übertragen der Situation auf andere, inhaltlich eng verwandte Situationen, Übertragen der Situation auf andere, nur von der Struktur her verwandte Situationen. (vgl. Winter, H.: Der Beitrag des modernen Mathematikunterrichts der Grundschule zur Welterschließung. In Epping, J. (Hrsg.), 1978) 8

9 1.4 Überblick über aktuelle Lehrplanziele und -inhalte NRW-Grundschullehrplan Zentrales Anliegen eines sachbezogenen Mathematikunterrichts ist die Erschließung der Lebenswirklichkeit. Das erfordert eine kontinuierliche Auseinandersetzung mit authentischen, herausfordernden Aufgaben. Die Schülerinnen und Schüler lernen, Daten zu erheben, selbst in Tabellen oder Diagrammen darzustellen und zu bewerten. Aufgaben, bei denen die Wahrscheinlichkeit einfacher Ereignisse qualitativ einzuschätzen ist, bereichern das Sachrechnen. Darüber hinaus bearbeiten die Schülerinnen und Schüler realitätsnahe Sachaufgaben in Form von Rechengeschichten, Bildgeschichten, Tabellen oder Diagrammen. Die Aufgabenstellungen können vorgegeben oder selbst gewählt werden. Sachaufgaben ermöglichen auch unterschiedliche und weiterführende Fragestellungen sowie individuelle Lösungswege. In den Größenbereichen Länge, Geld, Zeit, Gewicht und Rauminhalt entwickelt und festigt der Unterricht realistische Größenvorstellungen und sachrechnerische Kompetenzen. 9

10 Aus dem NRW-Grundschullehrplan Aufgaben schwerpunkte Sachzusammenhänge Daten und Häufigkeiten Unterrichtsgegenstände in den Klassen 1 und 2 Spiel- und Sachsituationen mathematisch erfassen, nachspielen und beschreiben Fächer übergreifende Problemkontexte bearbeiten: Mathematik als Mittel zur Beschreibung und zur Lösung von Sachproblemen erfahren Mengen von Dingen aus der Lebenswirklichkeit beschreibend vergleichen, ordnen und sortieren, einfache Tabellen bzw. Diagramme lesen und erstellen Unterrichtsgegenstände in den Klassen 3 und 4 Fragestellungen aus gegebenen oder selbst gewählten Spiel- und Sachsituationen ableiten sowie Ergebnisse innerhalb des Sachzusammenhangs mathematisch interpretieren Projektorientierte Problemkontexte bearbeiten Daten (auch stichprobenhaft) aus der Lebenswirklichkeit sammeln, den Medien oder didaktisch aufbereiteten Texten (z.b. Sachtexten) entnehmen, Tabellen und Diagramme interpretieren und erstellen, die Wahrscheinlichkeit von einfachen Ereignissen qualitativ einschätzen 10

11 Aus dem NRW-Grundschullehrplan Sachaufgaben Sachaufgaben, auch mit mehreren Rechenschritten, in verschiedenen Darstellungsweisen (z.b. in Form von Sach- oder Gebrauchstexten) stellen, bearbeiten, lösen und Ergebnisse auf ihre Problemangemessenheit prüfen Größenvorstellungen Sachaufgaben als Rechengeschichten oder Bildsachaufgaben stellen, bearbeiten und lösen, aufgabenbezogene Bearbeitungshilfen (wie z.b. Skizzen) kennen lernen und Ergebnisse auf ihre Problemangemessenheit prüfen Grundvorstellungen zu Geldwerten, Zeitspannen und Längen entwickeln und ausbauen Realistische Bezugsgrößen kennen und nutzen lernen (Preise, Zeitspannen, Längen) Grundvorstellungen zu Gewichten und Rauminhalten entwickeln und ausbauen; Grundvorstellungen zu Geldwerten, Zeitspannen und Längen auf den erweiterten Zahlenraum übertragen Zu jedem Größenbereich wichtige realistische Bezugsgrößen aus der Erfahrungswelt kennen und nutzen lernen 11

12 Aus dem NRW-Grundschullehrplan Umgang mit Größen Mit Münzen und Banknoten umgehen (Geldbeträge darstellen, ordnen, wechseln, bezahlen, zurückgeben) Erfahrungen mit der Zeit, mit der Uhr und mit dem Kalender sammeln (messen, schätzen, vergleichen) Längen mit standardisierten und mit selbst gewählten Einheiten messen und schätzen Grundeinheiten dieser Größenbereiche kennen lernen (ct,, cm, m, Sekunde, Minute, Stunde, Tag, Woche, Monat, Jahr) Kompetenzen im Umgang mit Geldwerten, Längen und Zeit (auch Zeitpunkte und Zeitspannen) im erweiterten Zahlenraum anwenden Mit Messgeräten oder passenden Hilfsmitteln messen sowie unter Bezugsgrößen schätzen und passende Einheiten wählen Die Grundeinheiten der 5 Größenbereiche kennen lernen und zwischen ihnen umwandeln (ct,, mm, cm, m, km, s, min, h, Tag, Monat, Woche, Jahr, g, kg, t, ml, l) Die Kommaschreibweise bei Geldwerten, Längen, Gewichten und Rauminhalten situationsangemessen verwenden Mit einfachen Brüchen bei Größen umgehen 12

13 Aus dem NRW-Lehrplan für die Sekundarstufe I Überblick über die Jahrgangsstufen Argumentieren, Kommunizieren 5/6 Informationen aus Texten, Bildern und Tabellen Erläutern von Rechenwegen Intuitives Begründen 7/8 Informationen aus Grafen Präsentation und Bewertung von Lösungswegen Mehrschrittige Argumentationen Vergleichen und Bewerten von Lösungswegen Problemlösen Schätzen, Überschlagen Beispiele finden, Probieren Überprüfen von Ergebnissen Untersuchen von Zahlen und Formen Überprüfen auf mehrere Lösungen Überprüfen von Lösungswegen Modellieren Erstellen von Termen, Figuren und Diagrammen zu Sachaufgaben Angeben von Realsituationen zu Figuren, Termen und Diagrammen Aufstellen von Gleichungen und Zuordnungen zu Realsituationen Angeben von Realsituationen zu Tabellen, Grafen, Gleichungen 13

14 9/10 Informationen aus authentischen Texten Präsentation, Überprüfung und Bewertung von Problembearbeitungen Argumentationsketten Zerlegen von Problemen Vorwärts-/ Rückwärtsarbeiten Lineare / exponentielle Modelle für Wachstumsprozesse Angeben von Realsituationen zu linearen / exponentiellen Funktionen Stochastik Kl. 5/6 Ur- und Strichlisten Häufigkeitstabellen, Säulendiagramme, Kreisdiagramme Arithmetisches Mittel, Median Kl. 7/8 Planung und Durchführung von Erhebungen Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Einstufige Zufallsexperimente Laplace-Regel Boxplots Kl. 9/10 Analyse von grafischen Darstellungen Zweistufige Zufallsexperimente Pfadregeln 14

15 1.5 Themen und Fächer verbindender Charakter des Sachrechnens Einerseits: Aufgaben des Sachrechnens sind integrierter Bestandteil jedes Lernthemas im Mathematikunterricht. (Z. B. dienen Sachaufgaben beim Behandeln der schr. Rechenverfahren als Motivation, als Hinführung zum Thema wie auch als Feld der Einübung und Anwendung der Rechenverfahren. Ebenso dienen Bezüge zur realen Umwelt (Sachsituationen) als Verlebendigung, Verdeutlichung geometrischer Begriffe [Wo sind im Klassenzimmer rechteckige Formen?] und als Feld der Einübung und Anwendung geometrischer Kompetenzen.) Andererseits: Das Sachrechnen hat auch einen Themen und Fächer verbindenden Charakter. (Z B. werden bei projektartigen Aufgaben in der Regel komplexes mathematisches Wissen und Können, aber auch Wissen und Können aus anderen Fächern sowie allgemeine kognitive Fähigkeiten und unspezifisches Alltagswissen gefordert bzw. gefördert.) Beim Sachrechnen oft geforderte Kompetenzen aus anderen Fächern: Deutsch: - Sinn verstehendes Lesen, Formulieren von (Antwort-)Sätzen, Einhalten von Rechtschreib- und Grammatikregeln, - Anwenden und Vertiefen von im Sachunterricht angeeigneten Kompetenzen (z. B. zum Wetter, zur Heimatgeschichte, zu Gesundheit oder Verkehr) durch mathematische Betrachtungsweisen Werken: - Verstehen von Bauanleitungen, Basteln von Geräten Sport: - Verstehen, Vergleichen, Analysieren sportlicher Leistungen, - Aufstellen von Plänen für sportliche Aktivitäten 15